Sektorbogenlängenrechner

Der Sektorbogenlängenrechner misst die gekrümmte Distanz entlang des Bogens eines Kreissektors, von einem kleinen Ausschnitt bis zum vollständigen Kreis. Er akzeptiert sieben verschiedene Ausgangsmessungen, sodass Sie den Wert verwenden können, den Sie bereits haben. Befolgen Sie diese Schritte, um in weniger als einer Minute eine korrekte Antwort zu erhalten.

1. Wählen Sie die Eingabemethode. Wählen Sie Radius + Zentriwinkel, Durchmesser + Zentriwinkel, Vollständiger Kreisumfang + Zentriwinkel, Sektorfläche + Radius, Sektorfläche + Zentriwinkel, Sehnenlänge + Zentriwinkel oder Radius + Bekannte Bogenlänge. Die Eingabefelder, Beschriftungen und Einheitenlisten ändern sich entsprechend der gewählten Methode.
2. Geben Sie Ihre Messung ein. Tippen Sie den Wert in das Eingabefeld ein. Verwenden Sie bei Flächenmethoden die Liste der quadrierten Einheiten (mm², cm², m², km², in², ft², yd²).
3. Geben Sie den Zentriwinkel ein. Tippen Sie den Winkel in Grad oder Radiant über den DEG/RAD-Schalter ein, oder ziehen Sie den Winkelschieberegler von 0° bis 360°. Das Live-Diagramm und das Ergebnis aktualisieren sich, während Sie ihn bewegen. Bei den Methoden Sektorfläche + Radius und Radius + Bekannte Bogenlänge wird der Winkel stattdessen aus Ihren Werten berechnet.
4. Legen Sie bei Bedarf Anfangs- und Endwinkel fest. Die Standarddrehung beginnt bei 0° und verläuft gegen den Uhrzeigersinn. Ändern Sie den Anfangswinkel, den Endwinkel oder die Richtung, um einen Sektor an einer beliebigen Stelle des Kreises zu messen. Die Drehung, nicht die Position, bestimmt die Bogenlänge. Gleiche Anfangs- und Endwinkel bedeuten einen Bogen der Länge null, es sei denn, Sie verwenden die Vollkreis-Option für eine vollständige Umdrehung.
5. Wählen Sie Eingabe- und Ausgabeeinheiten. Der Rechner wandelt Ihre Eingabe in eine konsistente interne Einheit um, berechnet, und wandelt dann die Antwort in Ihre Ausgabeeinheit um. Die Zahl ändert sich mit der Einheit; die Länge ändert sich nicht.
6. Wählen Sie eine Genauigkeit. Wählen Sie 2, 4, 6 oder 8 Dezimalstellen. Die Voreinstellung ist 4. Der Rechner verwendet intern immer π mit voller Genauigkeit und rundet nur das angezeigte Ergebnis.
7. Klicken Sie auf Jetzt berechnen. Das Hauptergebnis ist die Sektorbogenlänge mit ihrer Klassifizierung: Nullwinkelsektor, kleiner Sektor, Halbkreis, großer Sektor oder vollständiger Kreis. Darunter erhalten Sie den Radius, den Durchmesser, den vollständigen Umfang, den komplementären Bogen, die Sehnenlänge, die Sektorfläche, den Sektorumpfang, die Kreissegmentfläche, den Bogenprozentsatz, beide Winkelformen und den Vergleich von kleinem und großem Sektor.
8. Erkunden Sie das Diagramm. Das Live-Sektordiagramm zeichnet den vollständigen Kreis, schattiert den ausgewählten Sektor in Gold und markiert den Mittelpunkt O, die Radiuslinien, die Sehne und die Endpunkte. Verwenden Sie die Schalter, um die Radiuslinien, die Sehne, den Mittelpunkt, die Winkelmarkierung und den komplementären Sektor ein- oder auszublenden.
9. Kopieren, drucken oder zurücksetzen. Verwenden Sie Ergebnis kopieren, um die Antwort in Ihre Zwischenablage zu kopieren, Zusammenfassung drucken für einen einfachen Bericht oder Zurücksetzen, um das Panel zu leeren. Die Voreinstellungsschaltflächen laden sofort geprüfte Beispiele, und die Schnellauswahlschaltflächen springen direkt zu 45°, 60°, 90°, 120°, 180°, 270° oder 360°.

Probieren Sie ein Beispiel aus. Radius 6 mit einem Winkel von 60° ergibt einen Bogen von 6.2831853072 Einheiten. Radius 8 mit 90° ergibt 12.5663706144 Einheiten. Radius 5 mit 270° ergibt einen Bogen des großen Sektors von 23.5619449019 Einheiten. Durchmesser 14 mit 120° ergibt 14.6607657168 Einheiten. Sektorfläche 50 mit Radius 10 ergibt einen Bogen von 10.0000000000 Einheiten, und Radius 4 mit einem bekannten Bogen von 6 Einheiten ergibt einen Winkel von 85.9436692696°.

Wichtige Tipps. Halten Sie die Winkeleinheit konsistent: 60° und 1.0471975512 Radiant sind derselbe Winkel, aber 60 Radiant sind nicht 60°. Die Bogenlänge ist nur die gekrümmte Distanz; die Sehne ist eine andere Messung und ist immer kürzer, außer bei einem Bogen der Länge null. Wenn Sie einen Durchmesser eingeben, halbiert der Rechner ihn zuerst, um den Radius zu finden. Die Sektorfläche ist nicht die Bogenlänge: Die eine wird in Quadrateinheiten gemessen und die andere in einfachen Einheiten. Eine Messung von null oder negativ ist kein gültiger Sektor, daher weist der Rechner sie zurück, anstatt eine irreführende Antwort zu zeigen.

