Kalkulator Panjang Busur Juring

Kalkulator Panjang Busur Juring mengukur jarak lengkung di sepanjang busur sebuah juring lingkaran, dari irisan kecil hingga lingkaran penuh. Kalkulator ini menerima tujuh pengukuran awal yang berbeda, sehingga Anda dapat menggunakan nilai mana pun yang sudah Anda miliki. Ikuti langkah-langkah berikut untuk mendapatkan jawaban yang benar dalam waktu kurang dari satu menit.

1. Pilih metode input. Pilih Jari-jari + Sudut Pusat, Diameter + Sudut Pusat, Keliling Lingkaran Penuh + Sudut Pusat, Luas Juring + Jari-jari, Luas Juring + Sudut Pusat, Panjang Tali Busur + Sudut Pusat, atau Jari-jari + Panjang Busur yang Diketahui. Kolom input, label, dan daftar satuannya berubah mengikuti metode yang Anda pilih.
2. Masukkan pengukuran Anda. Ketik nilainya di kotak input. Untuk metode luas, gunakan daftar satuan kuadrat (mm², cm², m², km², in², ft², yd²).
3. Masukkan sudut pusat. Ketik sudut dalam derajat atau radian menggunakan tombol DEG/RAD, atau seret penggeser sudut dari 0° hingga 360°. Diagram langsung dan hasilnya diperbarui saat Anda menggesernya. Dalam metode Luas Juring + Jari-jari dan Jari-jari + Panjang Busur yang Diketahui, sudut dihitung dari nilai Anda.
4. Atur sudut awal dan sudut akhir jika Anda memerlukannya. Sapuan default dimulai dari 0° dan berjalan berlawanan arah jarum jam. Ubah sudut awal, sudut akhir, atau arah untuk mengukur juring di bagian mana pun pada lingkaran. Sapuanlah, bukan posisinya, yang menentukan panjang busur. Sudut awal dan sudut akhir yang sama berarti busur dengan panjang nol, kecuali Anda menggunakan opsi lingkaran penuh untuk satu putaran penuh.
5. Pilih satuan input dan output. Kalkulator mengubah input Anda menjadi satuan internal yang konsisten, menghitung, lalu mengubah jawabannya ke satuan output Anda. Angkanya berubah mengikuti satuan; panjangnya tidak.
6. Pilih presisi. Pilih 2, 4, 6, atau 8 tempat desimal. Defaultnya adalah 4. Kalkulator selalu menggunakan π presisi penuh secara internal dan hanya membulatkan hasil yang ditampilkan.
7. Klik Hitung Sekarang. Hasil utama adalah panjang busur juring, beserta klasifikasinya: juring sudut nol, juring minor, setengah lingkaran, juring mayor, atau lingkaran penuh. Di bawahnya Anda mendapatkan jari-jari, diameter, keliling penuh, busur pelengkap, panjang tali busur, luas juring, keliling juring, luas tembereng lingkaran, persentase busur, kedua bentuk sudut, dan perbandingan juring minor vs mayor.
8. Jelajahi diagramnya. Diagram juring langsung menggambar lingkaran penuh, mewarnai juring yang dipilih dengan warna emas, dan menandai pusat O, garis jari-jari, tali busur, dan titik-titik ujung. Gunakan tombol untuk menampilkan atau menyembunyikan garis jari-jari, tali busur, titik pusat, penanda sudut, dan juring pelengkap.
9. Salin, cetak, atau atur ulang. Gunakan Salin Hasil untuk menaruh jawaban di papan klip Anda, Cetak Ringkasan untuk laporan sederhana, atau Atur Ulang untuk mengosongkan panel. Tombol preset memuat contoh-contoh yang sudah terverifikasi secara instan, dan tombol pilihan cepat langsung melompat ke 45°, 60°, 90°, 120°, 180°, 270°, atau 360°.

Coba contoh. Jari-jari 6 dengan sudut 60° menghasilkan busur 6.2831853072 satuan. Jari-jari 8 dengan 90° menghasilkan 12.5663706144 satuan. Jari-jari 5 dengan 270° menghasilkan busur juring mayor 23.5619449019 satuan. Diameter 14 dengan 120° menghasilkan 14.6607657168 satuan. Luas juring 50 dengan jari-jari 10 menghasilkan busur 10.0000000000 satuan, dan jari-jari 4 dengan busur yang diketahui sepanjang 6 satuan menghasilkan sudut 85.9436692696°.

Tips penting. Jaga agar satuan sudut tetap konsisten: 60° dan 1.0471975512 radian adalah sudut yang sama, tetapi 60 radian bukanlah 60°. Panjang busur hanyalah jarak lengkung; tali busur adalah ukuran yang berbeda dan selalu lebih pendek, kecuali untuk busur dengan panjang nol. Jika Anda memasukkan diameter, kalkulator membaginya dua untuk menemukan jari-jari terlebih dahulu. Luas juring bukanlah panjang busur: yang satu diukur dalam satuan persegi dan yang lain dalam satuan biasa. Pengukuran nol atau negatif bukanlah juring yang valid, jadi kalkulator menolaknya alih-alih menampilkan jawaban yang menyesatkan.

Lingkaran adalah himpunan semua titik pada jarak tetap, yaitu jari-jari, dari sebuah titik pusat O. Juring lingkaran adalah daerah berbentuk irisan yang dipotong dari sebuah lingkaran oleh dua jari-jari dan busur di antara keduanya, seperti sepotong kue. Panjang busur juring adalah jarak lengkung di sepanjang tepi luar irisan itu, dari satu ujung jari-jari ke ujung lainnya, mengikuti lengkungannya.

