Elips Yay Uzunluğu Hesaplayıcı

Elips Yay Uzunluğu Hesaplayıcı, bir elips üzerindeki bir yayın uzunluğunu, elipsin iki yarı ekseninden ve iki açısından ölçer. Sayfa, Elips Yay Uzunluğu paneli etkin olarak açılır ve L = ∫_θ1^θ₂ √(a² sin²θ + b² cos²θ) dθ formülünü gösterir. Bir dakikadan kısa sürede doğru bir cevap almak için şu adımları izleyin.

1. Eksenlerin nasıl girileceğini seçin. Varsayılan olarak yarı eksen uzunluklarını (a, b) kullanın. Bunun yerine tam eksenleri ölçtüyseniz tam eksen uzunlukları seçeneğine geçin; hesaplayıcı her değeri sizin için yarıya böler.
2. Yarı büyük ekseni (a) girin. Bu, elipsin en uzun yarıçapıdır; merkezden sınır üzerindeki en uzak noktaya kadar ölçülür.
3. Yarı küçük ekseni (b) girin. Bu, en kısa yarıçaptır; merkezden sınır üzerindeki en yakın noktaya kadar ölçülür. a değerinden büyük olmamalıdır.
4. Başlangıç açısını (θ₁) ve bitiş açısını (θ₂) girin. Sayılarınıza uyması için panelin üstündeki DEG ve RAD düğmesini kullanın. Varsayılan ayar derecedir.
5. Bir yay yönü seçin. Saat yönünün tersi, açıları θ₁ değerinden θ₂ değerine doğru artırarak izler. Saat yönü ters yöne gider. En kısa ve en uzun seçenekleri iki fiziksel yolu da karşılaştırır ve daha kısa ya da daha uzun olanı bildirir.
6. Bir birim ve bir hassasiyet seçin. Birim cevabı etiketler; hassasiyet sonucun kaç ondalık basamak göstereceğini belirler.
7. Şimdi Hesapla düğmesine tıklayın. Hesaplayıcı yay uzunluğu integralini sayısal olarak değerlendirir ve sonucu, tam çevreyi, tamamlayıcı yayı, çevrenin yüzdesini ve her iki uç noktanın koordinatlarını gösterir.
8. Kopyalayın veya sıfırlayın. Cevabı panonuza almak için Sonucu Kopyala seçeneğini, paneli temizlemek için Sıfırla seçeneğini kullanın. Başlangıç ve Bitiş Açılarını Değiştir bağlantısı θ₁ ve θ₂ değerlerini tek tıklamayla yer değiştirir.

Bir örnek deneyin. Çeyrek Elips, Yarım Elips, Çeyrek Daire ve Tam Elips düğmeleri doğrulanmış değerleri anında yükler: a = 5, b = 3, 0° ile 90° arası 6.3817497158 birim verir ve aynı elips 0° ile 360° arası tam çevreyi, 25.5269988634 birim verir.

Önemli ipuçları. a ve b değerlerini aynı birimde tutun. b değerini a değerinden büyük girmeyin. Açıların, sınır boyunca ölçülen açılar değil, merkezden ölçülen parametrik açılar olduğunu unutmayın. Başlangıç ve bitiş açıları eşitse yay uzunluğu sıfırdır; tam bir elips için 0° ile 360° kullanın.

Bir elips, iki sabit noktaya, odaklara olan uzaklıkları toplamı aynı sabite eşit olan tüm noktaların oluşturduğu kapalı bir eğridir. Gerilmiş bir daireye benzer: uzun bir yönü ve kısa bir yönü vardır, ancak köşesi olmadan tamamen düzgündür. Yay, bu eğrinin üzerindeki iki nokta arasındaki parçasıdır. Yay uzunluğu, eğri boyunca ilk noktadan ikinci noktaya yürüseydiniz kat edeceğiniz mesafedir.

Elips üzerindeki her nokta, parametrik açı denen tek bir θ açısıyla tanımlanabilir:

Burada a yarı büyük eksen, b ise yarı küçük eksendir. θ, 0 ile 2π radyan arasında ilerledikçe (x, y) noktası tüm elipsi tam olarak bir kez çizer; (a, 0) noktasından başlar ve oraya döner. θ₁ ile θ₂ arasındaki yay, bu izlemenin iki açı arasında kalan parçasıdır.

