Daire Dilimi Yay Uzunluğu Hesaplayıcı

Daire Dilimi Yay Uzunluğu Hesaplayıcı, küçük bir dilimden tam daireye kadar bir daire diliminin yayı boyunca ölçülen kavisli mesafeyi ölçer. Yedi farklı başlangıç ölçüsünü kabul eder, böylece elinizde hangi değer varsa onu kullanabilirsiniz. Doğru cevabı bir dakikadan kısa sürede almak için şu adımları izleyin.

1. Giriş yöntemini seçin. Yarıçap + Merkez Açı, Çap + Merkez Açı, Tam Daire Çevresi + Merkez Açı, Daire Dilimi Alanı + Yarıçap, Daire Dilimi Alanı + Merkez Açı, Kiriş Uzunluğu + Merkez Açı veya Yarıçap + Bilinen Yay Uzunluğu seçeneklerinden birini seçin. Giriş alanları, etiketler ve birim listeleri seçtiğiniz yönteme göre değişir.
2. Ölçümünüzü girin. Değeri giriş kutusuna yazın. Alan yöntemlerinde kareli birim listesini kullanın (mm², cm², m², km², in², ft², yd²).
3. Merkez açıyı girin. Açıyı DEG/RAD düğmesiyle derece veya radyan olarak yazın ya da açı kaydırıcısını 0° ile 360° arasında sürükleyin. Canlı diyagram ve sonuç, kaydırıcıyı hareket ettirdikçe güncellenir. Daire Dilimi Alanı + Yarıçap ve Yarıçap + Bilinen Yay Uzunluğu yöntemlerinde açı, değerlerinizden hesaplanır.
4. Gerekirse başlangıç ve bitiş açılarını ayarlayın. Varsayılan süpürme 0° açısında başlar ve saat yönünün tersine ilerler. Dairenin herhangi bir yerinde bir dilim ölçmek için başlangıç açısını, bitiş açısını veya yönü değiştirin. Yay uzunluğunu konum değil süpürme belirler. Aynı başlangıç ve bitiş açıları, tam tur seçeneğini kullanmadığınız sürece sıfır uzunluklu bir yay anlamına gelir.
5. Giriş ve çıkış birimlerini seçin. Hesaplayıcı girişinizi tutarlı bir iç birime çevirir, hesaplar, ardından cevabı çıkış biriminize çevirir. Sayı birimle değişir, uzunluk değişmez.
6. Hassasiyeti seçin. 2, 4, 6 veya 8 ondalık basamak seçin. Varsayılan değer 4 tür. Hesaplayıcı içeride her zaman tam hassasiyetli π kullanır ve yalnızca görüntülenen sonucu yuvarlar.
7. Şimdi Hesapla düğmesine tıklayın. Ana sonuç daire dilimi yay uzunluğudur ve sınıflandırmasıyla birlikte verilir: sıfır açılı dilim, küçük dilim, yarım daire, büyük dilim veya tam daire. Altında yarıçapı, çapı, tam çevreyi, tamamlayıcı yayı, kiriş uzunluğunu, daire dilimi alanını, daire dilimi çevresini, dairesel parça alanını, yay yüzdesini, açının her iki biçimini ve küçük ile büyük dilim karşılaştırmasını görürsünüz.
8. Diyagramı inceleyin. Canlı dilim diyagramı tam daireyi çizer, seçilen dilimi altın renkle gölgelendirir ve merkez O noktasını, yarıçap çizgilerini, kirişi ve uç noktaları işaretler. Yarıçap çizgilerini, kirişi, merkez noktasını, açı işaretini ve tamamlayıcı dilimi göstermek veya gizlemek için düğmeleri kullanın.
9. Kopyalayın, yazdırın veya sıfırlayın. Cevabı panonuza almak için Sonucu Kopyala, basit bir rapor için Özeti Yazdır veya paneli temizlemek için Sıfırla düğmesini kullanın. Hazır düğmeler doğrulanmış örnekleri anında yükler, hızlı seçim düğmeleri ise doğrudan 45°, 60°, 90°, 120°, 180°, 270° veya 360° açılarına gider.

Bir örnek deneyin. Yarıçap 6 ve 60° açı, 6.2831853072 birimlik bir yay verir. Yarıçap 8 ve 90°, 12.5663706144 birim verir. Yarıçap 5 ve 270°, 23.5619449019 birimlik büyük dilim yayı verir. Çap 14 ve 120°, 14.6607657168 birim verir. Daire dilimi alanı 50 ve yarıçap 10, 10.0000000000 birimlik bir yay verir; yarıçap 4 ve bilinen yay 6 birim ise 85.9436692696° açısı verir.

Önemli ipuçları. Açı birimini tutarlı tutun: 60° ile 1.0471975512 radyan aynı açıdır, ancak 60 radyan 60° değildir. Yay uzunluğu yalnızca kavisli mesafedir; kiriş farklı bir ölçümdür ve sıfır uzunluklu yay dışında her zaman daha kısadır. Çap girerseniz hesaplayıcı önce yarıçapı bulmak için çapı ikiye böler. Daire dilimi alanı yay uzunluğu değildir: biri kare birimlerle, diğeri düz birimlerle ölçülür. Sıfır veya negatif ölçüm geçerli bir dilim değildir, bu yüzden hesaplayıcı yanıltıcı bir cevap göstermek yerine bunu reddeder.

