Kalkulator Aturan Trapesium

Kalkulator Aturan Trapesium memperkirakan panjang busur secara numerik. Kalkulator ini menerapkan aturan trapesium komposit pada integral panjang busur dari fungsi yang Anda masukkan. Ikuti langkah-langkah ini untuk mendapatkan perkiraan pertama dalam waktu kurang dari satu menit.

1. Masukkan fungsi. Ketik f(x) pada kolom fungsi, misalnya x^2, sin(x), atau ln(x+1). Gunakan ^ untuk pangkat dan nama fungsi standar seperti sin, cos, exp, dan ln.
2. Masukkan nilai awal. Atur a, batas bawah integrasi. Untuk segmen kurva dari x = 0 hingga x = 1, masukkan 0.
3. Masukkan nilai akhir. Atur b, batas atas integrasi. Kalkulator mensyaratkan b > a.
4. Pilih subdivisi. Masukkan n, jumlah subinterval yang sama besar. Percobaan pertama dengan n = 10 biasanya bagus untuk kurva mulus.
5. Pilih metode trapesium. Pada antarmuka integrasi numerik, pilih aturan trapesium agar rumus panel di bawah ini yang diterapkan.
6. Klik Hitung. Alat ini mengevaluasi integran panjang busur pada n + 1 titik sampel, menerapkan bobot titik ujung, lalu menampilkan aproksimasi.
7. Tafsirkan hasil. Angka yang ditampilkan adalah perkiraan panjang kurva antara x = a dan x = b, dalam satuan panjang yang sama dengan nilai x Anda.
8. Tingkatkan akurasi. Gandakan n lalu hitung ulang. Ketika dua perkiraan berturut-turut hampir tidak berubah, hasilnya telah konvergen untuk keperluan praktis.

Berikut penjelasan setiap masukan:

Memasukkan f(x) = x², a = 0, b = 1, dan n = 10 menghasilkan perkiraan panjang busur sekitar 1.479, yang dekat dengan nilai eksak 1.478943. Bagian panduan selanjutnya menjelaskan persis apa yang dihitung kalkulator dan cara menilai kualitas jawabannya.

Aturan trapesium adalah metode integrasi numerik. Metode ini memperkirakan integral tentu dengan mengganti luas di bawah kurva dengan luas trapesium yang digambar di bawah integran. Setiap trapesium dibangun dari dua titik sampel yang berdekatan, dan jumlah semua luas trapesium memperkirakan integralnya.

Namanya berasal dari geometri. Di antara dua titik sampel x_i dan x_i+1, integran g(x) diganti dengan sebuah garis lurus. Daerah di bawah garis lurus itu berbentuk trapesium: dua sisi vertikal sejajar dengan tinggi g(x_i) dan g(x_i+1), serta lebar horizontal h = x_i+1 - x_i.

Satu trapesium memiliki luas h/2 · [g(x_i) + g(x_i+1)]. Menjumlahkan luas semua n trapesium menghasilkan aproksimasi trapesium komposit dari integral. Kata "komposit" berarti interval dibagi menjadi beberapa panel, bukan satu.

Aturan ini termasuk keluarga metode kuadratur numerik. Ia dihargai karena transparan: setiap langkah memiliki makna geometris yang jelas, dan satu-satunya parameter adalah jumlah subdivisi n. Gagasan utamanya mudah dinyatakan: panel yang lebih sempit dan lebih lurus mengikuti integran lebih dekat, sehingga perkiraan membaik seiring bertambahnya n.

Untuk panjang busur, integrannya bukan fungsi asal f(x). Integrannya adalah integran panjang busur g(x) = √(1 + (f'(x))²), yang mengukur seberapa cepat panjang terakumulasi sepanjang kurva. Menjaga perbedaan ini tetap jelas mencegah kesalahpahaman paling umum tentang metode ini.

Rumus aturan trapesium memiliki dua bentuk: versi satu panel dan versi komposit yang digunakan dalam praktik. Keduanya berasal dari geometri trapesium yang sama.

Rumus satu panel. Dengan satu trapesium yang menutupi seluruh interval:

Lebar (b - a) dikalikan dengan rata-rata dua tinggi titik ujung. Ini tepat merupakan luas satu trapesium.

