Ellipsenbogenlängenrechner

Der Ellipsenbogenlängenrechner misst die Länge eines Bogens auf einer Ellipse anhand ihrer zwei Halbachsen und zweier Winkel. Die Seite öffnet sich mit dem aktiven Panel „Ellipsenbogenlänge", das die Formel L = ∫_θ1^θ₂ √(a² sin²θ + b² cos²θ) dθ zeigt. Folgen Sie diesen Schritten, um in unter einer Minute ein korrektes Ergebnis zu erhalten.

1. Wählen Sie, wie die Achsen eingegeben werden. Verwenden Sie standardmäßig die Halbachsenlängen (a, b). Wenn Sie stattdessen die vollen Achsen gemessen haben, wechseln Sie zu den vollen Achsenlängen, und der Rechner halbiert jeden Wert für Sie.
2. Geben Sie die große Halbachse (a) ein. Dies ist der längste Radius der Ellipse, gemessen vom Mittelpunkt bis zum fernsten Punkt auf der Begrenzung.
3. Geben Sie die kleine Halbachse (b) ein. Dies ist der kürzeste Radius, gemessen vom Mittelpunkt bis zum nächsten Punkt auf der Begrenzung. Er darf nicht größer als a sein.
4. Geben Sie den Startwinkel (θ₁) und den Endwinkel (θ₂) ein. Verwenden Sie den Umschalter DEG und RAD oben im Panel, um Ihre Zahlen anzupassen. Grad sind die Standardeinstellung.
5. Wählen Sie eine Bogenrichtung. Gegen den Uhrzeigersinn folgt den Winkeln aufwärts von θ₁ bis θ₂. Im Uhrzeigersinn geht es in die andere Richtung. Kürzester und längster Bogen vergleichen beide Wege und melden den kürzeren beziehungsweise längeren.
6. Wählen Sie eine Einheit und eine Genauigkeit. Die Einheit kennzeichnet die Antwort; die Genauigkeit legt fest, wie viele Dezimalstellen das Ergebnis zeigt.
7. Klicken Sie auf „Jetzt berechnen". Der Rechner wertet das Bogenlängenintegral numerisch aus und zeigt das Ergebnis, den Gesamtumfang, den komplementären Bogen, den Prozentsatz des Umfangs sowie die Koordinaten beider Endpunkte.
8. Kopieren oder zurücksetzen. Verwenden Sie „Ergebnis kopieren", um die Antwort in Ihre Zwischenablage zu legen, oder „Zurücksetzen", um das Panel zu leeren. Der Link „Start- und Endwinkel vertauschen" tauscht θ₁ und θ₂ mit einem Klick.

Probieren Sie ein Beispiel aus. Die Schaltflächen „Viertelellipse", „Halbellipse", „Viertelkreis" und „Volle Ellipse" laden verifizierte Werte sofort: a = 5, b = 3, von 0° bis 90° ergibt 6.3817497158 Einheiten, und dieselbe Ellipse von 0° bis 360° ergibt den vollen Umfang, 25.5269988634 Einheiten.

Wichtige Tipps. Halten Sie a und b in derselben Einheit. Geben Sie b nicht größer als a ein. Denken Sie daran, dass die Winkel parametrische Winkel sind, gemessen vom Mittelpunkt aus, keine Winkel, die entlang der Begrenzung gemessen werden. Wenn Start- und Endwinkel gleich sind, ist die Bogenlänge null; verwenden Sie 0° bis 360° für eine vollständige Ellipse.

Eine Ellipse ist eine geschlossene Kurve, die aus allen Punkten besteht, deren Abstände zu zwei festen Punkten, den Brennpunkten, zusammen immer denselben Wert ergeben. Sie sieht aus wie ein gestreckter Kreis: Sie hat eine lange Richtung und eine kurze Richtung, ist aber vollkommen glatt und hat keine Ecken. Ein Bogen ist ein Teil dieser Kurve zwischen zwei Punkten auf ihr. Die Bogenlänge ist die Strecke, die Sie zurücklegen würden, wenn Sie entlang der Kurve vom ersten Punkt zum zweiten gingen.