Bayangkan sepotong pizza. Dua tepi potongan yang lurus adalah jari-jarinya, ujung yang runcing adalah pusat O, dan keraknya adalah busur. Panjang busur adalah panjang keraknya. Garis lurus di ujung lebar potongan, yang menghubungkan kedua ujung kerak, adalah tali busur, dan garis itu lebih pendek daripada kerak.

Setiap juring memiliki bagian-bagian yang sama, diskalakan menurut jari-jarinya. Pusat O adalah titik tetap. Jari-jari r membentang dari O ke titik mana pun pada lingkaran. Sudut pusat θ adalah sudut di O antara dua jari-jari yang membatasi juring, dan sudut itulah yang menentukan berapa bagian lingkaran yang dicakup juring. Busur adalah tepi lengkungnya. Tali busur adalah garis lurus antara ujung-ujung busur. Luas juring adalah daerah di dalam dua jari-jari dan busur.

Dua jari-jari selalu membagi lingkaran menjadi dua juring: yang lebih kecil, juring minor, dan yang lebih besar, juring mayor. Bersama-sama keduanya membentuk lingkaran penuh. Juring mana yang Anda inginkan tergantung pada soal Anda, dan kalkulator menampilkan keduanya, sehingga Anda tidak perlu menebak.

Panjang busur juring adalah pengukuran satu dimensi, sebuah panjang, sehingga dilaporkan dalam satuan biasa seperti cm, m, atau inci. Panjang busur bukanlah luas, dan bukan pula sudut. Memisahkan ketiga besaran ini adalah langkah pertama untuk membuat setiap perhitungan juring menjadi benar.

Panjang busur juring berasal langsung dari keliling lingkaran penuh. Keliling lingkaran penuh adalah:

Juring dengan sudut pusat θ mencakup pecahan θ / 360 dari satu putaran penuh 360°, sehingga busurnya adalah pecahan yang sama dari keliling:

Penyederhanaan menghasilkan bentuk derajat dari rumus tersebut:

Ketika sudut diukur dalam radian, rumusnya menjadi lebih sederhana lagi, karena radian didefinisikan oleh jari-jari itu sendiri:

Setiap simbol dalam rumus memiliki arti yang tepat:

Kedua bentuk memberikan jawaban yang sama. Gunakan L = πrθ / 180 ketika sudut Anda dalam derajat, dan L = rθ ketika dalam radian. Kalkulator mengubah derajat menjadi radian terlebih dahulu lalu menggunakan L = rθ secara internal, itulah sebabnya kedua mode selalu cocok.

Menggunakan diameter alih-alih jari-jari menghasilkan bentuk kedua dari rumus yang sama. Karena d = 2r, maka r = d / 2, dan substitusi menghasilkan L = dθ / 2 dalam radian, atau L = πdθ / 360 dalam derajat.

Jari-jari ditambah sudut pusat adalah cara paling langsung untuk menemukan panjang busur juring. Contoh yang dikerjakan di bawah ini menggunakan jari-jari 6 satuan dan sudut pusat 60°.

1. Tentukan jari-jarinya. r = 6 satuan.
2. Tentukan sudut pusatnya. θ = 60°.
3. Ubah derajat menjadi radian. θ = 60 × π / 180 = π / 3 = 1.0471975512 radian.
4. Tulis rumus panjang busur. L = rθ.
5. Substitusikan nilainya. L = 6 × π / 3.
6. Hitung. L = 6.2831853072 satuan.
7. Bulatkan bila perlu. Hingga dua tempat desimal, L = 6.28 satuan.

Langkah yang sama berlaku untuk jari-jari dan sudut apa pun. Jari-jari 8 satuan dengan 90° menghasilkan L = 8 × π / 2 = 12.5663706144 satuan. Jari-jari 5 satuan dengan 270° menghasilkan L = 5 × 3π / 2 = 23.5619449019 satuan. Jari-jari 1 satuan dengan 60° menghasilkan L = 1.0471975512 satuan, yang tepat sama dengan π / 3, sebuah pemeriksaan yang berguna: untuk r = 1, panjang busur sama dengan sudut dalam radian.

Aturan pembulatan. Bulatkan hanya di akhir. Jika Anda mengganti π dengan 3.14 sebelum mengalikan, jari-jari 6 dengan 60° menghasilkan 6.28 tepat karena kebetulan di sini, tetapi untuk jari-jari 8 dengan 90° hasilnya 12.56 alih-alih 12.5663706144, sebuah galat sebesar 0.0063706144. Galat itu membesar seiring jari-jari, jadi pertahankan presisi penuh selama perhitungan dan bulatkan hanya hasil akhir yang ditampilkan.

Ketika Anda mengetahui diameter alih-alih jari-jari, bagilah dua terlebih dahulu, lalu terapkan rumus yang sama. Contoh yang dikerjakan di bawah ini menggunakan diameter 14 satuan dan sudut pusat 120°.