Rumus komposit. Bagi [a, b] menjadi n subinterval yang sama besar dengan lebar h = (b - a)/n, dengan titik sampel x₀ = a, x₁ = a + h, ..., x_n = b:

Setiap simbol memiliki arti tetap:

• T_n adalah aproksimasi numerik dengan n panel.
• h adalah lebar subinterval, (b - a)/n.
• a dan b adalah batas bawah dan batas atas integrasi.
• n adalah jumlah subinterval, bilangan bulat positif.
• x_i adalah titik-titik sampel, berjarak h satu sama lain.
• g(x_i) adalah nilai integran pada titik-titik tersebut.

Titik-titik ujung mendapat bobot setengah karena setiap titik sampel interior dipakai bersama oleh dua trapesium tetangga, sedangkan setiap titik ujung hanya milik satu trapesium. Secara aljabar, suku-suku h/2 · [g(x_i) + g(x_i+1)] yang berdekatan bergabung sehingga nilai-nilai interior dihitung penuh dan dua nilai terluar dihitung setengah.

Perhitungan singkat yang dikerjakan. Perkirakan ∫₀¹ x² dx dengan n = 2. Maka h = 0.5, x₀ = 0, x₁ = 0.5, x₂ = 1, dan T₂ = 0.5 · [0/2 + 0.25 + 1/2] = 0.5 · 0.75 = 0.375. Integral eksaknya adalah 1/3 ≈ 0.333, sehingga perkiraan kasar dua panel sudah berada di kisaran yang benar, dengan ruang untuk penyempurnaan.

Panjang busur adalah sebuah integral, sehingga aturan trapesium berlaku langsung padanya. Kurva y = f(x) memiliki panjang busur dari x = a hingga x = b yang diberikan oleh:

Kalkulator membentuk integran panjang busur g(x) = √(1 + (f'(x))²) dan memasukkannya ke rumus trapesium komposit. Prosedur lengkapnya adalah:

1. Mulai dengan y = f(x). Pastikan fungsi terdiferensiasi pada [a, b].
2. Cari turunan f'(x). Alat ini mendiferensiasi ekspresi yang dimasukkan secara internal.
3. Kuadratkan turunan. Bentuk (f'(x))². Mengkuadratkan menghilangkan informasi tanda karena panjang terakumulasi apa pun arah kemiringannya.
4. Tambahkan 1. Integrannya adalah 1 + (f'(x))², yang tidak pernah lebih kecil dari 1.
5. Ambil akar kuadrat. Ini menghasilkan g(x), laju lokal akumulasi panjang per satuan x.
6. Bagi interval. Pilih n dan hitung h = (b - a)/n.
7. Evaluasi integran. Hitung g(x₀), ..., g(x_n) pada titik-titik sampel.
8. Terapkan aturan komposit. Gabungkan nilai-nilai dengan bobot setengah pada titik ujung.
9. Tafsirkan hasil. Jumlah tersebut adalah perkiraan panjang segmen kurva.

Turunan dikuadratkan lalu ditempatkan di bawah akar kuadrat karena alasan geometris: sebuah segmen kurva mungil selebar dx dan setinggi dy memiliki panjang √(dx² + dy²) = √(1 + (dy/dx)²) dx menurut teorema Pythagoras. Mengintegralkan panjang lokal itu pada [a, b] menghasilkan panjang total, dan aturan trapesium memperkirakan integralnya.

Integran selalu nonnegatif karena 1 + (f'(x))² bernilai minimal 1. Nilai minimumnya adalah 1, tercapai di mana pun kurva datar. Kemiringan yang lebih curam membuat g(x) lebih besar, yang tepat menjadi alasan kurva curam lebih panjang daripada kurva landai pada interval x yang sama.

Contoh yang dikerjakan penuh ini menunjukkan setiap angka yang dihasilkan aturan trapesium. Gunakan f(x) = x² pada [0, 1] dengan n = 4.

1. Turunan. f'(x) = 2x.

2. Integran. g(x) = √(1 + (2x)²) = √(1 + 4x²).

3. Ukuran langkah. h = (1 - 0)/4 = 0.25.

4. Titik sampel. 0, 0.25, 0.5, 0.75, 1.

5. Nilai integran dan bobot.

6. Jumlah berbobot. 1.000000/2 + 1.118034 + 1.414214 + 1.802776 + 2.236068/2 = 5.953057.

7. Kalikan dengan h.

8. Bandingkan dengan nilai eksak. Panjang busur eksak adalah L = √5/2 + asinh(2)/4 ≈ 1.478943. Perkiraan n = 4 sebesar 1.488264 melebihinya sebesar 0.009321, galat sekitar 0.63%. Mengulangi dengan n = 8 menghasilkan 1.481272, sudah dalam 0.002330 dari nilai eksak.

