Calculateur de longueur d'arc de secteur

Le calculateur de longueur d'arc de secteur mesure la distance courbe le long de l'arc d'un secteur circulaire, d'une petite tranche jusqu'au cercle complet. Il accepte sept mesures de départ différentes, vous pouvez donc utiliser la valeur dont vous disposez déjà. Suivez ces étapes pour obtenir une réponse correcte en moins d'une minute.

1. Choisissez la méthode de saisie. Choisissez Rayon + angle central, Diamètre + angle central, Circonférence du cercle complet + angle central, Aire du secteur + rayon, Aire du secteur + angle central, Longueur de la corde + angle central, ou Rayon + longueur d'arc connue. Les champs de saisie, les étiquettes et les listes d'unités changent selon la méthode choisie.
2. Saisissez votre mesure. Tapez la valeur dans le champ de saisie. Pour les méthodes fondées sur l'aire, utilisez la liste des unités carrées (mm², cm², m², km², in², ft², yd²).
3. Saisissez l'angle central. Tapez l'angle en degrés ou en radians avec le bouton DEG/RAD, ou déplacez le curseur d'angle de 0° à 360°. Le schéma en direct et le résultat se mettent à jour pendant que vous le déplacez. Dans les méthodes Aire du secteur + rayon et Rayon + longueur d'arc connue, l'angle est calculé à partir de vos valeurs.
4. Réglez les angles de début et de fin si nécessaire. Le balayage par défaut commence à 0° et tourne dans le sens inverse des aiguilles d'une montre. Modifiez l'angle de début, l'angle de fin ou le sens pour mesurer un secteur n'importe où sur le cercle. C'est le balayage, et non la position, qui détermine la longueur de l'arc. Des angles de début et de fin identiques donnent un arc de longueur nulle, sauf si vous utilisez l'option de cercle complet pour une révolution complète.
5. Choisissez les unités d'entrée et de sortie. Le calculateur convertit votre saisie dans une unité interne cohérente, calcule, puis convertit la réponse dans votre unité de sortie. Le nombre change avec l'unité, la longueur non.
6. Choisissez une précision. Choisissez 2, 4, 6 ou 8 décimales. La valeur par défaut est 4. Le calculateur utilise toujours la valeur complète de π en interne et n'arrondit que le résultat affiché.
7. Cliquez sur Calculer maintenant. Le résultat principal est la longueur d'arc du secteur, avec sa classification : secteur à angle nul, secteur mineur, demi-cercle, secteur majeur ou cercle complet. En dessous, vous obtenez le rayon, le diamètre, la circonférence complète, l'arc complémentaire, la longueur de la corde, l'aire du secteur, le périmètre du secteur, l'aire du segment circulaire, le pourcentage d'arc, les deux formes de l'angle et la comparaison entre secteur mineur et secteur majeur.
8. Explorez le schéma. Le schéma de secteur en direct dessine le cercle complet, ombre le secteur sélectionné en doré et marque le centre O, les lignes de rayon, la corde et les extrémités. Utilisez les boutons pour afficher ou masquer les lignes de rayon, la corde, le point central, le marqueur d'angle et le secteur complémentaire.
9. Copiez, imprimez ou réinitialisez. Utilisez Copier le résultat pour placer la réponse dans votre presse-papiers, Imprimer le résumé pour un rapport simple, ou Réinitialiser pour effacer le panneau. Les boutons prédéfinis chargent instantanément des exemples vérifiés, et les boutons de sélection rapide passent directement à 45°, 60°, 90°, 120°, 180°, 270° ou 360°.

Essayez un exemple. Un rayon de 6 avec un angle de 60° donne un arc de 6.2831853072 unités. Un rayon de 8 avec 90° donne 12.5663706144 unités. Un rayon de 5 avec 270° donne un arc de secteur majeur de 23.5619449019 unités. Un diamètre de 14 avec 120° donne 14.6607657168 unités. Une aire de secteur de 50 avec un rayon de 10 donne un arc de 10.0000000000 unités, et un rayon de 4 avec un arc connu de 6 unités donne un angle de 85.9436692696°.

Conseils importants. Gardez l'unité d'angle cohérente : 60° et 1.0471975512 radians désignent le même angle, mais 60 radians ne valent pas 60°. La longueur d'arc est uniquement la distance courbe, la corde est une mesure différente et elle est toujours plus courte, sauf pour un arc de longueur nulle. Si vous saisissez un diamètre, le calculateur le divise par deux pour trouver le rayon d'abord. L'aire du secteur n'est pas la longueur d'arc : l'une se mesure en unités carrées et l'autre en unités simples. Une mesure nulle ou négative n'est pas un secteur valide, le calculateur la rejette donc au lieu d'afficher une réponse trompeuse.