Ein Kreis ist die Menge aller Punkte in einem festen Abstand, dem Radius, von einem Mittelpunkt O. Ein Kreissektor ist der keilförmige Bereich, der aus einem Kreis durch zwei Radien und den Bogen zwischen ihnen herausgeschnitten wird, wie ein Stück einer Torte. Die Sektorbogenlänge ist die gekrümmte Distanz entlang der Außenkante dieses Keils, von einem Radiusendpunkt zum anderen, der Kurve folgend.

Stellen Sie sich ein Stück Pizza vor. Die beiden geraden Schnittkanten sind die Radien, das spitze Ende ist der Mittelpunkt O, und die Kruste ist der Bogen. Die Bogenlänge ist die Länge der Kruste. Die gerade Linie über das breite Ende des Stücks, die die beiden Krustenendpunkte verbindet, ist die Sehne, und sie ist kürzer als die Kruste.

Jeder Sektor hat dieselben Teile, skaliert nach seinem Radius. Der Mittelpunkt O ist der feste Punkt. Der Radius r verläuft von O zu einem beliebigen Punkt auf dem Kreis. Der Zentriwinkel θ ist der Winkel bei O zwischen den beiden Radien, die den Sektor begrenzen, und er bestimmt, welchen Bruchteil des Kreises der Sektor abdeckt. Der Bogen ist die gekrümmte Kante. Die Sehne ist die gerade Linie zwischen den Bogenendpunkten. Die Sektorfläche ist der Bereich innerhalb der beiden Radien und des Bogens.

Zwei Radien teilen einen Kreis immer in zwei Sektoren: den kleineren, den kleinen Sektor, und den größeren, den großen Sektor. Zusammen ergeben sie den vollständigen Kreis. Welchen Sie brauchen, hängt von Ihrer Aufgabe ab, und der Rechner zeigt beide, sodass Sie nie raten müssen.

Die Sektorbogenlänge ist eine eindimensionale Messung, eine Länge, daher wird sie in einfachen Einheiten wie cm, m oder Zoll angegeben. Sie ist keine Fläche und kein Winkel. Diese drei Größen auseinanderzuhalten, ist der erste Schritt, um jede Sektorberechnung richtig zu machen.

Die Sektorbogenlänge ergibt sich direkt aus dem Umfang eines vollständigen Kreises. Der Umfang eines vollständigen Kreises ist:

Ein Sektor mit dem Zentriwinkel θ deckt den Bruchteil θ / 360 einer vollständigen 360°-Drehung ab, sodass sein Bogen derselbe Bruchteil des Umfangs ist:

Vereinfacht ergibt sich die Gradform der Formel:

Wenn der Winkel in Radiant gemessen wird, ist die Formel noch einfacher, weil ein Radiant durch den Radius selbst definiert ist:

Jedes Symbol in den Formeln hat eine genaue Bedeutung:

Beide Formen liefern dieselbe Antwort. Verwenden Sie L = πrθ / 180, wenn Ihr Winkel in Grad angegeben ist, und L = rθ, wenn er in Radiant angegeben ist. Der Rechner wandelt Grad zuerst in Radiant um und verwendet dann intern L = rθ, weshalb die beiden Modi immer übereinstimmen.

Die Verwendung des Durchmessers anstelle des Radius ergibt eine zweite Form derselben Formel. Da d = 2r ist, gilt r = d / 2, und Einsetzen ergibt L = dθ / 2 in Radiant oder L = πdθ / 360 in Grad.

Radius plus Zentriwinkel ist der direkteste Weg, um eine Sektorbogenlänge zu finden. Das ausgearbeitete Beispiel unten verwendet einen Radius von 6 Einheiten und einen Zentriwinkel von 60°.

1. Bestimmen Sie den Radius. r = 6 Einheiten.
2. Bestimmen Sie den Zentriwinkel. θ = 60°.
3. Rechnen Sie Grad in Radiant um. θ = 60 × π / 180 = π / 3 = 1.0471975512 Radiant.
4. Schreiben Sie die Bogenlängenformel auf. L = rθ.
5. Setzen Sie die Werte ein. L = 6 × π / 3.
6. Berechnen Sie. L = 6.2831853072 Einheiten.
7. Runden Sie nach Bedarf. Auf zwei Dezimalstellen gerundet, L = 6.28 Einheiten.

Dieselben Schritte funktionieren für jeden Radius und Winkel. Ein Radius von 8 Einheiten mit 90° ergibt L = 8 × π / 2 = 12.5663706144 Einheiten. Ein Radius von 5 Einheiten mit 270° ergibt L = 5 × 3π / 2 = 23.5619449019 Einheiten. Ein Radius von 1 Einheit mit 60° ergibt L = 1.0471975512 Einheiten, was genau π / 3 ist, eine nützliche Prüfung: Für r = 1 entspricht die Bogenlänge dem Winkel in Radiant.

Rundungsregel. Runden Sie erst am Ende. Wenn Sie π vor dem Multiplizieren durch 3.14 ersetzen, ergibt ein Radius von 6 mit 60° hier zufällig genau 6.28, aber für einen Radius von 8 mit 90° ergibt es 12.56 statt 12.5663706144, ein Fehler von 0.0063706144. Dieser Fehler wächst mit dem Radius, also behalten Sie die volle Genauigkeit während der Berechnung bei und runden Sie erst das endgültig angezeigte Ergebnis.

Wenn Sie den Durchmesser anstelle des Radius kennen, halbieren Sie ihn zuerst und wenden Sie dann dieselbe Formel an. Das ausgearbeitete Beispiel unten verwendet einen Durchmesser von 14 Einheiten und einen Zentriwinkel von 120°.