Eliptik bir yay, dairesel bir yaydan önemli bir yönden farklıdır. Bir dairede her nokta merkezden aynı r uzaklığındadır, bu yüzden yay uzunluğu basitçe L = rθ olur. Bir elipste merkezden uzaklık eğri boyunca ilerledikçe değişir, bu yüzden eğrinin çizilme hızı da değişir. Yay uzunluğu bu nedenle yalnızca süpürülen açıya değil, elipsin şekline de bağlıdır ve tek bir çarpma yerine integralle bulunmalıdır.

Bu yüzden elips yay uzunluğu gerçek bir hesaplamadır, bir tablo değeri değildir. Bu sayfadaki hesaplayıcı, herhangi bir elips ve herhangi bir açı çifti için bu integrali yüksek hassasiyetle sayısal olarak hesaplar.

Parametrik θ₁ ve θ₂ açıları arasındaki bir elipsin yay uzunluğu, belirli bir integralle verilir:

Formüldeki her sembolün kesin bir anlamı vardır:

√(a² sin²θ + b² cos²θ) integrandı, θ arttıkça (a cos θ, b sin θ) noktasının hareket hızıdır. En küçük değeri b olup θ = 0° noktasında, eğrinin büyük ekseni kestiği yerdedir; en büyük değeri a olup θ = 90° noktasında, eğrinin küçük ekseni kestiği yerdedir. Bu hızın açı aralığı boyunca integrali, tüm minik parçaları toplayarak toplam yay uzunluğunu verir.

a = b olduğunda elips, r = a yarıçaplı bir daire olur, integrand sabit r olur ve formül, θ radyan cinsinden olmak üzere, bilinen L = rθ formülüne dönüşür. Bu özel durum yararlı bir denetimdir: her elips hesaplayıcısı, iki eksen eşit olduğunda daire sonucunu vermelidir.

Bir elips yay uzunluğunu elle hesaplamak sekiz adım izler. Aşağıdaki çözümlü örnekte a = 5, b = 3, 0° ile 90° arası, yani çeyrek elips kullanılır.

1. Yarı büyük ekseni belirleyin. a = 5 birim.
2. Yarı küçük ekseni belirleyin. b = 3 birim.
3. Başlangıç açısını belirleyin. θ₁ = 0°.
4. Bitiş açısını belirleyin. θ₂ = 90°.
5. Gerekirse dereceleri radyana çevirin. 0° = 0 radyan ve 90° = π/2 ≈ 1.5707963268 radyan.
6. Elips yay uzunluğu integralini uygulayın. L = ∫₀^π/2 √(25 sin²θ + 9 cos²θ) dθ.
7. İntegrali sayısal olarak değerlendirin. İntegrandın elemanter bir ters türevi yoktur, bu yüzden uyarlamalı Simpson kuralı gibi sayısal bir yöntem kullanın; bu kural, cevap dengelenene kadar aralıklarını daraltır.
8. Son cevabı yorumlayın. L ≈ 6.3817497158 birim. Bu sayfadaki hesaplayıcı da aynı değeri verir.

Sayısal integrasyonun neden gerekli olduğunu görmek için integranda üç açıya bakın:

Tüm çeyrek boyunca tek bir Simpson adımı (π/4)/3 × (3 + 4 × 4.1231056256 + 5) ≈ 6.4121012169 verir; bu yakın ama kesin değildir. Uyarlamalı Simpson kuralı, hata toleransının altına düşene kadar aralığı bölmeye ve yeniden değerlendirmeye devam eder ve 6.3817497158 değerine yakınsar. Çıkarılacak pratik ders şudur: kaba bir sayısal tahmin kolaydır, ancak güvenilir bir cevap, kendi doğruluğunu denetleyen bir yöntem gerektirir; hesaplayıcı da bunu yapar.