Jeder Punkt auf einer Ellipse lässt sich mit einem einzigen Winkel θ beschreiben, dem sogenannten parametrischen Winkel:

Hier ist a die große Halbachse und b die kleine Halbachse. Während θ von 0 bis 2π Radiant läuft, durchläuft der Punkt (x, y) die gesamte Ellipse genau einmal, beginnend bei (a, 0) und dorthin zurückkehrend. Ein Bogen von θ₁ bis θ₂ ist der Teil dieser Spur zwischen den beiden Winkeln.

Ein elliptischer Bogen unterscheidet sich in einer wichtigen Hinsicht von einem Kreisbogen. Auf einem Kreis ist jeder Punkt gleich weit, nämlich r, vom Mittelpunkt entfernt, sodass die Bogenlänge einfach L = rθ beträgt. Auf einer Ellipse ändert sich der Abstand vom Mittelpunkt, während man sich entlang der Kurve bewegt, sodass sich auch die Geschwindigkeit ändert, mit der die Kurve durchlaufen wird. Die Bogenlänge hängt daher von der Form der Ellipse ab, nicht nur vom überstrichenen Winkel, und muss durch Integration statt durch eine einzige Multiplikation gefunden werden.

Deshalb ist die Ellipsenbogenlänge eine echte Berechnung und keine Nachschlageaufgabe. Der Rechner auf dieser Seite führt diese Integration numerisch mit hoher Genauigkeit für jede Ellipse und jedes Winkelpaar durch.

Die Bogenlänge einer Ellipse zwischen den parametrischen Winkeln θ₁ und θ₂ ist durch ein bestimmtes Integral gegeben:

Jedes Symbol in der Formel hat eine genaue Bedeutung:

Der Integrand √(a² sin²θ + b² cos²θ) ist die Geschwindigkeit, mit der sich der Punkt (a cos θ, b sin θ) bewegt, während θ zunimmt. Er ist am kleinsten, gleich b, bei θ = 0°, wo die Kurve die große Achse kreuzt, und am größten, gleich a, bei θ = 90°, wo die Kurve die kleine Achse kreuzt. Die Integration dieser Geschwindigkeit über das Winkelintervall summiert alle winzigen Abschnitte zur gesamten Bogenlänge.

Wenn a = b ist, ist die Ellipse ein Kreis mit dem Radius r = a, der Integrand wird zur Konstanten r, und die Formel reduziert sich auf das bekannte L = rθ, mit θ in Radiant. Dieser Sonderfall ist eine nützliche Prüfung: Jeder Ellipsenrechner muss das Kreisergebnis liefern, wenn die beiden Achsen gleich sind.

Die Berechnung einer Ellipsenbogenlänge von Hand folgt acht Schritten. Das ausgearbeitete Beispiel unten verwendet a = 5, b = 3, von 0° bis 90°, eine Viertelellipse.

1. Bestimmen Sie die große Halbachse. a = 5 Einheiten.
2. Bestimmen Sie die kleine Halbachse. b = 3 Einheiten.
3. Bestimmen Sie den Startwinkel. θ₁ = 0°.
4. Bestimmen Sie den Endwinkel. θ₂ = 90°.
5. Rechnen Sie Grad bei Bedarf in Radiant um. 0° = 0 Radiant und 90° = π/2 ≈ 1.5707963268 Radiant.
6. Wenden Sie das Ellipsenbogenlängenintegral an. L = ∫₀^π/2 √(25 sin²θ + 9 cos²θ) dθ.
7. Werten Sie das Integral numerisch aus. Der Integrand hat keine elementare Stammfunktion, verwenden Sie also ein numerisches Verfahren wie die adaptive Simpson-Regel, die ihre Intervalle so lange verfeinert, bis die Antwort stabil ist.
8. Deuten Sie die endgültige Antwort. L ≈ 6.3817497158 Einheiten. Der Rechner auf dieser Seite liefert denselben Wert.