1. Bestimmen Sie den Durchmesser. d = 14 Einheiten.
2. Finden Sie den Radius. r = d / 2 = 14 / 2 = 7 Einheiten.
3. Bestimmen Sie den Zentriwinkel. θ = 120° = 2π / 3 = 2.0943951024 Radiant.
4. Schreiben Sie die Formel auf. L = rθ, oder direkt L = πdθ / 360.
5. Setzen Sie ein. L = 7 × 2.0943951024, oder L = π × 14 × 120 / 360.
6. Berechnen Sie. L = 14.6607657168 Einheiten.
7. Runden Sie nach Bedarf. Auf zwei Dezimalstellen gerundet, L = 14.66 Einheiten.

Beide Wege stimmen exakt überein, was eine gute Selbstprüfung ist. Der Radiusweg ergibt 7 × 2.0943951024 = 14.6607657168. Der Durchmesserweg ergibt π × 14 × 120 / 360 = 14.6607657168. Wenn die beiden nicht übereinstimmen, wurde der Durchmesser nicht korrekt halbiert.

Ein weiteres Beispiel: Ein Durchmesser von 20 Einheiten mit 180° ergibt r = 10 Einheiten, also L = π × 10 = 31.4159265359 Einheiten, der Halbkreisbogen. Ein Durchmesser von 10 Einheiten mit 60° ergibt r = 5 Einheiten, also L = 5.2359877560 Einheiten. Der häufigste Fehler bei dieser Berechnung ist, die Division durch zwei zu vergessen und den Durchmesser so zu verwenden, als wäre er der Radius, was die Antwort verdoppelt. Für d = 14 ergibt dieser Fehler 29.3215314336 statt 14.6607657168.

Messtipp. Durchmesser lassen sich im echten Leben oft leichter messen als Radien, weil man gerade über den Kreis hinweg messen kann. Deshalb akzeptiert der Rechner die Durchmessereingabe direkt: Messen Sie quer, geben Sie ihn ein, und der Rechner halbiert ihn für Sie.

Grad sind die alltägliche Einheit für Winkel. Ein vollständiger Kreis enthält 360°, sodass ein Zentriwinkel in Grad direkt angibt, welchen Bruchteil des vollen Kreises Ihr Sektor abdeckt. Ein Winkel von 90° deckt ein Viertel des Kreises ab, 180° deckt die Hälfte ab, und 270° deckt drei Viertel ab.

Die Gradformel lautet L = πrθ / 180, wobei θ in Grad angegeben ist. Sie ergibt sich aus der Bruchteilidee: θ / 360 des Umfangs 2πr, vereinfacht.

Ausgearbeitetes Beispiel. Radius 8 Einheiten, Winkel 90°.

1. Bestimmen Sie die Werte. r = 8 Einheiten, θ = 90°.
2. Finden Sie den Bruchteil des Kreises. 90 / 360 = 1 / 4, ein Viertelkreis.
3. Schreiben Sie die Formel auf. L = πrθ / 180.
4. Setzen Sie ein. L = π × 8 × 90 / 180 = π × 8 / 2.
5. Berechnen Sie. L = 12.5663706144 Einheiten.
6. Prüfen Sie anhand des Umfangs. Der vollständige Umfang ist 2π × 8 = 50.2654824574 Einheiten, und ein Viertel davon ist 50.2654824574 / 4 = 12.5663706144 Einheiten. Die beiden stimmen überein.

Weitere Gradbeispiele mit einem Radius von 5 Einheiten: 30° ergibt L = 2.6179938780 Einheiten, 45° ergibt L = 3.9269908170 Einheiten, 120° ergibt L = 10.4719755120 Einheiten, und 270° ergibt L = 23.5619449019 Einheiten. Beachten Sie, dass eine Verdoppelung des Winkels die Bogenlänge bei gleichem Radius verdoppelt, weil die Bogenlänge direkt proportional zum Zentriwinkel ist.

Häufiger Gradfehler. Wenn Sie einen Gradwert direkt in L = rθ einsetzen, ohne ihn umzurechnen, erhalten Sie eine völlig falsche Antwort. Für r = 5 und 60° ergibt die nicht umgerechnete Rechnung 5 × 60 = 300, aber die korrekte Antwort ist 5.2359877560. Die Formel L = rθ braucht Radiant, also rechnen Sie entweder zuerst um oder verwenden Sie die Gradform L = πrθ / 180.

Ein Radiant ist der Winkel, den Sie erhalten, wenn die Bogenlänge dem Radius entspricht. Wenn Sie eine Schnur in der Länge des Radius um den Kreis wickeln, ist der Winkel, den sie am Mittelpunkt einschließt, genau 1 Radiant. Ein vollständiger Kreis enthält 2π Radiant, etwa 6.2831853072 Radiant, weil der volle Umfang 2πr beträgt und das Teilen durch r 2π übrig lässt.

Die Radiantformel lautet L = rθ, die einfachste Bogenlängenformel, die es gibt. Sie enthält kein π, weil das π bereits im Radiantmaß des Winkels enthalten ist.

Ausgearbeitetes Beispiel. Radius 6 Einheiten, Winkel π / 3 Radiant (das sind 60°).

1. Bestimmen Sie die Werte. r = 6 Einheiten, θ = π / 3 = 1.0471975512 Radiant.
2. Schreiben Sie die Formel auf. L = rθ.
3. Setzen Sie ein. L = 6 × 1.0471975512.
4. Berechnen Sie. L = 6.2831853072 Einheiten.
5. Prüfen Sie anhand der Grad. π / 3 Radiant sind 60°, und die Gradformel ergibt L = π × 6 × 60 / 180 = 6.2831853072 Einheiten. Die beiden stimmen exakt überein.

Weitere Radiantbeispiele: Ein Radius von 4 Einheiten mit θ = π / 2 Radiant ergibt L = 4 × 1.5707963268 = 6.2831853072 Einheiten. Ein Radius von 10 Einheiten mit θ = π Radiant ergibt L = 10 × 3.1415926536 = 31.4159265359 Einheiten, den Halbkreisbogen. Ein Radius von 5 Einheiten mit θ = 1 Radiant ergibt L = 5 Einheiten, weil der Bogen dem Radius entspricht, wenn der Winkel 1 Radiant beträgt.

