Calcolatore della lunghezza dell'arco di un'ellisse

Il calcolatore della lunghezza dell'arco di un'ellisse misura la lunghezza di un arco di un'ellisse a partire dai suoi due semiassi e da due angoli. La pagina si apre con il pannello Lunghezza dell'arco di un'ellisse attivo, che mostra la formula L = ∫_θ1^θ₂ √(a² sin²θ + b² cos²θ) dθ. Segui questi passaggi per ottenere una risposta corretta in meno di un minuto.

1. Scegli come inserire gli assi. Usa per impostazione predefinita le lunghezze dei semiassi (a, b). Se invece hai misurato gli assi interi, passa alle lunghezze degli assi interi e il calcolatore dimezzerà ciascun valore per te.
2. Inserisci il semiasse maggiore (a). È il raggio più lungo dell'ellisse, misurato dal centro al punto più lontano del contorno.
3. Inserisci il semiasse minore (b). È il raggio più corto, misurato dal centro al punto più vicino del contorno. Non deve essere maggiore di a.
4. Inserisci l'angolo iniziale (θ₁) e l'angolo finale (θ₂). Usa l'interruttore DEG e RAD nella parte superiore del pannello in base ai tuoi numeri. I gradi sono l'impostazione predefinita.
5. Scegli la direzione dell'arco. In senso antiorario segue gli angoli in aumento da θ₁ a θ₂. In senso orario va nella direzione opposta. Le opzioni più breve e più lungo confrontano entrambi i percorsi fisici e riportano quello più corto o quello più lungo.
6. Scegli un'unità e una precisione. L'unità etichetta la risposta; la precisione stabilisce quante cifre decimali mostra il risultato.
7. Fai clic su Calcola ora. Il calcolatore valuta numericamente l'integrale della lunghezza dell'arco e mostra il risultato, il perimetro completo, l'arco complementare, la percentuale del perimetro e le coordinate di entrambi gli estremi.
8. Copia o reimposta. Usa Copia risultato per mettere la risposta negli appunti, oppure Reimposta per svuotare il pannello. Il collegamento Scambia gli angoli iniziale e finale scambia θ₁ e θ₂ con un clic.

Prova un esempio. I pulsanti Quarto di ellisse, Metà ellisse, Quarto di cerchio ed Ellisse completa caricano istantaneamente valori verificati: a = 5, b = 3, da 0° a 90° dà 6.3817497158 unità, e la stessa ellisse da 0° a 360° dà il perimetro completo, 25.5269988634 unità.

Consigli importanti. Mantieni a e b nella stessa unità. Inserisci b non maggiore di a. Ricorda che gli angoli sono angoli parametrici, misurati dal centro, non angoli misurati lungo il contorno. Se gli angoli iniziale e finale sono uguali, la lunghezza dell'arco è zero; usa da 0° a 360° per un'ellisse completa.

Un'ellisse è una curva chiusa formata da tutti i punti le cui distanze da due punti fissi, i fuochi, sommano sempre alla stessa costante. Sembra un cerchio stirato: ha una direzione lunga e una corta, ma è perfettamente liscia, senza spigoli. Un arco è una porzione di quella curva tra due punti su di essa. La lunghezza dell'arco è la distanza che percorreresti camminando lungo la curva dal primo punto al secondo.

Ogni punto di un'ellisse può essere descritto con un singolo angolo θ, detto angolo parametrico:

Qui a è il semiasse maggiore e b è il semiasse minore. Quando θ va da 0 a 2π radianti, il punto (x, y) percorre l'intera ellisse esattamente una volta, partendo da (a, 0) e tornando lì. Un arco da θ₁ a θ₂ è la parte di quel percorso tra i due angoli.

Un arco ellittico differisce da un arco circolare in un aspetto importante. Su un cerchio, ogni punto è alla stessa distanza r dal centro, quindi la lunghezza dell'arco è semplicemente L = rθ. Su un'ellisse, la distanza dal centro cambia mentre ci si muove lungo la curva, quindi cambia anche la velocità con cui viene percorsa la curva. La lunghezza dell'arco dipende perciò dalla forma dell'ellisse, non solo dall'angolo spazzato, e deve essere trovata con l'integrazione anziché con una singola moltiplicazione.