Büyük eksen, elipsin merkezinden geçen en uzun doğru parçasıdır ve sınırın bir yanından diğer yanına uzanır. Küçük eksen, büyük eksene dik olan en kısa doğru parçasıdır. Yarı büyük eksen a, büyük eksenin yarısıdır: merkezden uzun yön boyunca sınıra olan uzaklıktır. Yarı küçük eksen b, küçük eksenin yarısıdır: merkezden kısa yön boyunca sınıra olan uzaklıktır.

Tam eksenleri yarı eksenlerle karıştırmak en yaygın girdi hatasıdır. Bir çizimde elipsin tam genişliği 10 olarak verilmişse yarı büyük eksen a = 5 olur, 10 değil. a yerine 10 girmek, iki kat büyük bir elips tanımlar ve hesaplayıcının verdiği her uzunluk iki katına çıkar. Hesaplayıcı tam bu durum için tam eksen modunu sunar: tam uzunlukları girin, hesaplamadan önce bunları yarıya böler.

İki eksen şekli de belirler. a ve b neredeyse eşit olduğunda elips neredeyse bir dairedir. b, a değerinden çok küçük olduğunda elips, yandan bakılan bir koşu pisti gibi uzun ve yassıdır. b/a oranı bazen en boy oranı olarak adlandırılır; dış merkezlik e = √(1 − (b/a)²) aynı fikri ölçer; daire için e = 0, çok yassı bir elips için e, 1 değerine yakındır. a = 5 ve b = 3 için e = √(1 − 9/25) = 0.8 olur.

Tam çevre, tüm kapalı eğrinin uzunluğudur; kısmi yay uzunluğu ise onun bir parçasının uzunluğudur. Çevre, yay formülünün θ₁ = 0° ve θ₂ = 360° olan özel durumudur:

4 çarpanı, elipsin dört çeyreğinin birbirinin ayna görüntüsü olmasından gelir. a = 5 ve b = 3 için çevre P ≈ 25.5269988634 birimdir. Aşağıdaki tablo bu elipsin standart parçalarını karşılaştırır.

Çeyrek elips, çevrenin tam olarak dörtte biridir ve yarım elips tam olarak yarısıdır, çünkü çeyrekler birbirinin ayna görüntüsüdür. Ancak bu simetri yalnızca eksenler üzerinde başlayıp biten yaylar için geçerlidir. Rastgele bir 90° süpürme, çevrenin dörtte biri değildir: daha büyük bir elipste 30° ile 120° arasındaki yay 14.4818404027 birim ölçülür ve bu kılavuzun ilerleyen bölümündeki çözümlü örnek, 90° süpürmenin çevrenin %28.3657'si olduğunu gösterir. Bir 90° süpürmenin P/4 değerine eşit olduğunu, bir eksenden diğerine uzanmadıkça asla varsaymayın.

Hesaplayıcı her hesaplama için iki sayıyı da bildirir: istediğiniz yay uzunluğunu ve ait olduğu tam çevreyi; bunlarla birlikte tamamlayıcı yayı (elipsin geri kalanı) ve yayınızın çevrenin yüzde kaçını kapsadığını da gösterir.

Elips yay uzunluğunun sıradan fonksiyonlardan oluşan kesin bir formülü yoktur. ∫ √(a² sin²θ + b² cos²θ) dθ integrali, ikinci tür eksik eliptik integraldir ve E(φ, k) olarak yazılır; burada φ açı, k = √(1 − (b/a)²) ise dış merkezliktir. θ₁ ile θ₂ arasındaki yay a × (E(θ₂, k) − E(θ₁, k)) olur. a = 5 ve b = 3 için k = 0.8 ve çeyrek elips 5 × E(π/2, 0.8) = 5 × 1.2763499432 = 6.3817497158 olur.

Eliptik integraller iyi anlaşılır, ancak elemanter değildir: polinomların, köklerin, üstel ve trigonometrik fonksiyonların hiçbir birleşimi bunları kapalı biçimde değerlendirmez. Bu yüzden her pratik elips hesaplaması sayısal integrasyon kullanır. Bu hesaplayıcının kullandığı uyarlamalı Simpson kuralı iyi bir seçimdir, çünkü integrandın en hızlı değiştiği aralıkları daraltır ve sonuç toleransı içinde dengelenince durur.