Warum Radiant in der Mathematik bevorzugt werden. Die Analysisformeln für die Bogenlänge und die Formeln für Sehne, Sektor- und Segmentfläche auf dieser Seite verwenden alle Radiant. Grad sind für alltägliche Messungen praktisch, aber Radiant machen die Mathematik sauber, weshalb der Rechner jeden Winkel vor der Berechnung in Radiant umwandelt.

Sektorbogenlänge und Sektorfläche klingen ähnlich, aber sie messen verschiedene Dinge. Die Bogenlänge ist eine eindimensionale gekrümmte Distanz, gemessen in einfachen Einheiten. Die Sektorfläche ist eine zweidimensionale Region, der Keil des Kreises, der durch zwei Radien und den Bogen herausgeschnitten wird, gemessen in Quadrateinheiten.

Die Formeln sehen ähnlich aus, und genau deshalb werden sie verwechselt:

Die Sektorfläche ist die Bogenlänge multipliziert mit dem halben Radius: A = ½ × r × L. Diese Beziehung ist eine nützliche Prüfung. Für einen Radius von 6 Einheiten und 60° beträgt der Bogen 6.2831853072 Einheiten, und die Sektorfläche beträgt ½ × 6 × 6.2831853072 = 18.8495559215 Quadrateinheiten.

Die Einheiten sind der Hinweis. Wenn Ihre Antwort eine Länge sein soll, ist die Einheit cm, m oder Zoll. Wenn sie eine Fläche sein soll, ist die Einheit cm², m² oder Quadratzoll. Eine Bogenlängen-Antwort in Quadrateinheiten oder eine Sektorflächen-Antwort in einfachen Einheiten ist sicher falsch. Der Rechner hält die beiden getrennt und beschriftet die Einheiten klar.

Eine Vollkreisprüfung. Bei 360° ist der Sektor der ganze Kreis, sodass die Sektorfläche πr² entsprechen muss. Für r = 6 ist π × 36 = 113.0973355292 Quadrateinheiten. Der Bogen beträgt gleichzeitig den vollen Umfang, 37.6991118431 Einheiten. Beide stammen aus demselben Radius und Winkel, beantworten aber verschiedene Fragen.

Der Umfang eines Sektors ist die Distanz um seine gesamte Begrenzung herum. Ein richtiger Sektor hat drei Begrenzungsteile: den gekrümmten Bogen, den ersten Radius und den zweiten Radius. Der Sektorumfang ist also die Bogenlänge plus zweimal der Radius:

Hier ist θ in Radiant angegeben. Die beiden geraden Seiten sind jeweils genau einen Radius lang, sodass sie 2r zur gekrümmten Bogenlänge hinzufügen.

Ausgearbeitetes Beispiel. Radius 6 Einheiten, Winkel 60°. Der Bogen ist L = 6.2831853072 Einheiten. Die beiden Radien addieren 2 × 6 = 12 Einheiten. Der Sektorumfang ist P = 6.2831853072 + 12 = 18.2831853072 Einheiten.

Weitere Beispiele. Radius 8 mit 90°: Bogen 12.5663706144, Umfang 12.5663706144 + 16 = 28.5663706144 Einheiten. Radius 5 mit 270°: Bogen 23.5619449019, Umfang 23.5619449019 + 10 = 33.5619449019 Einheiten. Radius 7 mit 120°: Bogen 14.6607657168, Umfang 14.6607657168 + 14 = 28.6607657168 Einheiten.

Zwei Sonderfälle. Für einen vollständigen Kreis, 360°, gibt es in der Begrenzung überhaupt keine Radiusseiten: Der Umfang ist einfach der Kreisumfang, P = 2πr. Für r = 6 sind das 37.6991118431 Einheiten, nicht 37.6991118431 + 12. Für einen Nullwinkelsektor, 0°, ist die Geometrie entartet: Die beiden Radien fallen zusammen und der Bogen hat die Länge null, also geben Sie dafür keinen gewöhnlichen Sektorumfang an. Der Rechner behandelt den Nullwinkelfall als entartet und meldet keinen normalen Umfangswert.

Warum die Unterscheidung wichtig ist. Wenn Sie eine Einfassung für ein sektorförmiges Paneel bestellen, brauchen Sie den Umfang, weil die Einfassung entlang des Bogens und beider gerader Kanten verläuft. Wenn Sie nur die gekrümmte Kante messen, brauchen Sie die Bogenlänge. Die beiden zu verwechseln, ist einer der häufigsten Sektorfehler, und der Rechner zeigt beide Werte nebeneinander, sodass der Unterschied immer sichtbar ist.

Zwei Radien teilen einen Kreis in zwei Sektoren. Der kleinere ist der kleine Sektor, und der größere ist der große Sektor. Sie teilen sich dieselben beiden Radien, und zusammen ergeben sie den vollständigen Kreis.

Der Zentriwinkel entscheidet, welcher welcher ist. Ein Zentriwinkel unter 180° ergibt einen kleinen Sektor. Ein Zentriwinkel über 180° ergibt einen großen Sektor, und sein Winkel ist ein überstumpfer Winkel, größer als ein gestreckter Winkel. Genau 180° ergibt einen Halbkreis, der weder klein noch groß ist: Beide Sektoren sind gleich.