Un cercle est l'ensemble de tous les points situés à une distance fixe, le rayon, d'un point central O. Un secteur circulaire est la région en forme de coin découpée dans un cercle par deux rayons et l'arc qui les relie, comme une part de tarte. La longueur d'arc du secteur est la distance courbe le long du bord extérieur de ce coin, d'une extrémité de rayon à l'autre, en suivant la courbe.

Imaginez une part de pizza. Les deux bords droits coupés sont les rayons, la pointe est le centre O et la croûte est l'arc. La longueur d'arc est la longueur de la croûte. La ligne droite qui traverse le bout large de la part, reliant les deux extrémités de la croûte, est la corde, et elle est plus courte que la croûte.

Chaque secteur possède les mêmes parties, mises à l'échelle par son rayon. Le centre O est le point fixe. Le rayon r va de O jusqu'à n'importe quel point du cercle. L'angle central θ est l'angle en O entre les deux rayons qui délimitent le secteur, et il détermine la fraction du cercle couverte par le secteur. L'arc est le bord courbe. La corde est la ligne droite entre les extrémités de l'arc. L'aire du secteur est la région située à l'intérieur des deux rayons et de l'arc.

Deux rayons divisent toujours un cercle en deux secteurs : le plus petit, le secteur mineur, et le plus grand, le secteur majeur. Ensemble, ils forment le cercle complet. Celui que vous voulez dépend de votre problème, et le calculateur montre les deux, vous n'avez donc jamais à deviner.

La longueur d'arc d'un secteur est une mesure unidimensionnelle, une longueur, elle est donc exprimée en unités simples comme les cm, les m ou les pouces. Ce n'est pas une aire, et ce n'est pas un angle. Garder ces trois quantités séparées est la première étape pour réussir chaque calcul de secteur.

La longueur d'arc d'un secteur découle directement de la circonférence d'un cercle complet. La circonférence d'un cercle complet est :

Un secteur d'angle central θ couvre la fraction θ / 360 d'une rotation complète de 360°, son arc représente donc la même fraction de la circonférence :

La simplification donne la forme en degrés de la formule :

Quand l'angle est mesuré en radians, la formule est encore plus simple, car le radian est défini par le rayon lui-même :

Chaque symbole des formules a une signification précise :

Les deux formes donnent la même réponse. Utilisez L = πrθ / 180 quand votre angle est en degrés, et L = rθ quand il est en radians. Le calculateur convertit d'abord les degrés en radians puis utilise L = rθ en interne, c'est pourquoi les deux modes concordent toujours.

Utiliser le diamètre au lieu du rayon donne une deuxième forme de la même formule. Comme d = 2r, alors r = d / 2, et la substitution donne L = dθ / 2 en radians, ou L = πdθ / 360 en degrés.

Le rayon plus l'angle central est la façon la plus directe de trouver la longueur d'arc d'un secteur. L'exemple détaillé ci-dessous utilise un rayon de 6 unités et un angle central de 60°.

1. Identifiez le rayon. r = 6 unités.
2. Identifiez l'angle central. θ = 60°.
3. Convertissez les degrés en radians. θ = 60 × π / 180 = π / 3 = 1.0471975512 radians.
4. Écrivez la formule de la longueur d'arc. L = rθ.
5. Remplacez les valeurs. L = 6 × π / 3.
6. Calculez. L = 6.2831853072 unités.
7. Arrondissez si nécessaire. À deux décimales, L = 6.28 unités.

Les mêmes étapes fonctionnent pour n'importe quel rayon et n'importe quel angle. Un rayon de 8 unités avec 90° donne L = 8 × π / 2 = 12.5663706144 unités. Un rayon de 5 unités avec 270° donne L = 5 × 3π / 2 = 23.5619449019 unités. Un rayon de 1 unité avec 60° donne L = 1.0471975512 unités, ce qui est exactement π / 3, une vérification utile : pour r = 1, la longueur d'arc est égale à l'angle en radians.

Règle d'arrondi. N'arrondissez qu'à la fin. Si vous remplacez π par 3.14 avant de multiplier, un rayon de 6 avec 60° donne 6.28 exactement par chance ici, mais pour un rayon de 8 avec 90°, cela donne 12.56 au lieu de 12.5663706144, une erreur de 0.0063706144. Cette erreur grandit avec le rayon, gardez donc la pleine précision pendant tout le calcul et n'arrondissez que le résultat final affiché.

Quand vous connaissez le diamètre au lieu du rayon, divisez-le d'abord par deux, puis appliquez la même formule. L'exemple détaillé ci-dessous utilise un diamètre de 14 unités et un angle central de 120°.

1. Identifiez le diamètre. d = 14 unités.
2. Trouvez le rayon. r = d / 2 = 14 / 2 = 7 unités.
3. Identifiez l'angle central. θ = 120° = 2π / 3 = 2.0943951024 radians.
4. Écrivez la formule. L = rθ, ou directement L = πdθ / 360.
5. Remplacez. L = 7 × 2.0943951024, ou L = π × 14 × 120 / 360.
6. Calculez. L = 14.6607657168 unités.
7. Arrondissez si nécessaire. À deux décimales, L = 14.66 unités.