Daire, bir merkez noktası O noktasına sabit bir uzaklıkta, yani yarıçap uzaklığında bulunan tüm noktaların kümesidir. Dairesel dilim, bir daireden iki yarıçap ve aralarındaki yay ile kesilen pasta dilimi şeklindeki bölgedir. Daire dilimi yay uzunluğu, dilimin dış kenarı boyunca bir yarıçap ucundan diğerine eğriyi izleyerek ölçülen kavisli mesafedir.

Bir pizza dilimini hayal edin. İki düz kesim kenarı yarıçaplardır, sivri uç merkez O noktasıdır ve kenar kabuğu yaydır. Yay uzunluğu kabuğun uzunluğudur. Dilimin geniş ucunda iki kabuk ucunu birleştiren düz çizgi kiriştir ve kabuktan daha kısadır.

Her dilim, yarıçapına göre ölçeklenmiş aynı parçalara sahiptir. Merkez O sabit noktadır. Yarıçap r, O noktasından daire üzerindeki herhangi bir noktaya uzanır. Merkez açı θ, dilimi sınırlayan iki yarıçap arasındaki O noktasındaki açıdır ve dilimin dairenin hangi kesrini kapsadığını belirler. Yay, kavisli kenardır. Kiriş, yay uç noktaları arasındaki düz çizgidir. Daire dilimi alanı, iki yarıçap ile yay arasındaki bölgedir.

İki yarıçap daireyi her zaman iki dilime böler: küçük olan küçük dilim, büyük olan büyük dilimdir. Birlikte tam daireyi oluştururlar. Hangisini istediğiniz sorunuza bağlıdır ve hesaplayıcı her ikisini de gösterir, böylece tahmin etmeniz gerekmez.

Daire dilimi yay uzunluğu tek boyutlu bir ölçümdür, bir uzunluktur, bu yüzden cm, m veya inç gibi düz birimlerle bildirilir. Alan değildir ve açı da değildir. Bu üç niceliği ayrı tutmak, her dilim hesabını doğru yapmanın ilk adımıdır.

Daire dilimi yay uzunluğu doğrudan tam dairenin çevresinden gelir. Tam bir dairenin çevresi şöyledir:

Merkez açısı θ olan bir dilim, tam 360° dönüşün θ / 360 kesrini kapsar, bu yüzden yayı çevrenin aynı kesridir:

Sadeleştirme, formülün derece biçimini verir:

Açı radyan olarak ölçüldüğünde formül daha da basittir, çünkü radyan yarıçapın kendisiyle tanımlanır:

Formüllerdeki her sembolün kesin bir anlamı vardır:

Her iki biçim de aynı cevabı verir. Açınız dereceyse L = πrθ / 180 formülünü, radyan ise L = rθ formülünü kullanın. Hesaplayıcı önce dereceyi radyana çevirir, ardından içeride L = rθ formülünü kullanır, bu yüzden iki mod her zaman aynı sonucu verir.

Yarıçap yerine çapı kullanmak aynı formülün ikinci bir biçimini verir. d = 2r olduğundan r = d / 2 olur ve yerine koymak radyan olarak L = dθ / 2, derece olarak L = πdθ / 360 sonucunu verir.

Yarıçap artı merkez açı, daire dilimi yay uzunluğunu bulmanın en doğrudan yoludur. Aşağıdaki çözümlü örnekte yarıçap 6 birim ve merkez açı 60° kullanılmıştır.

1. Yarıçapı belirleyin. r = 6 birim.
2. Merkez açıyı belirleyin. θ = 60°.
3. Dereceyi radyana çevirin. θ = 60 × π / 180 = π / 3 = 1.0471975512 radyan.
4. Yay uzunluğu formülünü yazın. L = rθ.
5. Değerleri yerine koyun. L = 6 × π / 3.
6. Hesaplayın. L = 6.2831853072 birim.
7. Gerektiği gibi yuvarlayın. İki ondalık basamağa yuvarlandığında L = 6.28 birim olur.

Aynı adımlar her yarıçap ve açı için geçerlidir. 8 birim yarıçap ve 90° açı, L = 8 × π / 2 = 12.5663706144 birim verir. 5 birim yarıçap ve 270° açı, L = 5 × 3π / 2 = 23.5619449019 birim verir. 1 birim yarıçap ve 60° açı, L = 1.0471975512 birim verir ki bu tam olarak π / 3 tür ve yararlı bir kontroldür: r = 1 için yay uzunluğu radyan cinsinden açıya eşittir.

Yuvarlama kuralı. Yalnızca sonda yuvarlayın. Çarpmadan önce π yerine 3.14 koyarsanız, yarıçap 6 ve 60° için şans eseri tam 6.28 elde edersiniz, ancak yarıçap 8 ve 90° için 12.5663706144 yerine 12.56 elde edersiniz, yani 0.0063706144 hata yaparsınız. Bu hata yarıçapla büyür, bu yüzden hesap boyunca tam hassasiyeti koruyun ve yalnızca son görüntülenen sonucu yuvarlayın.

Yarıçap yerine çapı biliyorsanız önce çapı ikiye bölün, ardından aynı formülü uygulayın. Aşağıdaki çözümlü örnekte çap 14 birim ve merkez açı 120° kullanılmıştır.