Klein und groß sind Komplemente. Für einen kleineren Zentriwinkel θ ist der kleine Bogen Lklein = rθ und der große Bogen Lgroß = r(2π - θ). Ihre Summe ist immer der vollständige Umfang, und ihre Sektorflächen addieren sich zur vollständigen Kreisfläche:

Ausgearbeitetes Beispiel. Radius 6 Einheiten, kleinerer Winkel 60°. Der kleine Bogen ist L = 6 × π / 3 = 6.2831853072 Einheiten, und die kleine Sektorfläche ist 18.8495559215 Quadrateinheiten. Der große Bogen verwendet den überstumpfen Winkel 360° - 60° = 300°, also L = 6 × 5π / 3 = 31.4159265359 Einheiten, und die große Sektorfläche ist 94.2477796077 Quadrateinheiten. Die Bögen addieren sich zu 6.2831853072 + 31.4159265359 = 37.6991118431 Einheiten, dem vollen Umfang, und die Flächen addieren sich zu 18.8495559215 + 94.2477796077 = 113.0973355292 Quadrateinheiten, der vollen Kreisfläche. Der kleine Sektor beträgt 16.67% des Kreises und der große Sektor 83.33%.

Ein weiteres Beispiel. Radius 5 Einheiten, Winkel 270°. Dies ist bereits der große Sektor: L = 23.5619449019 Einheiten und die Sektorfläche ist 58.9048622548 Quadrateinheiten. Sein komplementärer kleiner Sektor verwendet 90°: L = 7.8539816340 Einheiten und die Fläche ist 19.6349540849 Quadrateinheiten. Die Summe ist 31.4159265359 Einheiten, der volle Umfang 2π × 5.

Verwechseln Sie die beiden Winkel nicht. Der häufigste Klein/Groß-Fehler ist, den kleineren Winkel zu verwenden, wenn die Aufgabe nach dem großen Sektor fragt, oder umgekehrt. Prüfen Sie immer, ob der Winkel, den Sie erhalten haben, der kleinere oder der überstumpfe ist, und denken Sie daran, dass der Rechner beide Sektoren nebeneinander zeigt, sodass Sie den wählen können, den Ihre Aufgabe braucht.

Ein Sektor und ein Kreissegment sind zwei verschiedene Bereiche eines Kreises, und sie lassen sich leicht verwechseln, weil beide einen Bogen beinhalten. Ein Sektor wird von zwei Radien und einem Bogen eingeschlossen. Ein Kreissegment wird von einer Sehne und einem Bogen eingeschlossen. Das Segment ist der Teil des Sektors, der jenseits der Sehne liegt, sodass es kleiner ist als der Sektor, außer in den unten genannten Sonderfällen.

Die Formeln zeigen den Unterschied deutlich:

Die Segmentfläche ist die Sektorfläche minus die Dreiecksfläche zwischen den beiden Radien und der Sehne. Hier ist θ die zentrale Drehung in Radiant, zwischen 0 und 2π. Die Formel behandelt sowohl kleine als auch große Segmente korrekt: Für einen kleinen Bogen ergibt sie die kleine Kappe, und für einen großen Bogen ergibt sie den großen Bereich, der den größten Teil des Kreises abdeckt.

Ausgearbeitete Beispiele. Für r = 6 Einheiten und 60° beträgt die Sektorfläche 18.8495559215 Quadrateinheiten und die Segmentfläche ½ × 36 × (1.0471975512 - 0.8660254038) = 3.2610986534 Quadrateinheiten. Das Segment ist viel kleiner als der Sektor, weil das Dreieck den größten Teil des Keils einnimmt. Für r = 8 und 90° beträgt das Segment 18.2654824574 Quadrateinheiten. Für r = 5 und 90° beträgt das Segment 7.1349540849 Quadrateinheiten.

Sonderfälle. Bei 180° ist sin θ = 0, sodass die Segmentfläche der Sektorfläche entspricht: ½ πr². Für r = 5 sind beide 39.2699081699 Quadrateinheiten, was genau der halbe Kreis ist. Bei 270° ist sin θ = -1, sodass das Segment größer ist als der Sektor: Für r = 5 beträgt der Sektor 58.9048622548 Quadrateinheiten und das Segment 71.4048622548 Quadrateinheiten. Bei 360° verschwindet die Sehne und das Segment ist der ganze Kreis, πr².

Segment vs. Sektor, in einem Satz. Der Sektor ist der Keil vom Mittelpunkt aus. Das Segment ist die Kappe jenseits der Sehne. Wenn Ihre Aufgabe den Mittelpunkt beinhaltet, brauchen Sie den Sektor. Wenn sie nur den Bogen und seine Sehne beinhaltet, brauchen Sie das Segment.

Sehnenlänge und Sektorbogenlänge verbinden beide dieselben zwei Punkte auf einem Kreis, aber sie nehmen unterschiedliche Wege. Der Bogen folgt der Kurve. Die Sehne schneidet gerade hindurch. Der Bogen ist fast immer länger.

Die Formeln zeigen den Unterschied deutlich:

Die Sehne hängt vom Sinus des halben Winkels ab, der langsamer wächst als der Winkel selbst, sodass die Lücke zwischen Bogen und Sehne mit wachsendem Winkel größer wird.

Drei Fakten aus der Tabelle sind es wert, sich zu merken. Bei 30° ist der Bogen nur etwa 1.15% länger als die Sehne, sodass die beiden bei kleinen Winkeln nahe beieinander liegen. Bei 180° ist die Sehne der Durchmesser, 10 Einheiten, während der Bogen πr = 15.7079632679 Einheiten beträgt. Bei 270° schrumpft die Sehne zurück auf 7.0710678119 Einheiten, denselben Wert wie bei 90°, weil die Sehne vom kleineren Winkel zwischen den Endpunkten abhängt, während der Bogen mit der Drehung weiter wächst.

Sonderfall. Bei 60° entspricht die Sehne genau dem Radius: c = 2r sin(30°) = 2r × 0.5 = r. Für r = 6 beträgt die Sehne 6 Einheiten, und der Radius, die Sehne und die beiden Radien bilden ein gleichseitiges Dreieck. Dies ist eine praktische Prüfung und ein Favorit der Prüfungssteller.