Perhatikan perkiraannya lebih besar daripada nilai eksak. Untuk integran cembung ini, tali busur garis lurus berada di atas kurva, sehingga aturan trapesium melebih-lebihkan. Perilaku sistematis ini normal, dan kelebihan tersebut menyusut seiring bertambahnya n.

Jumlah subdivisi n dan ukuran langkah h terhubung oleh h = (b - a)/n. Bersama-sama keduanya mengendalikan seberapa halus integran dicuplik dan seberapa akurat perkiraannya.

Arti n. Ini adalah jumlah panel trapesium, bilangan bulat positif. Jumlah titik sampel selalu n + 1 karena panel yang berurutan berbagi titik-titik batasnya.

Mengapa n = 1 adalah aturan satu panel. Dengan n = 1, h = b - a dan T₁ = h/2 · [g(a) + g(b)]. Ini adalah bentuk paling kasar dari metode ini dan jarang cukup akurat.

Lebar panel pada [0, 1]. Tabel di bawah menunjukkan bagaimana h menyusut seiring bertambahnya n:

Panel yang lebih kecil mengikuti integran lebih dekat, sehingga aproksimasi garis lurus di dalam setiap panel menyimpang lebih sedikit dari kurva sejati. Itulah alasan menambah n biasanya meningkatkan akurasi. Imbalannya bersifat komputasional: setiap panel baru membutuhkan satu evaluasi fungsi tambahan.

Subdivisi yang lebih banyak tidak menjamin hasil yang selalu lebih baik untuk setiap integran. Integran yang tidak mulus atau berosilasi dapat menunjukkan perilaku galat yang tidak teratur, dan pembulatan floating-point pada akhirnya membatasi peningkatan pada n yang sangat besar. Namun untuk kurva mulus seperti dalam panduan ini, peningkatannya stabil dan dapat diprediksi.

Strategi praktis: mulai dengan n = 10 atau n = 20, lalu gandakan n hingga perkiraan berhenti berubah pada presisi yang Anda butuhkan. Pemeriksaan konvergensi ini lebih andal daripada mempercayai satu nilai n saja.

Enam contoh mencakup rentang dari kasus eksak hingga fungsi yang panjang busurnya tidak memiliki bentuk tertutup elementer. Setiap contoh menunjukkan turunan, integran, substitusi, dan hasil numerik.

Contoh 1: Garis lurus, f(x) = 2x pada [0, 3]. Turunannya adalah f'(x) = 2, sebuah konstanta, sehingga integrannya adalah g(x) = √(1 + 4) = √5, juga konstan. Satu panel eksak karena integran tidak pernah melengkung: T₁ = 3 · √5 ≈ 6.708204. Panjang eksak 3√5 cocok. Ini mengonfirmasi aturan: aturan trapesium eksak setiap kali integrannya linear atau konstan.

Contoh 2: Kuadratik, f(x) = x² pada [0, 1], n = 4. Dengan f'(x) = 2x dan g(x) = √(1 + 4x²), perhitungan penuh di bagian sebelumnya menghasilkan L ≈ 1.488264, dibandingkan dengan nilai eksak 1.478943. Selisih kecil ini berasal dari integran yang cembung; tali busur yang digambar di atas kurva menambah luas ekstra.

Contoh 3: Kuadratik lebih panjang, f(x) = x² pada [0, 2], n = 8. Di sini h = 0.25 lagi, tetapi intervalnya dua kali lebih panjang dan integrannya lebih curam. Perkiraannya adalah T₈ = 4.656890. Perhitungan beresolusi tinggi menghasilkan 4.646784, sehingga galatnya sekitar 0.010106. Memperpanjang interval tidak sekadar menskalakan jawaban: integran tumbuh seiring x, sehingga panjang busur tumbuh lebih cepat daripada panjang interval.