1. Tentukan diameternya. d = 14 satuan.
2. Cari jari-jarinya. r = d / 2 = 14 / 2 = 7 satuan.
3. Tentukan sudut pusatnya. θ = 120° = 2π / 3 = 2.0943951024 radian.
4. Tulis rumusnya. L = rθ, atau langsung L = πdθ / 360.
5. Substitusikan. L = 7 × 2.0943951024, atau L = π × 14 × 120 / 360.
6. Hitung. L = 14.6607657168 satuan.
7. Bulatkan bila perlu. Hingga dua tempat desimal, L = 14.66 satuan.

Kedua jalur persis sama, dan itu merupakan pemeriksaan diri yang baik. Jalur jari-jari menghasilkan 7 × 2.0943951024 = 14.6607657168. Jalur diameter menghasilkan π × 14 × 120 / 360 = 14.6607657168. Jika keduanya tidak cocok, diameter tidak dibagi dua dengan benar.

Contoh lain: diameter 20 satuan dengan 180° menghasilkan r = 10 satuan, sehingga L = π × 10 = 31.4159265359 satuan, busur setengah lingkaran. Diameter 10 satuan dengan 60° menghasilkan r = 5 satuan, sehingga L = 5.2359877560 satuan. Galat paling umum dalam perhitungan ini adalah lupa membagi dua dan menggunakan diameter seolah-olah itu jari-jari, yang menggandakan jawaban. Untuk d = 14, kesalahan itu menghasilkan 29.3215314336 alih-alih 14.6607657168.

Tips pengukuran. Diameter sering kali lebih mudah diukur dalam kehidupan nyata daripada jari-jari, karena Anda dapat mengukur lurus melintasi lingkaran. Itulah sebabnya kalkulator menerima input diameter secara langsung: ukur melintasinya, masukkan nilainya, dan kalkulator membaginya dua untuk Anda.

Derajat adalah satuan sudut sehari-hari. Satu lingkaran penuh berisi 360°, sehingga sudut pusat dalam derajat langsung memberi tahu Anda berapa pecahan lingkaran penuh yang dicakup juring Anda. Sudut 90° mencakup seperempat lingkaran, 180° mencakup setengah, dan 270° mencakup tiga perempat.

Rumus derajat adalah L = πrθ / 180, dengan θ dalam derajat. Rumus ini berasal dari gagasan pecahan: θ / 360 dari keliling 2πr, yang disederhanakan.

Contoh yang dikerjakan. Jari-jari 8 satuan, sudut 90°.

1. Tentukan nilainya. r = 8 satuan, θ = 90°.
2. Cari pecahan lingkarannya. 90 / 360 = 1 / 4, seperempat lingkaran.
3. Tulis rumusnya. L = πrθ / 180.
4. Substitusikan. L = π × 8 × 90 / 180 = π × 8 / 2.
5. Hitung. L = 12.5663706144 satuan.
6. Periksa terhadap keliling. Keliling penuh adalah 2π × 8 = 50.2654824574 satuan, dan seperempatnya adalah 50.2654824574 / 4 = 12.5663706144 satuan. Keduanya cocok.

Contoh derajat lainnya dengan jari-jari 5 satuan: 30° menghasilkan L = 2.6179938780 satuan, 45° menghasilkan L = 3.9269908170 satuan, 120° menghasilkan L = 10.4719755120 satuan, dan 270° menghasilkan L = 23.5619449019 satuan. Perhatikan bahwa menggandakan sudut akan menggandakan panjang busur untuk jari-jari yang sama, karena panjang busur berbanding lurus dengan sudut pusat.

Kesalahan derajat yang umum. Memasukkan nilai derajat langsung ke L = rθ tanpa mengubahnya menghasilkan jawaban yang sangat salah. Untuk r = 5 dan 60°, perhitungan tanpa konversi menghasilkan 5 × 60 = 300, tetapi jawaban yang benar adalah 5.2359877560. Rumus L = rθ membutuhkan radian, jadi ubahlah terlebih dahulu atau gunakan bentuk derajat L = πrθ / 180.

Radian adalah sudut yang Anda dapatkan ketika panjang busur sama dengan jari-jari. Jika Anda melilitkan seutas tali sepanjang jari-jari mengelilingi lingkaran, sudut yang dibentuknya di pusat tepat 1 radian. Satu lingkaran penuh berisi 2π radian, sekitar 6.2831853072 radian, karena keliling penuh adalah 2πr dan membaginya dengan r menyisakan 2π.

Rumus radian adalah L = rθ, rumus panjang busur paling sederhana yang ada. Rumus ini tidak mengandung π, karena π sudah ada di dalam ukuran radian sudut tersebut.

Contoh yang dikerjakan. Jari-jari 6 satuan, sudut π / 3 radian (yaitu 60°).

1. Tentukan nilainya. r = 6 satuan, θ = π / 3 = 1.0471975512 radian.
2. Tulis rumusnya. L = rθ.
3. Substitusikan. L = 6 × 1.0471975512.
4. Hitung. L = 6.2831853072 satuan.
5. Periksa terhadap derajat. π / 3 radian adalah 60°, dan rumus derajat menghasilkan L = π × 6 × 60 / 180 = 6.2831853072 satuan. Keduanya persis sama.

Contoh radian lainnya: jari-jari 4 satuan dengan θ = π / 2 radian menghasilkan L = 4 × 1.5707963268 = 6.2831853072 satuan. Jari-jari 10 satuan dengan θ = π radian menghasilkan L = 10 × 3.1415926536 = 31.4159265359 satuan, busur setengah lingkaran. Jari-jari 5 satuan dengan θ = 1 radian menghasilkan L = 5 satuan, karena busur sama dengan jari-jari ketika sudutnya 1 radian.