Per questo la lunghezza dell'arco di un'ellisse è un vero calcolo e non una consultazione di tabella. Il calcolatore di questa pagina esegue quell'integrazione numericamente, con alta precisione, per qualsiasi ellisse e qualsiasi coppia di angoli.

La lunghezza dell'arco di un'ellisse tra gli angoli parametrici θ₁ e θ₂ è data da un integrale definito:

Ogni simbolo della formula ha un significato preciso:

L'integrando √(a² sin²θ + b² cos²θ) è la velocità con cui il punto (a cos θ, b sin θ) si muove mentre θ aumenta. È minima, uguale a b, a θ = 0°, dove la curva attraversa l'asse maggiore, e massima, uguale a a, a θ = 90°, dove la curva attraversa l'asse minore. Integrare quella velocità sull'intervallo angolare somma tutti i minuscoli segmenti nella lunghezza totale dell'arco.

Quando a = b, l'ellisse è un cerchio di raggio r = a, l'integrando diventa la costante r e la formula si riduce alla nota L = rθ, con θ in radianti. Questo caso speciale è un controllo utile: qualsiasi calcolatore di ellissi deve riprodurre il risultato del cerchio quando i due assi sono uguali.

Calcolare a mano la lunghezza dell'arco di un'ellisse segue otto passaggi. L'esempio elaborato qui sotto usa a = 5, b = 3, da 0° a 90°, un quarto di ellisse.

1. Identifica il semiasse maggiore. a = 5 unità.
2. Identifica il semiasse minore. b = 3 unità.
3. Determina l'angolo iniziale. θ₁ = 0°.
4. Determina l'angolo finale. θ₂ = 90°.
5. Converti i gradi in radianti quando necessario. 0° = 0 radianti e 90° = π/2 ≈ 1.5707963268 radianti.
6. Applica l'integrale della lunghezza dell'arco dell'ellisse. L = ∫₀^π/2 √(25 sin²θ + 9 cos²θ) dθ.
7. Valuta l'integrale numericamente. L'integrando non ha un'antiderivata elementare, quindi usa un metodo numerico come la regola di Simpson adattiva, che raffina i suoi intervalli finché la risposta è stabile.
8. Interpreta la risposta finale. L ≈ 6.3817497158 unità. Il calcolatore di questa pagina restituisce lo stesso valore.

Per capire perché serve l'integrazione numerica, osserva l'integrando a tre angoli:

Un singolo passo di Simpson sull'intero quarto dà (π/4)/3 × (3 + 4 × 4.1231056256 + 5) ≈ 6.4121012169, che è vicino ma non esatto. La regola di Simpson adattiva continua a dividere l'intervallo e a rivalutare finché l'errore scende sotto la sua tolleranza, convergendo su 6.3817497158. La lezione è pratica: una stima numerica approssimativa è facile, ma una risposta affidabile richiede un metodo che verifichi la propria accuratezza, ed è ciò che fa il calcolatore.

L'asse maggiore è la retta più lunga che passa per il centro dell'ellisse, da un lato all'altro del contorno. L'asse minore è la retta più corta di questo tipo, perpendicolare all'asse maggiore. Il semiasse maggiore a è metà dell'asse maggiore: la distanza dal centro al contorno lungo la direzione lunga. Il semiasse minore b è metà dell'asse minore: la distanza dal centro al contorno lungo la direzione corta.

Confondere gli assi interi con i semiassi è l'errore di inserimento più comune. Se un disegno indica la larghezza completa di un'ellisse come 10, il semiasse maggiore è a = 5, non 10. Inserire 10 come a descriverebbe un'ellisse grande il doppio, e ogni lunghezza restituita dal calcolatore risulterebbe raddoppiata. Il calcolatore offre la modalità ad assi interi proprio per questa situazione: inserisci le lunghezze intere e le dimezza prima di calcolare.

