Kalkulator Panjang Busur Elips

Kalkulator Panjang Busur Elips mengukur panjang busur pada elips dari dua sumbu semi dan dua sudutnya. Halaman ini terbuka dengan panel Ellipse Arc Length aktif, menampilkan rumus L = ∫_θ1^θ₂ √(a² sin²θ + b² cos²θ) dθ. Ikuti langkah-langkah berikut untuk mendapatkan jawaban yang benar dalam waktu kurang dari satu menit.

1. Pilih cara memasukkan sumbu. Gunakan panjang sumbu semi (a, b) secara default. Jika Anda justru mengukur sumbu penuh, beralihlah ke panjang sumbu penuh dan kalkulator akan membagi dua setiap nilai untuk Anda.
2. Masukkan sumbu semi-mayor (a). Ini adalah jari-jari terpanjang elips, diukur dari pusat ke titik terjauh pada batasnya.
3. Masukkan sumbu semi-minor (b). Ini adalah jari-jari terpendek, diukur dari pusat ke titik terdekat pada batasnya. Nilainya tidak boleh lebih besar dari a.
4. Masukkan sudut awal (θ₁) dan sudut akhir (θ₂). Gunakan tombol DEG dan RAD di bagian atas panel agar sesuai dengan angka Anda. Derajat adalah default.
5. Pilih arah busur. Berlawanan arah jarum jam mengikuti sudut yang naik dari θ₁ ke θ₂. Searah jarum jam menempuh arah sebaliknya. Terpendek dan terpanjang membandingkan kedua jalur fisik dan melaporkan yang lebih pendek atau yang lebih panjang.
6. Pilih satuan dan presisi. Satuan memberi label pada jawaban; presisi menentukan berapa tempat desimal yang ditampilkan hasil.
7. Klik Calculate Now. Kalkulator mengevaluasi integral panjang busur secara numerik dan menampilkan hasilnya, keliling penuh, busur komplementer, persentase keliling, dan koordinat kedua titik ujung.
8. Salin atau atur ulang. Gunakan Copy Result untuk menempatkan jawaban pada papan klip Anda, atau Reset untuk mengosongkan panel. Tautan Swap Start and End Angles menukar θ₁ dan θ₂ dalam satu klik.

Coba sebuah contoh. Tombol Quarter Ellipse, Half Ellipse, Quarter Circle, dan Complete Ellipse memuat nilai terverifikasi secara instan: a = 5, b = 3, dari 0° hingga 90° menghasilkan 6.3817497158 satuan, dan elips yang sama dari 0° hingga 360° menghasilkan keliling penuh, 25.5269988634 satuan.

Tips penting. Gunakan satuan yang sama untuk a dan b. Masukkan b tidak lebih besar dari a. Ingat bahwa sudut-sudut tersebut adalah sudut parametrik, diukur dari pusat, bukan sudut yang diukur sepanjang batas. Jika sudut awal dan sudut akhir sama, panjang busurnya nol; gunakan 0° hingga 360° untuk elips penuh.

Elips adalah kurva tertutup yang dibentuk oleh semua titik yang jaraknya ke dua titik tetap, yang disebut fokus, jika dijumlahkan selalu sama. Bentuknya seperti lingkaran yang diregangkan: ia memiliki arah panjang dan arah pendek, tetapi permukaannya mulus sempurna, tanpa sudut. Busur adalah sebagian dari kurva itu di antara dua titik padanya. Panjang busur adalah jarak yang Anda tempuh jika berjalan menyusuri kurva dari titik pertama ke titik kedua.

Setiap titik pada elips dapat digambarkan dengan satu sudut θ, yang disebut sudut parametrik:

Di sini a adalah sumbu semi-mayor dan b adalah sumbu semi-minor. Saat θ berjalan dari 0 hingga 2π radian, titik (x, y) menelusuri seluruh elips tepat satu kali, mulai dari (a, 0) dan kembali ke sana. Busur dari θ₁ hingga θ₂ adalah bagian dari jejak itu di antara kedua sudut.

Busur elips berbeda dari busur lingkaran dalam satu hal penting. Pada lingkaran, setiap titik berjarak sama r dari pusat, sehingga panjang busurnya sederhana saja L = rθ. Pada elips, jarak dari pusat berubah saat Anda bergerak menyusuri kurva, sehingga kecepatan penelusuran kurva pun berubah. Panjang busur karena itu bergantung pada bentuk elips, bukan hanya pada sudut yang disapu, dan harus dicari melalui integrasi, bukan satu perkalian.

