타원 호 길이 계산기

타원 호 길이 계산기는 두 반축과 두 각도로 타원 위의 호 길이를 측정합니다. 페이지는 타원 호 길이 패널이 활성화된 상태로 열리며, 공식 L = ∫_θ1^θ₂ √(a² sin²θ + b² cos²θ) dθ가 표시됩니다. 아래 단계를 따라 1분 안에 정확한 답을 구하세요.

1. 축 입력 방식을 선택하세요. 기본값은 반축 길이(a, b)입니다. 전체 축을 측정했다면 전체 축 길이 모드로 전환하세요. 계산기가 각 값을 절반으로 나누어 줍니다.
2. 장반축(a)을 입력하세요. 타원의 가장 긴 반지름으로, 중심에서 경계 위 가장 먼 점까지의 거리입니다.
3. 단반축(b)을 입력하세요. 가장 짧은 반지름으로, 중심에서 경계 위 가장 가까운 점까지의 거리입니다. a보다 커서는 안 됩니다.
4. 시작 각도(θ₁)와 끝 각도(θ₂)를 입력하세요. 패널 상단의 DEG와 RAD 토글을 이용해 입력한 숫자에 맞추세요. 기본값은 도입니다.
5. 호 방향을 선택하세요. 반시계 방향은 θ₁에서 θ₂로 각도가 증가하는 방향을 따릅니다. 시계 방향은 반대 방향입니다. 최단과 최장은 두 물리적 경로를 모두 비교해 더 짧은 쪽이나 더 긴 쪽을 보고합니다.
6. 단위와 정밀도를 선택하세요. 단위는 답에 표시되고, 정밀도는 결과가 표시되는 소수 자릿수를 정합니다.
7. 지금 계산(Calculate Now)을 클릭하세요. 계산기가 호 길이 적분을 수치적으로 평가하고 결과, 전체 둘레, 보완 호, 둘레에서 차지하는 비율, 두 끝점의 좌표를 보여 줍니다.
8. 복사하거나 초기화하세요. 결과 복사(Copy Result)를 사용하면 답을 클립보드에 저장하고, 초기화(Reset)를 사용하면 패널을 지울 수 있습니다. 시작 각도와 끝 각도 교환(Swap Start and End Angles) 링크를 클릭하면 θ₁과 θ₂가 한 번에 바뀝니다.

예제를 시도해 보세요. 4분의 1 타원(Quarter Ellipse), 절반 타원(Half Ellipse), 4분의 1 원(Quarter Circle), 전체 타원(Complete Ellipse) 버튼을 누르면 검증된 값이 즉시 입력됩니다. a = 5, b = 3, 0°에서 90°까지는 6.3817497158단위이고, 같은 타원을 0°에서 360°까지 측정하면 전체 둘레인 25.5269988634단위가 됩니다.

중요한 팁. a와 b는 같은 단위로 입력하세요. b는 a보다 크게 입력하지 마세요. 각도는 경계를 따라 측정한 각도가 아니라 중심에서 측정한 매개변수 각도라는 점을 기억하세요. 시작 각도와 끝 각도가 같으면 호 길이는 0입니다. 전체 타원을 구하려면 0°에서 360°까지 입력하세요.

타원은 두 고정점, 즉 초점에 대한 거리의 합이 항상 일정한 모든 점으로 이루어진 닫힌 곡선입니다. 늘어난 원처럼 보입니다. 긴 방향과 짧은 방향이 있지만 모서리가 전혀 없이 완벽하게 매끄럽습니다. 호는 그 곡선 위의 두 점 사이의 일부분입니다. 호 길이는 첫 번째 점에서 두 번째 점까지 곡선을 따라 걸었을 때 이동하는 거리입니다.

타원 위의 모든 점은 매개변수 각도라고 하는 하나의 각도 θ로 나타낼 수 있습니다.

여기서 a는 장반축, b는 단반축입니다. θ가 0에서 2π 라디안까지 변하면 점 (x, y)는 (a, 0)에서 시작해 정확히 한 번 타원 전체를 그리며 그곳으로 돌아옵니다. θ₁에서 θ₂까지의 호는 그 자취 중 두 각도 사이의 부분입니다.