Contoh 4: Kurva sinus, f(x) = sin x pada [0, π]. Turunannya adalah f'(x) = cos x, menghasilkan g(x) = √(1 + cos²x). Dengan n = 8, perkiraannya adalah 3.820198; dengan n = 16, nilainya 3.820198, tidak berubah hingga enam desimal. Integran simetris ini konvergen cepat karena kelengkungannya lembut dan tersebar merata. (Masukkan sudut dalam radian; derajat akan menghasilkan kurva yang berbeda.)

Contoh 5: Logaritma, f(x) = ln(x + 1) pada [0, 2], n = 10. Turunannya adalah f'(x) = 1/(x + 1), sehingga g(x) = √(1 + 1/(x + 1)²). Domain mensyaratkan x > -1, yang dipenuhi interval ini. Perkiraannya adalah T₁₀ = 2.304215, sedangkan perhitungan yang disempurnakan menghasilkan 2.301988, galat sekitar 0.002227. Di dekat x = 0 kemiringannya paling curam, sehingga sebagian besar panjang terakumulasi di awal interval.

Contoh 6: Kubik, f(x) = x³ pada [0, 1], n = 10. Di sini f'(x) = 3x² dan g(x) = √(1 + 9x⁴). Panjang busur ini tidak memiliki antiturunan elementer, yang tepat merupakan saat integrasi numerik membuktikan kegunaannya. Perkiraannya adalah T₁₀ = 1.552609 terhadap nilai yang disempurnakan 1.547866, galat sekitar 0.004743. Tanpa metode numerik, panjang ini akan sangat sulit diperoleh.

Setiap hasil di atas dihitung langsung dari rumus komposit, dibulatkan hingga enam desimal. Mengulanginya di kalkulator dengan n yang sama menghasilkan angka yang sama.

Konvergensi berarti aproksimasi mendekati nilai sejati seiring bertambahnya n. Tabel di bawah melacak f(x) = x² pada [0, 1], yang panjang eksaknya adalah 1.478943:

Setiap kali n digandakan, galat turun kira-kira empat kali lipat: 0.037181 menjadi 0.009321 menjadi 0.002330 menjadi 0.000582 menjadi 0.000146 menjadi 0.000036. Ini adalah konvergensi orde kedua, ciri khas aturan trapesium komposit pada integran mulus. Membagi dua h memangkas suku galat terdepan menjadi sekitar seperempat.

Kolom "perubahan dari sebelumnya" adalah pemeriksaan konvergensi praktis yang dianjurkan alur kerja kalkulator. Ketika menggandakan n mengubah jawaban kurang dari presisi yang Anda butuhkan, perkiraan sudah stabil. Untuk kurva ini, n = 16 sudah menetapkan panjang dalam 0.000582 dari nilai sejati.

Galat aturan trapesium komposit memiliki bentuk matematis yang presisi. Untuk integran g yang cukup mulus pada [a, b]:

untuk suatu ξ di [a, b]. Tandanya penting: ketika g'' positif (integran cembung), galatnya negatif, artinya T_n melebih-lebihkan integral. Ini sesuai dengan contoh x², di mana setiap perkiraan melebihi nilai eksak 1.478943.

Batas yang dijamin diperoleh dengan mengganti g''(ξ) dengan magnitudo maksimumnya M = max|g''(x)| pada [a, b]:

Istilah kunci. Galat absolut adalah |I - T_n|, jarak antara nilai sejati dan perkiraan. Galat relatif membaginya dengan |I|. Galat pemotongan adalah galat dari memperkirakan integral dengan jumlah berhingga, berbeda dengan galat pembulatan dari aritmetika presisi berhingga. Turunan kedua g'' mengukur kelengkungan integran, yang gagal ditangkap panel-panel garis lurus.

Batas konkret untuk contoh x². Pada [0, 1], g''(x) = 4/(1 + 4x²)^3/2, terbesar pada x = 0 dengan M = 4. Batasnya menghasilkan |I - T₄| ≤ 4/(12 · 16) = 0.020833. Galat sebenarnya 0.009321 berada nyaman di dalamnya. Batas bersifat konservatif menurut rancangannya; batas menjanjikan langit-langit, bukan galat eksak.

Dua peringatan. Pertama, g adalah integran panjang busur, bukan f asal. Mendiferensiasi dua kali menembus akar kuadrat itulah yang digambarkan M. Kedua, batas galat bisa menyakitkan untuk dihitung pada fungsi rumit karena M sendiri mungkin perlu dimaksimumkan. Dalam praktik, pemeriksaan konvergensi dengan menggandakan n adalah alat yang lebih berguna, dan kalkulator tidak menampilkan batas galat otomatis.