Um zu sehen, warum numerische Integration nötig ist, betrachten Sie den Integranden bei drei Winkeln:

Ein einziger Simpson-Schritt über das gesamte Viertel ergibt (π/4)/3 × (3 + 4 × 4.1231056256 + 5) ≈ 6.4121012169, was nahe, aber nicht exakt ist. Die adaptive Simpson-Regel teilt das Intervall so lange weiter und wertet es neu aus, bis der Fehler unter ihre Toleranz fällt, und konvergiert gegen 6.3817497158. Die praktische Lehre: Eine grobe numerische Schätzung ist einfach, aber eine vertrauenswürdige Antwort braucht ein Verfahren, das seine eigene Genauigkeit prüft, und genau das tut der Rechner.

Die große Achse ist die längste gerade Linie durch den Mittelpunkt der Ellipse, die von einer Seite der Begrenzung zur anderen verläuft. Die kleine Achse ist die kürzeste solche Linie, senkrecht zur großen Achse. Die große Halbachse a ist die halbe große Achse: der Abstand vom Mittelpunkt bis zur Begrenzung entlang der langen Richtung. Die kleine Halbachse b ist die halbe kleine Achse: der Abstand vom Mittelpunkt bis zur Begrenzung entlang der kurzen Richtung.

Die Verwechslung von vollen Achsen und Halbachsen ist der häufigste Eingabefehler. Wenn eine Zeichnung die volle Breite einer Ellipse mit 10 angibt, ist die große Halbachse a = 5, nicht 10. Die Eingabe von 10 als a würde eine doppelt so große Ellipse beschreiben, und jede Länge, die der Rechner liefert, wäre verdoppelt. Der Rechner bietet genau für diesen Fall einen Vollachsenmodus: Geben Sie die vollen Längen ein, und er halbiert sie vor der Berechnung.

Die beiden Achsen bestimmen auch die Form. Wenn a und b fast gleich sind, ist die Ellipse fast ein Kreis. Wenn b viel kleiner als a ist, ist die Ellipse lang und flach, wie eine Laufbahn von der Seite gesehen. Das Verhältnis b/a wird manchmal Seitenverhältnis genannt; die Exzentrizität e = √(1 − (b/a)²) misst dieselbe Idee, mit e = 0 für einen Kreis und e nahe 1 für eine sehr flache Ellipse. Für a = 5 und b = 3 ist e = √(1 − 9/25) = 0.8.

Der Gesamtumfang ist die Länge der gesamten geschlossenen Kurve, während eine Teilbogenlänge die Länge eines Stücks davon ist. Der Umfang ist der Sonderfall der Bogenformel mit θ₁ = 0° und θ₂ = 360°:

Der Faktor 4 tritt auf, weil die vier Quadranten einer Ellipse Spiegelbilder voneinander sind. Für a = 5 und b = 3 beträgt der Umfang P ≈ 25.5269988634 Einheiten. Die Tabelle unten vergleicht die Standardstücke dieser Ellipse.

Eine Viertelellipse ist genau ein Viertel des Umfangs und eine Halbellipse genau eine Hälfte, weil die Quadranten Spiegelbilder sind. Aber diese Symmetrie gilt nur für Bögen, die auf den Achsen beginnen und enden. Ein beliebiger 90°-Schwung ist nicht ein Viertel des Umfangs: Auf einer größeren Ellipse mit a = 10 und b = 6 misst der Bogen von 30° bis 120° 14.4818404027 Einheiten, genau doppelt so viel wie der Wert für die Ellipse mit a = 5 und b = 3, und das ausgearbeitete Beispiel weiter unten in dieser Anleitung zeigt, dass dieser 90°-Schwung 28.3657% des Umfangs der größeren Ellipse ausmacht. Nehmen Sie niemals an, dass ein 90°-Schwung gleich P/4 ist, es sei denn, er verläuft von einer Achse zur nächsten.

Der Rechner meldet beide Zahlen für jede Berechnung: die Bogenlänge, nach der Sie gefragt haben, und den Gesamtumfang, zu dem sie gehört, zusammen mit dem komplementären Bogen (dem Rest der Ellipse) und dem Prozentsatz des Umfangs, den Ihr Bogen abdeckt.