1. Çapı belirleyin. d = 14 birim.
2. Yarıçapı bulun. r = d / 2 = 14 / 2 = 7 birim.
3. Merkez açıyı belirleyin. θ = 120° = 2π / 3 = 2.0943951024 radyan.
4. Formülü yazın. L = rθ veya doğrudan L = πdθ / 360.
5. Yerine koyun. L = 7 × 2.0943951024 veya L = π × 14 × 120 / 360.
6. Hesaplayın. L = 14.6607657168 birim.
7. Gerektiği gibi yuvarlayın. İki ondalık basamağa yuvarlandığında L = 14.66 birim olur.

Her iki yol da tam olarak aynı sonucu verir ve bu iyi bir öz kontroldür. Yarıçap yolu 7 × 2.0943951024 = 14.6607657168 verir. Çap yolu π × 14 × 120 / 360 = 14.6607657168 verir. İkisi uyuşmuyorsa çap doğru şekilde ikiye bölünmemiştir.

Bir başka örnek: çap 20 birim ve 180° açı, r = 10 birim verir, bu yüzden L = π × 10 = 31.4159265359 birim olur, yani yarım daire yayıdır. Çap 10 birim ve 60° açı, r = 5 birim verir, bu yüzden L = 5.2359877560 birim olur. Bu hesapta en yaygın hata ikiye bölmeyi unutup çapı yarıçapmış gibi kullanmaktır; bu da cevabı iki katına çıkarır. d = 14 için bu hata 14.6607657168 yerine 29.3215314336 verir.

Ölçüm ipucu. Gerçek hayatta çapları ölçmek çoğu zaman yarıçaplardan daha kolaydır, çünkü dairenin tam karşısına düz bir çizgiyle ölçebilirsiniz. Hesaplayıcının çap girişini doğrudan kabul etmesinin nedeni budur: karşıyı ölçün, girin ve hesaplayıcı sizin için ikiye bölsün.

Derece, açılar için günlük birimdir. Tam bir daire 360° içerir, bu yüzden derece cinsinden bir merkez açı, diliminizin tam dairenin hangi kesrini kapsadığını doğrudan söyler. 90° açı dairenin dörtte birini, 180° yarısını ve 270° dörtte üçünü kapsar.

Derece formülü L = πrθ / 180 olup burada θ derece cinsindendir. Bu formül kesir fikrinden gelir: 2πr çevresinin θ / 360 kesri, sadeleştirilmiş hali.

Çözümlü örnek. Yarıçap 8 birim, açı 90°.

1. Değerleri belirleyin. r = 8 birim, θ = 90°.
2. Dairenin kesrini bulun. 90 / 360 = 1 / 4, çeyrek daire.
3. Formülü yazın. L = πrθ / 180.
4. Yerine koyun. L = π × 8 × 90 / 180 = π × 8 / 2.
5. Hesaplayın. L = 12.5663706144 birim.
6. Çevreyle karşılaştırarak kontrol edin. Tam çevre 2π × 8 = 50.2654824574 birimdir ve bunun dörtte biri 50.2654824574 / 4 = 12.5663706144 birimdir. İkisi uyuşur.

Yarıçapı 5 birim olan daha fazla derece örneği: 30°, L = 2.6179938780 birim verir, 45°, L = 3.9269908170 birim verir, 120°, L = 10.4719755120 birim verir ve 270°, L = 23.5619449019 birim verir. Aynı yarıçap için açıyı iki katına çıkarmanın yay uzunluğunu iki katına çıkardığına dikkat edin, çünkü yay uzunluğu merkez açıyla doğru orantılıdır.

Yaygın derece hatası. Derece değerini dönüştürmeden doğrudan L = rθ formülüne koymak çok yanlış bir cevap verir. r = 5 ve 60° için dönüştürülmemiş hesap 5 × 60 = 300 verir, ancak doğru cevap 5.2359877560 değeridir. L = rθ formülü radyan ister, bu yüzden önce dönüştürün ya da L = πrθ / 180 derece formülünü kullanın.

Radyan, yay uzunluğu yarıçapa eşit olduğunda elde edilen açıdır. Yarıçapa eşit uzunlukta bir ipi dairenin etrafına sararsanız, merkezde gördüğü açı tam olarak 1 radyandır. Tam bir daire yaklaşık 6.2831853072 radyan olan 2π radyan içerir, çünkü tam çevre 2πr dir ve r ile bölününce 2π kalır.

Radyan formülü L = rθ olup var olan en basit yay uzunluğu formülüdür. İçinde π yoktur, çünkü π zaten açının radyan ölçüsünün içindedir.

Çözümlü örnek. Yarıçap 6 birim, açı π / 3 radyan (yani 60°).

1. Değerleri belirleyin. r = 6 birim, θ = π / 3 = 1.0471975512 radyan.
2. Formülü yazın. L = rθ.
3. Yerine koyun. L = 6 × 1.0471975512.
4. Hesaplayın. L = 6.2831853072 birim.
5. Dereceyle karşılaştırarak kontrol edin. π / 3 radyan 60° dir ve derece formülü L = π × 6 × 60 / 180 = 6.2831853072 birim verir. İkisi tam olarak uyuşur.

Daha fazla radyan örneği: yarıçap 4 birim ve θ = π / 2 radyan, L = 4 × 1.5707963268 = 6.2831853072 birim verir. Yarıçap 10 birim ve θ = π radyan, L = 10 × 3.1415926536 = 31.4159265359 birim verir, yani yarım daire yayıdır. Yarıçap 5 birim ve θ = 1 radyan, L = 5 birim verir, çünkü açı 1 radyan olduğunda yay yarıçapa eşittir.