타원 호는 원호와 한 가지 중요한 점에서 다릅니다. 원에서는 모든 점이 중심에서 같은 거리 r만큼 떨어져 있으므로 호 길이는 단순히 L = rθ입니다. 타원에서는 중심에서 떨어진 거리가 곡선을 따라 이동하면서 변하므로, 곡선을 그리는 속도도 함께 변합니다. 따라서 호 길이는 쓸어낸 각도만으로 정해지지 않고 타원의 모양에도 좌우되며, 한 번의 곱셈이 아니라 적분으로 구해야 합니다.

그래서 타원 호 길이는 표에서 찾아보는 값이 아니라 진짜 계산입니다. 이 페이지의 계산기는 모든 타원과 모든 각도 쌍에 대해 그 적분을 높은 정밀도로 수치적으로 수행합니다.

θ₁과 θ₂ 사이의 타원 호 길이는 다음과 같은 정적분으로 구합니다.

공식의 각 기호는 정확한 의미를 가집니다.

피적분 함수 √(a² sin²θ + b² cos²θ)는 θ가 증가할 때 점 (a cos θ, b sin θ)이 움직이는 속도입니다. 이 속도는 곡선이 장축과 만나는 θ = 0°에서 b로 가장 작고, 곡선이 단축과 만나는 θ = 90°에서 a로 가장 큽니다. 그 속도를 각도 구간에 대해 적분하면 모든 작은 조각이 더해져 전체 호 길이가 됩니다.

a = b이면 타원은 반지름 r = a인 원이 되고, 피적분 함수는 상수 r이 되며, 공식은 익숙한 L = rθ로 축소됩니다. 여기서 θ는 라디안 단위입니다. 이 특수한 경우는 유용한 검산 방법입니다. 모든 타원 계산기는 두 축이 같을 때 원의 결과를 재현해야 합니다.

타원 호 길이를 손으로 계산하는 과정은 여덟 단계입니다. 아래 풀이 예제는 a = 5, b = 3, 0°에서 90°까지의 4분의 1 타원을 사용합니다.

1. 장반축을 확인하세요. a = 5단위입니다.
2. 단반축을 확인하세요. b = 3단위입니다.
3. 시작 각도를 정하세요. θ₁ = 0°입니다.
4. 끝 각도를 정하세요. θ₂ = 90°입니다.
5. 필요하면 도를 라디안으로 변환하세요. 0° = 0라디안, 90° = π/2 ≈ 1.5707963268라디안입니다.
6. 타원 호 길이 적분을 적용하세요. L = ∫₀^π/2 √(25 sin²θ + 9 cos²θ) dθ입니다.
7. 적분을 수치적으로 평가하세요. 피적분 함수에는 초등적인 원시함수가 없으므로, 구간을 세분하며 답이 안정될 때까지 계산하는 적응형 심프슨 법칙 같은 수치 방법을 사용하세요.
8. 최종 답을 해석하세요. L ≈ 6.3817497158단위입니다. 이 페이지의 계산기도 같은 값을 반환합니다.

수치 적분이 왜 필요한지 보려면 세 각도에서 피적분 함수를 살펴보세요.

전체 4분의 1 구간에 한 번의 심프슨 단계를 적용하면 (π/4)/3 × (3 + 4 × 4.1231056256 + 5) ≈ 6.4121012169가 되는데, 가깝지만 정확하지는 않습니다. 적응형 심프슨 법칙은 오차가 허용 범위 아래로 떨어질 때까지 구간을 계속 나누고 다시 평가해 6.3817497158에 수렴합니다. 교훈은 실용적입니다. 대략적인 수치 추정은 쉽지만, 신뢰할 수 있는 답을 얻으려면 스스로 정확도를 확인하는 방법이 필요하고, 계산기가 바로 그 일을 합니다.

장축은 타원의 중심을 지나 경계의 한쪽에서 다른 쪽까지 이어지는 가장 긴 직선입니다. 단축은 장축에 수직인 가장 짧은 직선입니다. 장반축 a는 장축의 절반으로, 중심에서 긴 방향의 경계까지의 거리입니다. 단반축 b는 단축의 절반으로, 중심에서 짧은 방향의 경계까지의 거리입니다.

전체 축과 반축을 혼동하는 것이 가장 흔한 입력 오류입니다. 그림에서 타원의 전체 너비가 10으로 주어졌다면 장반축은 a = 5이지 10이 아닙니다. 10을 a로 입력하면 두 배나 큰 타원이 되며, 계산기가 반환하는 모든 길이가 두 배가 됩니다. 계산기에 전체 축 모드가 있는 이유가 바로 이것입니다. 전체 길이를 입력하면 계산 전에 절반으로 나누어 줍니다.