Itulah sebabnya panjang busur elips adalah perhitungan yang sesungguhnya, bukan sekadar pencarian nilai. Kalkulator di halaman ini melakukan integrasi tersebut secara numerik, dengan presisi tinggi, untuk elips apa pun dan pasangan sudut apa pun.

Panjang busur elips antara sudut parametrik θ₁ dan θ₂ diberikan oleh integral tentu:

Setiap simbol dalam rumus memiliki arti yang tepat:

Integran √(a² sin²θ + b² cos²θ) adalah kecepatan titik (a cos θ, b sin θ) bergerak saat θ bertambah. Nilainya terkecil, sama dengan b, pada θ = 0°, tempat kurva melintasi sumbu mayor, dan terbesar, sama dengan a, pada θ = 90°, tempat kurva melintasi sumbu minor. Mengintegrasikan kecepatan itu sepanjang interval sudut menjumlahkan semua segmen kecil menjadi total panjang busur.

Ketika a = b, elips menjadi lingkaran berjari-jari r = a, integrannya menjadi konstanta r, dan rumusnya menyusut menjadi rumus yang dikenal L = rθ, dengan θ dalam radian. Kasus khusus itu adalah pemeriksaan yang berguna: kalkulator elips apa pun harus menghasilkan kembali hasil lingkaran ketika kedua sumbunya sama.

Menghitung panjang busur elips dengan tangan mengikuti delapan langkah. Contoh yang dikerjakan di bawah ini menggunakan a = 5, b = 3, dari 0° hingga 90°, seperempat elips.

1. Kenali sumbu semi-mayor. a = 5 satuan.
2. Kenali sumbu semi-minor. b = 3 satuan.
3. Tentukan sudut awal. θ₁ = 0°.
4. Tentukan sudut akhir. θ₂ = 90°.
5. Konversikan derajat ke radian bila perlu. 0° = 0 radian dan 90° = π/2 ≈ 1.5707963268 radian.
6. Terapkan integral panjang busur elips. L = ∫₀^π/2 √(25 sin²θ + 9 cos²θ) dθ.
7. Evaluasi integral secara numerik. Integran tidak memiliki antiturunan elementer, jadi gunakan metode numerik seperti aturan Simpson adaptif, yang menyempurnakan intervalnya hingga jawabannya stabil.
8. Tafsirkan jawaban akhirnya. L ≈ 6.3817497158 satuan. Kalkulator di halaman ini memberikan nilai yang sama.

Untuk melihat mengapa integrasi numerik diperlukan, perhatikan integran pada tiga sudut:

Satu langkah Simpson pada seluruh kuartal menghasilkan (π/4)/3 × (3 + 4 × 4.1231056256 + 5) ≈ 6.4121012169, yang mendekati tetapi tidak tepat. Aturan Simpson adaptif terus membagi interval dan mengevaluasi ulang hingga galatnya jatuh di bawah toleransinya, lalu konvergen ke 6.3817497158. Pelajarannya bersifat praktis: perkiraan numerik yang kasar itu mudah, tetapi jawaban yang dapat dipercaya memerlukan metode yang memeriksa akurasinya sendiri, dan itulah yang dilakukan kalkulator.

Sumbu mayor adalah garis lurus terpanjang yang melalui pusat elips, berjalan dari satu sisi batas ke sisi lainnya. Sumbu minor adalah garis terpendek semacam itu, tegak lurus terhadap sumbu mayor. Sumbu semi-mayor a adalah setengah sumbu mayor: jarak dari pusat ke batas sepanjang arah panjang. Sumbu semi-minor b adalah setengah sumbu minor: jarak dari pusat ke batas sepanjang arah pendek.

Menukar sumbu penuh dengan sumbu semi adalah kesalahan masukan yang paling umum. Jika sebuah gambar memberikan lebar penuh elips sebesar 10, sumbu semi-mayornya adalah a = 5, bukan 10. Memasukkan 10 sebagai a akan menggambarkan elips yang dua kali lebih besar, dan setiap panjang yang dikembalikan kalkulator akan menjadi dua kali lipat. Kalkulator menyediakan mode sumbu penuh untuk situasi persis ini: masukkan panjang penuhnya, dan kalkulator membagi dua sebelum menghitung.