Warum es wichtig ist. Wenn Sie ein gekrümmtes Rohr schneiden, brauchen Sie die Bogenlänge. Wenn Sie den geraden Abstand zwischen zwei Punkten auf einem kreisförmigen Teil messen, brauchen Sie die Sehne. Die beiden zu verwechseln, ist einer der häufigsten Kreisfehler, und der Rechner zeigt beide Werte zusammen, sodass der Unterschied immer sichtbar ist.

Manchmal ist weder der Radius noch der Winkel gegeben. Der Rechner arbeitet von vier anderen Messungen rückwärts, indem er zuerst den fehlenden Wert ableitet und dann wie üblich L = rθ anwendet. Alle sieben Methoden ergeben für denselben Sektor denselben Radius und dieselbe Bogenlänge, sodass Sie die Messung verwenden können, die Sie tatsächlich haben.

Aus dem vollständigen Kreisumfang. Der vollständige Umfang ist C = 2πr, also r = C / (2π). Für C = 37.6991118431 Einheiten ist r = 37.6991118431 / 6.2831853072 = 6 Einheiten. Dann ist ein 60°-Sektorbogen L = 6 × π / 3 = 6.2831853072 Einheiten. Beachten Sie die Abkürzung: Ein 60°-Bogen ist ein Sechstel des Umfangs, und 37.6991118431 / 6 = 6.2831853072 Einheiten.

Aus der Sehnenlänge. Die Sehnenformel lautet c = 2r sin(θ / 2), also r = c / [2 sin(θ / 2)]. Für eine Sehne von 6 Einheiten mit einem Winkel von 60° ist r = 6 / (2 × sin 30°) = 6 / (2 × 0.5) = 6 Einheiten. Dann ist L = 6.2831853072 Einheiten. Die Sehneneingabe funktioniert nur, wenn der Winkel strikt zwischen 0° und 360° liegt: Bei 0° oder 360° ist die Sehne null und es kann kein Radius wiederhergestellt werden, sodass der Rechner diese Winkel für diese Methode ablehnt.

Aus Sektorfläche und Radius. Die Sektorfläche ist A = ½r²θ, also θ = 2A / r². Für eine Sektorfläche von 50 Quadrateinheiten mit einem Radius von 10 Einheiten ist θ = 2 × 50 / 100 = 1 Radiant = 57.2957795131°. Dann ist L = 10 × 1 = 10.0000000000 Einheiten. Diese Methode erfordert, dass die Sektorfläche nicht größer ist als die vollständige Kreisfläche πr²: Für r = 10 beträgt diese Grenze 314.1592653590 Quadrateinheiten, sodass eine Fläche darüber abgelehnt wird.

Aus Sektorfläche und Winkel. Gleich umgestellt, r = √(2A / θ) mit θ in Radiant. Für eine Sektorfläche von 18.8495559215 Quadrateinheiten mit einem Winkel von 60° ist θ = 1.0471975512 Radiant, also r = √(2 × 18.8495559215 / 1.0471975512) = √(36) = 6 Einheiten. Dann ist L = 6.2831853072 Einheiten. Diese Methode braucht den Winkel ebenso wie die Fläche, weil dieselbe Sektorfläche aus vielen Radius- und Winkelkombinationen stammen kann.

Aus Radius und bekannter Bogenlänge. Der Winkel ist θ = L / r. Für einen Radius von 4 Einheiten und einen bekannten Bogen von 6 Einheiten ist θ = 6 / 4 = 1.5 Radiant = 85.9436692696°. Dann ist die Sektorfläche A = ½ × 16 × 1.5 = 12.0000000000 Quadrateinheiten, und der Umfang ist P = 6 + 8 = 14.0000000000 Einheiten. Diese Methode erfordert, dass der Bogen nicht länger ist als der vollständige Umfang 2πr: Für r = 4 beträgt diese Grenze 25.1327412287 Einheiten.

Welche Eingabe zu verwenden ist. Verwenden Sie die Messung, die Sie tatsächlich haben. Wenn zwei verschiedene Messungen unterschiedliche Radien ergeben, ist eine der Messungen falsch, und diese Abweichung ist es wert, untersucht zu werden, bevor Sie einer der Antworten vertrauen.

Die Sektorbogenlänge ist keine abstrakte Klassenraumübung. Überall dort, wo eine gekrümmte Distanz auf einem Kreis gemessen, geschnitten, gebaut oder zurückgelegt werden muss, gilt dieselbe Formel.

Maschinenbau. Das Biegen von Rohren beginnt mit der Bogenlänge: Ein Rohr, das um 90° mit einem Biegeradius von 8 Einheiten gebogen wird, braucht 12.5663706144 Einheiten Rohr allein für die Biegung. Blech, das zu einem gekrümmten Paneel gerollt wird, ein Zahnradzahnprofil und eine Nockenform brauchen alle die gekrümmte Länge, bevor das Material geschnitten wird. Ein Fehler hier verschwendet Material oder lässt ein Teil zu kurz.

Architektur und Bauwesen. Gewölbte Türöffnungen, runde Fenster, Kuppeln und gewundene Treppen werden nach ihren Bögen bemessen. Ein halbkreisförmiger Bogen mit einem Radius von 10 Einheiten braucht 31.4159265359 Einheiten Einfassung entlang der Kurve. Ein sektorförmiges Vordach mit einem Radius von 6 Einheiten und einem Winkel von 60° braucht 6.2831853072 Einheiten Einfassung entlang der Kurve und 18.2831853072 Einheiten um die gesamte Begrenzung herum.

Straßen und Bahnen. Eine kreisförmige Straßenkurve, eine Laufbahnkurve oder eine Eisenbahnkurve wird nach Radius und Zentriwinkel angelegt. Die Länge der Kurve bestimmt die Menge an Asphalt, die Länge der Schiene und die Distanz, die ein Fahrzeug durch die Kurve zurücklegt. Eine 120°-Kurve mit einem Radius von 7 Einheiten ist 14.6607657168 Einheiten lang.