Les deux méthodes concordent exactement, ce qui est une bonne vérification. La méthode du rayon donne 7 × 2.0943951024 = 14.6607657168. La méthode du diamètre donne π × 14 × 120 / 360 = 14.6607657168. Si les deux diffèrent, le diamètre n'a pas été divisé par deux correctement.

Un autre exemple : un diamètre de 20 unités avec 180° donne r = 10 unités, donc L = π × 10 = 31.4159265359 unités, l'arc du demi-cercle. Un diamètre de 10 unités avec 60° donne r = 5 unités, donc L = 5.2359877560 unités. L'erreur la plus fréquente dans ce calcul est d'oublier la division par deux et d'utiliser le diamètre comme s'il s'agissait du rayon, ce qui double la réponse. Pour d = 14, cette erreur donne 29.3215314336 au lieu de 14.6607657168.

Conseil de mesure. Les diamètres sont souvent plus faciles à mesurer dans la vie réelle que les rayons, car on peut mesurer directement à travers le cercle. C'est pourquoi le calculateur accepte directement le diamètre en entrée : mesurez à travers, saisissez-le, et le calculateur le divise par deux pour vous.

Les degrés sont l'unité quotidienne des angles. Un cercle complet contient 360°, un angle central en degrés vous indique donc directement la fraction du cercle complet couverte par votre secteur. Un angle de 90° couvre un quart du cercle, 180° en couvre la moitié et 270° en couvre les trois quarts.

La formule en degrés est L = πrθ / 180, où θ est en degrés. Elle vient de l'idée de fraction : θ / 360 de la circonférence 2πr, simplifiée.

Exemple détaillé. Rayon de 8 unités, angle de 90°.

1. Identifiez les valeurs. r = 8 unités, θ = 90°.
2. Trouvez la fraction du cercle. 90 / 360 = 1 / 4, un quart de cercle.
3. Écrivez la formule. L = πrθ / 180.
4. Remplacez. L = π × 8 × 90 / 180 = π × 8 / 2.
5. Calculez. L = 12.5663706144 unités.
6. Vérifiez avec la circonférence. La circonférence complète est 2π × 8 = 50.2654824574 unités, et un quart de celle-ci vaut 50.2654824574 / 4 = 12.5663706144 unités. Les deux concordent.

Plus d'exemples en degrés avec un rayon de 5 unités : 30° donne L = 2.6179938780 unités, 45° donne L = 3.9269908170 unités, 120° donne L = 10.4719755120 unités et 270° donne L = 23.5619449019 unités. Notez que doubler l'angle double la longueur d'arc pour un même rayon, car la longueur d'arc est directement proportionnelle à l'angle central.

Erreur fréquente avec les degrés. Mettre une valeur en degrés directement dans L = rθ sans convertir donne une réponse très fausse. Pour r = 5 et 60°, le calcul non converti donne 5 × 60 = 300, alors que la bonne réponse est 5.2359877560. La formule L = rθ exige des radians, convertissez donc d'abord ou utilisez la forme en degrés L = πrθ / 180.

Un radian est l'angle obtenu quand la longueur d'arc est égale au rayon. Si vous enroulez autour du cercle une ficelle de longueur égale au rayon, l'angle qu'elle sous-tend au centre vaut exactement 1 radian. Un cercle complet contient 2π radians, environ 6.2831853072 radians, car la circonférence complète vaut 2πr et la division par r laisse 2π.

La formule en radians est L = rθ, la formule de longueur d'arc la plus simple qui soit. Elle ne contient pas de π, car le π est déjà compris dans la mesure en radians de l'angle.

Exemple détaillé. Rayon de 6 unités, angle de π / 3 radians (soit 60°).

1. Identifiez les valeurs. r = 6 unités, θ = π / 3 = 1.0471975512 radians.
2. Écrivez la formule. L = rθ.
3. Remplacez. L = 6 × 1.0471975512.
4. Calculez. L = 6.2831853072 unités.
5. Vérifiez avec les degrés. π / 3 radians valent 60°, et la formule en degrés donne L = π × 6 × 60 / 180 = 6.2831853072 unités. Les deux concordent exactement.

Plus d'exemples en radians : un rayon de 4 unités avec θ = π / 2 radians donne L = 4 × 1.5707963268 = 6.2831853072 unités. Un rayon de 10 unités avec θ = π radians donne L = 10 × 3.1415926536 = 31.4159265359 unités, l'arc du demi-cercle. Un rayon de 5 unités avec θ = 1 radian donne L = 5 unités, car l'arc est égal au rayon quand l'angle vaut 1 radian.

Pourquoi les radians sont préférés en mathématiques. Les formules de calcul intégral pour la longueur d'arc, ainsi que les formules de la corde, du secteur et de l'aire du segment sur cette page, utilisent toutes les radians. Les degrés sont pratiques pour les mesures quotidiennes, mais les radians rendent les mathématiques nettes, c'est pourquoi le calculateur convertit chaque angle en radians avant de calculer.