Yalnızca tam çevre için Srinivasa Ramanujan'ın ünlü bir yaklaşımı da vardır:

a = 5 ve b = 3 için h = 0.0625 ve Ramanujan formülü P ≈ 25.5269988628 verir; bu, kesin sayısal çevre 25.5269988634 ile dokuz ondalık basamağa kadar uyuşur. Aşırı yassı olmayan elipsler için dikkat çekici ölçüde doğrudur. Ancak bu, yalnızca tüm çevre için bir yaklaşımdır: kısmi bir yay verecek şekilde kısaltılamaz, bu yüzden yay integrali yerine asla kullanmayın. Hesaplayıcı, Ramanujan değerini adımlarında yalnızca sayısal sonucun yanında eğitici bir karşılaştırma olarak gösterir.

Cevap önemli olduğunda her zaman sayısal integrasyon kullanın; Ramanujan formülünü yalnızca tam bir çevre üzerinde hızlı bir sağlamlık denetimi olarak kullanın. İkisi birkaç ondalık basamaktan fazla ayrışırsa sayısal integrasyona güvenin ve girdileri denetleyin.

L = rθ daire formülü işe yarar, çünkü daire üzerindeki her nokta merkezden aynı r uzaklığındadır, bu yüzden eğri boyunca hız sabittir. Bir elipste hız değişir: a = 5 ve b = 3 için hız, büyük eksenin uçlarında 3 ile küçük eksenin uçlarında 5 arasında değişir. Tek bir yarıçap bu değişimi yakalayamaz, bu yüzden daire formülü, daire olmayan her elips için yanlış cevap verir.

Aynı nominal boyuttaki üç şekilde 90° yayı karşılaştırın:

Daire formülünde r = 5 kullanmak, b = 3 olduğunda elips çeyrek yayını yaklaşık %23 fazla tahmin eder ve b = 4 olduğunda yaklaşık %11 fazla tahmin eder. Hata, elips daireye yaklaştıkça küçülür ve yassılaştıkça büyür; bu tam olarak beklenen durumdur: daire formülü, elips formülünün b, a değerine yaklaştığındaki limitidir, onun genel bir yerine geçeni değildir.

Hesaplayıcı bir elips için asla daire formülünü kullanmaz. Tam elips integrandını integre eder ve yalnızca a = b olduğunda bu integrasyon L = rθ formülüne indirgenir; hesaplayıcı bunu dahili olarak bir tutarlılık denetimi olarak da doğrular.

Elips üzerindeki iki nokta eğriyi iki yaya böler: biri saat yönünün tersine, diğeri saat yönünde gider. Bunlar birbirinin ayna görüntüsü değildir, çünkü elips bir daire değildir, bu yüzden iki yayın uzunlukları farklıdır. Kısa olan, noktalar arasındaki eğri boyunca en kısa yoldur; uzun olan ise elipsin geri kalanıdır.

a = 5, b = 3 alın; uç noktalar 0° ve 120° olsun:

İki uzunluk, birlikte tüm elipsi kapladıkları için gerektiği gibi tam çevreye, 25.5269988634 değerine toplanır. En kısa yay 8.9253958986, en uzun yay 16.6016029648 olur. Açısal bölünmenin 120° karşısında 240°, yani bire iki oran olduğuna dikkat edin; uzunluk bölünmesi ise kabaca %35 karşısında %65 olur: uzunluklar açıları izlemez, çünkü eğri küçük eksenin yakınında büyük eksenin yakınındakinden daha hızlı hareket eder.

Bu yüzden hesaplayıcı her iki yolu da açıları karşılaştırmak yerine gerçek integrasyonla ölçer. Açısal farkları karşılaştırmak, elips daireden uzak olduğunda yanlış kazananı verirdi. İki nokta arasındaki en kısa kablo güzergâhı gibi en kısa rotaya ihtiyacınız olduğunda En kısa fiziksel yay seçeneğini, eğrinin geri kalanına ihtiyacınız olduğunda En uzun fiziksel yay seçeneğini kullanın.