Mengapa radian lebih disukai dalam matematika. Rumus kalkulus untuk panjang busur, dan rumus tali busur, juring, serta luas tembereng pada halaman ini, semuanya menggunakan radian. Derajat nyaman untuk pengukuran sehari-hari, tetapi radian membuat matematikanya bersih, itulah sebabnya kalkulator mengubah setiap sudut menjadi radian sebelum menghitung.

Panjang busur juring dan luas juring terdengar mirip, tetapi keduanya mengukur hal yang berbeda. Panjang busur adalah jarak lengkung satu dimensi, diukur dalam satuan biasa. Luas juring adalah daerah dua dimensi, irisan lingkaran yang dipotong oleh dua jari-jari dan busur, diukur dalam satuan persegi.

Rumus-rumusnya tampak mirip, dan justru itulah sebabnya keduanya tertukar:

Luas juring adalah panjang busur dikali setengah jari-jari: A = ½ × r × L. Hubungan itu merupakan pemeriksaan yang berguna. Untuk jari-jari 6 satuan dan 60°, busurnya adalah 6.2831853072 satuan, dan luas juringnya adalah ½ × 6 × 6.2831853072 = 18.8495559215 satuan persegi.

Satuan adalah petunjuknya. Jika jawaban Anda seharusnya berupa panjang, satuannya adalah cm, m, atau inci. Jika seharusnya berupa luas, satuannya adalah cm², m², atau inci persegi. Jawaban panjang busur dalam satuan persegi, atau jawaban luas juring dalam satuan biasa, sudah pasti salah. Kalkulator memisahkan keduanya dan memberi label satuan dengan jelas.

Pemeriksaan lingkaran penuh. Pada 360°, juring adalah seluruh lingkaran, sehingga luas juring harus sama dengan πr². Untuk r = 6, π × 36 = 113.0973355292 satuan persegi. Busur pada saat yang sama adalah keliling penuh, 37.6991118431 satuan. Keduanya berasal dari jari-jari dan sudut yang sama, tetapi menjawab pertanyaan yang berbeda.

Keliling sebuah juring adalah jarak mengelilingi seluruh batasnya. Juring yang benar memiliki tiga bagian batas: busur lengkung, jari-jari pertama, dan jari-jari kedua. Jadi keliling juring adalah panjang busur ditambah dua kali jari-jari:

Di sini θ dalam radian. Kedua sisi lurus masing-masing tepat sepanjang satu jari-jari, sehingga keduanya menambah 2r pada panjang busur lengkung.

Contoh yang dikerjakan. Jari-jari 6 satuan, sudut 60°. Busurnya adalah L = 6.2831853072 satuan. Kedua jari-jari menambah 2 × 6 = 12 satuan. Keliling juring adalah P = 6.2831853072 + 12 = 18.2831853072 satuan.

Contoh lainnya. Jari-jari 8 dengan 90°: busur 12.5663706144, keliling 12.5663706144 + 16 = 28.5663706144 satuan. Jari-jari 5 dengan 270°: busur 23.5619449019, keliling 23.5619449019 + 10 = 33.5619449019 satuan. Jari-jari 7 dengan 120°: busur 14.6607657168, keliling 14.6607657168 + 14 = 28.6607657168 satuan.

Dua kasus khusus. Untuk lingkaran penuh, 360°, tidak ada sisi jari-jari sama sekali pada batasnya: kelilingnya hanyalah keliling lingkaran, P = 2πr. Untuk r = 6, nilainya adalah 37.6991118431 satuan, bukan 37.6991118431 + 12. Untuk juring sudut nol, 0°, geometrinya merosot: kedua jari-jari berhimpit dan busur memiliki panjang nol, jadi jangan sajikan keliling juring biasa untuk kasus ini. Kalkulator memperlakukan kasus sudut nol sebagai merosot dan tidak melaporkan nilai keliling normal.

Mengapa perbedaan ini penting. Jika Anda memesan lis untuk panel berbentuk juring, Anda membutuhkan kelilingnya, karena lis dipasang sepanjang busur dan kedua tepi lurusnya. Jika Anda hanya mengukur tepi lengkungnya, Anda membutuhkan panjang busur. Mencampuradukkan keduanya adalah salah satu kesalahan juring yang paling umum, dan kalkulator menampilkan kedua nilai berdampingan sehingga perbedaannya selalu terlihat.

Dua jari-jari membagi lingkaran menjadi dua juring. Yang lebih kecil adalah juring minor, dan yang lebih besar adalah juring mayor. Keduanya berbagi dua jari-jari yang sama, dan bersama-sama membentuk lingkaran penuh.

Sudut pusat menentukan yang mana. Sudut pusat di bawah 180° menghasilkan juring minor. Sudut pusat di atas 180° menghasilkan juring mayor, dan sudutnya adalah sudut refleks, lebih besar daripada sudut lurus. Tepat 180° menghasilkan setengah lingkaran, yang bukan minor maupun mayor: kedua juring sama besar.