Aturan Simpson adalah kerabat terdekat aturan trapesium. Keduanya membagi [a, b] menjadi subinterval yang sama besar, tetapi Simpson memasang parabola melalui tiga titik berurutan sedangkan aturan trapesium menggambar satu tali busur lurus melalui dua titik.

Pada integran mulus, konvergensi orde keempat Simpson biasanya menang: menggandakan n memangkas galatnya kira-kira enam belas kali lipat, dibandingkan empat kali lipat untuk aturan trapesium. Namun Simpson tidak selalu lebih baik. Untuk integran kasar atau diskontinu, kedua metode menurun, dan orde akurasi ekstra mungkin tidak terwujud. Aturan trapesium juga menerima n ganjil, yang praktis untuk pemeriksaan cepat.

Alur kerja yang baik menggunakan keduanya: perkiraan trapesium sebagai garis dasar yang transparan, dan Aturan Simpson untuk presisi lebih tinggi. Ketika keduanya cocok hingga digit yang Anda butuhkan, keyakinannya tinggi. Ketika keduanya tidak cocok, naikkan n sebelum mempercayai salah satunya.

Dua gagasan berbeda yang "menyerupai trapesium" mudah tertukar. Keduanya menghasilkan angka berbeda untuk kurva yang sama, sehingga perbedaannya penting.

Metode 1: Integrasi trapesium dari integran panjang busur. Inilah yang dilakukan kalkulator. Metode ini mengintegralkan g(x) = √(1 + (f'(x))²) dengan panel trapesium yang digambar di bawah kurva integran:

Metode 2: Aproksimasi poligonal (jumlah tali busur) dari kurva asal. Metode ini menghubungkan titik-titik berdekatan pada kurva itu sendiri dengan segmen lurus dan menjumlahkan panjangnya:

Jumlah tali busur menghubungkan titik-titik (x_i, f(x_i)) pada kurva asal. Panel trapesium justru memperkirakan luas di bawah integran g(x). Panel-panel itu tidak mewakili segmen lurus kurva asal, meskipun kedua gambar melibatkan garis lurus.

Kedua metode konvergen ke panjang sejati seiring bertambahnya n, dan keduanya adalah alat numerik yang sah. Kalkulator di halaman ini menerapkan Metode 1. Jika Anda membutuhkan jumlah tali busur dari data koordinat, alat panjang busur dari titik-titik mengikuti Metode 2.

Aturan trapesium adalah pilihan tepat ketika kesederhanaan dan transparansi lebih penting daripada memeras digit-digit akurasi terakhir.

• Mempelajari integrasi numerik. Setiap langkah memiliki makna geometris yang terlihat, menjadikannya metode pertama standar dalam kursus kalkulus.
• Memperkirakan panjang kurva dengan cepat. Segenggam panel sering memberi dua atau tiga digit benar untuk kurva mulus.
• Memeriksa solusi analitis. Bandingkan panjang busur hasil turunan manual dengan perkiraan numerik yang independen.
• Model teknik dan fisika. Perkiraan panjang untuk kabel, lengkung, dan lintasan, di mana nilai perkiraan menjadi masukan perhitungan yang lebih besar.
• Membandingkan metode numerik. Ia adalah garis dasar yang menjadi acuan penilaian Aturan Simpson dan metode orde lebih tinggi.
• Fungsi mulus yang dicuplik. Ketika f mulus dan n bisa sedang, metode ini dapat diandalkan.
• Verifikasi edukatif. Perilaku O(h²)-nya yang dapat diprediksi membuat pemeriksaan konvergensi mudah ditafsirkan.

Gunakan metode lain ketika integran berubah cepat, memiliki tekukan atau diskontinuitas, atau ketika presisi tinggi dibutuhkan dengan biaya rendah. Untuk kurva mulus, Aturan Simpson biasanya memberikan lebih banyak digit per panel. Untuk kurva parametrik, kutub, atau ruang, gunakan kalkulator parametrik, kutub, atau panjang busur 3D khusus, yang menerapkan gagasan numerik yang sama dalam sistem koordinat yang tepat.