Radyanın matematikte neden tercih edildiği. Yay uzunluğu için kalkülüs formülleri ve bu sayfadaki kiriş, daire dilimi ve parça alanı formüllerinin tamamı radyan kullanır. Derece günlük ölçüm için kullanışlıdır, ancak radyan matematiği temiz yapar, bu yüzden hesaplayıcı hesaplamadan önce her açıyı radyana çevirir.

Daire dilimi yay uzunluğu ile daire dilimi alanı kulağa benzer gelir, ancak farklı şeyleri ölçerler. Yay uzunluğu tek boyutlu kavisli bir mesafedir ve düz birimlerle ölçülür. Daire dilimi alanı iki boyutlu bir bölgedir, yani iki yarıçap ve yay ile kesilen daire dilimidir ve kare birimlerle ölçülür.

Formüller birbirine benzer görünür ve tam da bu yüzden karıştırılırlar:

Daire dilimi alanı, yay uzunluğunun yarıçapın yarısıyla çarpımıdır: A = ½ × r × L. Bu ilişki yararlı bir kontroldür. Yarıçap 6 birim ve 60° için yay 6.2831853072 birimdir ve daire dilimi alanı ½ × 6 × 6.2831853072 = 18.8495559215 kare birimdir.

Birimler ipucunu verir. Cevabınız bir uzunluk olmalıysa birim cm, m veya inçtir. Cevabınız bir alan olmalıysa birim cm², m² veya kare inçtir. Kare birimli bir yay uzunluğu cevabı veya düz birimli bir daire dilimi alanı cevabı kesinlikle yanlıştır. Hesaplayıcı ikisini ayrı tutar ve birimleri açıkça etiketler.

Tam daire kontrolü. 360° açıda dilim tüm dairedir, bu yüzden daire dilimi alanı πr² ye eşit olmalıdır. r = 6 için π × 36 = 113.0973355292 kare birimdir. Aynı andaki yay tam çevredir, 37.6991118431 birimdir. İkisi de aynı yarıçap ve açıdan gelir, ancak farklı soruları cevaplar.

Bir daire diliminin çevresi, sınırının tamamı boyunca ölçülen mesafedir. Gerçek bir dilimin üç sınır parçası vardır: kavisli yay, birinci yarıçap ve ikinci yarıçap. Bu yüzden daire dilimi çevresi, yay uzunluğu artı yarıçapın iki katıdır:

Burada θ radyan cinsindendir. İki düz kenarın her biri tam olarak bir yarıçap uzunluğundadır, bu yüzden kavisli yay uzunluğuna 2r eklenir.

Çözümlü örnek. Yarıçap 6 birim, açı 60°. Yay L = 6.2831853072 birimdir. İki yarıçap 2 × 6 = 12 birim ekler. Daire dilimi çevresi P = 6.2831853072 + 12 = 18.2831853072 birimdir.

Daha fazla örnek. Yarıçap 8 ve 90°: yay 12.5663706144, çevre 12.5663706144 + 16 = 28.5663706144 birim. Yarıçap 5 ve 270°: yay 23.5619449019, çevre 23.5619449019 + 10 = 33.5619449019 birim. Yarıçap 7 ve 120°: yay 14.6607657168, çevre 14.6607657168 + 14 = 28.6607657168 birim.

İki özel durum. Tam dairede, 360°, sınırda hiç yarıçap kenarı yoktur: çevre yalnızca çevredir, P = 2πr. r = 6 için bu 37.6991118431 birimdir, 37.6991118431 + 12 değildir. Sıfır açılı dilimde, 0°, geometri bozuktur: iki yarıçap çakışır ve yayın uzunluğu sıfırdır, bu yüzden onun için normal bir dilim çevresi sunmayın. Hesaplayıcı sıfır açılı durumu bozuk olarak ele alır ve normal bir çevre değeri bildirmez.

Ayrım neden önemlidir. Daire dilimi şeklindeki bir panel için süsleme sipariş ediyorsanız çevreye ihtiyacınız vardır, çünkü süsleme yay boyunca ve iki düz kenar boyunca uzanır. Yalnızca kavisli kenarı ölçüyorsanız yay uzunluğuna ihtiyacınız vardır. İkisini karıştırmak en yaygın dilim hatalarından biridir ve hesaplayıcı iki değeri yan yana gösterir, böylece fark her zaman görünür.

İki yarıçap daireyi iki dilime böler. Küçük olan küçük dilim, büyük olan büyük dilimdir. İkisi aynı iki yarıçapı paylaşır ve birlikte tam daireyi oluştururlar.

Merkez açı hangisinin hangisi olduğunu belirler. 180° altındaki bir merkez açı küçük dilim verir. 180° üzerindeki bir merkez açı büyük dilim verir ve açısı düz açıdan büyük bir refleks açıdır. Tam 180° yarım daire verir ve bu ne küçük ne de büyük dilimdir: her iki dilim de eşittir.