Minor dan mayor saling melengkapi. Untuk sudut pusat yang lebih kecil θ, busur minor adalah Lminor = rθ dan busur mayor adalah Lmajor = r(2π - θ). Jumlah keduanya selalu keliling lingkaran penuh, dan luas juring keduanya berjumlah luas lingkaran penuh:

Contoh yang dikerjakan. Jari-jari 6 satuan, sudut yang lebih kecil 60°. Busur minor adalah L = 6 × π / 3 = 6.2831853072 satuan, dan luas juring minor adalah 18.8495559215 satuan persegi. Busur mayor menggunakan sudut refleks 360° - 60° = 300°, sehingga L = 6 × 5π / 3 = 31.4159265359 satuan, dan luas juring mayor adalah 94.2477796077 satuan persegi. Busur-busur itu berjumlah 6.2831853072 + 31.4159265359 = 37.6991118431 satuan, keliling penuh, dan luasnya berjumlah 18.8495559215 + 94.2477796077 = 113.0973355292 satuan persegi, luas lingkaran penuh. Juring minor adalah 16.67% dari lingkaran dan juring mayor adalah 83.33%.

Contoh lain. Jari-jari 5 satuan, sudut 270°. Ini sudah merupakan juring mayor: L = 23.5619449019 satuan dan luas juringnya adalah 58.9048622548 satuan persegi. Juring minor pelengkapnya menggunakan 90°: L = 7.8539816340 satuan dan luasnya adalah 19.6349540849 satuan persegi. Jumlahnya adalah 31.4159265359 satuan, keliling penuh 2π × 5.

Jangan tertukar antara kedua sudut itu. Kesalahan minor/mayor yang paling umum adalah menggunakan sudut yang lebih kecil ketika soal meminta juring mayor, atau sebaliknya. Selalu periksa apakah sudut yang diberikan adalah sudut yang lebih kecil atau sudut refleksnya, dan ingat bahwa kalkulator menampilkan kedua juring berdampingan sehingga Anda dapat memilih juring yang dibutuhkan soal Anda.

Juring dan tembereng lingkaran adalah dua daerah lingkaran yang berbeda, dan keduanya mudah tertukar karena sama-sama melibatkan busur. Juring dibatasi oleh dua jari-jari dan sebuah busur. Tembereng lingkaran dibatasi oleh tali busur dan sebuah busur. Tembereng adalah bagian juring yang terletak di luar tali busur, sehingga lebih kecil daripada juring, kecuali dalam kasus-kasus khusus di bawah ini.

Rumus-rumusnya menunjukkan perbedaannya dengan jelas:

Luas tembereng adalah luas juring dikurangi luas segitiga antara dua jari-jari dan tali busur. Di sini θ adalah sapuan pusat dalam radian, antara 0 dan 2π. Rumus ini menangani tembereng minor maupun mayor dengan benar: untuk busur minor hasilnya adalah tudung kecil, dan untuk busur mayor hasilnya adalah daerah besar yang mencakup sebagian besar lingkaran.

Contoh yang dikerjakan. Untuk r = 6 satuan dan 60°, luas juring adalah 18.8495559215 satuan persegi dan luas tembereng adalah ½ × 36 × (1.0471975512 - 0.8660254038) = 3.2610986534 satuan persegi. Tembereng jauh lebih kecil daripada juring, karena segitiga menempati sebagian besar irisan. Untuk r = 8 dan 90°, temberengnya adalah 18.2654824574 satuan persegi. Untuk r = 5 dan 90°, temberengnya adalah 7.1349540849 satuan persegi.

Kasus khusus. Pada 180°, sin θ = 0, sehingga luas tembereng sama dengan luas juring: ½ πr². Untuk r = 5, keduanya adalah 39.2699081699 satuan persegi, tepat setengah lingkaran. Pada 270°, sin θ = -1, sehingga tembereng lebih besar daripada juring: untuk r = 5, juringnya adalah 58.9048622548 satuan persegi dan temberengnya adalah 71.4048622548 satuan persegi. Pada 360°, tali busur menghilang dan tembereng menjadi seluruh lingkaran, πr².

Tembereng vs juring, dalam satu kalimat. Juring adalah irisan dari pusat. Tembereng adalah tudung di luar tali busur. Jika soal Anda melibatkan pusat, Anda menginginkan juring. Jika soal hanya melibatkan busur dan tali busurnya, Anda menginginkan tembereng.

Panjang tali busur dan panjang busur juring sama-sama menghubungkan dua titik yang sama pada lingkaran, tetapi keduanya menempuh jalur yang berbeda. Busur mengikuti lengkungan. Tali busur memotong lurus melintasinya. Busur hampir selalu lebih panjang.

Rumus-rumusnya menunjukkan perbedaannya dengan jelas:

Tali busur bergantung pada sinus setengah sudut, yang tumbuh lebih lambat daripada sudut itu sendiri, sehingga selisih antara busur dan tali busur melebar seiring sudut membesar.

Tiga fakta dari tabel ini layak diingat. Pada 30°, busur hanya sekitar 1.15% lebih panjang daripada tali busur, sehingga untuk sudut kecil keduanya berdekatan. Pada 180°, tali busurnya adalah diameter, 10 satuan, sedangkan busurnya adalah πr = 15.7079632679 satuan. Pada 270°, tali busur menyusut kembali menjadi 7.0710678119 satuan, sama seperti pada 90°, karena tali busur bergantung pada sudut yang lebih kecil antara titik-titik ujung, sedangkan busur terus tumbuh mengikuti sapuan.

Kasus khusus. Pada 60°, tali busur sama persis dengan jari-jari: c = 2r sin(30°) = 2r × 0.5 = r. Untuk r = 6, tali busurnya adalah 6 satuan, dan jari-jari, tali busur, serta kedua jari-jari membentuk segitiga sama sisi. Ini adalah pemeriksaan yang praktis dan favorit para penyusun ujian.

