Kalkulator długości łuku wycinka koła

Kalkulator długości łuku wycinka koła mierzy zakrzywioną odległość wzdłuż łuku wycinka koła, od małego plasterka po pełny okrąg. Przyjmuje siedem różnych miar początkowych, więc możesz użyć tej wartości, którą już masz. Wykonaj poniższe kroki, aby otrzymać poprawną odpowiedź w mniej niż minutę.

1. Wybierz metodę wprowadzania. Wybierz Promień + kąt środkowy, Średnica + kąt środkowy, Obwód pełnego okręgu + kąt środkowy, Pole wycinka + promień, Pole wycinka + kąt środkowy, Długość cięciwy + kąt środkowy lub Promień + znana długość łuku. Pola wprowadzania, etykiety i listy jednostek zmieniają się zgodnie z wybraną metodą.
2. Wprowadź swoją miarę. Wpisz wartość w polu wprowadzania. W przypadku metod opartych na polu użyj listy jednostek kwadratowych (mm², cm², m², km², in², ft², yd²).
3. Wprowadź kąt środkowy. Wpisz kąt w stopniach lub radianach za pomocą przełącznika DEG/RAD albo przeciągnij suwak kąta od 0° do 360°. Diagram na żywo i wynik aktualizują się podczas przesuwania. W metodach Pole wycinka + promień oraz Promień + znana długość łuku kąt jest obliczany na podstawie Twoich wartości.
4. Ustaw kąty początkowy i końcowy, jeśli ich potrzebujesz. Domyślny łuk zaczyna się od 0° i biegnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Zmień kąt początkowy, kąt końcowy lub kierunek, aby zmierzyć wycinek w dowolnym miejscu okręgu. O długości łuku decyduje wielkość łuku, a nie jego położenie. Identyczne kąty początkowy i końcowy oznaczają łuk o zerowej długości, chyba że użyjesz opcji pełnego okręgu dla pełnego obrotu.
5. Wybierz jednostki wejściowe i wyjściowe. Kalkulator przelicza Twoje dane na spójną jednostkę wewnętrzną, oblicza wynik, a następnie przelicza odpowiedź na wybraną jednostkę wyjściową. Liczba zmienia się wraz z jednostką, długość nie.
6. Wybierz dokładność. Wybierz 2, 4, 6 lub 8 miejsc po przecinku. Domyślnie jest to 4. Kalkulator zawsze używa pełnej dokładności π wewnątrz obliczeń i zaokrągla tylko wyświetlany wynik.
7. Kliknij Oblicz teraz. Głównym wynikiem jest długość łuku wycinka wraz z jego klasyfikacją: wycinek o zerowym kącie, wycinek mniejszy, półokrąg, wycinek większy lub pełny okrąg. Poniżej otrzymasz promień, średnicę, pełny obwód, łuk dopełniający, długość cięciwy, pole wycinka, obwód wycinka, pole odcinka koła, procent łuku, obie formy kąta oraz porównanie wycinka mniejszego i większego.
8. Poznaj diagram. Diagram wycinka na żywo rysuje pełny okrąg, zaznacza wybrany wycinek na złoto oraz oznacza środek O, linie promieni, cięciwę i końce łuku. Użyj przełączników, aby pokazać lub ukryć linie promieni, cięciwę, punkt środkowy, znacznik kąta i wycinek dopełniający.
9. Skopiuj, wydrukuj lub zresetuj. Użyj Kopiuj wynik, aby umieścić odpowiedź w schowku, Drukuj podsumowanie, aby uzyskać prosty raport, lub Resetuj, aby wyczyścić panel. Przyciski gotowych przykładów wczytują zweryfikowane przykłady natychmiast, a przyciski szybkiego wyboru przechodzą od razu do 45°, 60°, 90°, 120°, 180°, 270° lub 360°.

Wypróbuj przykład. Promień 6 przy kącie 60° daje łuk o długości 6.2831853072 jednostek. Promień 8 przy 90° daje 12.5663706144 jednostek. Promień 5 przy 270° daje łuk wycinka większego o długości 23.5619449019 jednostek. Średnica 14 przy 120° daje 14.6607657168 jednostek. Pole wycinka 50 przy promieniu 10 daje łuk o długości 10.0000000000 jednostek, a promień 4 przy znanym łuku 6 jednostek daje kąt 85.9436692696°.

Ważne wskazówki. Zachowaj spójną jednostkę kąta: 60° i 1.0471975512 radiana to ten sam kąt, ale 60 radianów to nie 60°. Długość łuku to tylko zakrzywiona odległość, cięciwa to inna miara i jest zawsze krótsza, z wyjątkiem łuku o zerowej długości. Jeśli wpiszesz średnicę, kalkulator najpierw dzieli ją na pół, aby znaleźć promień. Pole wycinka to nie długość łuku: jedno jest mierzone w jednostkach kwadratowych, a drugie w zwykłych jednostkach. Zerowa lub ujemna miara nie jest prawidłowym wycinkiem, więc kalkulator odrzuca ją zamiast pokazywać wprowadzającą w błąd odpowiedź.

Okrąg to zbiór wszystkich punktów w stałej odległości, promieniu, od punktu środkowego O. Wycinek koła to obszar w kształcie klina wycięty z koła przez dwa promienie i łuk między nimi, jak plasterek ciasta. Długość łuku wycinka to zakrzywiona odległość wzdłuż zewnętrznej krawędzi tego klina, od jednego końca promienia do drugiego, wzdłuż krzywej.