Küçük ve büyük dilim birbirini tamamlar. Daha küçük bir merkez açı θ için küçük yay Lminor = rθ ve büyük yay Lmajor = r(2π - θ) olur. Toplamları her zaman tam çevredir ve dilim alanları toplamı tam daire alanını verir:

Çözümlü örnek. Yarıçap 6 birim, küçük açı 60°. Küçük yay L = 6 × π / 3 = 6.2831853072 birimdir ve küçük dilim alanı 18.8495559215 kare birimdir. Büyük yay, 360° - 60° = 300° refleks açısını kullanır, bu yüzden L = 6 × 5π / 3 = 31.4159265359 birimdir ve büyük dilim alanı 94.2477796077 kare birimdir. Yaylar toplamı 6.2831853072 + 31.4159265359 = 37.6991118431 birimdir, yani tam çevredir; alanlar toplamı 18.8495559215 + 94.2477796077 = 113.0973355292 kare birimdir, yani tam daire alanıdır. Küçük dilim dairenin %16.67 si, büyük dilim %83.33 üdür.

Bir başka örnek. Yarıçap 5 birim, açı 270°. Bu zaten büyük dilimdir: L = 23.5619449019 birimdir ve dilim alanı 58.9048622548 kare birimdir. Tamamlayıcı küçük dilimi 90° kullanır: L = 7.8539816340 birimdir ve alanı 19.6349540849 kare birimdir. Toplam 31.4159265359 birimdir, yani tam çevre 2π × 5 tir.

İki açıyı karıştırmayın. En yaygın küçük/büyük hatası, sorun büyük dilimi sorarken küçük açıyı kullanmak veya tersidir. Size verilen açının küçük açı mı yoksa refleks açı mı olduğunu her zaman kontrol edin ve hesaplayıcının her iki dilimi yan yana gösterdiğini, böylece sorununuzun ihtiyacı olanı seçebileceğinizi unutmayın.

Daire dilimi ile dairesel parça, dairenin iki farklı bölgesidir ve ikisi de yay içerdiği için kolayca karıştırılır. Daire dilimi iki yarıçap ve bir yay ile çevrilidir. Dairesel parça bir kiriş ve bir yay ile çevrilidir. Parça, dilimin kirişin ötesinde kalan kısmıdır, bu yüzden aşağıdaki özel durumlar dışında dilimden daha küçüktür.

Formüller farkı açıkça gösterir:

Parça alanı, dilim alanından iki yarıçap ile kiriş arasındaki üçgen alanının çıkarılmasıyla bulunur. Burada θ, 0 ile 2π arasındaki radyan cinsinden merkez süpürmesidir. Formül hem küçük hem de büyük parçaları doğru işler: küçük yay için küçük başlığı, büyük yay için dairenin çoğunu kapsayan büyük bölgeyi verir.

Çözümlü örnekler. r = 6 birim ve 60° için dilim alanı 18.8495559215 kare birimdir ve parça alanı ½ × 36 × (1.0471975512 - 0.8660254038) = 3.2610986534 kare birimdir. Parça dilimden çok daha küçüktür, çünkü üçgen dilimin çoğunu kaplar. r = 8 ve 90° için parça 18.2654824574 kare birimdir. r = 5 ve 90° için parça 7.1349540849 kare birimdir.

Özel durumlar. 180° açıda sin θ = 0 olur, bu yüzden parça alanı dilim alanına eşittir: ½ πr². r = 5 için ikisi de 39.2699081699 kare birimdir, yani tam dairenin yarısıdır. 270° açıda sin θ = -1 olur, bu yüzden parça dilimden büyüktür: r = 5 için dilim 58.9048622548 kare birimdir ve parça 71.4048622548 kare birimdir. 360° açıda kiriş kaybolur ve parça tüm dairedir, πr².

Dilim ile parça tek cümlede. Dilim merkezden gelen kamadır. Parça kirişin ötesindeki başlıktır. Sorunuz merkezi içeriyorsa dilimi istersiniz. Yalnızca yayı ve kirişini içeriyorsa parçayı istersiniz.

Kiriş uzunluğu ile daire dilimi yay uzunluğu daire üzerindeki aynı iki noktayı birleştirir, ancak farklı yollar izler. Yay eğriyi izler. Kiriş düz bir çizgiyle karşıya geçer. Yay neredeyse her zaman daha uzundur.

Formüller farkı açıkça gösterir:

Kiriş, açının yarısının sinüsüne bağlıdır ve bu, açının kendisinden daha yavaş büyür, bu yüzden açı büyüdükçe yay ile kiriş arasındaki fark açılır.

Tablodaki üç gerçek akılda tutulmaya değer. 30° açıda yay kirişten yalnızca yaklaşık %1.15 daha uzundur, bu yüzden küçük açılarda ikisi yakındır. 180° açıda kiriş çaptır, 10 birimdir, yay ise πr = 15.7079632679 birimdir. 270° açıda kiriş 7.0710678119 birime geri küçülür, 90° açıyla aynıdır, çünkü kiriş uç noktalar arasındaki daha küçük açıya bağlıdır, yay ise süpürmeyle büyümeye devam eder.

Özel durum. 60° açıda kiriş tam olarak yarıçapa eşittir: c = 2r sin(30°) = 2r × 0.5 = r. r = 6 için kiriş 6 birimdir ve yarıçap, kiriş ile iki yarıçap bir eşkenar üçgen oluşturur. Bu kullanışlı bir kontroldür ve sınav hazırlayanların gözdesidir.