Mengapa ini penting. Jika Anda memotong pipa lengkung, Anda membutuhkan panjang busur. Jika Anda mengukur celah lurus antara dua titik pada bagian lingkaran, Anda membutuhkan tali busur. Mencampuradukkan keduanya adalah salah satu kesalahan lingkaran yang paling umum, dan kalkulator menampilkan kedua nilai bersama-sama sehingga perbedaannya selalu terlihat.

Terkadang jari-jari maupun sudut tidak diberikan. Kalkulator bekerja mundur dari empat pengukuran lain dengan menurunkan nilai yang hilang terlebih dahulu, lalu menerapkan L = rθ seperti biasa. Ketujuh metode memberikan jari-jari yang sama dan panjang busur yang sama untuk juring yang sama, sehingga Anda dapat menggunakan pengukuran mana pun yang benar-benar Anda miliki.

Dari keliling lingkaran penuh. Keliling penuh adalah C = 2πr, sehingga r = C / (2π). Untuk C = 37.6991118431 satuan, r = 37.6991118431 / 6.2831853072 = 6 satuan. Lalu busur juring 60° adalah L = 6 × π / 3 = 6.2831853072 satuan. Perhatikan jalan pintasnya: busur 60° adalah seperenam keliling, dan 37.6991118431 / 6 = 6.2831853072 satuan.

Dari panjang tali busur. Rumus tali busur adalah c = 2r sin(θ / 2), sehingga r = c / [2 sin(θ / 2)]. Untuk tali busur 6 satuan dengan sudut 60°, r = 6 / (2 × sin 30°) = 6 / (2 × 0.5) = 6 satuan. Lalu L = 6.2831853072 satuan. Input tali busur hanya berfungsi ketika sudut benar-benar antara 0° dan 360°: pada 0° atau 360° tali busurnya nol dan tidak ada jari-jari yang dapat diperoleh kembali, sehingga kalkulator menolak sudut-sudut itu untuk metode ini.

Dari luas juring dan jari-jari. Luas juring adalah A = ½r²θ, sehingga θ = 2A / r². Untuk luas juring 50 satuan persegi dengan jari-jari 10 satuan, θ = 2 × 50 / 100 = 1 radian = 57.2957795131°. Lalu L = 10 × 1 = 10.0000000000 satuan. Metode ini membutuhkan luas juring tidak lebih besar daripada luas lingkaran penuh πr²: untuk r = 10, batas itu adalah 314.1592653590 satuan persegi, sehingga luas di atas itu ditolak.

Dari luas juring dan sudut. Disusun ulang dengan cara yang sama, r = √(2A / θ) dengan θ dalam radian. Untuk luas juring 18.8495559215 satuan persegi dengan sudut 60°, θ = 1.0471975512 radian, sehingga r = √(2 × 18.8495559215 / 1.0471975512) = √(36) = 6 satuan. Lalu L = 6.2831853072 satuan. Metode ini membutuhkan sudut selain luas, karena luas juring yang sama dapat berasal dari banyak kombinasi jari-jari dan sudut.

Dari jari-jari dan panjang busur yang diketahui. Sudutnya adalah θ = L / r. Untuk jari-jari 4 satuan dan busur yang diketahui sepanjang 6 satuan, θ = 6 / 4 = 1.5 radian = 85.9436692696°. Lalu luas juring adalah A = ½ × 16 × 1.5 = 12.0000000000 satuan persegi, dan kelilingnya adalah P = 6 + 8 = 14.0000000000 satuan. Metode ini membutuhkan busur tidak lebih panjang daripada keliling penuh 2πr: untuk r = 4, batas itu adalah 25.1327412287 satuan.

Input mana yang digunakan. Gunakan pengukuran mana pun yang benar-benar Anda miliki. Jika dua pengukuran yang berbeda memberikan jari-jari yang berbeda, salah satu pengukurannya salah, dan ketidakcocokan itu layak diselidiki sebelum mempercayai salah satu jawaban.

Panjang busur juring bukanlah latihan kelas yang abstrak. Di mana pun jarak lengkung pada lingkaran harus diukur, dipotong, dibangun, atau ditempuh, rumus yang sama berlaku.

Teknik mesin. Pembengkokan pipa dimulai dengan panjang busur: pipa yang dibengkokkan melewati 90° dengan jari-jari bengkok 8 satuan membutuhkan 12.5663706144 satuan pipa hanya untuk bengkokannya. Lembaran logam yang digulung menjadi panel lengkung, profil gigi roda gigi, dan bentuk cam semuanya membutuhkan panjang lengkung sebelum material dipotong. Kesalahan akan membuang material atau membuat bagian menjadi kurang panjang.

Arsitektur dan konstruksi. Pintu lengkung, jendela melingkar, kubah, dan tangga melengkung diukur berdasarkan busurnya. Lengkungan setengah lingkaran dengan jari-jari 10 satuan membutuhkan 31.4159265359 satuan lis di sepanjang lengkungannya. Kanopi berbentuk juring dengan jari-jari 6 satuan dan sudut 60° membutuhkan 6.2831853072 satuan tepi di sepanjang lengkungan dan 18.2831853072 satuan di sekeliling seluruh batasnya.