I due assi controllano anche la forma. Quando a e b sono quasi uguali, l'ellisse è quasi un cerchio. Quando b è molto più piccolo di a, l'ellisse è lunga e piatta, come una pista da corsa vista di lato. Il rapporto b/a è talvolta chiamato rapporto d'aspetto; l'eccentricità e = √(1 − (b/a)²) misura la stessa idea, con e = 0 per un cerchio ed e vicino a 1 per un'ellisse molto piatta. Per a = 5 e b = 3, e = √(1 − 9/25) = 0.8.

Il perimetro completo è la lunghezza dell'intera curva chiusa, mentre la lunghezza di un arco parziale è la lunghezza di un suo pezzo. Il perimetro è il caso speciale della formula dell'arco con θ₁ = 0° e θ₂ = 360°:

Il fattore 4 compare perché i quattro quadranti di un'ellisse sono immagini speculari l'uno dell'altro. Per a = 5 e b = 3, il perimetro è P ≈ 25.5269988634 unità. La tabella qui sotto confronta i pezzi standard di quell'ellisse.

Un quarto di ellisse è esattamente un quarto del perimetro, e una metà di ellisse esattamente la metà, perché i quadranti sono immagini speculari. Ma quella simmetria vale solo per gli archi che iniziano e finiscono sugli assi. Un'escursione angolare arbitraria di 90° non è un quarto del perimetro: su un'ellisse più grande con a = 10 e b = 6, l'arco da 30° a 120° misura 14.4818404027 unità, esattamente il doppio del valore per l'ellisse con a = 5 e b = 3, e l'esempio elaborato più avanti in questa guida mostra che questa escursione angolare di 90° è il 28.3657% del perimetro dell'ellisse più grande. Non dare mai per scontato che un'escursione angolare di 90° equivalga a P/4, a meno che non vada da un asse all'altro.

Il calcolatore riporta entrambi i numeri per ogni calcolo: la lunghezza dell'arco richiesta e il perimetro completo a cui appartiene, insieme all'arco complementare (il resto dell'ellisse) e alla percentuale del perimetro coperta dal tuo arco.

La lunghezza dell'arco di un'ellisse non ha una formula esatta costruita con funzioni ordinarie. L'integrale ∫ √(a² sin²θ + b² cos²θ) dθ è un integrale ellittico incompleto di seconda specie, scritto E(φ, k), dove φ è l'angolo e k = √(1 − (b/a)²) è l'eccentricità. L'arco da θ₁ a θ₂ è a × (E(θ₂, k) − E(θ₁, k)). Per a = 5 e b = 3, k = 0.8, e il quarto di ellisse è 5 × E(π/2, 0.8) = 5 × 1.2763499432 = 6.3817497158.

Gli integrali ellittici sono ben compresi, ma non sono elementari: nessuna combinazione di polinomi, radici, esponenziali e funzioni trigonometriche li valuta in forma chiusa. Per questo ogni calcolo pratico di ellisse usa l'integrazione numerica. La regola di Simpson adattiva, usata da questo calcolatore, è una buona scelta perché raffina gli intervalli dove l'integrando cambia più rapidamente e si ferma quando il risultato è stabile entro la sua tolleranza.

Solo per il perimetro completo esiste anche una famosa approssimazione di Srinivasa Ramanujan:

Per a = 5 e b = 3, h = 0.0625, e la formula di Ramanujan dà P ≈ 25.5269988628, che concorda con il perimetro numerico esatto 25.5269988634 fino alla nona cifra decimale. È straordinariamente accurata per le ellissi non estremamente piatte. Ma è un'approssimazione solo per l'intero perimetro: non può essere ridotta per ottenere un arco parziale, quindi non usarla mai come sostituto dell'integrale dell'arco. Il calcolatore mostra il valore di Ramanujan nei suoi passaggi solo come confronto didattico accanto al risultato numerico.

Usa l'integrazione numerica ogni volta che la risposta conta, e usa Ramanujan solo come controllo rapido di un perimetro completo. Se i due valori differiscono oltre poche cifre decimali, fidati dell'integrazione numerica e controlla gli input.