La longueur d'arc d'un secteur et l'aire d'un secteur se ressemblent, mais elles mesurent des choses différentes. La longueur d'arc est une distance courbe unidimensionnelle, mesurée en unités simples. L'aire du secteur est une région bidimensionnelle, le coin du cercle découpé par deux rayons et l'arc, mesurée en unités carrées.

Les formules se ressemblent, et c'est exactement pourquoi on les confond :

L'aire du secteur est la longueur d'arc multipliée par la moitié du rayon : A = ½ × r × L. Cette relation est une vérification utile. Pour un rayon de 6 unités et 60°, l'arc vaut 6.2831853072 unités, et l'aire du secteur vaut ½ × 6 × 6.2831853072 = 18.8495559215 unités carrées.

Les unités sont l'indice. Si votre réponse doit être une longueur, l'unité est le cm, le m ou le pouce. Si elle doit être une aire, l'unité est le cm², le m² ou le pouce carré. Une réponse de longueur d'arc en unités carrées, ou une réponse d'aire de secteur en unités simples, est certainement fausse. Le calculateur garde les deux séparées et étiquette les unités clairement.

Une vérification avec le cercle complet. À 360°, le secteur est le cercle entier, l'aire du secteur doit donc être égale à πr². Pour r = 6, π × 36 = 113.0973355292 unités carrées. L'arc vaut en même temps la circonférence complète, 37.6991118431 unités. Les deux viennent du même rayon et du même angle, mais ils répondent à des questions différentes.

Le périmètre d'un secteur est la distance tout autour de sa limite. Un vrai secteur possède trois morceaux de limite : l'arc courbe, le premier rayon et le deuxième rayon. Le périmètre du secteur est donc la longueur d'arc plus deux fois le rayon :

Ici, θ est en radians. Les deux côtés droits mesurent chacun exactement un rayon, ils ajoutent donc 2r à la longueur de l'arc courbe.

Exemple détaillé. Rayon de 6 unités, angle de 60°. L'arc vaut L = 6.2831853072 unités. Les deux rayons ajoutent 2 × 6 = 12 unités. Le périmètre du secteur vaut P = 6.2831853072 + 12 = 18.2831853072 unités.

Plus d'exemples. Rayon de 8 avec 90° : arc 12.5663706144, périmètre 12.5663706144 + 16 = 28.5663706144 unités. Rayon de 5 avec 270° : arc 23.5619449019, périmètre 23.5619449019 + 10 = 33.5619449019 unités. Rayon de 7 avec 120° : arc 14.6607657168, périmètre 14.6607657168 + 14 = 28.6607657168 unités.

Deux cas particuliers. Pour un cercle complet, 360°, la limite ne comporte aucun côté rayon : le périmètre est simplement la circonférence, P = 2πr. Pour r = 6, cela vaut 37.6991118431 unités, et non 37.6991118431 + 12. Pour un secteur à angle nul, 0°, la géométrie est dégénérée : les deux rayons coïncident et l'arc a une longueur nulle, ne présentez donc pas un périmètre de secteur ordinaire pour ce cas. Le calculateur traite le cas d'angle nul comme dégénéré et n'indique pas de valeur de périmètre normale.

Pourquoi cette distinction compte. Si vous commandez une baguette de finition pour un panneau en forme de secteur, vous avez besoin du périmètre, car la finition court le long de l'arc et des deux bords droits. Si vous mesurez seulement le bord courbe, vous avez besoin de la longueur d'arc. Confondre les deux est l'une des erreurs de secteur les plus fréquentes, et le calculateur montre les deux valeurs côte à côte pour que la différence soit toujours visible.

Deux rayons divisent un cercle en deux secteurs. Le plus petit est le secteur mineur, et le plus grand est le secteur majeur. Ils partagent les deux mêmes rayons et, ensemble, ils forment le cercle complet.

L'angle central décide lequel est lequel. Un angle central inférieur à 180° donne un secteur mineur. Un angle central supérieur à 180° donne un secteur majeur, et son angle est un angle réflexe, plus grand qu'un angle plat. Exactement 180° donne un demi-cercle, qui n'est ni mineur ni majeur : les deux secteurs sont égaux.

Les secteurs mineur et majeur sont complémentaires. Pour un angle central plus petit θ, l'arc mineur vaut Lmineur = rθ et l'arc majeur vaut Lmajeur = r(2π - θ). Leur somme est toujours la circonférence complète, et leurs aires de secteur s'ajoutent pour donner l'aire du cercle complet :

Exemple détaillé. Rayon de 6 unités, angle plus petit de 60°. L'arc mineur vaut L = 6 × π / 3 = 6.2831853072 unités, et l'aire du secteur mineur vaut 18.8495559215 unités carrées. L'arc majeur utilise l'angle réflexe 360° - 60° = 300°, donc L = 6 × 5π / 3 = 31.4159265359 unités, et l'aire du secteur majeur vaut 94.2477796077 unités carrées. Les arcs s'ajoutent pour donner 6.2831853072 + 31.4159265359 = 37.6991118431 unités, la circonférence complète, et les aires s'ajoutent pour donner 18.8495559215 + 94.2477796077 = 113.0973355292 unités carrées, l'aire du cercle complet. Le secteur mineur représente 16.67% du cercle et le secteur majeur 83.33%.