Neden önemlidir. Kavisli bir boru kesiyorsanız yay uzunluğuna ihtiyacınız vardır. Dairesel bir parçadaki iki nokta arasındaki düz boşluğu ölçüyorsanız kirişe ihtiyacınız vardır. İkisini karıştırmak en yaygın daire hatalarından biridir ve hesaplayıcı iki değeri birlikte gösterir, böylece fark her zaman görünür.

Bazen ne yarıçap ne de açı verilir. Hesaplayıcı, önce eksik değeri türeterek, ardından her zamanki gibi L = rθ formülünü uygulayarak dört farklı ölçümden geriye doğru çalışır. Yedi yöntemin tamamı aynı dilim için aynı yarıçapı ve aynı yay uzunluğunu verir, bu yüzden elinizde hangi ölçüm varsa onu kullanabilirsiniz.

Tam daire çevresinden. Tam çevre C = 2πr dir, bu yüzden r = C / (2π) olur. C = 37.6991118431 birim için r = 37.6991118431 / 6.2831853072 = 6 birim olur. Ardından 60° dilim yayı L = 6 × π / 3 = 6.2831853072 birimdir. Kestirme yola dikkat edin: 60° yay çevrenin altıda biridir ve 37.6991118431 / 6 = 6.2831853072 birimdir.

Kiriş uzunluğundan. Kiriş formülü c = 2r sin(θ / 2) olduğundan r = c / [2 sin(θ / 2)] olur. 6 birimlik kiriş ve 60° açı için r = 6 / (2 × sin 30°) = 6 / (2 × 0.5) = 6 birim olur. Ardından L = 6.2831853072 birimdir. Kiriş girişi yalnızca açı kesin olarak 0° ile 360° arasındayken çalışır: 0° veya 360° açıda kiriş sıfırdır ve hiçbir yarıçap geri kazanılamaz, bu yüzden hesaplayıcı bu yöntem için bu açıları reddeder.

Daire dilimi alanı ve yarıçaptan. Daire dilimi alanı A = ½r²θ olduğundan θ = 2A / r² olur. 50 kare birimlik dilim alanı ve 10 birimlik yarıçap için θ = 2 × 50 / 100 = 1 radyan = 57.2957795131° olur. Ardından L = 10 × 1 = 10.0000000000 birimdir. Bu yöntemde dilim alanının tam daire alanı πr² den büyük olmaması gerekir: r = 10 için bu sınır 314.1592653590 kare birimdir, bu yüzden bu sınırın üzerindeki bir alan reddedilir.

Daire dilimi alanı ve açıdan. Aynı şekilde düzenlenirse θ radyan olmak üzere r = √(2A / θ) olur. 18.8495559215 kare birimlik dilim alanı ve 60° açı için θ = 1.0471975512 radyan olur, bu yüzden r = √(2 × 18.8495559215 / 1.0471975512) = √(36) = 6 birim olur. Ardından L = 6.2831853072 birimdir. Bu yöntemde alana ek olarak açıya da ihtiyaç vardır, çünkü aynı dilim alanı birçok yarıçap ve açı kombinasyonundan gelebilir.

Yarıçap ve bilinen yay uzunluğundan. Açı θ = L / r olur. Yarıçap 4 birim ve bilinen yay 6 birim için θ = 6 / 4 = 1.5 radyan = 85.9436692696° olur. Ardından dilim alanı A = ½ × 16 × 1.5 = 12.0000000000 kare birimdir ve çevre P = 6 + 8 = 14.0000000000 birimdir. Bu yöntemde yayın tam çevre 2πr den uzun olmaması gerekir: r = 4 için bu sınır 25.1327412287 birimdir.

Hangi girişi kullanmalı. Elinizde hangi ölçüm varsa onu kullanın. İki farklı ölçüm farklı yarıçaplar verirse ölçümlerden biri yanlıştır ve iki cevaba da güvenmeden önce bu uyumsuzluğu araştırmaya değer.

Daire dilimi yay uzunluğu soyut bir sınıf alıştırması değildir. Bir daire üzerindeki kavisli mesafenin ölçülmesi, kesilmesi, yapılması veya kat edilmesi gereken her yerde aynı formül geçerlidir.

Makine mühendisliği. Boru bükme yay uzunluğuyla başlar: 8 birimlik büküm yarıçapıyla 90° bükülen bir boru, yalnızca büküm için 12.5663706144 birimlik boruya ihtiyaç duyar. Kavisli panele haddelenen sac metal, dişli dişi profili ve kam şekli, malzeme kesilmeden önce kavisli uzunluğa ihtiyaç duyar. Yanlış hesap malzeme israf eder veya parçayı kısa bırakır.

Mimarlık ve inşaat. Kemerli kapılar, dairesel pencereler, kubbeler ve kavisli merdivenler yaylarıyla boyutlandırılır. Yarıçapı 10 birim olan yarım daire kemer, eğri boyunca 31.4159265359 birimlik süslemeye ihtiyaç duyar. Yarıçapı 6 birim ve açısı 60° olan dilim şeklindeki bir gölgelik, eğri boyunca 6.2831853072 birimlik kenar süslemesine ve tüm sınır çevresinde 18.2831853072 birimlik süslemeye ihtiyaç duyar.

Yollar ve pistler. Dairesel bir yol virajı, koşu pisti dönüşü veya demiryolu virajı yarıçap ve merkez açıyla düzenlenir. Virajın uzunluğu asfalt miktarını, ray uzunluğunu ve bir aracın virajdan geçerken kat ettiği mesafeyi belirler. Yarıçapı 7 birim olan 120° viraj 14.6607657168 birim uzunluğundadır.