Pizza und Portionierung von Lebensmitteln. Ein Pizzastück ist ein Sektor. Wenn eine Pizza einen Radius von 6 Einheiten hat, hat ein Stück, das bei 60° geschnitten wird, eine Krustenlänge von 6.2831853072 Einheiten und eine Fläche von 18.8495559215 Quadrateinheiten. Sechs solcher Stücke ergeben die ganze Pizza, und ihre Krusten addieren sich zu 37.6991118431 Einheiten, dem vollen Umfang. Gleiche Stücke zu schneiden, ist ein Sektoraufteilungsproblem: Gleiche Winkel ergeben gleiche Bögen und gleiche Flächen.

Uhren, Räder und Robotik. Ein Uhrzeiger überstreicht einen Bogen, während die Zeit vergeht. Ein Rad, das auf dem Boden rollt, legt eine Distanz zurück, die dem Bogen entspricht, durch den es sich dreht. Ein Roboterarm, der sich um ein Gelenk dreht, bewegt seinen Greifer entlang eines Kreisbogens, und die Distanz, die er zurücklegt, ist rθ, weshalb Radiant die natürliche Einheit in der Robotik sind.

Computergrafik und CAD. Kurven in CAD-Modellen, Schriftarten und Animationen werden aus Kreisbögen aufgebaut. Die Länge eines Bogens bestimmt, wie ein Werkzeugweg aufgeteilt wird, wie eine Kurve gerendert wird und wie weit sich ein Objekt entlang eines kreisförmigen Weges in einer Animation bewegt. Ein sektorförmiges Teil in CAD wird durch genau den Radius und Winkel definiert, die dieser Rechner verwendet.

Ein Hinweis zu echten Formen. Nicht jede gekrümmte Struktur ist ein perfekter Kreis. Echte Bögen können elliptisch oder parabolisch sein, und echte Straßen verwenden Klothoidenübergänge. Die Sektorformeln auf dieser Seite gelten exakt, wenn die Kurve ein echter Kreisbogen ist, und sie sind nur dann eine gute Näherung, wenn die Kurve nahe an kreisförmig ist. Bestätigen Sie immer die Form, bevor Sie die Formel anwenden.

Die meisten falschen Antworten bei der Sektorbogenlänge stammen aus einer kleinen Liste von Fehlern. Die Prüfung auf jeden einzelnen dauert Sekunden und erspart die meisten Fehler.

1. Grad direkt in der Radiantformel verwenden. L = rθ braucht Radiant. Wenn Sie 60° direkt einsetzen, erhalten Sie 6 × 60 = 360 statt 6.2831853072. Rechnen Sie zuerst um, oder verwenden Sie L = πrθ / 180.
2. Radius mit Durchmesser verwechseln. Die Formel braucht r, nicht d. Wenn Sie d = 14 als Radius verwenden, verdoppelt sich die Antwort: 29.3215314336 statt 14.6607657168 für einen 120°-Sektor. Halbieren Sie zuerst den Durchmesser.
3. Sektorfläche mit Bogenlänge verwechseln. Die Sektorfläche ist eine zweidimensionale Region in Quadrateinheiten. Die Bogenlänge ist eine eindimensionale Distanz in einfachen Einheiten. Für r = 6 und 60° beträgt die Sektorfläche 18.8495559215 Quadrateinheiten und der Bogen 6.2831853072 Einheiten. Verschiedene Größen, verschiedene Einheiten.
4. Sektorumfang mit Bogenlänge verwechseln. Der Umfang addiert zwei Radiusseiten hinzu: P = L + 2r. Für r = 6 und 60° beträgt der Bogen 6.2831853072 Einheiten, aber der Umfang ist 18.2831853072 Einheiten. Die Verwendung des Umfangs, wenn die Aufgabe nach dem Bogen fragt, übertreibt die Antwort um 12 Einheiten.
5. Den falschen Zentriwinkel verwenden. Eine Sektoraufgabe kann den Winkel zwischen der Sehne und einer Tangente oder einen Umfangswinkel angeben, statt des Zentriwinkels. Ein Umfangswinkel ist halb so groß wie der Zentriwinkel für denselben Bogen. Wenn eine Aufgabe einen Umfangswinkel φ angibt, ist der Zentriwinkel θ = 2φ, und der Bogen ist L = r × 2φ. Die direkte Verwendung von φ halbiert die Antwort.
6. Kleine und große Sektoren verwechseln. Ein Winkel von 270° ergibt einen Bogen des großen Sektors von 23.5619449019 Einheiten für r = 5. Die Verwendung des kleineren Winkels 90° stattdessen ergibt 7.8539816340 Einheiten, den kleinen Bogen. Prüfen Sie, nach welchem Sektor die Aufgabe fragt.
7. Eine falsche Sehnenformel verwenden. Die Sehne ist c = 2r sin(θ / 2), mit dem halben Winkel innerhalb des Sinus. Die Verwendung von sin(θ) stattdessen ergibt den falschen Wert: Für r = 6 und 60° beträgt die korrekte Sehne 6 Einheiten, während 2 × 6 × sin(60°) = 10.3923048454 Einheiten ergibt.
8. Lineare und quadrierte Maßeinheiten mischen. Ein Radius in cm und ein Winkel in Grad ist in Ordnung, aber die Antwort kommt in cm heraus. Eine Sektorfläche in cm² muss mit dem quadrierten Faktor umgerechnet werden: 1 m² sind 10,000 cm², nicht 100 cm². Das Mischen von cm und Zoll in einer Berechnung oder das Vergessen, die Ausgabeeinheit umzurechnen, ergibt eine Zahl mit der falschen Größe. Rechnen Sie zuerst um, berechnen Sie dann.
9. π zu früh runden. Das Ersetzen von π durch 3.14 vor dem Multiplizieren führt einen Fehler ein, der mit dem Radius wächst. Behalten Sie π mit voller Genauigkeit während der Berechnung bei und runden Sie erst das endgültig angezeigte Ergebnis.
10. Vergessen, den Winkel in Radiant umzurechnen. Jede Sektorformel, die θ ohne eine 180 darin verwendet, einschließlich der Sektorfläche A = ½r²θ, der Sehne c = 2r sin(θ / 2) und der Segmentfläche A = ½r²(θ - sin θ), braucht θ in Radiant. Grad funktionieren nur in den Gradformen der Formeln.

