Calculadora de Comprimento de Arco de Setor

A Calculadora de Comprimento de Arco de Setor mede a distância curva ao longo do arco de um setor circular, de uma pequena fatia até o círculo completo. Ela aceita sete medidas iniciais diferentes, para que você possa usar o valor que já tiver. Siga estes passos para obter uma resposta correta em menos de um minuto.

1. Escolha o método de entrada. Escolha Raio + Ângulo Central, Diâmetro + Ângulo Central, Circunferência Completa + Ângulo Central, Área do Setor + Raio, Área do Setor + Ângulo Central, Comprimento da Corda + Ângulo Central ou Raio + Comprimento de Arco Conhecido. Os campos de entrada, os rótulos e as listas de unidades mudam conforme o método escolhido.
2. Digite sua medida. Digite o valor na caixa de entrada. Para os métodos de área, use a lista de unidades quadradas (mm², cm², m², km², in², ft², yd²).
3. Digite o ângulo central. Digite o ângulo em graus ou radianos usando o seletor DEG/RAD, ou arraste o controle deslizante do ângulo de 0° a 360°. O diagrama ao vivo e o resultado são atualizados conforme você o move. Nos métodos Área do Setor + Raio e Raio + Comprimento de Arco Conhecido, o ângulo é calculado a partir dos seus valores.
4. Defina os ângulos inicial e final, se precisar. A varredura padrão começa em 0° e segue no sentido anti-horário. Altere o ângulo inicial, o ângulo final ou a direção para medir um setor em qualquer lugar do círculo. A varredura, e não a posição, decide o comprimento do arco. Ângulos inicial e final idênticos significam um arco de comprimento zero, a menos que você use a opção de círculo completo para uma revolução completa.
5. Escolha as unidades de entrada e de saída. A calculadora converte sua entrada para uma unidade interna consistente, calcula e depois converte a resposta para a unidade de saída. O número muda com a unidade; o comprimento não muda.
6. Escolha a precisão. Escolha 2, 4, 6 ou 8 casas decimais. O padrão é 4. A calculadora sempre usa π com precisão total internamente e arredonda apenas o resultado exibido.
7. Clique em Calcule Agora. O resultado principal é o comprimento de arco do setor, com sua classificação: setor de ângulo zero, setor menor, semicírculo, setor maior ou círculo completo. Abaixo dele você obtém o raio, o diâmetro, a circunferência completa, o arco complementar, o comprimento da corda, a área do setor, o perímetro do setor, a área do segmento circular, a porcentagem do arco, as duas formas do ângulo e a comparação entre setor menor e setor maior.
8. Explore o diagrama. O diagrama ao vivo do setor desenha o círculo completo, sombreia o setor selecionado em dourado e marca o centro O, as linhas do raio, a corda e os extremos. Use os seletores para mostrar ou ocultar as linhas do raio, a corda, o ponto central, o marcador do ângulo e o setor complementar.
9. Copie, imprima ou redefina. Use Copiar Resultado para colocar a resposta na área de transferência, Imprimir Resumo para um relatório simples ou Redefinir para limpar o painel. Os botões de exemplos carregam exemplos verificados instantaneamente, e os botões de seleção rápida saltam direto para 45°, 60°, 90°, 120°, 180°, 270° ou 360°.

Experimente um exemplo. Raio 6 com ângulo de 60° dá um arco de 6.2831853072 unidades. Raio 8 com 90° dá 12.5663706144 unidades. Raio 5 com 270° dá um arco de setor maior de 23.5619449019 unidades. Diâmetro 14 com 120° dá 14.6607657168 unidades. Área do setor 50 com raio 10 dá um arco de 10.0000000000 unidades, e raio 4 com um arco conhecido de 6 unidades dá um ângulo de 85.9436692696°.

Dicas importantes. Mantenha a unidade do ângulo consistente: 60° e 1.0471975512 radianos são o mesmo ângulo, mas 60 radianos não são 60°. O comprimento do arco é apenas a distância curva; a corda é uma medida diferente e é sempre mais curta, exceto no caso de um arco de comprimento zero. Se você inserir um diâmetro, a calculadora o divide pela metade para encontrar o raio primeiro. A área do setor não é o comprimento do arco: uma é medida em unidades quadradas e a outra em unidades simples. Uma medida zero ou negativa não é um setor válido, por isso a calculadora a rejeita em vez de mostrar uma resposta enganosa.

Um círculo é o conjunto de todos os pontos a uma distância fixa, o raio, de um ponto central O. Um setor circular é a região em forma de cunha recortada de um círculo por dois raios e pelo arco entre eles, como uma fatia de uma torta. O comprimento de arco do setor é a distância curva ao longo da borda externa dessa cunha, de um extremo do raio ao outro, seguindo a curva.