Kedua sumbu juga mengendalikan bentuknya. Ketika a dan b hampir sama, elips hampir berupa lingkaran. Ketika b jauh lebih kecil daripada a, elips menjadi panjang dan pipih, seperti lintasan lari yang dilihat dari samping. Rasio b/a kadang disebut rasio aspek; eksentrisitas e = √(1 − (b/a)²) mengukur gagasan yang sama, dengan e = 0 untuk lingkaran dan e mendekati 1 untuk elips yang sangat pipih. Untuk a = 5 dan b = 3, e = √(1 − 9/25) = 0.8.

Keliling penuh adalah panjang seluruh kurva tertutup, sedangkan panjang busur sebagian adalah panjang satu bagiannya. Keliling adalah kasus khusus rumus busur dengan θ₁ = 0° dan θ₂ = 360°:

Faktor 4 muncul karena keempat kuadran elips adalah bayangan cermin satu sama lain. Untuk a = 5 dan b = 3, kelilingnya adalah P ≈ 25.5269988634 satuan. Tabel di bawah membandingkan bagian-bagian standar elips tersebut.

Seperempat elips tepat seperempat keliling, dan setengah elips tepat setengahnya, karena kuadran-kuadrannya adalah bayangan cermin satu sama lain. Tetapi simetri itu hanya berlaku untuk busur yang dimulai dan berakhir pada sumbu. Sapuan 90° yang sembarang bukanlah seperempat keliling: pada elips yang lebih besar dengan a = 10 dan b = 6, busur dari 30° hingga 120° berukuran 14.4818404027 satuan, tepat dua kali nilai untuk elips dengan a = 5 dan b = 3, dan contoh yang dikerjakan di bagian akhir panduan ini menunjukkan bahwa sapuan 90° ini merupakan 28.3657% dari keliling elips yang lebih besar. Jangan pernah menganggap sapuan 90° sama dengan P/4 kecuali sapuan itu berjalan dari satu sumbu ke sumbu berikutnya.

Kalkulator melaporkan kedua angka untuk setiap perhitungan: panjang busur yang Anda minta, dan keliling penuh tempat busur itu berada, beserta busur komplementer (sisa elips) dan persentase keliling yang dicakup busur Anda.

Panjang busur elips tidak memiliki rumus eksak yang dibangun dari fungsi biasa. Integral ∫ √(a² sin²θ + b² cos²θ) dθ adalah integral eliptik tak lengkap jenis kedua, ditulis E(φ, k), dengan φ adalah sudut dan k = √(1 − (b/a)²) adalah eksentrisitas. Busur dari θ₁ hingga θ₂ adalah a × (E(θ₂, k) − E(θ₁, k)). Untuk a = 5 dan b = 3, k = 0.8, dan seperempat elips adalah 5 × E(π/2, 0.8) = 5 × 1.2763499432 = 6.3817497158.

Integral eliptik sudah dipahami dengan baik, tetapi tidak elementer: tidak ada kombinasi polinomial, akar, eksponensial, dan fungsi trigonometri yang mengevaluasinya dalam bentuk tertutup. Itulah sebabnya setiap perhitungan elips yang praktis menggunakan integrasi numerik. Aturan Simpson adaptif, yang digunakan kalkulator ini, adalah pilihan yang baik karena ia menyempurnakan interval-interval di mana integran berubah paling cepat dan berhenti ketika hasilnya stabil dalam toleransinya.

Khusus untuk keliling penuh, ada pula perkiraan terkenal dari Srinivasa Ramanujan:

Untuk a = 5 dan b = 3, h = 0.0625, dan rumus Ramanujan menghasilkan P ≈ 25.5269988628, yang sesuai dengan keliling numerik eksak 25.5269988634 hingga sembilan tempat desimal. Rumus ini sangat akurat untuk elips yang tidak terlalu pipih. Tetapi ini adalah perkiraan untuk seluruh keliling saja: rumus ini tidak dapat dipotong untuk menghasilkan busur sebagian, jadi jangan pernah menggunakannya sebagai pengganti integral busur. Kalkulator menampilkan nilai Ramanujan dalam langkah-langkahnya semata sebagai perbandingan edukatif di samping hasil numerik.

Gunakan integrasi numerik kapan pun jawabannya penting, dan gunakan Ramanujan hanya sebagai pemeriksaan kewarasan yang cepat pada keliling penuh. Jika keduanya berbeda lebih dari beberapa tempat desimal, percayalah pada integrasi numerik dan periksa masukannya.