Ini adalah kesalahan yang paling sering muncul dalam pekerjaan siswa dan pertanyaan dukungan. Setiap kesalahan mudah dihindari setelah Anda tahu keberadaannya.

1. Memasukkan batas integrasi yang salah. Segmen [0, 2] bukan bagian kurva yang sama dengan [2, 0]. Selalu pastikan a < b dan batasnya sesuai dengan soal.
2. Menggunakan fungsi yang salah. Salah ketik seperti x^3 alih-alih x^2 mengubah turunan dan setiap nilai turunannya.
3. Melupakan turunan dalam rumus panjang busur. Panjang busur mengintegralkan √(1 + (f')²), bukan f itu sendiri.
4. Menerapkan aturan langsung pada f(x) untuk panjang busur. Panel-panel harus berada di bawah g(x). Mengintegralkan f(x) menghitung luas bertanda, bukan panjang.
5. Memilih subdivisi terlalu sedikit. n = 2 pada integran melengkung bisa meleset beberapa persen; contoh x² memiliki galat 2.5% pada n = 2.
6. Menggunakan nol subdivisi. n = 0 berarti h = (b - a)/0, yang tak terdefinisi. n harus bilangan bulat positif.
7. Memasukkan jumlah subdivisi bukan bilangan bulat. n = 2.5 tidak bermakna untuk menghitung panel; bulatkan ke bilangan bulat.
8. Mengacaukan n dengan jumlah titik sampel. n panel membutuhkan n + 1 titik sampel. Dengan n = 4 ada 5 titik, bukan 4.
9. Melupakan bobot setengah titik ujung. Memberi g(x₀) dan g(x_n) bobot penuh menggembungkan perkiraan sebesar h/2 · (g(x₀) + g(x_n)).
10. Menggunakan ukuran langkah yang salah. h = (b - a)/n, bukan b - a dan bukan 1/n. Pada [0, 2] dengan n = 8, h = 0.25.
11. Mencampur derajat dan radian. sin(x) dengan x dalam derajat adalah kurva yang berbeda dari sin(x) dalam radian; panjang busurnya berbeda pula.
12. Mengabaikan batasan domain fungsi. ln(x + 1) mensyaratkan x > -1. Mengevaluasi di luar domain menghasilkan nilai tak bermakna.
13. Mengacaukan aproksimasi dengan integrasi eksak. T_n mendekati L; ia sama dengan L hanya untuk integran khusus seperti konstanta.
14. Menganggap panel lebih banyak selalu menjamin akurasi lebih baik. Benar dalam rezim asimtotik untuk integran mulus, tetapi galat pembulatan dan ketidakmulusan dapat mematahkan pola pada ekstrem.
15. Mengabaikan pemeriksaan konvergensi. Satu perkiraan adalah tebakan; dua perkiraan pada n dan 2n yang cocok adalah bukti.
16. Mengacaukan Aturan Simpson dengan aturan trapesium. Simpson menggunakan bobot 1-4-2-4-...-1 dan membutuhkan n genap; aturan trapesium menggunakan 1/2-1-...-1-1/2 dan n positif apa pun.
17. Mengacaukan integrasi trapesium dengan penjumlahan tali busur. Panel di bawah integran bukan tali busur pada kurva; kedua metode menghasilkan angka berbeda.
18. Melaporkan presisi desimal berlebihan. Jika galatnya sekitar 0.002, menulis enam desimal melebih-lebihkan apa yang diketahui. Bulatkan sesuai akurasi yang terverifikasi.

Aritmetika panel yang sama di balik panjang busur muncul di mana pun kuantitas mulus harus diakumulasi secara numerik.

• Estimasi panjang kurva teknik. Panjang kabel, kurva gantung, dan belokan pipa dihitung dari fungsi desain sebelum fabrikasi.
• Desain mekanik. Profil cam dan kurva gigi roda gigi membutuhkan perkiraan keliling yang akurat untuk perencanaan material.
• Geometri jalan dan jalur. Kurva alinyemen jalan dan rel kereta diukur sepanjang garis tengahnya, yang jarang merupakan fungsi elementer.
• Desain berbantuan komputer. Kernel CAD memperkirakan panjang kurva untuk rendering, pembuatan jalur alat, dan pendimensian.
• Simulasi fisika. Lintasan partikel dan panjang garis medan diakumulasi dari model numerik.
• Pemodelan numerik. Integral apa pun tanpa bentuk tertutup, dari densitas probabilitas hingga energi sinyal, dapat dimulai dengan panel trapesium.
• Pendidikan matematika. Aturan ini adalah pintu gerbang standar menuju analisis numerik karena perilaku galatnya mudah didemonstrasikan.
• Pengukuran dan verifikasi kurva. Pengukuran fisik kurva tak beraturan diperiksa silang dengan prediksi numerik.