Imagine uma fatia de pizza. As duas bordas retas do corte são os raios, a ponta é o centro O e a crosta é o arco. O comprimento do arco é o comprimento da crosta. A linha reta na extremidade larga da fatia, que une os dois extremos da crosta, é a corda, e ela é mais curta que a crosta.

Todo setor tem as mesmas partes, dimensionadas pelo seu raio. O centro O é o ponto fixo. O raio r vai de O até qualquer ponto do círculo. O ângulo central θ é o ângulo em O entre os dois raios que delimitam o setor, e ele decide qual fração do círculo o setor cobre. O arco é a borda curva. A corda é a linha reta entre os extremos do arco. A área do setor é a região dentro dos dois raios e do arco.

Dois raios sempre dividem um círculo em dois setores: o menor, o setor menor, e o maior, o setor maior. Juntos, eles formam o círculo completo. Qual deles você quer depende do seu problema, e a calculadora mostra os dois, para que você nunca precise adivinhar.

O comprimento de arco do setor é uma medida unidimensional, um comprimento, por isso é informado em unidades simples, como cm, m ou polegadas. Não é uma área, nem um ângulo. Manter essas três grandezas separadas é o primeiro passo para acertar todos os cálculos de setor.

O comprimento de arco do setor vem direto da circunferência de um círculo completo. A circunferência de um círculo completo é:

Um setor com ângulo central θ cobre a fração θ / 360 de uma rotação completa de 360°, então seu arco é a mesma fração da circunferência:

Simplificando, obtemos a forma em graus da fórmula:

Quando o ângulo é medido em radianos, a fórmula é ainda mais simples, porque um radiano é definido pelo próprio raio:

Cada símbolo nas fórmulas tem um significado preciso:

As duas formas dão a mesma resposta. Use L = πrθ / 180 quando o seu ângulo estiver em graus, e L = rθ quando estiver em radianos. A calculadora converte os graus para radianos primeiro e depois usa L = rθ internamente, e é por isso que os dois modos sempre concordam.

Usar o diâmetro em vez do raio dá uma segunda forma da mesma fórmula. Como d = 2r, então r = d / 2, e substituindo obtemos L = dθ / 2 em radianos, ou L = πdθ / 360 em graus.

Raio mais ângulo central é a forma mais direta de encontrar o comprimento de arco de um setor. O exemplo resolvido abaixo usa um raio de 6 unidades e um ângulo central de 60°.

1. Identifique o raio. r = 6 unidades.
2. Identifique o ângulo central. θ = 60°.
3. Converta graus para radianos. θ = 60 × π / 180 = π / 3 = 1.0471975512 radianos.
4. Escreva a fórmula do comprimento de arco. L = rθ.
5. Substitua os valores. L = 6 × π / 3.
6. Calcule. L = 6.2831853072 unidades.
7. Arredonde conforme necessário. Com duas casas decimais, L = 6.28 unidades.

Os mesmos passos funcionam para qualquer raio e ângulo. Um raio de 8 unidades com 90° dá L = 8 × π / 2 = 12.5663706144 unidades. Um raio de 5 unidades com 270° dá L = 5 × 3π / 2 = 23.5619449019 unidades. Um raio de 1 unidade com 60° dá L = 1.0471975512 unidades, que é exatamente π / 3, uma verificação útil: para r = 1, o comprimento do arco é igual ao ângulo em radianos.

Regra de arredondamento. Arredonde apenas no final. Se você substituir π por 3.14 antes de multiplicar, um raio de 6 com 60° dá 6.28 exatamente por sorte aqui, mas para um raio de 8 com 90° dá 12.56 em vez de 12.5663706144, um erro de 0.0063706144. Esse erro cresce com o raio, por isso mantenha a precisão total durante o cálculo e arredonde apenas o resultado final exibido.

Quando você conhece o diâmetro em vez do raio, divida-o pela metade primeiro e depois aplique a mesma fórmula. O exemplo resolvido abaixo usa um diâmetro de 14 unidades e um ângulo central de 120°.

1. Identifique o diâmetro. d = 14 unidades.
2. Encontre o raio. r = d / 2 = 14 / 2 = 7 unidades.
3. Identifique o ângulo central. θ = 120° = 2π / 3 = 2.0943951024 radianos.
4. Escreva a fórmula. L = rθ, ou diretamente L = πdθ / 360.
5. Substitua. L = 7 × 2.0943951024, ou L = π × 14 × 120 / 360.
6. Calcule. L = 14.6607657168 unidades.
7. Arredonde conforme necessário. Com duas casas decimais, L = 14.66 unidades.