Un autre exemple. Rayon de 5 unités, angle de 270°. C'est déjà le secteur majeur : L = 23.5619449019 unités et l'aire du secteur vaut 58.9048622548 unités carrées. Son secteur mineur complémentaire utilise 90° : L = 7.8539816340 unités et l'aire vaut 19.6349540849 unités carrées. La somme est 31.4159265359 unités, la circonférence complète 2π × 5.

Ne confondez pas les deux angles. L'erreur mineur/majeur la plus fréquente est d'utiliser le plus petit angle quand le problème demande le secteur majeur, ou l'inverse. Vérifiez toujours si l'angle qu'on vous a donné est le plus petit ou l'angle réflexe, et rappelez-vous que le calculateur montre les deux secteurs côte à côte pour que vous puissiez choisir celui dont votre problème a besoin.

Un secteur et un segment circulaire sont deux régions différentes d'un cercle, et on les confond facilement car les deux font intervenir un arc. Un secteur est délimité par deux rayons et un arc. Un segment circulaire est délimité par une corde et un arc. Le segment est la partie du secteur qui se trouve au-delà de la corde, il est donc plus petit que le secteur, sauf dans les cas particuliers ci-dessous.

Les formules montrent clairement la différence :

L'aire du segment est l'aire du secteur moins l'aire triangulaire entre les deux rayons et la corde. Ici, θ est le balayage central en radians, entre 0 et 2π. La formule traite correctement les segments mineurs et majeurs : pour un arc mineur, elle donne la petite calotte, et pour un arc majeur, elle donne la grande région qui couvre la majeure partie du cercle.

Exemples détaillés. Pour r = 6 unités et 60°, l'aire du secteur vaut 18.8495559215 unités carrées et l'aire du segment vaut ½ × 36 × (1.0471975512 - 0.8660254038) = 3.2610986534 unités carrées. Le segment est beaucoup plus petit que le secteur, car le triangle occupe la majeure partie du coin. Pour r = 8 et 90°, le segment vaut 18.2654824574 unités carrées. Pour r = 5 et 90°, le segment vaut 7.1349540849 unités carrées.

Cas particuliers. À 180°, sin θ = 0, l'aire du segment est donc égale à l'aire du secteur : ½ πr². Pour r = 5, les deux valent 39.2699081699 unités carrées, ce qui est exactement la moitié du cercle. À 270°, sin θ = -1, le segment est donc plus grand que le secteur : pour r = 5, le secteur vaut 58.9048622548 unités carrées et le segment vaut 71.4048622548 unités carrées. À 360°, la corde disparaît et le segment est le cercle entier, πr².

Segment et secteur, en une phrase. Le secteur est le coin depuis le centre. Le segment est la calotte au-delà de la corde. Si votre problème fait intervenir le centre, vous voulez le secteur. S'il ne fait intervenir que l'arc et sa corde, vous voulez le segment.

La longueur de la corde et la longueur d'arc d'un secteur relient les deux mêmes points d'un cercle, mais elles suivent des chemins différents. L'arc suit la courbe. La corde coupe droit à travers. L'arc est presque toujours plus long.

Les formules montrent clairement la différence :

La corde dépend du sinus de la moitié de l'angle, qui croît plus lentement que l'angle lui-même, l'écart entre l'arc et la corde s'élargit donc quand l'angle grandit.

Trois faits du tableau valent la peine d'être retenus. À 30°, l'arc n'est que d'environ 1.15% plus long que la corde, donc pour les petits angles, les deux sont proches. À 180°, la corde est le diamètre, 10 unités, tandis que l'arc vaut πr = 15.7079632679 unités. À 270°, la corde retombe à 7.0710678119 unités, comme à 90°, car la corde dépend du plus petit angle entre les extrémités, tandis que l'arc continue de grandir avec le balayage.

Cas particulier. À 60°, la corde est exactement égale au rayon : c = 2r sin(30°) = 2r × 0.5 = r. Pour r = 6, la corde vaut 6 unités, et le rayon, la corde et les deux rayons forment un triangle équilatéral. C'est une vérification pratique et un classique des examens.

Pourquoi cela compte. Si vous coupez un tuyau courbe, vous avez besoin de la longueur d'arc. Si vous mesurez l'écart droit entre deux points d'une pièce circulaire, vous avez besoin de la corde. Les confondre est l'une des erreurs de cercle les plus fréquentes, et le calculateur montre les deux valeurs ensemble pour que la différence soit toujours visible.