Wyobraź sobie plasterek pizzy. Dwie proste krawędzie cięcia to promienie, ostry koniec to środek O, a skórka to łuk. Długość łuku to długość skórki. Prosta linia w poprzek szerokiego końca plasterka, łącząca dwa końce skórki, to cięciwa i jest krótsza niż skórka.

Każdy wycinek ma te same części, przeskalowane przez jego promień. Środek O to stały punkt. Promień r biegnie od O do dowolnego punktu na okręgu. Kąt środkowy θ to kąt przy O między dwoma promieniami ograniczającymi wycinek i decyduje on, jaką część okręgu wycinek obejmuje. Łuk to zakrzywiona krawędź. Cięciwa to prosta linia między końcami łuku. Pole wycinka to obszar wewnątrz dwóch promieni i łuku.

Dwa promienie zawsze dzielą okrąg na dwa wycinki: mniejszy, wycinek mniejszy, oraz większy, wycinek większy. Razem tworzą pełny okrąg. To, który z nich jest Ci potrzebny, zależy od Twojego zadania, a kalkulator pokazuje oba, więc nigdy nie musisz zgadywać.

Długość łuku wycinka to miara jednowymiarowa, długość, więc jest podawana w zwykłych jednostkach, takich jak cm, m lub cale. Nie jest polem ani kątem. Rozróżnienie tych trzech wielkości to pierwszy krok do poprawnego wykonania każdego obliczenia wycinka.

Długość łuku wycinka wynika bezpośrednio z obwodu pełnego okręgu. Obwód pełnego okręgu wynosi:

Wycinek o kącie środkowym θ obejmuje ułamek θ / 360 pełnego obrotu o 360°, więc jego łuk stanowi ten sam ułamek obwodu:

Po uproszczeniu otrzymujemy postać wzoru w stopniach:

Gdy kąt jest mierzony w radianach, wzór jest jeszcze prostszy, ponieważ radian jest zdefiniowany przez sam promień:

Każdy symbol we wzorach ma dokładne znaczenie:

Obie postaci dają tę samą odpowiedź. Użyj L = πrθ / 180, gdy Twój kąt jest w stopniach, oraz L = rθ, gdy jest w radianach. Kalkulator najpierw przelicza stopnie na radiany, a następnie używa wewnętrznie L = rθ, dlatego oba tryby zawsze są zgodne.

Użycie średnicy zamiast promienia daje drugą postać tego samego wzoru. Ponieważ d = 2r, to r = d / 2, a po podstawieniu otrzymujemy L = dθ / 2 w radianach lub L = πdθ / 360 w stopniach.

Promień wraz z kątem środkowym to najprostszy sposób na znalezienie długości łuku wycinka. Rozwiązany przykład poniżej używa promienia 6 jednostek i kąta środkowego 60°.

1. Określ promień. r = 6 jednostek.
2. Określ kąt środkowy. θ = 60°.
3. Przelicz stopnie na radiany. θ = 60 × π / 180 = π / 3 = 1.0471975512 radiana.
4. Zapisz wzór na długość łuku. L = rθ.
5. Podstaw wartości. L = 6 × π / 3.
6. Oblicz. L = 6.2831853072 jednostek.
7. Zaokrąglij w razie potrzeby. Do dwóch miejsc po przecinku L = 6.28 jednostek.

Te same kroki działają dla dowolnego promienia i kąta. Promień 8 jednostek przy 90° daje L = 8 × π / 2 = 12.5663706144 jednostek. Promień 5 jednostek przy 270° daje L = 5 × 3π / 2 = 23.5619449019 jednostek. Promień 1 jednostka przy 60° daje L = 1.0471975512 jednostek, czyli dokładnie π / 3, co jest przydatną kontrolą: dla r = 1 długość łuku jest równa kątowi w radianach.

Zasada zaokrąglania. Zaokrąglaj tylko na końcu. Jeśli zastąpisz π liczbą 3.14 przed mnożeniem, promień 6 przy 60° daje tu przypadkowo dokładnie 6.28, ale dla promienia 8 przy 90° daje 12.56 zamiast 12.5663706144, czyli błąd 0.0063706144. Ten błąd rośnie wraz z promieniem, więc zachowaj pełną dokładność w całym obliczeniu i zaokrąglij tylko ostatecznie wyświetlany wynik.

Gdy znasz średnicę zamiast promienia, najpierw podziel ją na pół, a następnie zastosuj ten sam wzór. Rozwiązany przykład poniżej używa średnicy 14 jednostek i kąta środkowego 120°.

1. Określ średnicę. d = 14 jednostek.
2. Znajdź promień. r = d / 2 = 14 / 2 = 7 jednostek.
3. Określ kąt środkowy. θ = 120° = 2π / 3 = 2.0943951024 radiana.
4. Zapisz wzór. L = rθ lub bezpośrednio L = πdθ / 360.
5. Podstaw. L = 7 × 2.0943951024 lub L = π × 14 × 120 / 360.
6. Oblicz. L = 14.6607657168 jednostek.
7. Zaokrąglij w razie potrzeby. Do dwóch miejsc po przecinku L = 14.66 jednostek.