Os dois caminhos concordam exatamente, o que é uma boa autoverificação. O caminho do raio dá 7 × 2.0943951024 = 14.6607657168. O caminho do diâmetro dá π × 14 × 120 / 360 = 14.6607657168. Se os dois divergirem, o diâmetro não foi dividido pela metade corretamente.

Outro exemplo: um diâmetro de 20 unidades com 180° dá r = 10 unidades, então L = π × 10 = 31.4159265359 unidades, o arco do semicírculo. Um diâmetro de 10 unidades com 60° dá r = 5 unidades, então L = 5.2359877560 unidades. O erro mais comum neste cálculo é esquecer a divisão por dois e usar o diâmetro como se fosse o raio, o que dobra a resposta. Para d = 14, esse erro dá 29.3215314336 em vez de 14.6607657168.

Dica de medição. Os diâmetros costumam ser mais fáceis de medir na vida real que os raios, porque você pode medir em linha reta através do círculo. É por isso que a calculadora aceita a entrada do diâmetro diretamente: meça através do círculo, digite o valor, e a calculadora o divide pela metade para você.

Os graus são a unidade cotidiana para ângulos. Um círculo completo contém 360°, então um ângulo central em graus diz diretamente qual fração do círculo completo o seu setor cobre. Um ângulo de 90° cobre um quarto do círculo, 180° cobre metade e 270° cobre três quartos.

A fórmula em graus é L = πrθ / 180, onde θ está em graus. Ela vem da ideia da fração: θ / 360 da circunferência 2πr, simplificada.

Exemplo resolvido. Raio 8 unidades, ângulo 90°.

1. Identifique os valores. r = 8 unidades, θ = 90°.
2. Encontre a fração do círculo. 90 / 360 = 1 / 4, um quarto de círculo.
3. Escreva a fórmula. L = πrθ / 180.
4. Substitua. L = π × 8 × 90 / 180 = π × 8 / 2.
5. Calcule. L = 12.5663706144 unidades.
6. Confira com a circunferência. A circunferência completa é 2π × 8 = 50.2654824574 unidades, e um quarto dela é 50.2654824574 / 4 = 12.5663706144 unidades. As duas concordam.

Mais exemplos em graus com um raio de 5 unidades: 30° dá L = 2.6179938780 unidades, 45° dá L = 3.9269908170 unidades, 120° dá L = 10.4719755120 unidades e 270° dá L = 23.5619449019 unidades. Observe que dobrar o ângulo dobra o comprimento do arco para o mesmo raio, porque o comprimento do arco é diretamente proporcional ao ângulo central.

Erro comum com graus. Colocar um valor em graus direto em L = rθ sem converter dá uma resposta muito errada. Para r = 5 e 60°, o cálculo sem conversão dá 5 × 60 = 300, mas a resposta correta é 5.2359877560. A fórmula L = rθ precisa de radianos, então converta primeiro ou use a forma em graus L = πrθ / 180.

Um radiano é o ângulo que se obtém quando o comprimento do arco é igual ao raio. Se você enrolar um pedaço de barbante com o comprimento do raio ao redor do círculo, o ângulo que ele forma no centro é exatamente 1 radiano. Um círculo completo contém 2π radianos, cerca de 6.2831853072 radianos, porque a circunferência completa é 2πr e, dividindo por r, resta 2π.

A fórmula em radianos é L = rθ, a fórmula de comprimento de arco mais simples que existe. Ela não tem π, porque o π já está dentro da medida do ângulo em radianos.

Exemplo resolvido. Raio 6 unidades, ângulo π / 3 radianos (que é 60°).

1. Identifique os valores. r = 6 unidades, θ = π / 3 = 1.0471975512 radianos.
2. Escreva a fórmula. L = rθ.
3. Substitua. L = 6 × 1.0471975512.
4. Calcule. L = 6.2831853072 unidades.
5. Confira com os graus. π / 3 radianos é 60°, e a fórmula em graus dá L = π × 6 × 60 / 180 = 6.2831853072 unidades. As duas concordam exatamente.

Mais exemplos em radianos: um raio de 4 unidades com θ = π / 2 radianos dá L = 4 × 1.5707963268 = 6.2831853072 unidades. Um raio de 10 unidades com θ = π radianos dá L = 10 × 3.1415926536 = 31.4159265359 unidades, o arco do semicírculo. Um raio de 5 unidades com θ = 1 radiano dá L = 5 unidades, porque o arco é igual ao raio quando o ângulo é 1 radiano.