Parfois, ni le rayon ni l'angle ne sont donnés. Le calculateur travaille à rebours à partir de quatre autres mesures en déduisant d'abord la valeur manquante, puis en appliquant L = rθ comme d'habitude. Les sept méthodes donnent le même rayon et la même longueur d'arc pour un même secteur, vous pouvez donc utiliser la mesure dont vous disposez réellement.

À partir de la circonférence du cercle complet. La circonférence complète vaut C = 2πr, donc r = C / (2π). Pour C = 37.6991118431 unités, r = 37.6991118431 / 6.2831853072 = 6 unités. Puis un arc de secteur de 60° vaut L = 6 × π / 3 = 6.2831853072 unités. Notez le raccourci : un arc de 60° est un sixième de la circonférence, et 37.6991118431 / 6 = 6.2831853072 unités.

À partir de la longueur de la corde. La formule de la corde est c = 2r sin(θ / 2), donc r = c / [2 sin(θ / 2)]. Pour une corde de 6 unités avec un angle de 60°, r = 6 / (2 × sin 30°) = 6 / (2 × 0.5) = 6 unités. Puis L = 6.2831853072 unités. La saisie par la corde ne fonctionne que quand l'angle est strictement compris entre 0° et 360° : à 0° ou 360°, la corde est nulle et aucun rayon ne peut être retrouvé, le calculateur rejette donc ces angles pour cette méthode.

À partir de l'aire du secteur et du rayon. L'aire du secteur vaut A = ½r²θ, donc θ = 2A / r². Pour une aire de secteur de 50 unités carrées avec un rayon de 10 unités, θ = 2 × 50 / 100 = 1 radian = 57.2957795131°. Puis L = 10 × 1 = 10.0000000000 unités. Cette méthode exige que l'aire du secteur ne dépasse pas l'aire du cercle complet πr² : pour r = 10, cette limite est 314.1592653590 unités carrées, une aire supérieure est donc rejetée.

À partir de l'aire du secteur et de l'angle. Réarrangée de la même façon, r = √(2A / θ) avec θ en radians. Pour une aire de secteur de 18.8495559215 unités carrées avec un angle de 60°, θ = 1.0471975512 radians, donc r = √(2 × 18.8495559215 / 1.0471975512) = √(36) = 6 unités. Puis L = 6.2831853072 unités. Cette méthode exige l'angle en plus de l'aire, car la même aire de secteur peut provenir de nombreuses combinaisons de rayon et d'angle.

À partir du rayon et d'une longueur d'arc connue. L'angle vaut θ = L / r. Pour un rayon de 4 unités et un arc connu de 6 unités, θ = 6 / 4 = 1.5 radians = 85.9436692696°. Puis l'aire du secteur vaut A = ½ × 16 × 1.5 = 12.0000000000 unités carrées, et le périmètre vaut P = 6 + 8 = 14.0000000000 unités. Cette méthode exige que l'arc ne dépasse pas la circonférence complète 2πr : pour r = 4, cette limite est 25.1327412287 unités.

Quelle entrée utiliser. Utilisez la mesure dont vous disposez réellement. Si deux mesures différentes donnent des rayons différents, l'une des mesures est fausse, et cet écart vaut la peine d'être examiné avant de faire confiance à l'une ou l'autre réponse.

La longueur d'arc d'un secteur n'est pas un exercice abstrait de classe. Partout où une distance courbe sur un cercle doit être mesurée, coupée, construite ou parcourue, la même formule s'applique.

Génie mécanique. Le cintrage de tuyaux commence par la longueur d'arc : un tuyau cintré à 90° avec un rayon de cintrage de 8 unités nécessite 12.5663706144 unités de tuyau pour le seul cintrage. La tôle roulée en panneau courbe, un profil de dent d'engrenage et une forme de came exigent tous la longueur courbe avant que le matériau soit coupé. Se tromper gaspille du matériau ou laisse une pièce trop courte.

Architecture et construction. Les portes en arc, les fenêtres circulaires, les dômes et les escaliers courbes sont dimensionnés par leurs arcs. Un arc en plein cintre d'un rayon de 10 unités nécessite 31.4159265359 unités de baguette le long de la courbe. Un auvent en forme de secteur d'un rayon de 6 unités et d'un angle de 60° nécessite 6.2831853072 unités de bordure le long de la courbe et 18.2831853072 unités autour de toute la limite.

Routes et pistes. Un virage routier circulaire, un virage de piste d'athlétisme ou une courbe de chemin de fer sont tracés par le rayon et l'angle central. La longueur de la courbe détermine la quantité d'asphalte, la longueur de rail et la distance parcourue par un véhicule dans le virage. Une courbe de 120° avec un rayon de 7 unités mesure 14.6607657168 unités de long.