Jalan dan lintasan. Tikungan jalan melingkar, belokan lintasan lari, atau tikungan rel kereta api dibuat berdasarkan jari-jari dan sudut pusat. Panjang tikungan menentukan jumlah aspal, panjang rel, dan jarak yang ditempuh kendaraan melewati tikungan. Tikungan 120° dengan jari-jari 7 satuan panjangnya 14.6607657168 satuan.

Pizza dan pembagian makanan. Sepotong pizza adalah sebuah juring. Jika pizza memiliki jari-jari 6 satuan, satu potongan yang dipotong pada 60° memiliki panjang kerak 6.2831853072 satuan dan luas 18.8495559215 satuan persegi. Enam potongan seperti itu membentuk seluruh pizza, dan kerak-keraknya berjumlah 37.6991118431 satuan, keliling penuhnya. Memotong potongan yang sama besar adalah soal pembagian juring: sudut yang sama menghasilkan busur yang sama dan luas yang sama.

Jam, roda, dan robotika. Jarum jam menyapu busur seiring waktu berlalu. Roda yang menggelinding di tanah menempuh jarak yang sama dengan busur yang dilaluinya. Lengan robot yang berputar pada sendi menggerakkan pencengkeramnya di sepanjang busur lingkaran, dan jarak yang ditempuhnya adalah rθ, itulah sebabnya radian adalah satuan yang alami dalam robotika.

Grafik komputer dan CAD. Lengkungan dalam model CAD, font, dan animasi dibangun dari busur lingkaran. Panjang busur menentukan bagaimana jalur alat dibagi, bagaimana lengkungan dirender, dan seberapa jauh objek bergerak di sepanjang jalur melingkar dalam animasi. Bagian berbentuk juring dalam CAD didefinisikan tepat oleh jari-jari dan sudut yang digunakan kalkulator ini.

Catatan tentang bentuk nyata. Tidak setiap struktur lengkung adalah lingkaran sempurna. Lengkungan nyata bisa berbentuk elips atau parabola, dan jalan nyata menggunakan transisi klotoid. Rumus juring pada halaman ini berlaku tepat ketika lengkungannya adalah busur lingkaran sejati, dan hanya merupakan pendekatan yang baik ketika lengkungannya mendekati lingkaran. Selalu pastikan bentuknya sebelum menerapkan rumus.

Sebagian besar jawaban salah dalam panjang busur juring berasal dari daftar kecil kesalahan. Memeriksa masing-masing hanya membutuhkan beberapa detik dan menyelamatkan dari sebagian besar kesalahan.

1. Menggunakan derajat langsung dalam rumus radian. L = rθ membutuhkan radian. Memasukkan 60° langsung menghasilkan 6 × 60 = 360 alih-alih 6.2831853072. Ubah terlebih dahulu, atau gunakan L = πrθ / 180.
2. Tertukar antara jari-jari dan diameter. Rumus membutuhkan r, bukan d. Menggunakan d = 14 sebagai jari-jari menggandakan jawaban: 29.3215314336 alih-alih 14.6607657168 untuk juring 120°. Bagilah dua diameternya terlebih dahulu.
3. Tertukar antara luas juring dan panjang busur. Luas juring adalah daerah dua dimensi dalam satuan persegi. Panjang busur adalah jarak satu dimensi dalam satuan biasa. Untuk r = 6 dan 60°, luas juring adalah 18.8495559215 satuan persegi dan busurnya adalah 6.2831853072 satuan. Besaran yang berbeda, satuan yang berbeda.
4. Tertukar antara keliling juring dan panjang busur. Keliling menambahkan dua sisi jari-jari: P = L + 2r. Untuk r = 6 dan 60°, busurnya adalah 6.2831853072 satuan tetapi kelilingnya adalah 18.2831853072 satuan. Menggunakan keliling ketika soal meminta busur akan melebih-lebihkan jawaban sebesar 12 satuan.
5. Menggunakan sudut pusat yang salah. Soal juring mungkin memberikan sudut antara tali busur dan garis singgung, atau sudut keliling, alih-alih sudut pusat. Sudut keliling adalah setengah sudut pusat untuk busur yang sama. Jika soal memberikan sudut keliling φ, sudut pusatnya adalah θ = 2φ, dan busurnya adalah L = r × 2φ. Menggunakan φ secara langsung akan membagi dua jawaban.
6. Tertukar antara juring minor dan mayor. Sudut 270° menghasilkan busur juring mayor 23.5619449019 satuan untuk r = 5. Menggunakan sudut yang lebih kecil, 90°, malah menghasilkan 7.8539816340 satuan, busur minor. Periksa juring mana yang diminta soal.
7. Menggunakan rumus tali busur yang salah. Tali busurnya adalah c = 2r sin(θ / 2), dengan setengah sudut di dalam sinus. Menggunakan sin(θ) malah menghasilkan nilai yang salah: untuk r = 6 dan 60°, tali busur yang benar adalah 6 satuan, sedangkan 2 × 6 × sin(60°) = 10.3923048454 satuan.
8. Mencampur satuan linear dan satuan kuadrat. Jari-jari dalam cm dan sudut dalam derajat tidak masalah, tetapi jawabannya keluar dalam cm. Luas juring dalam cm² harus diubah dengan faktor kuadrat: 1 m² adalah 10,000 cm², bukan 100 cm². Mencampur cm dan inci dalam satu perhitungan, atau lupa mengubah satuan output, menghasilkan angka dengan ukuran yang salah. Ubah dulu, hitung kemudian.
9. Membulatkan π terlalu awal. Mengganti π dengan 3.14 sebelum mengalikan menimbulkan galat yang membesar seiring jari-jari. Pertahankan π presisi penuh selama perhitungan dan bulatkan hanya hasil akhir yang ditampilkan.
10. Lupa mengubah sudut menjadi radian. Setiap rumus juring yang menggunakan θ tanpa angka 180 di dalamnya, termasuk luas juring A = ½r²θ, tali busur c = 2r sin(θ / 2), dan luas tembereng A = ½r²(θ - sin θ), membutuhkan θ dalam radian. Derajat hanya berlaku dalam bentuk derajat dari rumus-rumus tersebut.