Pizza ve yiyecek porsiyonlama. Pizza dilimi bir dilimdir. Bir pizzanın yarıçapı 6 birimse, 60° açıyla kesilen bir dilimin kabuk uzunluğu 6.2831853072 birimdir ve alanı 18.8495559215 kare birimdir. Böyle altı dilim tüm pizzayı oluşturur ve kabukları toplamı 37.6991118431 birimdir, yani tam çevredir. Eşit dilimler kesmek bir dilim bölme sorunudur: eşit açılar eşit yaylar ve eşit alanlar verir.

Saatler, tekerlekler ve robotik. Saat ibresi zaman geçtikçe bir yay süpürür. Yerde yuvarlanan bir tekerlek, döndüğü yay kadar mesafe kat eder. Bir eklem etrafında dönen robot kolu, tutucusunu dairesel bir yay boyunca hareket ettirir ve kat ettiği mesafe rθ dir; bu yüzden radyan robotikte doğal birimdir.

Bilgisayar grafikleri ve CAD. CAD modellerindeki, yazı tiplerindeki ve animasyonlardaki eğriler dairesel yaylardan yapılır. Bir yayın uzunluğu, takım yolunun nasıl bölündüğünü, eğrinin nasıl işlendiğini ve bir nesnenin animasyonda dairesel bir yol boyunca ne kadar hareket ettiğini belirler. CAD programındaki dilim şeklindeki bir parça, tam olarak bu hesaplayıcının kullandığı yarıçap ve açıyla tanımlanır.

Gerçek şekiller hakkında bir not. Her kavisli yapı mükemmel bir daire değildir. Gerçek kemerler eliptik veya parabolik olabilir ve gerçek yollar klotoid geçişler kullanır. Bu sayfadaki dilim formülleri, eğri gerçek bir dairesel yay olduğunda tam olarak geçerlidir ve eğri daireye yakın olduğunda yalnızca iyi bir yaklaşımdır. Formülü uygulamadan önce şekli her zaman doğrulayın.

Daire dilimi yay uzunluğundaki yanlış cevapların çoğu küçük bir hata listesinden gelir. Her birini kontrol etmek saniyeler sürer ve çoğu hatayı önler.

1. Radyan formülünde dereceyi doğrudan kullanmak. L = rθ formülü radyan ister. 60° değerini doğrudan koymak 6.2831853072 yerine 6 × 60 = 360 verir. Önce dönüştürün veya L = πrθ / 180 formülünü kullanın.
2. Yarıçap ile çapı karıştırmak. Formül d değil r ister. d = 14 değerini yarıçap olarak kullanmak cevabı iki katına çıkarır: 120° dilim için 14.6607657168 yerine 29.3215314336 verir. Önce çapı ikiye bölün.
3. Daire dilimi alanını yay uzunluğuyla karıştırmak. Daire dilimi alanı kare birimlerle ölçülen iki boyutlu bir bölgedir. Yay uzunluğu düz birimlerle ölçülen tek boyutlu bir mesafedir. r = 6 ve 60° için dilim alanı 18.8495559215 kare birimdir ve yay 6.2831853072 birimdir. Farklı nicelikler, farklı birimler.
4. Daire dilimi çevresini yay uzunluğuyla karıştırmak. Çevre iki yarıçap kenarı ekler: P = L + 2r. r = 6 ve 60° için yay 6.2831853072 birimdir, ancak çevre 18.2831853072 birimdir. Sorun yayı sorarken çevreyi kullanmak cevabı 12 birim fazla gösterir.
5. Yanlış merkez açıyı kullanmak. Bir dilim sorusu, merkez açı yerine kiriş ile teğet arasındaki açıyı veya çevre açıyı verebilir. Çevre açı, aynı yay için merkez açının yarısıdır. Sorun bir çevre açı φ verirse merkez açı θ = 2φ olur ve yay L = r × 2φ olur. φ değerini doğrudan kullanmak cevabı yarıya indirir.
6. Küçük ve büyük dilimleri karıştırmak. 270° açı, r = 5 için 23.5619449019 birimlik büyük dilim yayı verir. Bunun yerine daha küçük 90° açıyı kullanmak 7.8539816340 birimlik küçük yayı verir. Sorunun hangi dilimi sorduğunu kontrol edin.
7. Yanlış kiriş formülü kullanmak. Kiriş c = 2r sin(θ / 2) olup açının yarısı sinüsün içindedir. Bunun yerine sin(θ) kullanmak yanlış değer verir: r = 6 ve 60° için doğru kiriş 6 birimdir, oysa 2 × 6 × sin(60°) = 10.3923048454 birimdir.
8. Doğrusal ve kare ölçüm birimlerini karıştırmak. Cm cinsinden yarıçap ve derece cinsinden açı sorun değildir, ancak cevap cm olarak çıkar. Cm² cinsinden bir dilim alanı kareli katsayıyla çevrilmelidir: 1 m², 100 cm² değil 10,000 cm² dir. Tek bir hesapta cm ile inçi karıştırmak veya çıkış birimini çevirmeyi unutmak yanlış büyüklükte bir sayı verir. Önce çevirin, sonra hesaplayın.
9. π değerini çok erken yuvarlamak. Çarpmadan önce π yerine 3.14 koymak yarıçapla büyüyen bir hata getirir. Hesap boyunca tam hassasiyetli π kullanın ve yalnızca son görüntülenen sonucu yuvarlayın.
10. Açıyı radyana çevirmeyi unutmak. İçinde 180 bulunmayan θ kullanan her dilim formülü, dilim alanı A = ½r²θ, kiriş c = 2r sin(θ / 2) ve parça alanı A = ½r²(θ - sin θ) dahil, θ değerini radyan ister. Derece yalnızca formüllerin derece biçimlerinde çalışır.