두 축은 모양도 결정합니다. a와 b가 거의 같으면 타원은 거의 원에 가깝습니다. b가 a보다 훨씬 작으면 타원은 옆에서 본 육상 트랙처럼 길고 납작합니다. 비율 b/a를 종횡비라고 하기도 하며, 이심률 e = √(1 − (b/a)²)도 같은 개념을 측정합니다. 원에서는 e = 0이고, 매우 납작한 타원에서는 e가 1에 가깝습니다. a = 5, b = 3인 경우 e = √(1 − 9/25) = 0.8입니다.

전체 둘레는 닫힌 곡선 전체의 길이이고, 부분 호 길이는 그중 한 조각의 길이입니다. 둘레는 θ₁ = 0°, θ₂ = 360°인 호 공식의 특수한 경우입니다.

계수 4가 나타나는 이유는 타원의 네 사분면이 서로 거울상처럼 같기 때문입니다. a = 5, b = 3인 경우 둘레는 P ≈ 25.5269988634단위입니다. 아래 표는 이 타원의 표준 조각들을 비교합니다.

4분의 1 타원은 정확히 둘레의 4분의 1이고, 절반 타원은 정확히 절반입니다. 사분면들이 거울상처럼 같기 때문입니다. 하지만 이 대칭은 축에서 시작해 축에서 끝나는 호에만 성립합니다. 임의의 90° 쓸기는 둘레의 4분의 1이 아닙니다. 예를 들어 더 큰 타원에서 30°에서 120°까지의 호는 14.4818404027단위이며, 이 가이드 뒤쪽의 풀이 예제에서는 90° 쓸기가 둘레의 28.3657%를 차지합니다. 한 축에서 다음 축까지 이어지지 않는 한, 90° 쓸기가 P/4와 같다고 가정하지 마세요.

계산기는 모든 계산마다 두 숫자를 모두 보고합니다. 구한 호 길이와 그 호가 속한 전체 둘레, 그리고 보완 호(타원의 나머지 부분)와 호가 둘레에서 차지하는 비율입니다.

타원 호 길이에는 일반적인 함수로 만든 정확한 공식이 없습니다. 적분 ∫ √(a² sin²θ + b² cos²θ) dθ는 불완전 제2종 타원 적분으로, E(φ, k)로 쓰며, 여기서 φ는 각도이고 k = √(1 − (b/a)²)는 이심률입니다. θ₁에서 θ₂까지의 호는 a × (E(θ₂, k) − E(θ₁, k))입니다. a = 5, b = 3인 경우 k = 0.8이고, 4분의 1 타원은 5 × E(π/2, 0.8) = 5 × 1.2763499432 = 6.3817497158입니다.

타원 적분은 잘 이해되어 있지만 초등적이지 않습니다. 다항식, 제곱근, 지수 함수, 삼각 함수의 어떤 조합으로도 닫힌 형태로는 평가할 수 없습니다. 그래서 모든 실용적인 타원 계산은 수치 적분을 사용합니다. 이 계산기가 사용하는 적응형 심프슨 법칙은 피적분 함수가 가장 빠르게 변하는 구간을 세분하고, 결과가 허용 오차 안에서 안정될 때 멈추기 때문에 좋은 선택입니다.

전체 둘레에 대해서만, 스리니바사 라마누잔의 유명한 근사식도 있습니다.

a = 5, b = 3인 경우 h = 0.0625이고, 라마누잔 공식은 P ≈ 25.5269988628을 주는데, 이는 정확한 수치 둘레 25.5269988634와 소수 아홉 자리까지 일치합니다. 극도로 납작하지 않은 타원에서는 놀랄 만큼 정확합니다. 하지만 이는 전체 둘레에 대한 근사식일 뿐입니다. 잘라서 부분 호에 적용할 수는 없으므로, 호 적분을 대신하는 식으로 절대 사용하지 마세요. 계산기는 교육용 비교를 위해 수치 결과 옆에 라마누잔 값을 단계에 표시합니다.

답이 중요할 때는 언제나 수치 적분을 사용하고, 라마누잔 식은 전체 둘레를 빠르게 검산하는 용도로만 사용하세요. 두 값이 소수 몇 자리 이상으로 어긋나면 수치 적분을 믿고 입력값을 확인하세요.