Pemeriksaan akhir yang menangkap sebagian besar kesalahan ini. Periksa hasilnya terhadap keliling. Busur harus berada antara 0 dan 2πr, harus lebih panjang daripada tali busur, luas juring harus berada antara 0 dan πr², dan busur minor ditambah busur mayor harus berjumlah tepat 2πr. Jika salah satu pemeriksaan ini gagal, salah satu dari sepuluh kesalahan di atas adalah penyebabnya.

Keenam contoh ini mencakup metode input utama kalkulator dan jenis-jenis juring. Setiap contoh dihitung oleh mesin yang sama yang menggerakkan alat ini, dan setiap hasil telah diverifikasi secara independen.

Contoh 1: Juring 60 derajat dengan jari-jari 6. Diketahui r = 6 satuan, θ = 60° = π / 3 radian. Panjang busur L = 6 × π / 3 = 6.2831853072 satuan. Diameter d = 12 satuan. Tali busur c = 2 × 6 × sin(30°) = 6 satuan. Luas juring A = ½ × 36 × π / 3 = 18.8495559215 satuan persegi. Keliling juring P = 6.2831853072 + 12 = 18.2831853072 satuan. Luas tembereng adalah 3.2610986534 satuan persegi. Keliling penuh C = 37.6991118431 satuan.

Contoh 2: Juring seperempat lingkaran dengan jari-jari 8 dan 90°. Diketahui r = 8 satuan, θ = 90° = π / 2 radian. Panjang busur L = 8 × π / 2 = 12.5663706144 satuan. Tali busur c = 2 × 8 × sin(45°) = 11.3137084990 satuan. Luas juring A = ½ × 64 × π / 2 = 50.2654824574 satuan persegi. Keliling juring P = 12.5663706144 + 16 = 28.5663706144 satuan. Luas tembereng adalah 18.2654824574 satuan persegi. Busur ini tepat seperempat dari keliling 50.2654824574 satuan.

Contoh 3: Juring mayor dengan jari-jari 5 dan 270°. Diketahui r = 5 satuan, θ = 270° = 3π / 2 radian. Panjang busur L = 5 × 3π / 2 = 23.5619449019 satuan. Tali busur c = 2 × 5 × sin(135°) = 7.0710678119 satuan. Luas juring A = ½ × 25 × 3π / 2 = 58.9048622548 satuan persegi. Keliling juring P = 23.5619449019 + 10 = 33.5619449019 satuan. Busur minor pelengkap, menggunakan 90°, adalah 7.8539816340 satuan, dan luas juring pelengkapnya adalah 19.6349540849 satuan persegi. Kedua busur berjumlah 31.4159265359 satuan, keliling penuh.

Contoh 4: Juring dari diameter 14 dan 120°. Diketahui d = 14 satuan, θ = 120° = 2π / 3 radian. Jari-jari r = 14 / 2 = 7 satuan. Panjang busur L = 7 × 2π / 3 = 14.6607657168 satuan. Tali busur c = 2 × 7 × sin(60°) = 12.1243556530 satuan. Luas juring A = ½ × 49 × 2π / 3 = 51.3126800086 satuan persegi. Keliling juring P = 14.6607657168 + 14 = 28.6607657168 satuan. Luas tembereng adalah 30.0950576159 satuan persegi.

Contoh 5: Juring dari luas 50 dan jari-jari 10. Diketahui luas juring A = 50 satuan persegi, jari-jari r = 10 satuan. Sudut pusat θ = 2 × 50 / 100 = 1 radian = 57.2957795131°. Panjang busur L = 10 × 1 = 10.0000000000 satuan. Tali busur c = 2 × 10 × sin(0.5) = 9.5885107721 satuan. Keliling juring P = 10.0000000000 + 20 = 30.0000000000 satuan. Luas tembereng adalah 7.9264507596 satuan persegi. Busur pelengkap adalah 52.8318530718 satuan.

Contoh 6: Juring dari jari-jari 4 dan panjang busur yang diketahui 6. Diketahui r = 4 satuan, L = 6 satuan. Sudut pusat θ = 6 / 4 = 1.5 radian = 85.9436692696°. Luas juring A = ½ × 16 × 1.5 = 12.0000000000 satuan persegi. Tali busur c = 2 × 4 × sin(0.75) = 5.4531100802 satuan. Keliling juring P = 6 + 8 = 14.0000000000 satuan. Luas tembereng adalah 4.0200401072 satuan persegi. Busur pelengkap adalah 19.1327412287 satuan, dan luas juring pelengkapnya adalah 38.2654824574 satuan persegi.

Klik tombol preset mana pun di kalkulator untuk memuat salah satu contoh ini dan melihat solusi langkah demi langkah lengkap, diagram langsung, dan semua hasil sekunder untuk input tersebut.