Obie drogi dają dokładnie ten sam wynik, co jest dobrą kontrolą własną. Droga przez promień daje 7 × 2.0943951024 = 14.6607657168. Droga przez średnicę daje π × 14 × 120 / 360 = 14.6607657168. Jeśli obie się nie zgadzają, średnica nie została poprawnie podzielona na pół.

Inny przykład: średnica 20 jednostek przy 180° daje r = 10 jednostek, więc L = π × 10 = 31.4159265359 jednostek, łuk półokręgu. Średnica 10 jednostek przy 60° daje r = 5 jednostek, więc L = 5.2359877560 jednostek. Najczęstszym błędem w tym obliczeniu jest zapomnienie o dzieleniu przez dwa i użycie średnicy tak, jakby była promieniem, co podwaja odpowiedź. Dla d = 14 ten błąd daje 29.3215314336 zamiast 14.6607657168.

Wskazówka dotycząca pomiaru. Średnice często łatwiej zmierzyć w życiu codziennym niż promienie, ponieważ można zmierzyć prosto w poprzek okręgu. Dlatego kalkulator przyjmuje średnicę bezpośrednio: zmierz w poprzek, wpisz ją, a kalkulator sam podzieli ją na pół.

Stopnie to codzienna jednostka kątów. Pełny okrąg zawiera 360°, więc kąt środkowy w stopniach mówi bezpośrednio, jaką część pełnego okręgu obejmuje Twój wycinek. Kąt 90° obejmuje jedną czwartą okręgu, 180° obejmuje połowę, a 270° obejmuje trzy czwarte.

Wzór w stopniach to L = πrθ / 180, gdzie θ jest w stopniach. Wynika on z idei ułamka: θ / 360 obwodu 2πr, po uproszczeniu.

Rozwiązany przykład. Promień 8 jednostek, kąt 90°.

1. Określ wartości. r = 8 jednostek, θ = 90°.
2. Znajdź ułamek okręgu. 90 / 360 = 1 / 4, ćwierć okręgu.
3. Zapisz wzór. L = πrθ / 180.
4. Podstaw. L = π × 8 × 90 / 180 = π × 8 / 2.
5. Oblicz. L = 12.5663706144 jednostek.
6. Sprawdź względem obwodu. Pełny obwód wynosi 2π × 8 = 50.2654824574 jednostek, a jedna czwarta z tego to 50.2654824574 / 4 = 12.5663706144 jednostek. Oba wyniki są zgodne.

Więcej przykładów w stopniach przy promieniu 5 jednostek: 30° daje L = 2.6179938780 jednostek, 45° daje L = 3.9269908170 jednostek, 120° daje L = 10.4719755120 jednostek, a 270° daje L = 23.5619449019 jednostek. Zauważ, że podwojenie kąta podwaja długość łuku przy tym samym promieniu, ponieważ długość łuku jest wprost proporcjonalna do kąta środkowego.

Częsty błąd przy stopniach. Wstawienie wartości w stopniach bezpośrednio do L = rθ bez przeliczenia daje bardzo błędną odpowiedź. Dla r = 5 i 60° nieprzeliczone obliczenie daje 5 × 60 = 300, a poprawna odpowiedź to 5.2359877560. Wzór L = rθ wymaga radianów, więc albo najpierw przelicz, albo użyj postaci w stopniach L = πrθ / 180.

Radian to kąt, który otrzymujesz, gdy długość łuku jest równa promieniowi. Jeśli owiniesz wokół okręgu kawałek sznurka równy promieniowi, kąt, który wyznacza on przy środku, wynosi dokładnie 1 radian. Pełny okrąg zawiera 2π radianów, około 6.2831853072 radiana, ponieważ pełny obwód wynosi 2πr, a po podzieleniu przez r zostaje 2π.

Wzór w radianach to L = rθ, najprostszy wzór na długość łuku. Nie ma w nim π, ponieważ π jest już zawarte w mierze kąta w radianach.

Rozwiązany przykład. Promień 6 jednostek, kąt π / 3 radiana (czyli 60°).

1. Określ wartości. r = 6 jednostek, θ = π / 3 = 1.0471975512 radiana.
2. Zapisz wzór. L = rθ.
3. Podstaw. L = 6 × 1.0471975512.
4. Oblicz. L = 6.2831853072 jednostek.
5. Sprawdź względem stopni. π / 3 radiana to 60°, a wzór w stopniach daje L = π × 6 × 60 / 180 = 6.2831853072 jednostek. Oba wyniki są dokładnie zgodne.

Więcej przykładów w radianach: promień 4 jednostki przy θ = π / 2 radiana daje L = 4 × 1.5707963268 = 6.2831853072 jednostek. Promień 10 jednostek przy θ = π radianów daje L = 10 × 3.1415926536 = 31.4159265359 jednostek, łuk półokręgu. Promień 5 jednostek przy θ = 1 radian daje L = 5 jednostek, ponieważ łuk jest równy promieniowi, gdy kąt wynosi 1 radian.

Dlaczego w matematyce preferuje się radiany. Wzory rachunku różniczkowego na długość łuku oraz wzory na cięciwę, pole wycinka i pole odcinka na tej stronie, wszystkie używają radianów. Stopnie są wygodne w codziennych pomiarach, ale radiany sprawiają, że matematyka jest czysta, dlatego kalkulator przelicza każdy kąt na radiany przed obliczeniem.