Untuk geometri khusus, metode ini beradaptasi: aturan komposit yang sama mengintegralkan kecepatan parametrik √((x')² + (y')²) dan integran kutub. Kalkulator di sini menangani kasus Kartesius; alat terkait mencakup sistem koordinat lainnya. Alat ini tidak memproses berkas CAD atau dataset survei secara langsung; semuanya harus direduksi menjadi fungsi dan batas terlebih dahulu.

Kerjakan ini dengan tangan, lalu periksa dengan kalkulator. Setiap solusi menunjukkan substitusi agar Anda dapat menemukan kesalahan hitung sendiri.

Soal 1. Gunakan aturan trapesium dengan n = 1 untuk memperkirakan ∫₀² 3 dx, dan nyatakan apakah hasilnya eksak.
Solusi. h = 2, T₁ = 2/2 · [3 + 3] = 6. Integrannya konstan, sehingga satu trapesium cocok persis dengan persegi panjang. Integral eksak juga 6, jadi hasilnya eksak.

Soal 2. Cari panjang busur f(x) = x pada [0, 1] menggunakan aturan trapesium dengan n = 1.
Solusi. f'(x) = 1, sehingga g(x) = √2, sebuah konstanta. T₁ = 1 · √2 ≈ 1.414214, yang eksak karena integrannya konstan. Secara geometris ini adalah diagonal persegi satuan.

Soal 3. Perkirakan panjang busur f(x) = x² pada [0, 1] dengan n = 2.
Solusi. h = 0.5; g(0) = 1, g(0.5) = 1.414214, g(1) = 2.236068. T₂ = 0.5 · [1/2 + 1.414214 + 2.236068/2] = 0.5 · 3.032249 = 1.516124. Nilai eksaknya adalah 1.478943, sehingga galatnya 0.037181.

Soal 4. Perkirakan panjang busur f(x) = sin x pada [0, π] dengan n = 4.
Solusi. g(x) = √(1 + cos²x), h = π/4. Mengevaluasi pada 0, π/4, π/2, 3π/4, π dan menerapkan bobot menghasilkan T₄ ≈ 3.819944. Dengan n = 8 nilainya 3.820198, sehingga hasil n = 4 sudah berada dalam 0.000254 dari nilai yang konvergen.

Soal 5. Hitung ukuran langkah untuk a = 2, b = 5, n = 6.
Solusi. h = (5 - 2)/6 = 3/6 = 0.5. Titik-titik sampelnya adalah 2, 2.5, 3, 3.5, 4, 4.5, 5: tujuh titik untuk enam panel.

Soal 6. Untuk n = 10, berapa banyak titik sampelnya, dan berapa bobotnya?
Solusi. Ada n + 1 = 11 titik sampel. Titik ujung x₀ dan x₁₀ berbobot 1/2; sembilan titik interior x₁ hingga x₉ berbobot 1.

Soal 7. Untuk f(x) = x² pada [0, 1], bandingkan T₂ dan T₄ dan nyatakan perubahannya.
Solusi. T₂ = 1.516124 dan T₄ = 1.488264, perubahan sebesar 0.027860. Nilai eksaknya adalah 1.478943, sehingga menggandakan n memangkas galat dari 0.037181 menjadi 0.009321, faktor sekitar empat, seperti yang diprediksi konvergensi orde kedua.

Soal 8. T₈ = 1.481272 untuk f(x) = x² pada [0, 1]. Laporkan galat absolut dan relatif terhadap nilai eksak 1.478943.
Solusi. Galat absolut = |1.481272 - 1.478943| = 0.002330. Galat relatif = 0.002330 / 1.478943 ≈ 0.001576, sekitar 0.16%. Baik perkiraan maupun galat sebaiknya dikutip hingga tiga desimal di sini; digit ekstra pada 1.481272 belum dapat dipercaya.