Die Ellipsenbogenlänge hat keine exakte Formel, die aus gewöhnlichen Funktionen aufgebaut ist. Das Integral ∫ √(a² sin²θ + b² cos²θ) dθ ist ein unvollständiges elliptisches Integral zweiter Art, geschrieben als E(φ, k), wobei φ der Winkel ist und k = √(1 − (b/a)²) die Exzentrizität. Der Bogen von θ₁ bis θ₂ ist a × (E(θ₂, k) − E(θ₁, k)). Für a = 5 und b = 3 ist k = 0.8, und die Viertelellipse ist 5 × E(π/2, 0.8) = 5 × 1.2763499432 = 6.3817497158.

Elliptische Integrale sind gut verstanden, aber sie sind nicht elementar: Keine Kombination aus Polynomen, Wurzeln, Exponentialfunktionen und trigonometrischen Funktionen wertet sie in geschlossener Form aus. Deshalb verwendet jede praktische Ellipsenberechnung numerische Integration. Die adaptive Simpson-Regel, die dieser Rechner verwendet, ist eine gute Wahl, weil sie die Intervalle verfeinert, in denen sich der Integrand am schnellsten ändert, und stoppt, wenn das Ergebnis innerhalb ihrer Toleranz stabil ist.

Nur für den Gesamtumfang gibt es auch eine berühmte Näherung von Srinivasa Ramanujan:

Für a = 5 und b = 3 ist h = 0.0625, und Ramanujans Formel ergibt P ≈ 25.5269988628, was mit dem exakten numerischen Umfang 25.5269988634 bis auf neun Dezimalstellen übereinstimmt. Sie ist bemerkenswert genau für Ellipsen, die nicht extrem flach sind. Aber sie ist eine Näherung nur für den gesamten Umfang: Sie lässt sich nicht herunterbrechen, um einen Teilbogen zu liefern, verwenden Sie sie also niemals als Ersatz für das Bogenintegral. Der Rechner zeigt den Ramanujan-Wert in seinen Schritten nur als lehrreichen Vergleich neben dem numerischen Ergebnis.

Verwenden Sie numerische Integration, wann immer die Antwort wichtig ist, und Ramanujan nur als schnelle Plausibilitätsprüfung eines vollen Umfangs. Wenn die beiden über ein paar Dezimalstellen hinaus voneinander abweichen, vertrauen Sie der numerischen Integration und prüfen Sie die Eingaben.

Die Kreisformel L = rθ funktioniert, weil jeder Punkt auf einem Kreis denselben Abstand r vom Mittelpunkt hat, sodass die Geschwindigkeit entlang der Kurve konstant ist. Auf einer Ellipse variiert die Geschwindigkeit: Für a = 5 und b = 3 reicht sie von 3 an den Enden der großen Achse bis 5 an den Enden der kleinen Achse. Ein einziger Radius kann diese Variation nicht erfassen, sodass die Kreisformel für jede Ellipse, die kein Kreis ist, die falsche Antwort liefert.

Vergleichen Sie einen 90°-Bogen auf drei Formen derselben Nenngröße:

Die Verwendung von r = 5 in der Kreisformel überschätzt den Ellipsenviertelbogen um etwa 23%, wenn b = 3 ist, und um etwa 11%, wenn b = 4 ist. Der Fehler schrumpft, wenn sich die Ellipse einem Kreis nähert, und wächst, wenn sie flacher wird, genau wie man es erwarten würde: Die Kreisformel ist der Grenzwert der Ellipsenformel, wenn b sich a nähert, kein allgemeiner Ersatz dafür.

Der Rechner verwendet niemals die Kreisformel für eine Ellipse. Er integriert den exakten Ellipsenintegranden, und nur wenn a = b ist, reduziert sich diese Integration auf L = rθ, was der Rechner intern auch als Konsistenzprüfung verifiziert.

Zwei Punkte auf einer Ellipse teilen die Kurve in zwei Bögen: einen gegen den Uhrzeigersinn und einen im Uhrzeigersinn. Sie sind keine Spiegelbilder, weil die Ellipse kein Kreis ist, sodass die beiden Bögen unterschiedliche Längen haben. Der kürzere ist der kürzeste Weg entlang der Kurve zwischen den Punkten; der längere ist der Rest der Ellipse.