Długość łuku wycinka i pole wycinka brzmią podobnie, ale mierzą różne rzeczy. Długość łuku to jednowymiarowa zakrzywiona odległość, mierzona w zwykłych jednostkach. Pole wycinka to dwuwymiarowy obszar, klin okręgu wycięty przez dwa promienie i łuk, mierzony w jednostkach kwadratowych.

Wzory wyglądają podobnie, co jest dokładnie powodem, dla którego są mylone:

Pole wycinka to długość łuku pomnożona przez połowę promienia: A = ½ × r × L. Ta zależność jest przydatną kontrolą. Dla promienia 6 jednostek i 60° łuk wynosi 6.2831853072 jednostek, a pole wycinka wynosi ½ × 6 × 6.2831853072 = 18.8495559215 jednostek kwadratowych.

Jednostki są wskazówką. Jeśli Twoja odpowiedź powinna być długością, jednostką jest cm, m lub cale. Jeśli powinna być polem, jednostką jest cm², m² lub cale kwadratowe. Odpowiedź o długości łuku w jednostkach kwadratowych albo odpowiedź o polu wycinka w zwykłych jednostkach jest z pewnością błędna. Kalkulator trzyma obie wartości osobno i wyraźnie oznacza jednostki.

Kontrola pełnego okręgu. Przy 360° wycinek jest całym okręgiem, więc pole wycinka musi być równe πr². Dla r = 6, π × 36 = 113.0973355292 jednostek kwadratowych. Łuk w tym samym czasie jest pełnym obwodem, 37.6991118431 jednostek. Oba wynikają z tego samego promienia i kąta, ale odpowiadają na różne pytania.

Obwód wycinka to odległość dookoła całej jego granicy. Prawidłowy wycinek ma trzy części granicy: zakrzywiony łuk, pierwszy promień i drugi promień. Obwód wycinka to więc długość łuku plus dwa razy promień:

Tutaj θ jest w radianach. Dwa proste boki mają każdy dokładnie długość jednego promienia, więc dodają 2r do zakrzywionej długości łuku.

Rozwiązany przykład. Promień 6 jednostek, kąt 60°. Łuk wynosi L = 6.2831853072 jednostek. Dwa promienie dodają 2 × 6 = 12 jednostek. Obwód wycinka wynosi P = 6.2831853072 + 12 = 18.2831853072 jednostek.

Więcej przykładów. Promień 8 przy 90°: łuk 12.5663706144, obwód 12.5663706144 + 16 = 28.5663706144 jednostek. Promień 5 przy 270°: łuk 23.5619449019, obwód 23.5619449019 + 10 = 33.5619449019 jednostek. Promień 7 przy 120°: łuk 14.6607657168, obwód 14.6607657168 + 14 = 28.6607657168 jednostek.

Dwa szczególne przypadki. Dla pełnego okręgu, 360°, w granicy w ogóle nie ma boków promieni: obwód jest po prostu obwodem, P = 2πr. Dla r = 6 jest to 37.6991118431 jednostek, a nie 37.6991118431 + 12. Dla wycinka o zerowym kącie, 0°, geometria jest zdegenerowana: dwa promienie pokrywają się, a łuk ma zerową długość, więc nie przedstawiaj dla niego zwykłego obwodu wycinka. Kalkulator traktuje przypadek zerowego kąta jako zdegenerowany i nie podaje normalnej wartości obwodu.

Dlaczego to rozróżnienie ma znaczenie. Jeśli zamawiasz listwę do panelu w kształcie wycinka, potrzebujesz obwodu, ponieważ listwa biegnie wzdłuż łuku i obu prostych krawędzi. Jeśli mierzysz tylko zakrzywioną krawędź, potrzebujesz długości łuku. Pomylenie tych dwóch wartości to jeden z najczęstszych błędów przy wycinkach, a kalkulator pokazuje obie wartości obok siebie, więc różnica jest zawsze widoczna.

Dwa promienie dzielą okrąg na dwa wycinki. Mniejszy z nich to wycinek mniejszy, a większy to wycinek większy. Mają te same dwa promienie, a razem tworzą pełny okrąg.

Kąt środkowy decyduje, który jest który. Kąt środkowy poniżej 180° daje wycinek mniejszy. Kąt środkowy powyżej 180° daje wycinek większy, a jego kąt jest kątem wklęsłym, większym niż kąt półpełny. Dokładnie 180° daje półokrąg, który nie jest ani mniejszy, ani większy: oba wycinki są równe.

Wycinek mniejszy i większy dopełniają się. Dla mniejszego kąta środkowego θ łuk mniejszy to Lminor = rθ, a łuk większy to Lmajor = r(2π - θ). Ich suma to zawsze pełny obwód, a ich pola wycinków sumują się do pola pełnego okręgu:

Rozwiązany przykład. Promień 6 jednostek, mniejszy kąt 60°. Łuk mniejszy wynosi L = 6 × π / 3 = 6.2831853072 jednostek, a pole wycinka mniejszego to 18.8495559215 jednostek kwadratowych. Łuk większy używa kąta wklęsłego 360° - 60° = 300°, więc L = 6 × 5π / 3 = 31.4159265359 jednostek, a pole wycinka większego to 94.2477796077 jednostek kwadratowych. Łuki sumują się do 6.2831853072 + 31.4159265359 = 37.6991118431 jednostek, pełnego obwodu, a pola sumują się do 18.8495559215 + 94.2477796077 = 113.0973355292 jednostek kwadratowych, pola pełnego okręgu. Wycinek mniejszy stanowi 16.67% okręgu, a wycinek większy 83.33%.