Por que os radianos são preferidos em matemática. As fórmulas de cálculo para comprimento de arco e as fórmulas de corda, setor e área do segmento nesta página usam radianos. Os graus são convenientes para medições cotidianas, mas os radianos deixam a matemática limpa, e é por isso que a calculadora converte todo ângulo para radianos antes de calcular.

O comprimento de arco do setor e a área do setor parecem semelhantes, mas medem coisas diferentes. O comprimento do arco é uma distância curva unidimensional, medida em unidades simples. A área do setor é uma região bidimensional, a cunha do círculo recortada por dois raios e pelo arco, medida em unidades quadradas.

As fórmulas parecem iguais, e é exatamente por isso que elas são confundidas:

A área do setor é o comprimento do arco multiplicado pela metade do raio: A = ½ × r × L. Essa relação é uma verificação útil. Para um raio de 6 unidades e 60°, o arco é 6.2831853072 unidades e a área do setor é ½ × 6 × 6.2831853072 = 18.8495559215 unidades quadradas.

As unidades são a pista. Se a sua resposta deve ser um comprimento, a unidade é cm, m ou polegadas. Se deve ser uma área, a unidade é cm², m² ou polegadas quadradas. Uma resposta de comprimento de arco em unidades quadradas, ou uma resposta de área do setor em unidades simples, está certamente errada. A calculadora mantém as duas separadas e rotula as unidades com clareza.

Uma verificação com o círculo completo. A 360°, o setor é o círculo inteiro, então a área do setor deve ser igual a πr². Para r = 6, π × 36 = 113.0973355292 unidades quadradas. O arco, ao mesmo tempo, é a circunferência completa, 37.6991118431 unidades. Ambos vêm do mesmo raio e do mesmo ângulo, mas respondem a perguntas diferentes.

O perímetro de um setor é a distância ao longo de todo o seu contorno. Um setor propriamente dito tem três partes de contorno: o arco curvo, o primeiro raio e o segundo raio. Assim, o perímetro do setor é o comprimento do arco mais duas vezes o raio:

Aqui θ está em radianos. Os dois lados retos têm cada um exatamente um raio de comprimento, por isso somam 2r ao comprimento do arco curvo.

Exemplo resolvido. Raio 6 unidades, ângulo 60°. O arco é L = 6.2831853072 unidades. Os dois raios somam 2 × 6 = 12 unidades. O perímetro do setor é P = 6.2831853072 + 12 = 18.2831853072 unidades.

Mais exemplos. Raio 8 com 90°: arco 12.5663706144, perímetro 12.5663706144 + 16 = 28.5663706144 unidades. Raio 5 com 270°: arco 23.5619449019, perímetro 23.5619449019 + 10 = 33.5619449019 unidades. Raio 7 com 120°: arco 14.6607657168, perímetro 14.6607657168 + 14 = 28.6607657168 unidades.

Dois casos especiais. Para um círculo completo, 360°, não há lados de raio no contorno: o perímetro é simplesmente a circunferência, P = 2πr. Para r = 6, isso é 37.6991118431 unidades, e não 37.6991118431 + 12. Para um setor de ângulo zero, 0°, a geometria é degenerada: os dois raios coincidem e o arco tem comprimento zero, por isso não apresente um perímetro de setor comum para ele. A calculadora trata o caso de ângulo zero como degenerado e não informa um valor normal de perímetro.

Por que a distinção importa. Se você está encomendando acabamento para um painel em forma de setor, precisa do perímetro, porque o acabamento corre ao longo do arco e das duas bordas retas. Se está medindo apenas a borda curva, precisa do comprimento do arco. Confundir os dois é um dos erros de setor mais comuns, e a calculadora mostra os dois valores lado a lado para que a diferença esteja sempre visível.

Dois raios dividem um círculo em dois setores. O menor é o setor menor, e o maior é o setor maior. Eles compartilham os mesmos dois raios e, juntos, formam o círculo completo.

O ângulo central decide qual é qual. Um ângulo central abaixo de 180° dá um setor menor. Um ângulo central acima de 180° dá um setor maior, e seu ângulo é um ângulo reflexo, maior que um ângulo raso. Exatamente 180° dá um semicírculo, que não é menor nem maior: os dois setores são iguais.