Nehmen Sie a = 5, b = 3, mit Endpunkten bei 0° und 120°:

Die beiden Längen addieren sich zum vollen Umfang, 25.5269988634, wie sie es müssen, da sie zusammen die gesamte Ellipse abdecken. Der kürzeste Bogen ist 8.9253958986 und der längste ist 16.6016029648. Beachten Sie, dass die Winkelaufteilung 120° gegenüber 240° beträgt, ein Verhältnis von eins zu zwei, während die Längenaufteilung grob 35% gegenüber 65% beträgt: Die Längen folgen nicht den Winkeln, weil sich die Kurve nahe der kleinen Achse schneller bewegt als nahe der großen Achse.

Deshalb misst der Rechner beide Wege durch tatsächliche Integration statt durch den Vergleich von Winkeln. Der Vergleich von Winkeldifferenzen würde den falschen Sieger liefern, wann immer die Ellipse weit von einem Kreis entfernt ist. Wählen Sie „Kürzester Bogen", wenn Sie den kürzeren Weg brauchen, zum Beispiel die kürzeste Kabelführung zwischen zwei Punkten auf einem elliptischen Rahmen, und „Längster Bogen", wenn Sie den Rest der Kurve brauchen.

Parametrische Winkel auf einer Ellipse laufen um: 360° ist derselbe Punkt wie 0°, und 370° ist derselbe Punkt wie 10°. Der Rechner handhabt diesen Übergang für Sie, aber es hilft, die Regeln zu kennen, denen er folgt.

Gegen den Uhrzeigersinn bedeutet, dass der Winkel von θ₁ bis θ₂ zunimmt und bei Bedarf über 360° hinausläuft. Ein Bogen von 350° bis 10° gegen den Uhrzeigersinn durchläuft 20° durch 0°, nicht 340° rückwärts. Für a = 5 und b = 3 misst dieser Bogen 1.0565175692 Einheiten, genau wie der Bogen von −10° bis 10°.

Im Uhrzeigersinn bedeutet, dass der Winkel von θ₁ bis θ₂ abnimmt. Ein Bogen von 10° bis 350° im Uhrzeigersinn ist derselbe 20°-Bogen durch 0°, während dasselbe Paar gegen den Uhrzeigersinn 340° den langen Weg herum zurücklegen würde.

Gleiche Winkel ergeben einen Bogen der Länge null. Wenn θ₁ und θ₂ gleich sind, fallen Start- und Endpunkt zusammen, und es gibt keinen Bogen zwischen ihnen. Für eine vollständige Ellipse geben Sie stattdessen 0° bis 360° ein: Das ist eine volle Umdrehung, und der Rechner liefert den gesamten Umfang.

Negative Winkel sind erlaubt und bedeuten dieselben Punkte wie ihre positiven Entsprechungen: −30° ist derselbe Punkt wie 330°. Der Rechner normalisiert jeden Winkel vor der Integration in den Bereich von 0° bis 360°, sodass −30° bis 30° und 330° bis 30° dieselbe Antwort liefern.

Radiant folgen denselben Regeln, mit 2π anstelle von 360°. Schalten Sie den Umschalter DEG und RAD um, bevor Sie Radiantwerte eingeben, da 1.57 Radiant und 1.57 Grad sehr unterschiedliche Bögen beschreiben.

Einige Winkelintervalle kommen so oft vor, dass sie eigene Namen verdienen. Die Tabelle unten listet sie für die Ellipse a = 5, b = 3 und für einen Kreis mit dem Radius 5 auf, alle vom Rechner verifiziert.

Kreis (a = b). Die Ellipse wird zu einem Kreis, der Integrand wird zum konstanten Radius, und L = rθ, mit θ in Radiant. Ein Viertelkreis mit dem Radius 5 ist 5 × π/2 = 7.853981634, und der volle Kreisumfang ist 2πr = 31.4159265359.

Sehr lang gestreckte Ellipsen. Wenn b viel kleiner als a ist, ist die Ellipse fast ein flaches Liniensegment, das hin und zurück durchlaufen wird. Der Umfang nähert sich 4a, und der Viertelbogen nähert sich a. Für a = 10 und b = 1 ist der Viertelbogen 10.1599354503, nur wenig mehr als a selbst.