Inny przykład. Promień 5 jednostek, kąt 270°. To już jest wycinek większy: L = 23.5619449019 jednostek, a pole wycinka to 58.9048622548 jednostek kwadratowych. Jego dopełniający wycinek mniejszy używa 90°: L = 7.8539816340 jednostek, a pole to 19.6349540849 jednostek kwadratowych. Suma wynosi 31.4159265359 jednostek, pełny obwód 2π × 5.

Nie myl obu kątów. Najczęstszym błędem przy wycinku mniejszym i większym jest użycie mniejszego kąta, gdy zadanie pyta o wycinek większy, lub odwrotnie. Zawsze sprawdź, czy podany kąt jest mniejszym kątem, czy kątem wklęsłym, i pamiętaj, że kalkulator pokazuje oba wycinki obok siebie, abyś mógł wybrać ten, którego potrzebuje Twoje zadanie.

Wycinek i odcinek koła to dwa różne obszary okręgu i łatwo je pomylić, ponieważ oba obejmują łuk. Wycinek jest ograniczony dwoma promieniami i łukiem. Odcinek koła jest ograniczony cięciwą i łukiem. Odcinek to część wycinka, która leży poza cięciwą, więc jest mniejszy niż wycinek, z wyjątkiem szczególnych przypadków poniżej.

Wzory wyraźnie pokazują różnicę:

Pole odcinka to pole wycinka minus pole trójkąta między dwoma promieniami a cięciwą. Tutaj θ to kąt środkowy w radianach, od 0 do 2π. Wzór poprawnie obsługuje zarówno odcinki mniejsze, jak i większe: dla łuku mniejszego daje małą czapeczkę, a dla łuku większego daje duży obszar obejmujący większość okręgu.

Rozwiązane przykłady. Dla r = 6 jednostek i 60° pole wycinka wynosi 18.8495559215 jednostek kwadratowych, a pole odcinka wynosi ½ × 36 × (1.0471975512 - 0.8660254038) = 3.2610986534 jednostek kwadratowych. Odcinek jest znacznie mniejszy niż wycinek, ponieważ trójkąt zajmuje większość klina. Dla r = 8 i 90° odcinek wynosi 18.2654824574 jednostek kwadratowych. Dla r = 5 i 90° odcinek wynosi 7.1349540849 jednostek kwadratowych.

Przypadki szczególne. Przy 180° sin θ = 0, więc pole odcinka jest równe polu wycinka: ½ πr². Dla r = 5 oba wynoszą 39.2699081699 jednostek kwadratowych, czyli dokładnie połowę okręgu. Przy 270° sin θ = -1, więc odcinek jest większy niż wycinek: dla r = 5 wycinek wynosi 58.9048622548 jednostek kwadratowych, a odcinek 71.4048622548 jednostek kwadratowych. Przy 360° cięciwa znika, a odcinek jest całym okręgiem, πr².

Wycinek a odcinek w jednym zdaniu. Wycinek to klin od środka. Odcinek to czapeczka poza cięciwą. Jeśli Twoje zadanie dotyczy środka, potrzebujesz wycinka. Jeśli dotyczy tylko łuku i jego cięciwy, potrzebujesz odcinka.

Długość cięciwy i długość łuku wycinka łączą te same dwa punkty na okręgu, ale różnymi drogami. Łuk podąża wzdłuż krzywej. Cięciwa przecina prosto w poprzek. Łuk jest prawie zawsze dłuższy.

Wzory wyraźnie pokazują różnicę:

Cięciwa zależy od sinusa połowy kąta, który rośnie wolniej niż sam kąt, więc różnica między łukiem a cięciwą rośnie wraz z kątem.

Trzy fakty z tabeli warto zapamiętać. Przy 30° łuk jest tylko o około 1.15% dłuższy niż cięciwa, więc dla małych kątów oba są bliskie. Przy 180° cięciwa jest średnicą, 10 jednostek, podczas gdy łuk wynosi πr = 15.7079632679 jednostek. Przy 270° cięciwa kurczy się z powrotem do 7.0710678119 jednostek, tak samo jak przy 90°, ponieważ cięciwa zależy od mniejszego kąta między końcami, podczas gdy łuk dalej rośnie wraz z obrotem.

Przypadek szczególny. Przy 60° cięciwa jest dokładnie równa promieniowi: c = 2r sin(30°) = 2r × 0.5 = r. Dla r = 6 cięciwa wynosi 6 jednostek, a promień, cięciwa i dwa promienie tworzą trójkąt równoboczny. To przydatna kontrola i ulubiony przykład autorów zadań egzaminacyjnych.

Dlaczego to ma znaczenie. Jeśli tniesz zakrzywioną rurę, potrzebujesz długości łuku. Jeśli mierzysz prostą przerwę między dwoma punktami na okrągłej części, potrzebujesz cięciwy. Pomylenie ich to jeden z najczęstszych błędów przy okręgach, a kalkulator pokazuje obie wartości razem, więc różnica jest zawsze widoczna.