원 공식 L = rθ가 통하는 이유는 원 위의 모든 점이 중심에서 같은 거리 r만큼 떨어져 있어 곡선을 따라 이동하는 속도가 일정하기 때문입니다. 타원에서는 속도가 변합니다. a = 5, b = 3인 경우 장축 끝에서는 3, 단축 끝에서는 5까지 변합니다. 하나의 반지름으로는 그 변화를 담을 수 없으므로, 원 공식은 원이 아닌 모든 타원에서 틀린 답을 냅니다.

같은 공칭 크기를 가진 세 도형에서 90° 호를 비교해 보세요.

원 공식에 r = 5를 대입하면 b = 3일 때 타원 4분의 1 호를 약 23% 과대평가하고, b = 4일 때는 약 11% 과대평가합니다. 오차는 타원이 원에 가까워질수록 줄고 납작해질수록 커지는데, 이는 예상과 정확히 일치합니다. 원 공식은 b가 a에 다가갈 때 타원 공식의 극한일 뿐, 일반적인 대체 식이 아닙니다.

계산기는 타원에 원 공식을 절대 사용하지 않습니다. 정확한 타원 피적분 함수를 적분하며, a = b일 때만 그 적분이 L = rθ로 축소되고, 계산기는 이를 내부적으로 일관성 검사를 통해 확인합니다.

타원 위의 두 점은 곡선을 두 개의 호로 나눕니다. 하나는 반시계 방향, 다른 하나는 시계 방향입니다. 타원이 원이 아니므로 두 호는 거울상이 아니고 길이가 다릅니다. 더 짧은 쪽이 두 점 사이의 곡선을 따른 최단 경로이고, 더 긴 쪽이 타원의 나머지 부분입니다.

a = 5, b = 3, 끝점이 0°와 120°인 경우를 살펴보세요.

두 길이를 합하면 전체 둘레인 25.5269988634가 되는데, 두 호를 합치면 타원 전체를 덮으므로 당연합니다. 최단 호는 8.9253958986, 최장 호는 16.6016029648입니다. 각도 분할은 120° 대 240°로 1대 2 비율이지만, 길이 분할은 대략 35% 대 65%입니다. 길이가 각도를 따르지 않는 이유는 곡선이 장축 근처보다 단축 근처에서 더 빠르게 움직이기 때문입니다.

그래서 계산기는 각도를 비교하는 대신 두 경로를 실제로 적분해 측정합니다. 각도 차이만 비교하면 타원이 원에서 멀어질 때마다 승자가 틀리게 됩니다. 타원형 틀 위의 두 점 사이를 잇는 가장 짧은 케이블처럼 더 짧은 경로가 필요할 때는 최단 물리 호(Shortest physical arc)를 선택하고, 곡선의 나머지 부분이 필요할 때는 최장 물리 호(Longest physical arc)를 선택하세요.

타원의 매개변수 각도는 돌아갑니다. 360°는 0°와 같은 점이고, 370°는 10°와 같은 점입니다. 계산기가 이 감싸기를 대신 처리해 주지만, 계산기가 따르는 규칙을 알면 도움이 됩니다.

반시계 방향은 각도가 θ₁에서 θ₂로 증가하며, 필요하면 360°를 넘어 감싸는 것을 의미합니다. 350°에서 10°까지 반시계 방향으로 가는 호는 뒤로 340°가 아니라 0°를 통과해 20°를 이동합니다. a = 5, b = 3인 경우 이 호는 1.0565175692단위로, −10°에서 10°까지의 호와 같습니다.

시계 방향은 각도가 θ₁에서 θ₂로 감소하는 것을 의미합니다. 10°에서 350°까지 시계 방향으로 가는 호는 0°를 통과하는 같은 20° 호이고, 같은 두 점을 반시계 방향으로 가면 먼 길로 340°를 이동합니다.

같은 각도는 길이가 0인 호를 만듭니다. θ₁과 θ₂가 같으면 시작점과 끝점이 일치해 그 사이에 호가 없습니다. 전체 타원을 구하려면 대신 0°에서 360°까지 입력하세요. 한 바퀴를 완전히 돈 것이며, 계산기는 전체 둘레를 반환합니다.

음의 각도도 허용되며 양의 각도와 같은 점을 의미합니다. −30°는 330°와 같은 점입니다. 계산기는 적분하기 전에 모든 각도를 0°에서 360° 범위로 정규화하므로, −30°에서 30°까지와 330°에서 30°까지는 같은 답을 줍니다.