Pizza et partage des aliments. Une part de pizza est un secteur. Si une pizza a un rayon de 6 unités, une part coupée à 60° a une croûte de 6.2831853072 unités et une aire de 18.8495559215 unités carrées. Six parts de ce type forment la pizza entière, et leurs croûtes s'ajoutent pour donner 37.6991118431 unités, la circonférence complète. Couper des parts égales est un problème de division de secteur : des angles égaux donnent des arcs égaux et des aires égales.

Horloges, roues et robotique. Une aiguille d'horloge balaye un arc au fil du temps. Une roue qui roule sur le sol couvre une distance égale à l'arc qu'elle parcourt. Un bras de robot qui tourne autour d'une articulation déplace sa pince le long d'un arc circulaire, et la distance qu'il parcourt vaut rθ, c'est pourquoi les radians sont l'unité naturelle en robotique.

Infographie et CAO. Les courbes des modèles de CAO, des polices et des animations sont construites à partir d'arcs circulaires. La longueur d'un arc détermine la division d'un parcours d'outil, le rendu d'une courbe et la distance parcourue par un objet le long d'un chemin circulaire dans une animation. Une pièce en forme de secteur en CAO est définie par exactement le rayon et l'angle utilisés par ce calculateur.

Une remarque sur les formes réelles. Toutes les structures courbes ne sont pas des cercles parfaits. Les arcs réels peuvent être elliptiques ou paraboliques, et les routes réelles utilisent des transitions en clothoïde. Les formules de secteur de cette page s'appliquent exactement quand la courbe est un véritable arc circulaire, et elles ne sont une bonne approximation que quand la courbe est proche d'un cercle. Confirmez toujours la forme avant d'appliquer la formule.

La plupart des réponses fausses en longueur d'arc de secteur proviennent d'une petite liste d'erreurs. Vérifier chacune d'elles prend quelques secondes et évite la plupart des fautes.

1. Utiliser les degrés directement dans la formule en radians. L = rθ exige des radians. Mettre 60° directement donne 6 × 60 = 360 au lieu de 6.2831853072. Convertissez d'abord, ou utilisez L = πrθ / 180.
2. Confondre le rayon et le diamètre. La formule exige r, et non d. Utiliser d = 14 comme rayon double la réponse : 29.3215314336 au lieu de 14.6607657168 pour un secteur de 120°. Divisez d'abord le diamètre par deux.
3. Confondre l'aire du secteur et la longueur d'arc. L'aire du secteur est une région bidimensionnelle en unités carrées. La longueur d'arc est une distance unidimensionnelle en unités simples. Pour r = 6 et 60°, l'aire du secteur vaut 18.8495559215 unités carrées et l'arc vaut 6.2831853072 unités. Des quantités différentes, des unités différentes.
4. Confondre le périmètre du secteur et la longueur d'arc. Le périmètre ajoute deux côtés de rayon : P = L + 2r. Pour r = 6 et 60°, l'arc vaut 6.2831853072 unités mais le périmètre vaut 18.2831853072 unités. Utiliser le périmètre quand le problème demande l'arc surestime la réponse de 12 unités.
5. Utiliser le mauvais angle central. Un problème de secteur peut donner l'angle entre la corde et une tangente, ou un angle inscrit, au lieu de l'angle central. Un angle inscrit vaut la moitié de l'angle central pour le même arc. Si un problème donne un angle inscrit φ, l'angle central vaut θ = 2φ, et l'arc vaut L = r × 2φ. Utiliser φ directement divise la réponse par deux.
6. Confondre les secteurs mineur et majeur. Un angle de 270° donne un arc de secteur majeur de 23.5619449019 unités pour r = 5. Utiliser le plus petit angle 90° à la place donne 7.8539816340 unités, l'arc mineur. Vérifiez quel secteur le problème demande.
7. Utiliser une formule de corde incorrecte. La corde vaut c = 2r sin(θ / 2), avec la moitié de l'angle dans le sinus. Utiliser sin(θ) à la place donne une valeur fausse : pour r = 6 et 60°, la corde correcte vaut 6 unités, tandis que 2 × 6 × sin(60°) = 10.3923048454 unités.
8. Mélanger les unités linéaires et les unités carrées. Un rayon en cm et un angle en degrés conviennent, mais la réponse sort en cm. Une aire de secteur en cm² doit être convertie avec le facteur carré : 1 m² vaut 10,000 cm², et non 100 cm². Mélanger les cm et les pouces dans un même calcul, ou oublier de convertir l'unité de sortie, donne un nombre de mauvaise taille. Convertissez d'abord, calculez ensuite.
9. Arrondir π trop tôt. Remplacer π par 3.14 avant de multiplier introduit une erreur qui grandit avec le rayon. Gardez la valeur complète de π pendant tout le calcul et n'arrondissez que le résultat final affiché.
10. Oublier de convertir l'angle en radians. Chaque formule de secteur qui utilise θ sans 180, y compris l'aire du secteur A = ½r²θ, la corde c = 2r sin(θ / 2) et l'aire du segment A = ½r²(θ - sin θ), exige θ en radians. Les degrés ne fonctionnent que dans les formes en degrés des formules.