Czasami nie podano ani promienia, ani kąta. Kalkulator działa wstecz na podstawie czterech innych pomiarów, najpierw wyprowadzając brakującą wartość, a następnie stosując jak zwykle L = rθ. Wszystkie siedem metod daje ten sam promień i tę samą długość łuku dla tego samego wycinka, więc możesz użyć tego pomiaru, który faktycznie masz.

Na podstawie obwodu pełnego okręgu. Pełny obwód wynosi C = 2πr, więc r = C / (2π). Dla C = 37.6991118431 jednostek, r = 37.6991118431 / 6.2831853072 = 6 jednostek. Wtedy łuk wycinka 60° wynosi L = 6 × π / 3 = 6.2831853072 jednostek. Zauważ skrót: łuk 60° to jedna szósta obwodu, a 37.6991118431 / 6 = 6.2831853072 jednostek.

Na podstawie długości cięciwy. Wzór na cięciwę to c = 2r sin(θ / 2), więc r = c / [2 sin(θ / 2)]. Dla cięciwy 6 jednostek przy kącie 60°, r = 6 / (2 × sin 30°) = 6 / (2 × 0.5) = 6 jednostek. Wtedy L = 6.2831853072 jednostek. Dane o cięciwie działają tylko wtedy, gdy kąt jest ściśle między 0° a 360°: przy 0° lub 360° cięciwa jest zerowa i nie można odzyskać promienia, więc kalkulator odrzuca te kąty dla tej metody.

Na podstawie pola wycinka i promienia. Pole wycinka wynosi A = ½r²θ, więc θ = 2A / r². Dla pola wycinka 50 jednostek kwadratowych przy promieniu 10 jednostek, θ = 2 × 50 / 100 = 1 radian = 57.2957795131°. Wtedy L = 10 × 1 = 10.0000000000 jednostek. Ta metoda wymaga, aby pole wycinka nie było większe niż pole pełnego okręgu πr²: dla r = 10 ten limit wynosi 314.1592653590 jednostek kwadratowych, więc większe pole jest odrzucane.

Na podstawie pola wycinka i kąta. Po przekształceniu w ten sam sposób, r = √(2A / θ), przy θ w radianach. Dla pola wycinka 18.8495559215 jednostek kwadratowych przy kącie 60°, θ = 1.0471975512 radiana, więc r = √(2 × 18.8495559215 / 1.0471975512) = √(36) = 6 jednostek. Wtedy L = 6.2831853072 jednostek. Ta metoda wymaga zarówno kąta, jak i pola, ponieważ to samo pole wycinka może wynikać z wielu kombinacji promienia i kąta.

Na podstawie promienia i znanej długości łuku. Kąt wynosi θ = L / r. Dla promienia 4 jednostek i znanego łuku 6 jednostek, θ = 6 / 4 = 1.5 radiana = 85.9436692696°. Wtedy pole wycinka wynosi A = ½ × 16 × 1.5 = 12.0000000000 jednostek kwadratowych, a obwód wynosi P = 6 + 8 = 14.0000000000 jednostek. Ta metoda wymaga, aby łuk nie był dłuższy niż pełny obwód 2πr: dla r = 4 ten limit wynosi 25.1327412287 jednostek.

Które dane wejściowe wybrać. Użyj tego pomiaru, który faktycznie masz. Jeśli dwa różne pomiary dają różne promienie, jeden z pomiarów jest błędny i tę rozbieżność warto zbadać przed zaufaniem którejkolwiek odpowiedzi.

Długość łuku wycinka to nie abstrakcyjne ćwiczenie szkolne. Wszędzie tam, gdzie zakrzywioną odległość na okręgu trzeba zmierzyć, wyciąć, zbudować lub przebyć, stosuje się ten sam wzór.

Inżynieria mechaniczna. Gięcie rur zaczyna się od długości łuku: rura wygięta o 90° przy promieniu gięcia 8 jednostek potrzebuje 12.5663706144 jednostek rury na samo wygięcie. Blacha walcowana w zakrzywiony panel, profil zęba koła zębatego i kształt krzywki, wszystkie potrzebują zakrzywionej długości przed cięciem materiału. Błąd marnuje materiał lub zostawia za krótką część.

Architektura i budownictwo. Łukowe drzwi, okrągłe okna, kopuły i zakrzywione schody są wymiarowane według ich łuków. Łuk półkolisty o promieniu 10 jednostek potrzebuje 31.4159265359 jednostek listwy wzdłuż krzywej. Daszek w kształcie wycinka o promieniu 6 jednostek i kącie 60° potrzebuje 6.2831853072 jednostek obrzeża wzdłuż krzywej i 18.2831853072 jednostek wokół całej granicy.

Drogi i tory. Okrągły zakręt drogi, zakręt bieżni lub łuk kolejowy jest wytyczany według promienia i kąta środkowego. Długość krzywej decyduje o ilości asfaltu, długości szyny i odległości, jaką pojazd pokonuje na zakręcie. Krzywa 120° o promieniu 7 jednostek ma długość 14.6607657168 jednostek.