La formula del cerchio L = rθ funziona perché ogni punto di un cerchio è alla stessa distanza r dal centro, quindi la velocità lungo la curva è costante. Su un'ellisse la velocità varia: per a = 5 e b = 3 va da 3 alle estremità dell'asse maggiore a 5 alle estremità dell'asse minore. Un singolo raggio non può catturare quella variazione, quindi la formula del cerchio dà la risposta sbagliata per qualsiasi ellisse che non sia un cerchio.

Confronta un arco di 90° su tre forme della stessa dimensione nominale:

Usare r = 5 nella formula del cerchio sovrastima il quarto d'arco dell'ellisse di circa il 23% quando b = 3, e di circa l'11% quando b = 4. L'errore si riduce man mano che l'ellisse si avvicina a un cerchio e cresce man mano che si appiattisce, che è esattamente ciò che ci si aspetterebbe: la formula del cerchio è il limite della formula dell'ellisse quando b tende ad a, non un sostituto generale.

Il calcolatore non usa mai la formula del cerchio per un'ellisse. Integra l'integrando esatto dell'ellisse, e solo quando a = b quell'integrazione si riduce a L = rθ, cosa che il calcolatore verifica anche internamente come controllo di coerenza.

Due punti di un'ellisse dividono la curva in due archi: uno in senso antiorario e uno in senso orario. Non sono immagini speculari, perché l'ellisse non è un cerchio, quindi i due archi hanno lunghezze diverse. Il più corto è il percorso più breve lungo la curva tra i punti; il più lungo è il resto dell'ellisse.

Prendi a = 5, b = 3, con estremi a 0° e 120°:

Le due lunghezze sommano al perimetro completo, 25.5269988634, come devono, poiché insieme coprono l'intera ellisse. L'arco più breve è 8.9253958986 e il più lungo è 16.6016029648. Nota che la divisione angolare è 120° contro 240°, un rapporto di uno a due, mentre la divisione delle lunghezze è circa il 35% contro il 65%: le lunghezze non seguono gli angoli, perché la curva si muove più velocemente vicino all'asse minore che vicino all'asse maggiore.

Per questo il calcolatore misura entrambi i percorsi con un'integrazione reale anziché confrontare gli angoli. Confrontare le differenze angolari darebbe il vincitore sbagliato ogni volta che l'ellisse è lontana dall'essere circolare. Scegli Arco fisico più breve quando ti serve il percorso più corto, per esempio il tratto di cavo più breve tra due punti di un telaio ellittico, e Arco fisico più lungo quando ti serve il resto della curva.

Gli angoli parametrici su un'ellisse si avvolgono: 360° è lo stesso punto di 0°, e 370° è lo stesso punto di 10°. Il calcolatore gestisce questo avvolgimento per te, ma è utile conoscere le regole che segue.

In senso antiorario significa che l'angolo aumenta da θ₁ a θ₂, superando i 360° quando serve. Un arco da 350° a 10° in senso antiorario percorre 20° attraverso lo 0°, non 340° all'indietro. Per a = 5 e b = 3 quell'arco misura 1.0565175692 unità, lo stesso dell'arco da −10° a 10°.

In senso orario significa che l'angolo diminuisce da θ₁ a θ₂. Un arco da 10° a 350° in senso orario è lo stesso arco di 20° attraverso lo 0°, mentre la stessa coppia in senso antiorario percorrerebbe 340° facendo il giro lungo.

Angoli uguali danno un arco di lunghezza zero. Se θ₁ e θ₂ sono uguali, i punti iniziale e finale coincidono e non c'è arco tra loro. Per un'ellisse completa, inserisci invece da 0° a 360°: è un giro completo, e il calcolatore restituisce l'intero perimetro.

Gli angoli negativi sono ammessi e indicano gli stessi punti dei loro equivalenti positivi: −30° è lo stesso punto di 330°. Il calcolatore normalizza ogni angolo nell'intervallo da 0° a 360° prima di integrare, quindi da −30° a 30° e da 330° a 30° danno la stessa risposta.