Rumus lingkaran L = rθ berlaku karena setiap titik pada lingkaran berjarak sama r dari pusat, sehingga kecepatan sepanjang kurva konstan. Pada elips kecepatannya berubah: untuk a = 5 dan b = 3 kecepatannya berkisar dari 3 di ujung-ujung sumbu mayor hingga 5 di ujung-ujung sumbu minor. Satu jari-jari tidak dapat menangkap perubahan itu, sehingga rumus lingkaran memberikan jawaban yang salah untuk elips apa pun yang bukan lingkaran.

Bandingkan busur 90° pada tiga bentuk dengan ukuran nominal yang sama:

Menggunakan r = 5 dalam rumus lingkaran melebih-lebihkan busur seperempat elips sekitar 23% ketika b = 3, dan sekitar 11% ketika b = 4. Galatnya menyusut saat elips mendekati lingkaran dan membesar saat elips memipih, persis seperti yang diharapkan: rumus lingkaran adalah limit rumus elips saat b mendekati a, bukan pengganti umumnya.

Kalkulator tidak pernah menggunakan rumus lingkaran untuk elips. Ia mengintegrasikan integran elips yang eksak, dan hanya ketika a = b integrasi itu menyusut menjadi L = rθ, yang juga diverifikasi kalkulator secara internal sebagai pemeriksaan konsistensi.

Dua titik pada elips membagi kurva menjadi dua busur: satu yang berlawanan arah jarum jam dan satu yang searah jarum jam. Keduanya bukan bayangan cermin, karena elips bukan lingkaran, sehingga kedua busur memiliki panjang yang berbeda. Yang lebih pendek adalah jalur terpendek sepanjang kurva di antara kedua titik; yang lebih panjang adalah sisa elips.

Ambil a = 5, b = 3, dengan titik-titik ujung pada 0° dan 120°:

Kedua panjang itu dijumlahkan menjadi keliling penuh, 25.5269988634, sebagaimana mestinya, karena bersama-sama keduanya menutupi seluruh elips. Busur terpendek adalah 8.9253958986 dan busur terpanjang adalah 16.6016029648. Perhatikan bahwa pembagian sudutnya adalah 120° berbanding 240°, rasio satu banding dua, sedangkan pembagian panjangnya kira-kira 35% berbanding 65%: panjang-panjang itu tidak mengikuti sudut-sudutnya, karena kurva bergerak lebih cepat di dekat sumbu minor daripada di dekat sumbu mayor.

Itulah sebabnya kalkulator mengukur kedua jalur dengan integrasi aktual, bukan dengan membandingkan sudut. Membandingkan selisih sudut akan memberikan pemenang yang salah kapan pun elips jauh dari lingkaran. Pilih Shortest physical arc ketika Anda memerlukan rute yang lebih pendek, misalnya jalur kabel terpendek antara dua titik pada rangka elips, dan Longest physical arc ketika Anda memerlukan sisa kurva.

Sudut parametrik pada elips berputar melingkar: 360° adalah titik yang sama dengan 0°, dan 370° adalah titik yang sama dengan 10°. Kalkulator menangani perputaran itu untuk Anda, tetapi ada baiknya mengetahui aturan yang diikutinya.

Berlawanan arah jarum jam berarti sudut bertambah dari θ₁ ke θ₂, melewati 360° bila perlu. Busur dari 350° ke 10° berlawanan arah jarum jam menempuh 20° melalui 0°, bukan 340° ke belakang. Untuk a = 5 dan b = 3 busur itu berukuran 1.0565175692 satuan, sama dengan busur dari −10° ke 10°.

Searah jarum jam berarti sudut berkurang dari θ₁ ke θ₂. Busur dari 10° ke 350° searah jarum jam adalah busur 20° yang sama melalui 0°, sedangkan pasangan yang sama berlawanan arah jarum jam akan menempuh 340° memutar jauh.

Sudut yang sama menghasilkan busur sepanjang nol. Jika θ₁ dan θ₂ sama, titik awal dan titik akhir berimpit dan tidak ada busur di antara keduanya. Untuk elips penuh, masukkan 0° hingga 360° saja: itu satu putaran penuh, dan kalkulator mengembalikan seluruh keliling.

Sudut negatif diperbolehkan dan berarti titik yang sama dengan padanan positifnya: −30° adalah titik yang sama dengan 330°. Kalkulator menormalkan setiap sudut ke rentang 0° hingga 360° sebelum mengintegrasikan, sehingga −30° hingga 30° dan 330° hingga 30° memberikan jawaban yang sama.