Sehr flache Ellipsen. Dieselbe Idee gilt in der anderen Richtung: Der Bogen konzentriert sich nahe den Enden der großen Achse, wo sich die Kurve scharf wendet, und die numerische Integration muss dort ihre Intervalle verfeinern. Die adaptive Simpson-Regel handhabt das automatisch.

Arbeiten Sie ein vollständiges Beispiel mit a = 10, b = 6, von θ₁ = 30° bis θ₂ = 120° durch. Dies ist ein 90°-Schwung, der nicht auf einer Achse beginnt, sodass er jeden Teil der Methode prüft.

1. Rechnen Sie die Winkel um. 30° = π/6 ≈ 0.5235987756 Radiant. 120° = 2π/3 ≈ 2.0943951024 Radiant.
2. Schreiben Sie das Integral auf. L = ∫_0.5235987756^2.0943951024 √(100 sin²θ + 36 cos²θ) dθ.
3. Werten Sie den Integranden an Stichproben aus. Bei 30° ist er √(100 × 0.25 + 36 × 0.75) = √52 ≈ 7.2111025509. Beim Mittelpunkt 75° ist er ≈ 9.7832925399. Bei 120° ist er √(100 × 0.75 + 36 × 0.25) = √84 ≈ 9.1651513899.
4. Schätzen Sie grob. Der Mittelpunktwert mal der Intervallbreite, 9.7832925399 × 1.5707963268 ≈ 15.3675599856, ist eine grobe Schätzung. Sie überschätzt, weil der Integrand nicht konstant ist.
5. Integrieren Sie genau. Die adaptive Simpson-Regel verfeinert das Intervall, bis die Antwort stabil ist, und ergibt L ≈ 14.4818404027 Einheiten.
6. Prüfen Sie die Endpunkte. Der Startpunkt ist (10 cos 30°, 6 sin 30°) = (8.660254, 3). Der Endpunkt ist (10 cos 120°, 6 sin 120°) = (−5, 5.196152). Der Rechner zeigt beide Punkte bei jedem Ergebnis.
7. Vergleichen Sie mit dem Umfang. Der volle Umfang ist P ≈ 51.0539977268, sodass dieser Bogen 28.3657% der Ellipse ausmacht, obwohl er 90° überstreicht. Ramanujans Näherung ergibt 51.0539977256 und stimmt bis auf neun Dezimalstellen überein.

Die wichtigste Lehre steckt in Schritt 7: Ein 90°-Schwung ist nicht ein Viertel des Umfangs, es sei denn, er verläuft von einer Achse zur nächsten. Hier decken dieselben 90° Winkel nur 28.3657% der Kurve ab, weil der Schwung die kleine Achse kreuzt, wo sich die Kurve am schnellsten bewegt, und die langsame Strecke nahe der großen Achse auslässt.

Die Ellipsenbogenlänge ist nicht nur eine Schulaufgabe. Sie taucht überall auf, wo eine elliptische Form gemessen, geschnitten oder gebaut werden muss.

Maschinenbau. Elliptische Zahnräder, Nocken und Gestänge bewegen sich alle entlang elliptischer Bahnen. Die Kenntnis der Bogenlänge zwischen zwei Nockenwinkeln sagt einem Ingenieur, wie weit sich ein Stößel bewegt, was die Steuerung des Mechanismus festlegt.

Architektur. Elliptische Bögen, Kuppeln und Höfe brauchen vor der Bestellung von Stein oder Stahl exakte Umfangs- und Teilbogenmaße. Ein Bogen, der nur einen Teil einer Ellipse überspannt, braucht die Bogenlänge dieses Teils, nicht den gesamten Umfang.

Fertigung und CNC-Bearbeitung. Eine CNC-Fräse, die eine elliptische Tasche oder einen elliptischen Flansch schneidet, folgt der Kurve in kleinen Schritten. Die gesamte Werkzeugweglänge ergibt sich aus dem Bogenintegral und bestimmt Bearbeitungszeit und Werkzeugverschleiß.