I radianti seguono le stesse regole con 2π al posto di 360°. Cambia l'interruttore DEG e RAD prima di digitare valori in radianti, poiché 1.57 radianti e 1.57 gradi descrivono archi molto diversi.

Alcuni intervalli angolari ricorrono così spesso da meritare nomi propri. La tabella qui sotto li elenca per l'ellisse a = 5, b = 3 e per un cerchio di raggio 5, tutti verificati dal calcolatore.

Cerchio (a = b). L'ellisse diventa un cerchio, l'integrando diventa il raggio costante e L = rθ con θ in radianti. Un quarto di cerchio di raggio 5 è 5 × π/2 = 7.853981634, e l'intera circonferenza è 2πr = 31.4159265359.

Ellissi molto allungate. Quando b è molto più piccolo di a, l'ellisse è quasi un segmento piatto percorso avanti e indietro. Il perimetro tende a 4a e il quarto d'arco tende ad a. Per a = 10 e b = 1, il quarto d'arco è 10.1599354503, solo di poco superiore ad a.

Ellissi molto piatte. La stessa idea vale nell'altra direzione: l'arco si concentra vicino alle estremità dell'asse maggiore, dove la curva svolta bruscamente, e l'integrazione numerica deve raffinare i suoi intervalli in quel punto. La regola di Simpson adattiva lo gestisce automaticamente.

Segui un esempio completo con a = 10, b = 6, da θ₁ = 30° a θ₂ = 120°. È un'escursione angolare di 90° che non inizia su un asse, quindi mette alla prova ogni parte del metodo.

1. Converti gli angoli. 30° = π/6 ≈ 0.5235987756 radianti. 120° = 2π/3 ≈ 2.0943951024 radianti.
2. Scrivi l'integrale. L = ∫_0.5235987756^2.0943951024 √(100 sin²θ + 36 cos²θ) dθ.
3. Campiona l'integrando. A 30° è √(100 × 0.25 + 36 × 0.75) = √52 ≈ 7.2111025509. Nel punto medio, a 75°, è ≈ 9.7832925399. A 120° è √(100 × 0.75 + 36 × 0.25) = √84 ≈ 9.1651513899.
4. Stima approssimativamente. Il valore nel punto medio per la larghezza dell'intervallo, 9.7832925399 × 1.5707963268 ≈ 15.3675599856, è una stima approssimativa. Sovrastima perché l'integrando non è costante.
5. Integra con precisione. La regola di Simpson adattiva raffina l'intervallo finché la risposta è stabile, dando L ≈ 14.4818404027 unità.
6. Controlla gli estremi. Il punto iniziale è (10 cos 30°, 6 sin 30°) = (8.660254, 3). Il punto finale è (10 cos 120°, 6 sin 120°) = (−5, 5.196152). Il calcolatore mostra entrambi i punti con ogni risultato.
7. Confronta con il perimetro. Il perimetro completo è P ≈ 51.0539977268, quindi quest'arco è il 28.3657% dell'ellisse, pur coprendo un'escursione angolare di 90°. L'approssimazione di Ramanujan dà 51.0539977256, in accordo fino alla nona cifra decimale.

La lezione chiave è nel passaggio 7: un'escursione angolare di 90° non è un quarto del perimetro a meno che non vada da un asse all'altro. Qui gli stessi 90° di angolo coprono solo il 28.3657% della curva, perché l'escursione attraversa l'asse minore, dove la curva si muove più velocemente, e salta il tratto lento vicino all'asse maggiore.

La lunghezza dell'arco di un'ellisse non è solo un esercizio scolastico. Compare ovunque una forma ellittica debba essere misurata, tagliata o costruita.

Ingegneria meccanica. Ingranaggi ellittici, camme e leveraggi si muovono tutti lungo percorsi ellittici. Conoscere la lunghezza dell'arco tra due angoli di una camma dice a un ingegnere quanto si sposta un cedente, e questo stabilisce la temporizzazione del meccanismo.