Pizza i porcjowanie jedzenia. Plasterek pizzy to wycinek. Jeśli pizza ma promień 6 jednostek, jeden plasterek wycięty pod kątem 60° ma skórkę o długości 6.2831853072 jednostek i pole 18.8495559215 jednostek kwadratowych. Sześć takich plasterków tworzy całą pizzę, a ich skórki sumują się do 37.6991118431 jednostek, pełnego obwodu. Krojenie równych plasterków to zadanie dzielenia wycinka: równe kąty dają równe łuki i równe pola.

Zegary, koła i robotyka. Wskazówka zegara zakreśla łuk w miarę upływu czasu. Koło toczące się po ziemi pokonuje odległość równą łukowi, przez który się obraca. Ramię robota obracające się wokół przegubu porusza chwytak wzdłuż łuku koła, a przebyta odległość wynosi rθ, dlatego radiany są naturalną jednostką w robotyce.

Grafika komputerowa i CAD. Krzywe w modelach CAD, czcionkach i animacjach są budowane z łuków koła. Długość łuku decyduje o tym, jak dzielona jest ścieżka narzędzia, jak renderowana jest krzywa i jak daleko obiekt przesuwa się wzdłuż okrągłej ścieżki w animacji. Część w kształcie wycinka w CAD jest zdefiniowana dokładnie przez promień i kąt, których używa ten kalkulator.

Uwaga o prawdziwych kształtach. Nie każda zakrzywiona konstrukcja jest idealnym okręgiem. Prawdziwe łuki mogą być eliptyczne lub paraboliczne, a prawdziwe drogi używają przejść klotoidalnych. Wzory na wycinek na tej stronie stosują się dokładnie wtedy, gdy krzywa jest prawdziwym łukiem koła, a są dobrym przybliżeniem tylko wtedy, gdy krzywa jest bliska okręgu. Zawsze potwierdź kształt przed zastosowaniem wzoru.

Większość błędnych odpowiedzi przy długości łuku wycinka wynika z krótkiej listy błędów. Sprawdzenie każdego z nich zajmuje sekundy i oszczędza większość pomyłek.

1. Używanie stopni bezpośrednio we wzorze w radianach. L = rθ wymaga radianów. Wstawienie 60° bezpośrednio daje 6 × 60 = 360 zamiast 6.2831853072. Najpierw przelicz albo użyj L = πrθ / 180.
2. Mylenie promienia ze średnicą. Wzór potrzebuje r, a nie d. Użycie d = 14 jako promienia podwaja odpowiedź: 29.3215314336 zamiast 14.6607657168 dla wycinka 120°. Najpierw podziel średnicę na pół.
3. Mylenie pola wycinka z długością łuku. Pole wycinka to dwuwymiarowy obszar w jednostkach kwadratowych. Długość łuku to jednowymiarowa odległość w zwykłych jednostkach. Dla r = 6 i 60° pole wycinka wynosi 18.8495559215 jednostek kwadratowych, a łuk 6.2831853072 jednostek. Różne wielkości, różne jednostki.
4. Mylenie obwodu wycinka z długością łuku. Obwód dodaje dwa boki promieni: P = L + 2r. Dla r = 6 i 60° łuk wynosi 6.2831853072 jednostek, ale obwód 18.2831853072 jednostek. Użycie obwodu, gdy zadanie pyta o łuk, zawyża odpowiedź o 12 jednostek.
5. Używanie złego kąta środkowego. Zadanie o wycinku może podawać kąt między cięciwą a styczną albo kąt wpisany zamiast kąta środkowego. Kąt wpisany to połowa kąta środkowego dla tego samego łuku. Jeśli zadanie podaje kąt wpisany φ, kąt środkowy wynosi θ = 2φ, a łuk to L = r × 2φ. Użycie φ bezpośrednio zmniejsza odpowiedź o połowę.
6. Mylenie wycinka mniejszego i większego. Kąt 270° daje łuk wycinka większego o długości 23.5619449019 jednostek dla r = 5. Użycie mniejszego kąta 90° daje zamiast tego 7.8539816340 jednostek, łuk mniejszy. Sprawdź, o który wycinek pyta zadanie.
7. Używanie nieprawidłowego wzoru na cięciwę. Cięciwa to c = 2r sin(θ / 2), przy połowie kąta wewnątrz sinusa. Użycie sin(θ) daje błędną wartość: dla r = 6 i 60° poprawna cięciwa wynosi 6 jednostek, natomiast 2 × 6 × sin(60°) = 10.3923048454 jednostek.
8. Mieszanie jednostek liniowych i kwadratowych. Promień w cm i kąt w stopniach to w porządku, ale odpowiedź wychodzi w cm. Pole wycinka w cm² musi być przeliczone współczynnikiem kwadratowym: 1 m² to 10,000 cm², a nie 100 cm². Mieszanie cm i cali w jednym obliczeniu albo zapomnienie o przeliczeniu jednostki wyjściowej daje liczbę o złej wielkości. Najpierw przelicz, potem oblicz.
9. Zaokrąglanie π zbyt wcześnie. Zastąpienie π liczbą 3.14 przed mnożeniem wprowadza błąd, który rośnie wraz z promieniem. Zachowaj pełną dokładność π w całym obliczeniu i zaokrąglij tylko ostatecznie wyświetlany wynik.
10. Zapomnienie o przeliczeniu kąta na radiany. Każdy wzór na wycinek, który używa θ bez liczby 180, w tym pole wycinka A = ½r²θ, cięciwa c = 2r sin(θ / 2) i pole odcinka A = ½r²(θ - sin θ), wymaga θ w radianach. Stopnie działają tylko w postaciach wzorów w stopniach.