Menor e maior são complementares. Para um ângulo central menor θ, o arco menor é Lminor = rθ e o arco maior é Lmajor = r(2π - θ). A soma deles é sempre a circunferência completa, e as áreas dos setores somam a área completa do círculo:

Exemplo resolvido. Raio 6 unidades, ângulo menor 60°. O arco menor é L = 6 × π / 3 = 6.2831853072 unidades, e a área do setor menor é 18.8495559215 unidades quadradas. O arco maior usa o ângulo reflexo 360° - 60° = 300°, então L = 6 × 5π / 3 = 31.4159265359 unidades, e a área do setor maior é 94.2477796077 unidades quadradas. Os arcos somam 6.2831853072 + 31.4159265359 = 37.6991118431 unidades, a circunferência completa, e as áreas somam 18.8495559215 + 94.2477796077 = 113.0973355292 unidades quadradas, a área completa do círculo. O setor menor é 16.67% do círculo e o setor maior é 83.33%.

Outro exemplo. Raio 5 unidades, ângulo 270°. Este já é o setor maior: L = 23.5619449019 unidades e a área do setor é 58.9048622548 unidades quadradas. Seu setor menor complementar usa 90°: L = 7.8539816340 unidades e a área é 19.6349540849 unidades quadradas. A soma é 31.4159265359 unidades, a circunferência completa 2π × 5.

Não confunda os dois ângulos. O erro menor/maior mais comum é usar o ângulo menor quando o problema pede o setor maior, ou o contrário. Verifique sempre se o ângulo dado é o menor ou o reflexo, e lembre-se de que a calculadora mostra os dois setores lado a lado para que você possa escolher o que o seu problema precisa.

Um setor e um segmento circular são duas regiões diferentes de um círculo, e são fáceis de confundir porque ambos envolvem um arco. Um setor é delimitado por dois raios e um arco. Um segmento circular é delimitado por uma corda e um arco. O segmento é a parte do setor que fica além da corda, por isso é menor que o setor, exceto nos casos especiais abaixo.

As fórmulas mostram a diferença com clareza:

A área do segmento é a área do setor menos a área triangular entre os dois raios e a corda. Aqui θ é a varredura central em radianos, entre 0 e 2π. A fórmula trata corretamente tanto os segmentos menores quanto os maiores: para um arco menor, ela dá a pequena calota, e para um arco maior, ela dá a região grande que cobre a maior parte do círculo.

Exemplos resolvidos. Para r = 6 unidades e 60°, a área do setor é 18.8495559215 unidades quadradas e a área do segmento é ½ × 36 × (1.0471975512 - 0.8660254038) = 3.2610986534 unidades quadradas. O segmento é muito menor que o setor, porque o triângulo ocupa a maior parte da cunha. Para r = 8 e 90°, o segmento é 18.2654824574 unidades quadradas. Para r = 5 e 90°, o segmento é 7.1349540849 unidades quadradas.

Casos especiais. A 180°, sin θ = 0, então a área do segmento é igual à área do setor: ½ πr². Para r = 5, ambas são 39.2699081699 unidades quadradas, que é exatamente metade do círculo. A 270°, sin θ = -1, então o segmento é maior que o setor: para r = 5, o setor é 58.9048622548 unidades quadradas e o segmento é 71.4048622548 unidades quadradas. A 360°, a corda desaparece e o segmento é o círculo inteiro, πr².

Segmento vs setor, em uma linha. O setor é a cunha a partir do centro. O segmento é a calota além da corda. Se o seu problema envolve o centro, você quer o setor. Se envolve apenas o arco e sua corda, você quer o segmento.

O comprimento da corda e o comprimento de arco do setor ligam os mesmos dois pontos de um círculo, mas seguem caminhos diferentes. O arco segue a curva. A corda corta em linha reta. O arco é quase sempre mais longo.

As fórmulas mostram a diferença com clareza:

A corda depende do seno da metade do ângulo, que cresce mais devagar que o próprio ângulo, por isso a diferença entre arco e corda aumenta conforme o ângulo cresce.

Três fatos da tabela valem a pena lembrar. A 30°, o arco é apenas cerca de 1.15% mais longo que a corda, então para ângulos pequenos os dois são próximos. A 180°, a corda é o diâmetro, 10 unidades, enquanto o arco é πr = 15.7079632679 unidades. A 270°, a corda volta a 7.0710678119 unidades, o mesmo que a 90°, porque a corda depende do ângulo menor entre os extremos, enquanto o arco continua crescendo com a varredura.

Caso especial. A 60°, a corda é exatamente igual ao raio: c = 2r sin(30°) = 2r × 0.5 = r. Para r = 6, a corda é 6 unidades, e o raio, a corda e os dois raios formam um triângulo equilátero. Esta é uma verificação prática e uma das favoritas dos examinadores.

Por que isso importa. Se você está cortando um tubo curvo, precisa do comprimento do arco. Se está medindo a distância reta entre dois pontos de uma peça circular, precisa da corda. Confundi-las é um dos erros de círculo mais comuns, e a calculadora mostra os dois valores juntos para que a diferença esteja sempre visível.