Architettura. Archi ellittici, cupole e cortili richiedono misure esatte del perimetro e degli archi parziali prima di ordinare pietra o acciaio. Un arco che copre solo parte di un'ellisse richiede la lunghezza dell'arco di quella parte, non dell'intero perimetro.

Produzione e lavorazione CNC. Una fresa CNC che taglia una tasca ellittica o una flangia ellittica segue la curva a piccoli passi. La lunghezza totale del percorso utensile deriva dall'integrale dell'arco e determina il tempo di lavorazione e l'usura dell'utensile.

Piste e strutture ellittiche. Piste da corsa, velodromi e tubi ellittici si misurano in lunghezze d'arco. Un gomito di tubo che piega attraverso parte di un'ellisse richiede la lunghezza dell'arco della curva per tagliare il materiale a misura.

CAD e disegno tecnico. Le ellissi sono entità di base nel software CAD, e le loro lunghezze d'arco alimentano quotature, calcoli di area e lunghezze di distinte base per finiture e bordature.

Fisica e didattica della geometria. Le orbite planetarie sono ellissi, e la distanza percorsa da un pianeta lungo la sua orbita tra due angoli è una lunghezza d'arco di ellisse. Lo stesso integrale compare in ottica, dove gli specchi ellittici mettono a fuoco la luce, e nello studio degli integrali ellittici stessi.

La maggior parte degli errori nella lunghezza dell'arco di un'ellisse deriva dal trattare l'ellisse come un cerchio o dal confondere gli input. Fai attenzione a questi sette.

1. Usare la formula del cerchio per un'ellisse. L = rθ funziona solo quando a = b. Per a = 5 e b = 3 sovrastima un quarto d'arco di circa il 23%.
2. Confondere gli assi interi con i semiassi. Se la larghezza completa è 10, allora a = 5. Inserire 10 come a raddoppia ogni lunghezza restituita dal calcolatore. Usa la modalità ad assi interi se hai misurato le lunghezze intere.
3. Dimenticare di convertire i gradi in radianti. Le formule usano i radianti. Un angolo di 90 inserito come radianti è più di quattordici giri completi, non un quarto di giro. Controlla l'interruttore DEG e RAD prima di digitare.
4. Usare la convenzione angolare sbagliata. Gli angoli qui sono angoli parametrici misurati dal centro, x = a cos θ, y = b sin θ. Non sono l'angolo polare del punto, che differisce tranne che sugli assi.
5. Ignorare i percorsi in senso orario e antiorario. Due punti definiscono due archi, che non sono uguali su un'ellisse. Scegli la direzione che intendi davvero, oppure usa le opzioni più breve e più lungo per vederli entrambi.
6. Dare per scontato che un quarto di ellisse sia sempre un quarto del perimetro. Vale solo per gli archi che vanno da un asse all'altro. Un'escursione angolare di 90° da 30° a 120° è il 28.3657% del suo perimetro, non il 25%.
7. Trattare l'approssimazione di Ramanujan come una formula esatta per l'arco parziale. La formula di Ramanujan approssima l'intero perimetro. Non dice nulla su un arco parziale e non deve mai essere ridotta in scala di una frazione angolare per stimarne uno.

Usa questa tabella come controllo rapido per i tuoi calcoli. Tutti i valori sono stati prodotti dal calcolatore di questa pagina.

L'ultima riga mostra come si comporta un'ellisse molto piatta: con a = 10 e b = 1, il quarto d'arco è solo di poco più lungo di a, e il perimetro è solo di poco superiore a 4a = 40. Quando b tende a zero, l'ellisse collassa verso un segmento percorso avanti e indietro, e il suo perimetro tende a 4a.

Tieni insieme queste formule per un riferimento rapido. Coprono ogni calcolo di questa pagina.

Gli angoli di queste formule sono in radianti. Per convertire, moltiplica i gradi per π/180. La riga di Ramanujan è un'approssimazione solo per l'intero perimetro, mentre le righe con l'integrale sono esatte e vengono valutate numericamente dal calcolatore.