Elliptische Bahnen und Bauwerke. Laufbahnen, Radrennbahnen und elliptische Rohre werden in Bogenlängen gemessen. Ein Rohrbogen, der sich durch einen Teil einer Ellipse biegt, braucht die Bogenlänge der Biegung, um das Material passend zu schneiden.

CAD und technisches Zeichnen. Ellipsen sind Grundelemente in CAD-Software, und ihre Bogenlängen fließen in Bemaßung, Flächenberechnungen und Stücklistenlängen für Verkleidungen und Kanten ein.

Physik und Geometrieunterricht. Planetenbahnen sind Ellipsen, und die Strecke, die ein Planet entlang seiner Bahn zwischen zwei Winkeln zurücklegt, ist eine Ellipsenbogenlänge. Dasselbe Integral taucht in der Optik auf, wo elliptische Spiegel Licht bündeln, und in der Untersuchung der elliptischen Integrale selbst.

Die meisten Fehler bei der Ellipsenbogenlänge entstehen dadurch, dass die Ellipse wie ein Kreis behandelt oder die Eingaben verwechselt werden. Achten Sie auf diese sieben.

1. Die Kreisformel für eine Ellipse verwenden. L = rθ funktioniert nur, wenn a = b ist. Für a = 5 und b = 3 überschätzt sie einen Viertelbogen um etwa 23%.
2. Volle Achsen mit Halbachsen verwechseln. Wenn die volle Breite 10 beträgt, ist a = 5. Die Eingabe von 10 als a verdoppelt jede Länge, die der Rechner liefert. Verwenden Sie den Vollachsenmodus, wenn Sie die vollen Längen gemessen haben.
3. Vergessen, Grad in Radiant umzurechnen. Die Formeln verwenden Radiant. Ein Winkel von 90, der als Radiant eingegeben wird, ist mehr als vierzehn volle Umdrehungen, keine Vierteldrehung. Prüfen Sie den Umschalter DEG und RAD, bevor Sie tippen.
4. Die falsche Winkelkonvention verwenden. Die Winkel hier sind parametrische Winkel, gemessen vom Mittelpunkt aus, x = a cos θ, y = b sin θ. Sie sind nicht der Polarwinkel des Punkts, der sich außer auf den Achsen unterscheidet.
5. Uhrzeigersinn und Gegenuhrzeigersinn ignorieren. Zwei Punkte definieren zwei Bögen, und sie sind auf einer Ellipse nicht gleich. Wählen Sie die Richtung, die Sie tatsächlich meinen, oder verwenden Sie die Optionen für den kürzesten und längsten Bogen, um beide zu sehen.
6. Annehmen, dass eine Viertelellipse immer ein Viertel des Umfangs ist. Das gilt nur für Bögen, die von einer Achse zur nächsten verlaufen. Ein 90°-Schwung von 30° bis 120° beträgt 28.3657% seines Umfangs, nicht 25%.
7. Ramanujans Näherung als exakte Teilbogenformel behandeln. Ramanujans Formel nähert den gesamten Umfang an. Sie sagt nichts über einen Teilbogen aus und darf niemals um einen Winkelanteil herunterskaliert werden, um einen zu schätzen.

Verwenden Sie diese Tabelle als schnelle Prüfung für Ihre eigenen Berechnungen. Alle Werte wurden mit dem Rechner auf dieser Seite erzeugt.

Die letzte Zeile zeigt, wie sich eine sehr flache Ellipse verhält: Mit a = 10 und b = 1 ist der Viertelbogen nur wenig länger als a selbst, und der Umfang ist nur wenig mehr als 4a = 40. Wenn b gegen null schrumpft, kollabiert die Ellipse zu einem Liniensegment, das hin und zurück durchlaufen wird, und ihr Umfang nähert sich 4a.

Halten Sie diese Formeln für eine schnelle Übersicht zusammen. Sie decken jede Berechnung auf dieser Seite ab.

Die Winkel in diesen Formeln sind in Radiant. Zum Umrechnen multiplizieren Sie Grad mit π/180. Die Ramanujan-Zeile ist eine Näherung nur für den gesamten Umfang, während die Integralzeilen exakt sind und vom Rechner numerisch ausgewertet werden.