Às vezes, nem o raio nem o ângulo são dados. A calculadora trabalha de trás para frente a partir de quatro outras medidas, obtendo primeiro o valor que falta e depois aplicando L = rθ como de costume. Os sete métodos dão o mesmo raio e o mesmo comprimento de arco para o mesmo setor, então você pode usar a medida que realmente tiver.

A partir da circunferência completa do círculo. A circunferência completa é C = 2πr, então r = C / (2π). Para C = 37.6991118431 unidades, r = 37.6991118431 / 6.2831853072 = 6 unidades. Então um arco de setor de 60° é L = 6 × π / 3 = 6.2831853072 unidades. Observe o atalho: um arco de 60° é um sexto da circunferência, e 37.6991118431 / 6 = 6.2831853072 unidades.

A partir do comprimento da corda. A fórmula da corda é c = 2r sin(θ / 2), então r = c / [2 sin(θ / 2)]. Para uma corda de 6 unidades com um ângulo de 60°, r = 6 / (2 × sin 30°) = 6 / (2 × 0.5) = 6 unidades. Então L = 6.2831853072 unidades. A entrada por corda só funciona quando o ângulo está estritamente entre 0° e 360°: a 0° ou 360°, a corda é zero e nenhum raio pode ser recuperado, por isso a calculadora rejeita esses ângulos para este método.

A partir da área do setor e do raio. A área do setor é A = ½r²θ, então θ = 2A / r². Para uma área de setor de 50 unidades quadradas com um raio de 10 unidades, θ = 2 × 50 / 100 = 1 radiano = 57.2957795131°. Então L = 10 × 1 = 10.0000000000 unidades. Este método precisa que a área do setor não seja maior que a área completa do círculo πr²: para r = 10, esse limite é 314.1592653590 unidades quadradas, então uma área acima disso é rejeitada.

A partir da área do setor e do ângulo. Reorganizando da mesma forma, r = √(2A / θ) com θ em radianos. Para uma área de setor de 18.8495559215 unidades quadradas com um ângulo de 60°, θ = 1.0471975512 radianos, então r = √(2 × 18.8495559215 / 1.0471975512) = √(36) = 6 unidades. Então L = 6.2831853072 unidades. Este método precisa do ângulo além da área, porque a mesma área de setor pode vir de muitas combinações de raio e ângulo.

A partir do raio e do comprimento de arco conhecido. O ângulo é θ = L / r. Para um raio de 4 unidades e um arco conhecido de 6 unidades, θ = 6 / 4 = 1.5 radianos = 85.9436692696°. Então a área do setor é A = ½ × 16 × 1.5 = 12.0000000000 unidades quadradas, e o perímetro é P = 6 + 8 = 14.0000000000 unidades. Este método precisa que o arco não seja maior que a circunferência completa 2πr: para r = 4, esse limite é 25.1327412287 unidades.

Qual entrada usar. Use a medida que você realmente tiver. Se duas medidas diferentes derem raios diferentes, uma das medidas está errada, e vale a pena investigar essa divergência antes de confiar em qualquer uma das respostas.

O comprimento de arco de um setor não é um exercício abstrato de sala de aula. Em qualquer lugar em que uma distância curva em um círculo precise ser medida, cortada, construída ou percorrida, a mesma fórmula se aplica.

Engenharia mecânica. A dobra de tubos começa com o comprimento do arco: um tubo dobrado em 90° com um raio de dobra de 8 unidades precisa de 12.5663706144 unidades de tubo só para a dobra. A chapa metálica enrolada em um painel curvo, o perfil do dente de uma engrenagem e a forma de um came precisam do comprimento curvo antes que o material seja cortado. Errar desperdiça material ou deixa uma peça curta.

Arquitetura e construção. Portas em arco, janelas circulares, cúpulas e escadas curvas são dimensionadas pelos seus arcos. Um arco semicircular com raio de 10 unidades precisa de 31.4159265359 unidades de acabamento ao longo da curva. Uma cobertura em forma de setor com raio de 6 unidades e ângulo de 60° precisa de 6.2831853072 unidades de borda ao longo da curva e de 18.2831853072 unidades ao redor de todo o contorno.

Estradas e pistas. Uma curva circular de estrada, uma curva de pista de corrida ou uma curva de ferrovia é projetada por raio e ângulo central. O comprimento da curva decide a quantidade de asfalto, o comprimento do trilho e a distância que um veículo percorre na curva. Uma curva de 120° com raio de 7 unidades tem 14.6607657168 unidades de comprimento.