Eine abschließende Prüfung, die die meisten davon aufdeckt. Überprüfen Sie das Ergebnis anhand des Umfangs. Der Bogen muss zwischen 0 und 2πr liegen, er muss länger sein als die Sehne, die Sektorfläche muss zwischen 0 und πr² liegen, und die kleinen plus großen Bögen müssen sich zu genau 2πr addieren. Wenn eine dieser Prüfungen fehlschlägt, ist einer der zehn Fehler oben die Ursache.

Diese sechs Beispiele decken die wichtigsten Eingabemethoden und Sektortypen des Rechners ab. Jedes wurde mit derselben Engine berechnet, die das Tool antreibt, und jedes Ergebnis wurde unabhängig geprüft.

Beispiel 1: 60-Grad-Sektor mit Radius 6. Gegeben r = 6 Einheiten, θ = 60° = π / 3 Radiant. Bogenlänge L = 6 × π / 3 = 6.2831853072 Einheiten. Durchmesser d = 12 Einheiten. Sehne c = 2 × 6 × sin(30°) = 6 Einheiten. Sektorfläche A = ½ × 36 × π / 3 = 18.8495559215 Quadrateinheiten. Sektorumfang P = 6.2831853072 + 12 = 18.2831853072 Einheiten. Die Segmentfläche beträgt 3.2610986534 Quadrateinheiten. Vollständiger Umfang C = 37.6991118431 Einheiten.

Beispiel 2: Viertelkreissektor mit Radius 8 und 90°. Gegeben r = 8 Einheiten, θ = 90° = π / 2 Radiant. Bogenlänge L = 8 × π / 2 = 12.5663706144 Einheiten. Sehne c = 2 × 8 × sin(45°) = 11.3137084990 Einheiten. Sektorfläche A = ½ × 64 × π / 2 = 50.2654824574 Quadrateinheiten. Sektorumfang P = 12.5663706144 + 16 = 28.5663706144 Einheiten. Die Segmentfläche beträgt 18.2654824574 Quadrateinheiten. Der Bogen ist genau ein Viertel des Umfangs 50.2654824574 Einheiten.

Beispiel 3: Großer Sektor mit Radius 5 und 270°. Gegeben r = 5 Einheiten, θ = 270° = 3π / 2 Radiant. Bogenlänge L = 5 × 3π / 2 = 23.5619449019 Einheiten. Sehne c = 2 × 5 × sin(135°) = 7.0710678119 Einheiten. Sektorfläche A = ½ × 25 × 3π / 2 = 58.9048622548 Quadrateinheiten. Sektorumfang P = 23.5619449019 + 10 = 33.5619449019 Einheiten. Der komplementäre kleine Bogen, unter Verwendung von 90°, beträgt 7.8539816340 Einheiten, und die komplementäre Sektorfläche beträgt 19.6349540849 Quadrateinheiten. Die beiden Bögen addieren sich zu 31.4159265359 Einheiten, dem vollen Umfang.

Beispiel 4: Sektor aus Durchmesser 14 und 120°. Gegeben d = 14 Einheiten, θ = 120° = 2π / 3 Radiant. Radius r = 14 / 2 = 7 Einheiten. Bogenlänge L = 7 × 2π / 3 = 14.6607657168 Einheiten. Sehne c = 2 × 7 × sin(60°) = 12.1243556530 Einheiten. Sektorfläche A = ½ × 49 × 2π / 3 = 51.3126800086 Quadrateinheiten. Sektorumfang P = 14.6607657168 + 14 = 28.6607657168 Einheiten. Die Segmentfläche beträgt 30.0950576159 Quadrateinheiten.

Beispiel 5: Sektor aus Fläche 50 und Radius 10. Gegeben Sektorfläche A = 50 Quadrateinheiten, Radius r = 10 Einheiten. Zentriwinkel θ = 2 × 50 / 100 = 1 Radiant = 57.2957795131°. Bogenlänge L = 10 × 1 = 10.0000000000 Einheiten. Sehne c = 2 × 10 × sin(0.5) = 9.5885107721 Einheiten. Sektorumfang P = 10.0000000000 + 20 = 30.0000000000 Einheiten. Die Segmentfläche beträgt 7.9264507596 Quadrateinheiten. Der komplementäre Bogen beträgt 52.8318530718 Einheiten.

Beispiel 6: Sektor aus Radius 4 und bekannter Bogenlänge 6. Gegeben r = 4 Einheiten, L = 6 Einheiten. Zentriwinkel θ = 6 / 4 = 1.5 Radiant = 85.9436692696°. Sektorfläche A = ½ × 16 × 1.5 = 12.0000000000 Quadrateinheiten. Sehne c = 2 × 4 × sin(0.75) = 5.4531100802 Einheiten. Sektorumfang P = 6 + 8 = 14.0000000000 Einheiten. Die Segmentfläche beträgt 4.0200401072 Quadrateinheiten. Der komplementäre Bogen beträgt 19.1327412287 Einheiten, und die komplementäre Sektorfläche beträgt 38.2654824574 Quadrateinheiten.

Klicken Sie auf eine beliebige Voreinstellungsschaltfläche im Rechner, um eines dieser Beispiele zu laden und die vollständige schrittweise Lösung, das Live-Diagramm und alle sekundären Ergebnisse für diese Eingabe zu sehen.