Radian mengikuti aturan yang sama dengan 2π menggantikan 360°. Alihkan tombol DEG dan RAD sebelum mengetik nilai radian, karena 1.57 radian dan 1.57 derajat menggambarkan busur yang sangat berbeda.

Beberapa interval sudut muncul begitu sering sehingga layak memiliki namanya sendiri. Tabel di bawah mencantumkannya untuk elips a = 5, b = 3 dan untuk lingkaran berjari-jari 5, semuanya terverifikasi oleh kalkulator.

Lingkaran (a = b). Elips menjadi lingkaran, integrannya menjadi konstanta jari-jari, dan L = rθ dengan θ dalam radian. Seperempat lingkaran berjari-jari 5 adalah 5 × π/2 = 7.853981634, dan keliling penuhnya adalah 2πr = 31.4159265359.

Elips yang sangat memanjang. Ketika b jauh lebih kecil daripada a, elips hampir berupa segmen garis pipih yang ditelusuri bolak-balik. Kelilingnya mendekati 4a, dan busur seperempatnya mendekati a. Untuk a = 10 dan b = 1, busur seperempatnya adalah 10.1599354503, hanya sedikit lebih besar dari a itu sendiri.

Elips yang sangat pipih. Gagasan yang sama berlaku ke arah sebaliknya: busur terkonsentrasi di dekat ujung-ujung sumbu mayor, tempat kurva berbelok tajam, dan integrasi numerik harus menyempurnakan intervalnya di sana. Aturan Simpson adaptif menangani hal itu secara otomatis.

Kerjakan sebuah contoh lengkap dengan a = 10, b = 6, dari θ₁ = 30° hingga θ₂ = 120°. Ini adalah sapuan 90° yang tidak dimulai pada sumbu, sehingga menguji setiap bagian metode.

1. Konversikan sudut-sudutnya. 30° = π/6 ≈ 0.5235987756 radian. 120° = 2π/3 ≈ 2.0943951024 radian.
2. Tulis integralnya. L = ∫_0.5235987756^2.0943951024 √(100 sin²θ + 36 cos²θ) dθ.
3. Ambil sampel integrannya. Pada 30° nilainya adalah √(100 × 0.25 + 36 × 0.75) = √52 ≈ 7.2111025509. Pada titik tengah 75° nilainya ≈ 9.7832925399. Pada 120° nilainya adalah √(100 × 0.75 + 36 × 0.25) = √84 ≈ 9.1651513899.
4. Perkirakan secara kasar. Nilai titik tengah dikali lebar interval, 9.7832925399 × 1.5707963268 ≈ 15.3675599856, adalah perkiraan kasar. Nilainya melebih-lebihkan karena integrannya tidak konstan.
5. Integrasikan secara akurat. Aturan Simpson adaptif menyempurnakan interval hingga jawabannya stabil, menghasilkan L ≈ 14.4818404027 satuan.
6. Periksa titik-titik ujungnya. Titik awal adalah (10 cos 30°, 6 sin 30°) = (8.660254, 3). Titik akhir adalah (10 cos 120°, 6 sin 120°) = (−5, 5.196152). Kalkulator menampilkan kedua titik pada setiap hasil.
7. Bandingkan dengan kelilingnya. Keliling penuh adalah P ≈ 51.0539977268, sehingga busur ini adalah 28.3657% dari elips, meskipun menyapu 90°. Perkiraan Ramanujan menghasilkan 51.0539977256, sesuai hingga sembilan tempat desimal.

Pelajaran kuncinya ada pada langkah 7: sapuan 90° bukanlah seperempat keliling kecuali sapuan itu berjalan dari satu sumbu ke sumbu berikutnya. Di sini 90° sudut yang sama hanya menutupi 28.3657% kurva, karena sapuan itu melintasi sumbu minor, tempat kurva bergerak paling cepat, dan melewatkan rentang lambat di dekat sumbu mayor.

Panjang busur elips bukan hanya latihan kelas. Ia muncul di mana saja bentuk elips harus diukur, dipotong, atau dibangun.

Teknik mesin. Roda gigi elips, cam, dan mekanisme penghubung semuanya bergerak sepanjang lintasan elips. Mengetahui panjang busur antara dua sudut cam memberi tahu insinyur seberapa jauh pengikut bergerak, yang menentukan waktu kerja mekanisme.

Arsitektur. Lengkung elips, kubah, dan halaman berbentuk elips memerlukan pengukuran keliling dan busur sebagian yang tepat sebelum batu atau baja dipesan. Lengkung yang hanya merentang sebagian elips memerlukan panjang busur bagian itu, bukan seluruh keliling.