Pizza e porcionamento de alimentos. Uma fatia de pizza é um setor. Se uma pizza tem raio de 6 unidades, uma fatia cortada a 60° tem um comprimento de crosta de 6.2831853072 unidades e uma área de 18.8495559215 unidades quadradas. Seis fatias como essas formam a pizza inteira, e suas crostas somam 37.6991118431 unidades, a circunferência completa. Cortar fatias iguais é um problema de divisão de setor: ângulos iguais dão arcos iguais e áreas iguais.

Relógios, rodas e robótica. O ponteiro de um relógio varre um arco com o passar do tempo. Uma roda rolando pelo chão cobre uma distância igual ao arco que ela gira. Um braço de robô girando em torno de uma junta move sua garra ao longo de um arco circular, e a distância que ele percorre é rθ, e é por isso que os radianos são a unidade natural em robótica.

Computação gráfica e CAD. As curvas em modelos CAD, fontes e animações são construídas a partir de arcos circulares. O comprimento de um arco decide como o caminho de uma ferramenta é dividido, como uma curva é renderizada e quão longe um objeto se move ao longo de um caminho circular em uma animação. Uma peça em forma de setor em CAD é definida exatamente pelo raio e pelo ângulo que esta calculadora usa.

Uma nota sobre formas reais. Nem toda estrutura curva é um círculo perfeito. Arcos reais podem ser elípticos ou parabólicos, e estradas reais usam transições clotoides. As fórmulas de setor nesta página se aplicam exatamente quando a curva é um arco circular verdadeiro, e são uma boa aproximação apenas quando a curva está próxima de ser circular. Confirme sempre a forma antes de aplicar a fórmula.

A maioria das respostas erradas no comprimento de arco do setor vem de uma pequena lista de erros. Verificar cada um deles leva segundos e evita a maioria dos erros.

1. Usar graus direto na fórmula em radianos. L = rθ precisa de radianos. Colocar 60° direto dá 6 × 60 = 360 em vez de 6.2831853072. Converta primeiro ou use L = πrθ / 180.
2. Confundir raio com diâmetro. A fórmula precisa de r, e não de d. Usar d = 14 como raio dobra a resposta: 29.3215314336 em vez de 14.6607657168 para um setor de 120°. Divida o diâmetro pela metade primeiro.
3. Confundir área do setor com comprimento de arco. A área do setor é uma região bidimensional em unidades quadradas. O comprimento do arco é uma distância unidimensional em unidades simples. Para r = 6 e 60°, a área do setor é 18.8495559215 unidades quadradas e o arco é 6.2831853072 unidades. Grandezas diferentes, unidades diferentes.
4. Confundir perímetro do setor com comprimento de arco. O perímetro soma dois lados de raio: P = L + 2r. Para r = 6 e 60°, o arco é 6.2831853072 unidades, mas o perímetro é 18.2831853072 unidades. Usar o perímetro quando o problema pede o arco superestima a resposta em 12 unidades.
5. Usar o ângulo central errado. Um problema de setor pode dar o ângulo entre a corda e uma tangente, ou um ângulo inscrito, em vez do ângulo central. Um ângulo inscrito é metade do ângulo central para o mesmo arco. Se um problema dá um ângulo inscrito φ, o ângulo central é θ = 2φ, e o arco é L = r × 2φ. Usar φ direto reduz a resposta pela metade.
6. Confundir setores menor e maior. Um ângulo de 270° dá um arco de setor maior de 23.5619449019 unidades para r = 5. Usar o ângulo menor, 90°, dá 7.8539816340 unidades, o arco menor. Verifique qual setor o problema pede.
7. Usar uma fórmula de corda incorreta. A corda é c = 2r sin(θ / 2), com metade do ângulo dentro do seno. Usar sin(θ) dá o valor errado: para r = 6 e 60°, a corda correta é 6 unidades, enquanto 2 × 6 × sin(60°) = 10.3923048454 unidades.
8. Misturar unidades de medida lineares e quadradas. Um raio em cm e um ângulo em graus está certo, mas a resposta sai em cm. Uma área de setor em cm² deve ser convertida com o fator quadrado: 1 m² é 10,000 cm², e não 100 cm². Misturar cm e polegadas em um mesmo cálculo, ou esquecer de converter a unidade de saída, dá um número com o tamanho errado. Converta primeiro, calcule depois.
9. Arredondar π cedo demais. Substituir π por 3.14 antes de multiplicar introduz um erro que cresce com o raio. Mantenha π com precisão total durante o cálculo e arredonde apenas o resultado final exibido.
10. Esquecer de converter o ângulo para radianos. Toda fórmula de setor que usa θ sem um 180 nela, incluindo a área do setor A = ½r²θ, a corda c = 2r sin(θ / 2) e a área do segmento A = ½r²(θ - sin θ), precisa de θ em radianos. Os graus funcionam apenas nas formas em graus das fórmulas.