Bu hataların çoğunu yakalayan son bir kontrol. Sonucu çevreyle karşılaştırarak doğrulayın. Yay 0 ile 2πr arasında olmalı, kirişten uzun olmalı, dilim alanı 0 ile πr² arasında olmalı ve küçük ile büyük yaylar toplamı tam olarak 2πr olmalıdır. Bu kontrollerden herhangi biri başarısız olursa, yukarıdaki on hatadan biri nedendir.

Bu altı örnek, hesaplayıcının ana giriş yöntemlerini ve dilim türlerini kapsar. Her biri araca güç veren aynı motorla hesaplanır ve her sonuç bağımsız olarak doğrulanmıştır.

Örnek 1: Yarıçap 6 olan 60 derecelik dilim. Verilenler r = 6 birim, θ = 60° = π / 3 radyan. Yay uzunluğu L = 6 × π / 3 = 6.2831853072 birim. Çap d = 12 birim. Kiriş c = 2 × 6 × sin(30°) = 6 birim. Daire dilimi alanı A = ½ × 36 × π / 3 = 18.8495559215 kare birim. Daire dilimi çevresi P = 6.2831853072 + 12 = 18.2831853072 birim. Parça alanı 3.2610986534 kare birimdir. Tam çevre C = 37.6991118431 birimdir.

Örnek 2: Yarıçap 8 ve 90° olan çeyrek daire dilimi. Verilenler r = 8 birim, θ = 90° = π / 2 radyan. Yay uzunluğu L = 8 × π / 2 = 12.5663706144 birim. Kiriş c = 2 × 8 × sin(45°) = 11.3137084990 birim. Daire dilimi alanı A = ½ × 64 × π / 2 = 50.2654824574 kare birim. Daire dilimi çevresi P = 12.5663706144 + 16 = 28.5663706144 birim. Parça alanı 18.2654824574 kare birimdir. Yay, 50.2654824574 birimlik çevrenin tam olarak dörtte biridir.

Örnek 3: Yarıçap 5 ve 270° olan büyük dilim. Verilenler r = 5 birim, θ = 270° = 3π / 2 radyan. Yay uzunluğu L = 5 × 3π / 2 = 23.5619449019 birim. Kiriş c = 2 × 5 × sin(135°) = 7.0710678119 birim. Daire dilimi alanı A = ½ × 25 × 3π / 2 = 58.9048622548 kare birim. Daire dilimi çevresi P = 23.5619449019 + 10 = 33.5619449019 birim. 90° kullanan tamamlayıcı küçük yay 7.8539816340 birimdir ve tamamlayıcı dilim alanı 19.6349540849 kare birimdir. İki yay toplamı 31.4159265359 birimdir, yani tam çevredir.

Örnek 4: Çap 14 ve 120° olan dilim. Verilenler d = 14 birim, θ = 120° = 2π / 3 radyan. Yarıçap r = 14 / 2 = 7 birim. Yay uzunluğu L = 7 × 2π / 3 = 14.6607657168 birim. Kiriş c = 2 × 7 × sin(60°) = 12.1243556530 birim. Daire dilimi alanı A = ½ × 49 × 2π / 3 = 51.3126800086 kare birim. Daire dilimi çevresi P = 14.6607657168 + 14 = 28.6607657168 birim. Parça alanı 30.0950576159 kare birimdir.

Örnek 5: Alan 50 ve yarıçap 10 olan dilim. Verilenler dilim alanı A = 50 kare birim, yarıçap r = 10 birim. Merkez açı θ = 2 × 50 / 100 = 1 radyan = 57.2957795131°. Yay uzunluğu L = 10 × 1 = 10.0000000000 birim. Kiriş c = 2 × 10 × sin(0.5) = 9.5885107721 birim. Daire dilimi çevresi P = 10.0000000000 + 20 = 30.0000000000 birim. Parça alanı 7.9264507596 kare birimdir. Tamamlayıcı yay 52.8318530718 birimdir.

Örnek 6: Yarıçap 4 ve bilinen yay uzunluğu 6 olan dilim. Verilenler r = 4 birim, L = 6 birim. Merkez açı θ = 6 / 4 = 1.5 radyan = 85.9436692696°. Daire dilimi alanı A = ½ × 16 × 1.5 = 12.0000000000 kare birim. Kiriş c = 2 × 4 × sin(0.75) = 5.4531100802 birim. Daire dilimi çevresi P = 6 + 8 = 14.0000000000 birim. Parça alanı 4.0200401072 kare birimdir. Tamamlayıcı yay 19.1327412287 birimdir ve tamamlayıcı dilim alanı 38.2654824574 kare birimdir.

Hesaplayıcıdaki herhangi bir hazır düğmeye tıklayarak bu örneklerden birini yükleyin ve o giriş için adım adım tam çözümü, canlı diyagramı ve tüm ikincil sonuçları görün.