Manufaktur dan pemesinan CNC. Mesin CNC yang memotong kantong elips atau flensa elips mengikuti kurva dalam langkah-langkah kecil. Total panjang jalur pahat berasal dari integral busur, dan panjang itu menentukan waktu pemesinan dan keausan pahat.

Lintasan dan struktur elips. Lintasan lari, velodrome, dan pipa elips diukur dalam panjang busur. Siku pipa yang membengkok melalui sebagian elips memerlukan panjang busur lengkungannya untuk memotong material sesuai ukuran.

CAD dan gambar teknik. Elips adalah entitas dasar dalam perangkat lunak CAD, dan panjang busurnya masuk ke dalam pemberian dimensi, perhitungan luas, dan panjang daftar material untuk trim dan pelapis tepi.

Pendidikan fisika dan geometri. Orbit planet berbentuk elips, dan jarak yang ditempuh planet sepanjang orbitnya antara dua sudut adalah panjang busur elips. Integral yang sama muncul dalam optik, tempat cermin elips memfokuskan cahaya, dan dalam studi tentang integral eliptik itu sendiri.

Sebagian besar galat dalam panjang busur elips berasal dari memperlakukan elips seperti lingkaran atau dari tertukarnya masukan. Perhatikan tujuh hal berikut.

1. Menggunakan rumus lingkaran untuk elips. L = rθ hanya berlaku ketika a = b. Untuk a = 5 dan b = 3 rumus itu melebih-lebihkan busur seperempat sekitar 23%.
2. Menukar sumbu penuh dengan sumbu semi. Jika lebar penuh adalah 10, maka a = 5. Memasukkan 10 sebagai a menggandakan setiap panjang yang dikembalikan kalkulator. Gunakan mode sumbu penuh jika Anda mengukur panjang penuh.
3. Lupa mengonversi derajat menjadi radian. Rumus-rumusnya menggunakan radian. Sudut 90 yang dimasukkan sebagai radian adalah lebih dari empat belas putaran penuh, bukan seperempat putaran. Periksa tombol DEG dan RAD sebelum mengetik.
4. Menggunakan konvensi sudut yang salah. Sudut-sudut di sini adalah sudut parametrik yang diukur dari pusat, x = a cos θ, y = b sin θ. Sudut-sudut itu bukan sudut polar titik tersebut, yang berbeda kecuali pada sumbu-sumbunya.
5. Mengabaikan jalur searah jarum jam versus berlawanan arah jarum jam. Dua titik menentukan dua busur, dan keduanya tidak sama pada elips. Pilih arah yang benar-benar Anda maksud, atau gunakan opsi terpendek dan terpanjang untuk melihat keduanya.
6. Menganggap seperempat elips selalu seperempat keliling. Hal itu hanya berlaku untuk busur yang berjalan dari satu sumbu ke sumbu berikutnya. Sapuan 90° dari 30° hingga 120° adalah 28.3657% dari kelilingnya, bukan 25%.
7. Memperlakukan perkiraan Ramanujan sebagai rumus busur sebagian yang eksak. Rumus Ramanujan memperkirakan seluruh keliling. Rumus itu tidak mengatakan apa pun tentang busur sebagian, dan tidak boleh diskalakan ke bawah dengan pecahan sudut untuk memperkirakannya.

Gunakan tabel ini sebagai pemeriksaan cepat untuk perhitungan Anda sendiri. Semua nilai dihasilkan oleh kalkulator di halaman ini.

Baris terakhir menunjukkan perilaku elips yang sangat pipih: dengan a = 10 dan b = 1, busur seperempatnya hanya sedikit lebih panjang dari a itu sendiri, dan kelilingnya hanya sedikit lebih besar dari 4a = 40. Ketika b menyusut menuju nol, elips mengempis menuju segmen garis yang ditelusuri bolak-balik, dan kelilingnya mendekati 4a.

Simpan rumus-rumus ini bersama-sama untuk referensi cepat. Rumus-rumus ini mencakup setiap perhitungan di halaman ini.

Sudut-sudut dalam rumus-rumus ini dinyatakan dalam radian. Untuk mengonversi, kalikan derajat dengan π/180. Baris Ramanujan adalah perkiraan untuk seluruh keliling saja, sedangkan baris-baris integral bersifat eksak dan dievaluasi secara numerik oleh kalkulator.