Uma verificação final que pega a maioria desses erros. Confira o resultado com a circunferência. O arco deve estar entre 0 e 2πr, deve ser mais longo que a corda, a área do setor deve estar entre 0 e πr², e os arcos menor e maior devem somar exatamente 2πr. Se alguma dessas verificações falhar, um dos dez erros acima é a causa.

Estes seis exemplos cobrem os principais métodos de entrada da calculadora e os tipos de setor. Cada um é calculado pelo mesmo mecanismo que alimenta a ferramenta, e cada resultado foi verificado de forma independente.

Exemplo 1: setor de 60 graus com raio 6. Dados r = 6 unidades, θ = 60° = π / 3 radianos. Comprimento do arco L = 6 × π / 3 = 6.2831853072 unidades. Diâmetro d = 12 unidades. Corda c = 2 × 6 × sin(30°) = 6 unidades. Área do setor A = ½ × 36 × π / 3 = 18.8495559215 unidades quadradas. Perímetro do setor P = 6.2831853072 + 12 = 18.2831853072 unidades. A área do segmento é 3.2610986534 unidades quadradas. Circunferência completa C = 37.6991118431 unidades.

Exemplo 2: setor de quarto de círculo com raio 8 e 90°. Dados r = 8 unidades, θ = 90° = π / 2 radianos. Comprimento do arco L = 8 × π / 2 = 12.5663706144 unidades. Corda c = 2 × 8 × sin(45°) = 11.3137084990 unidades. Área do setor A = ½ × 64 × π / 2 = 50.2654824574 unidades quadradas. Perímetro do setor P = 12.5663706144 + 16 = 28.5663706144 unidades. A área do segmento é 18.2654824574 unidades quadradas. O arco é exatamente um quarto da circunferência de 50.2654824574 unidades.

Exemplo 3: setor maior com raio 5 e 270°. Dados r = 5 unidades, θ = 270° = 3π / 2 radianos. Comprimento do arco L = 5 × 3π / 2 = 23.5619449019 unidades. Corda c = 2 × 5 × sin(135°) = 7.0710678119 unidades. Área do setor A = ½ × 25 × 3π / 2 = 58.9048622548 unidades quadradas. Perímetro do setor P = 23.5619449019 + 10 = 33.5619449019 unidades. O arco menor complementar, usando 90°, é 7.8539816340 unidades, e a área do setor complementar é 19.6349540849 unidades quadradas. Os dois arcos somam 31.4159265359 unidades, a circunferência completa.

Exemplo 4: setor a partir do diâmetro 14 e 120°. Dados d = 14 unidades, θ = 120° = 2π / 3 radianos. Raio r = 14 / 2 = 7 unidades. Comprimento do arco L = 7 × 2π / 3 = 14.6607657168 unidades. Corda c = 2 × 7 × sin(60°) = 12.1243556530 unidades. Área do setor A = ½ × 49 × 2π / 3 = 51.3126800086 unidades quadradas. Perímetro do setor P = 14.6607657168 + 14 = 28.6607657168 unidades. A área do segmento é 30.0950576159 unidades quadradas.

Exemplo 5: setor a partir da área 50 e do raio 10. Dados área do setor A = 50 unidades quadradas, raio r = 10 unidades. Ângulo central θ = 2 × 50 / 100 = 1 radiano = 57.2957795131°. Comprimento do arco L = 10 × 1 = 10.0000000000 unidades. Corda c = 2 × 10 × sin(0.5) = 9.5885107721 unidades. Perímetro do setor P = 10.0000000000 + 20 = 30.0000000000 unidades. A área do segmento é 7.9264507596 unidades quadradas. O arco complementar é 52.8318530718 unidades.

Exemplo 6: setor a partir do raio 4 e do comprimento de arco conhecido 6. Dados r = 4 unidades, L = 6 unidades. Ângulo central θ = 6 / 4 = 1.5 radianos = 85.9436692696°. Área do setor A = ½ × 16 × 1.5 = 12.0000000000 unidades quadradas. Corda c = 2 × 4 × sin(0.75) = 5.4531100802 unidades. Perímetro do setor P = 6 + 8 = 14.0000000000 unidades. A área do segmento é 4.0200401072 unidades quadradas. O arco complementar é 19.1327412287 unidades, e a área do setor complementar é 38.2654824574 unidades quadradas.

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