라디안도 360° 대신 2π를 사용하는 것 외에는 같은 규칙을 따릅니다. 라디안 값을 입력하기 전에 DEG와 RAD 토글을 전환하세요. 1.57라디안과 1.57도는 매우 다른 호를 나타냅니다.

자주 등장하는 각도 구간 몇 가지는 고유한 이름이 붙을 만큼 중요합니다. 아래 표는 타원 a = 5, b = 3과 반지름 5인 원에 대해 계산기로 검증한 값을 나열합니다.

원 (a = b). 타원이 원이 되면 피적분 함수는 상수인 반지름이 되고, L = rθ가 됩니다. 여기서 θ는 라디안 단위입니다. 반지름 5인 4분의 1 원은 5 × π/2 = 7.853981634이고, 전체 원주는 2πr = 31.4159265359입니다.

매우 가늘고 긴 타원. b가 a보다 훨씬 작으면 타원은 거의 앞뒤로 그어진 납작한 선분에 가까워집니다. 둘레는 4a에 가까워지고, 4분의 1 호는 a에 가까워집니다. a = 10, b = 1인 경우 4분의 1 호는 10.1599354503으로, a 자체보다 조금 클 뿐입니다.

매우 납작한 타원. 반대 방향에서도 같은 원리가 적용됩니다. 호는 곡선이 급격히 꺾이는 장축 끝 근처에 집중되며, 수치 적분은 그곳에서 구간을 세분해야 합니다. 적응형 심프슨 법칙이 이를 자동으로 처리합니다.

a = 10, b = 6, θ₁ = 30°에서 θ₂ = 120°까지의 완전한 예제를 풀어 보세요. 축에서 시작하지 않는 90° 쓸기이므로 이 방법의 모든 부분을 시험합니다.

1. 각도를 변환하세요. 30° = π/6 ≈ 0.5235987756라디안입니다. 120° = 2π/3 ≈ 2.0943951024라디안입니다.
2. 적분을 쓰세요. L = ∫_0.5235987756^2.0943951024 √(100 sin²θ + 36 cos²θ) dθ입니다.
3. 피적분 함수를 표본으로 구하세요. 30°에서는 √(100 × 0.25 + 36 × 0.75) = √52 ≈ 7.2111025509입니다. 중점 75°에서는 ≈ 9.7832925399입니다. 120°에서는 √(100 × 0.75 + 36 × 0.25) = √84 ≈ 9.1651513899입니다.
4. 대략 추정하세요. 중점 값에 구간 너비를 곱한 9.7832925399 × 1.5707963268 ≈ 15.3675599856은 대략적인 추정치입니다. 피적분 함수가 일정하지 않으므로 과대평가됩니다.
5. 정확히 적분하세요. 적응형 심프슨 법칙은 답이 안정될 때까지 구간을 세분해 L ≈ 14.4818404027단위를 구합니다.
6. 끝점을 확인하세요. 시작점은 (10 cos 30°, 6 sin 30°) = (8.660254, 3)입니다. 끝점은 (10 cos 120°, 6 sin 120°) = (−5, 5.196152)입니다. 계산기는 모든 결과와 함께 두 점을 모두 보여 줍니다.
7. 둘레와 비교하세요. 전체 둘레는 P ≈ 51.0539977268이므로, 이 호는 각도를 90° 쓸었음에도 타원의 28.3657%에 해당합니다. 라마누잔 근사식은 51.0539977256을 주어 소수 아홉 자리까지 일치합니다.

핵심 교훈은 7단계에 있습니다. 90° 쓸기는 한 축에서 다음 축까지 이어지지 않는 한 둘레의 4분의 1이 아닙니다. 여기서 같은 90°의 각도는 곡선이 가장 빠르게 움직이는 단축을 가로지르고, 장축 근처의 느린 구간을 놓치기 때문에 곡선의 28.3657%만을 차지합니다.

타원 호 길이는 교실 연습 문제에만 쓰이는 것이 아닙니다. 타원형 모양을 측정하거나 자르거나 만들어야 하는 모든 곳에 등장합니다.

기계공학. 타원 기어, 캠, 링크 장치는 모두 타원 경로를 따라 움직입니다. 두 캠 각도 사이의 호 길이를 알면 엔지니어는 종동자가 이동하는 거리를 알 수 있고, 이를 통해 장치의 타이밍이 정해집니다.