Une vérification finale qui détecte la plupart de ces erreurs. Vérifiez le résultat par rapport à la circonférence. L'arc doit être compris entre 0 et 2πr, il doit être plus long que la corde, l'aire du secteur doit être comprise entre 0 et πr², et les arcs mineur et majeur doivent s'ajouter pour donner exactement 2πr. Si l'une de ces vérifications échoue, l'une des dix erreurs ci-dessus en est la cause.

Ces six exemples couvrent les principales méthodes de saisie du calculateur et les types de secteur. Chacun est calculé par le même moteur qui alimente l'outil, et chaque résultat a été vérifié indépendamment.

Exemple 1 : secteur de 60 degrés avec un rayon de 6. Donnés r = 6 unités, θ = 60° = π / 3 radians. Longueur d'arc L = 6 × π / 3 = 6.2831853072 unités. Diamètre d = 12 unités. Corde c = 2 × 6 × sin(30°) = 6 unités. Aire du secteur A = ½ × 36 × π / 3 = 18.8495559215 unités carrées. Périmètre du secteur P = 6.2831853072 + 12 = 18.2831853072 unités. L'aire du segment est de 3.2610986534 unités carrées. Circonférence complète C = 37.6991118431 unités.

Exemple 2 : secteur en quart de cercle avec un rayon de 8 et 90°. Donnés r = 8 unités, θ = 90° = π / 2 radians. Longueur d'arc L = 8 × π / 2 = 12.5663706144 unités. Corde c = 2 × 8 × sin(45°) = 11.3137084990 unités. Aire du secteur A = ½ × 64 × π / 2 = 50.2654824574 unités carrées. Périmètre du secteur P = 12.5663706144 + 16 = 28.5663706144 unités. L'aire du segment est de 18.2654824574 unités carrées. L'arc vaut exactement un quart de la circonférence de 50.2654824574 unités.

Exemple 3 : secteur majeur avec un rayon de 5 et 270°. Donnés r = 5 unités, θ = 270° = 3π / 2 radians. Longueur d'arc L = 5 × 3π / 2 = 23.5619449019 unités. Corde c = 2 × 5 × sin(135°) = 7.0710678119 unités. Aire du secteur A = ½ × 25 × 3π / 2 = 58.9048622548 unités carrées. Périmètre du secteur P = 23.5619449019 + 10 = 33.5619449019 unités. L'arc mineur complémentaire, avec 90°, vaut 7.8539816340 unités, et l'aire du secteur complémentaire vaut 19.6349540849 unités carrées. Les deux arcs s'ajoutent pour donner 31.4159265359 unités, la circonférence complète.

Exemple 4 : secteur à partir d'un diamètre de 14 et de 120°. Donnés d = 14 unités, θ = 120° = 2π / 3 radians. Rayon r = 14 / 2 = 7 unités. Longueur d'arc L = 7 × 2π / 3 = 14.6607657168 unités. Corde c = 2 × 7 × sin(60°) = 12.1243556530 unités. Aire du secteur A = ½ × 49 × 2π / 3 = 51.3126800086 unités carrées. Périmètre du secteur P = 14.6607657168 + 14 = 28.6607657168 unités. L'aire du segment est de 30.0950576159 unités carrées.

Exemple 5 : secteur à partir d'une aire de 50 et d'un rayon de 10. Donnés aire du secteur A = 50 unités carrées, rayon r = 10 unités. Angle central θ = 2 × 50 / 100 = 1 radian = 57.2957795131°. Longueur d'arc L = 10 × 1 = 10.0000000000 unités. Corde c = 2 × 10 × sin(0.5) = 9.5885107721 unités. Périmètre du secteur P = 10.0000000000 + 20 = 30.0000000000 unités. L'aire du segment est de 7.9264507596 unités carrées. L'arc complémentaire vaut 52.8318530718 unités.

Exemple 6 : secteur à partir d'un rayon de 4 et d'une longueur d'arc connue de 6. Donnés r = 4 unités, L = 6 unités. Angle central θ = 6 / 4 = 1.5 radians = 85.9436692696°. Aire du secteur A = ½ × 16 × 1.5 = 12.0000000000 unités carrées. Corde c = 2 × 4 × sin(0.75) = 5.4531100802 unités. Périmètre du secteur P = 6 + 8 = 14.0000000000 unités. L'aire du segment est de 4.0200401072 unités carrées. L'arc complémentaire vaut 19.1327412287 unités, et l'aire du secteur complémentaire vaut 38.2654824574 unités carrées.

Cliquez sur n'importe quel bouton prédéfini du calculateur pour charger l'un de ces exemples et voir la solution complète étape par étape, le schéma en direct et tous les résultats secondaires pour cette saisie.