Ostatnia kontrola, która wykrywa większość z nich. Sprawdź wynik względem obwodu. Łuk musi mieścić się między 0 a 2πr, musi być dłuższy niż cięciwa, pole wycinka musi mieścić się między 0 a πr², a łuki mniejszy i większy muszą sumować się do dokładnie 2πr. Jeśli którakolwiek z tych kontroli się nie powiedzie, przyczyną jest jeden z dziesięciu błędów powyżej.

Te sześć przykładów obejmuje główne metody wprowadzania kalkulatora i typy wycinków. Każdy z nich jest obliczany przez ten sam silnik, który napędza narzędzie, a każdy wynik został niezależnie zweryfikowany.

Przykład 1: Wycinek 60 stopni o promieniu 6. Dane: r = 6 jednostek, θ = 60° = π / 3 radiana. Długość łuku L = 6 × π / 3 = 6.2831853072 jednostek. Średnica d = 12 jednostek. Cięciwa c = 2 × 6 × sin(30°) = 6 jednostek. Pole wycinka A = ½ × 36 × π / 3 = 18.8495559215 jednostek kwadratowych. Obwód wycinka P = 6.2831853072 + 12 = 18.2831853072 jednostek. Pole odcinka wynosi 3.2610986534 jednostek kwadratowych. Pełny obwód C = 37.6991118431 jednostek.

Przykład 2: Wycinek ćwierćokręgu o promieniu 8 i 90°. Dane: r = 8 jednostek, θ = 90° = π / 2 radiana. Długość łuku L = 8 × π / 2 = 12.5663706144 jednostek. Cięciwa c = 2 × 8 × sin(45°) = 11.3137084990 jednostek. Pole wycinka A = ½ × 64 × π / 2 = 50.2654824574 jednostek kwadratowych. Obwód wycinka P = 12.5663706144 + 16 = 28.5663706144 jednostek. Pole odcinka wynosi 18.2654824574 jednostek kwadratowych. Łuk to dokładnie jedna czwarta obwodu 50.2654824574 jednostek.

Przykład 3: Wycinek większy o promieniu 5 i 270°. Dane: r = 5 jednostek, θ = 270° = 3π / 2 radiana. Długość łuku L = 5 × 3π / 2 = 23.5619449019 jednostek. Cięciwa c = 2 × 5 × sin(135°) = 7.0710678119 jednostek. Pole wycinka A = ½ × 25 × 3π / 2 = 58.9048622548 jednostek kwadratowych. Obwód wycinka P = 23.5619449019 + 10 = 33.5619449019 jednostek. Dopełniający łuk mniejszy, przy użyciu 90°, wynosi 7.8539816340 jednostek, a dopełniające pole wycinka to 19.6349540849 jednostek kwadratowych. Oba łuki sumują się do 31.4159265359 jednostek, pełnego obwodu.

Przykład 4: Wycinek ze średnicy 14 i 120°. Dane: d = 14 jednostek, θ = 120° = 2π / 3 radiana. Promień r = 14 / 2 = 7 jednostek. Długość łuku L = 7 × 2π / 3 = 14.6607657168 jednostek. Cięciwa c = 2 × 7 × sin(60°) = 12.1243556530 jednostek. Pole wycinka A = ½ × 49 × 2π / 3 = 51.3126800086 jednostek kwadratowych. Obwód wycinka P = 14.6607657168 + 14 = 28.6607657168 jednostek. Pole odcinka wynosi 30.0950576159 jednostek kwadratowych.

Przykład 5: Wycinek z pola 50 i promienia 10. Dane: pole wycinka A = 50 jednostek kwadratowych, promień r = 10 jednostek. Kąt środkowy θ = 2 × 50 / 100 = 1 radian = 57.2957795131°. Długość łuku L = 10 × 1 = 10.0000000000 jednostek. Cięciwa c = 2 × 10 × sin(0.5) = 9.5885107721 jednostek. Obwód wycinka P = 10.0000000000 + 20 = 30.0000000000 jednostek. Pole odcinka wynosi 7.9264507596 jednostek kwadratowych. Łuk dopełniający wynosi 52.8318530718 jednostek.

Przykład 6: Wycinek z promienia 4 i znanej długości łuku 6. Dane: r = 4 jednostki, L = 6 jednostek. Kąt środkowy θ = 6 / 4 = 1.5 radiana = 85.9436692696°. Pole wycinka A = ½ × 16 × 1.5 = 12.0000000000 jednostek kwadratowych. Cięciwa c = 2 × 4 × sin(0.75) = 5.4531100802 jednostek. Obwód wycinka P = 6 + 8 = 14.0000000000 jednostek. Pole odcinka wynosi 4.0200401072 jednostek kwadratowych. Łuk dopełniający wynosi 19.1327412287 jednostek, a dopełniające pole wycinka to 38.2654824574 jednostek kwadratowych.

Kliknij dowolny przycisk gotowego przykładu w kalkulatorze, aby wczytać jeden z tych przykładów i zobaczyć pełne rozwiązanie krok po kroku, diagram na żywo oraz wszystkie drugorzędne wyniki dla tych danych.