건축. 타원 아치, 돔, 중정은 석재나 강재를 주문하기 전에 정확한 둘레와 부분 호 측정이 필요합니다. 타원의 일부만을 차지하는 아치는 전체 둘레가 아니라 그 부분의 호 길이가 필요합니다.

제조와 CNC 가공. 타원형 포켓이나 타원형 플랜지를 절삭하는 CNC 밀은 곡선을 따라 작은 단계로 이동합니다. 전체 공구 경로 길이는 호 적분에서 나오며, 가공 시간과 공구 마모를 결정합니다.

타원 트랙과 구조물. 육상 트랙, 벨로드롬, 타원형 파이프는 호 길이로 측정합니다. 타원의 일부를 굽어 지나는 파이프 엘보는 재료를 크기에 맞게 자르기 위해 굽은 부분의 호 길이가 필요합니다.

CAD와 제도. 타원은 CAD 소프트웨어의 기본 도형이며, 그 호 길이는 치수 기입, 면적 계산, 트림과 모서리 마감재의 자재 명세서 길이에 반영됩니다.

물리학과 기하학 교육. 행성 궤도는 타원이며, 행성이 두 각도 사이에서 궤도를 따라 이동하는 거리는 타원 호 길이입니다. 같은 적분은 타원 거울이 빛을 모으는 광학에서도, 타원 적분 자체를 연구하는 분야에서도 등장합니다.

타원 호 길이의 대부분의 오류는 타원을 원처럼 취급하거나 입력값을 혼동하는 데서 옵니다. 다음 일곱 가지를 주의하세요.

1. 타원에 원 공식을 사용하는 것. L = rθ는 a = b일 때만 통합니다. a = 5, b = 3인 경우 4분의 1 호를 약 23% 과대평가합니다.
2. 전체 축과 반축을 혼동하는 것. 전체 너비가 10이면 a = 5입니다. 10을 a로 입력하면 계산기가 반환하는 모든 길이가 두 배가 됩니다. 전체 길이를 측정했다면 전체 축 모드를 사용하세요.
3. 도를 라디안으로 변환하는 것을 잊는 것. 공식은 라디안을 사용합니다. 90을 라디안으로 입력하면 4분의 1 회전이 아니라 열네 바퀴가 넘는 회전이 됩니다. 입력하기 전에 DEG와 RAD 토글을 확인하세요.
4. 잘못된 각도 규약을 사용하는 것. 여기서 각도는 중심에서 측정한 매개변수 각도로, x = a cos θ, y = b sin θ입니다. 축 위를 제외하고는 점의 극각과 다릅니다.
5. 시계 방향과 반시계 방향 경로를 무시하는 것. 두 점은 두 개의 호를 정하고, 타원에서는 두 호가 같지 않습니다. 실제로 의미하는 방향을 선택하거나, 최단과 최장 옵션을 이용해 두 가지를 모두 확인하세요.
6. 4분의 1 타원이 항상 둘레의 4분의 1이라고 가정하는 것. 이는 한 축에서 다음 축까지 이어지는 호에만 성립합니다. 30°에서 120°까지의 90° 쓸기는 둘레의 25%가 아니라 28.3657%입니다.
7. 라마누잔 근사식을 정확한 부분 호 공식으로 취급하는 것. 라마누잔 공식은 전체 둘레를 근사합니다. 부분 호에 대해서는 아무것도 말해 주지 않으므로, 각도 비율로 축소해 부분 호를 추정하는 데 절대 사용해서는 안 됩니다.

이 표를 자신의 계산을 빠르게 확인하는 용도로 사용하세요. 모든 값은 이 페이지의 계산기로 구한 것입니다.

마지막 행은 매우 납작한 타원의 거동을 보여 줍니다. a = 10, b = 1인 경우 4분의 1 호는 a 자체보다 조금 길 뿐이고, 둘레는 4a = 40보다 조금 클 뿐입니다. b가 0에 가까워지면 타원은 앞뒤로 그어진 선분으로 축소되고, 둘레는 4a에 가까워집니다.

이 페이지의 모든 계산을 다루는 공식을 한곳에 모아 빠르게 참조하세요.

이 공식들의 각도는 라디안 단위입니다. 변환하려면 도에 π/180을 곱하세요. 라마누잔 식은 전체 둘레에 대한 근사식일 뿐이고, 적분 식은 정확하며 계산기가 수치적으로 평가합니다.