Elips üzerindeki parametrik açılar sarılır: 360°, 0° ile aynı noktadır ve 370°, 10° ile aynı noktadır. Hesaplayıcı bu sarmayı sizin için halleder, ancak izlediği kuralları bilmek işe yarar.

Saat yönünün tersi, açının θ₁ değerinden θ₂ değerine artması, gerektiğinde 360° üzerinden sarılması anlamına gelir. 350° ile 10° arasındaki yay saat yönünün tersine 0° üzerinden 20° ilerler, 340° geriye gitmez. a = 5 ve b = 3 için bu yay 1.0565175692 birim ölçülür; bu, −10° ile 10° arasındaki yayla aynıdır.

Saat yönü, açının θ₁ değerinden θ₂ değerine azalması anlamına gelir. 10° ile 350° arasındaki yay saat yönünde 0° üzerinden geçen aynı 20° yaydır; aynı çift saat yönünün tersine 340° uzun yoldan giderdi.

Eşit açılar sıfır uzunluklu bir yay verir. θ₁ ve θ₂ aynıysa başlangıç ve bitiş noktaları çakışır ve aralarında yay yoktur. Tam bir elips için bunun yerine 0° ile 360° girin: bu bir tam devirdir ve hesaplayıcı tüm çevreyi verir.

Negatif açılara izin verilir ve pozitif karşılıklarıyla aynı noktaları ifade eder: −30°, 330° ile aynı noktadır. Hesaplayıcı, integrasyondan önce her açıyı 0° ile 360° aralığına normalleştirir, bu yüzden −30° ile 30° arası ve 330° ile 30° arası aynı cevabı verir.

Radyanlar 360° yerine 2π kullanılarak aynı kuralları izler. Radyan değerleri yazmadan önce DEG ve RAD düğmesini değiştirin, çünkü 1.57 radyan ile 1.57 derece çok farklı yaylar tanımlar.

Birkaç açı aralığı o kadar sık karşımıza çıkar ki kendi adlarını hak eder. Aşağıdaki tablo bunları a = 5, b = 3 elipsi ve yarıçapı 5 olan daire için listeler; tümü hesaplayıcı ile doğrulanmıştır.

Daire (a = b). Elips bir daire olur, integrand sabit yarıçap olur ve L = rθ olur; burada θ radyandır. Yarıçapı 5 olan çeyrek daire 5 × π/2 = 7.853981634, tam çevre ise 2πr = 31.4159265359 olur.

Çok uzatılmış elipsler. b, a değerinden çok küçük olduğunda elips neredeyse ileri geri izlenen yassı bir doğru parçasına döner. Çevre 4a değerine yaklaşır ve çeyrek yay a değerine yaklaşır. a = 10 ve b = 1 için çeyrek yay 10.1599354503 olur; bu, a değerinden yalnızca biraz fazladır.

Çok yassı elipsler. Aynı fikir diğer yönde de geçerlidir: yay, eğrinin keskin döndüğü büyük eksenin uçları yakınında yoğunlaşır ve sayısal integrasyon aralıklarını orada daraltmalıdır. Uyarlamalı Simpson kuralı bunu otomatik olarak halleder.

a = 10, b = 6, θ₁ = 30° ile θ₂ = 120° arası olmak üzere tam bir örnek üzerinden ilerleyin. Bu, eksen üzerinde başlamayan bir 90° süpürmedir, bu yüzden yöntemin her parçasını sınar.

1. Açıları dönüştürün. 30° = π/6 ≈ 0.5235987756 radyan. 120° = 2π/3 ≈ 2.0943951024 radyan.
2. İntegrali yazın. L = ∫_0.5235987756^2.0943951024 √(100 sin²θ + 36 cos²θ) dθ.
3. İntegrandı örnekleyin. 30° noktasında √(100 × 0.25 + 36 × 0.75) = √52 ≈ 7.2111025509 olur. 75° orta noktasında ≈ 9.7832925399 olur. 120° noktasında √(100 × 0.75 + 36 × 0.25) = √84 ≈ 9.1651513899 olur.
4. Kabaca tahmin edin. Orta nokta değerinin aralık genişliğiyle çarpımı, 9.7832925399 × 1.5707963268 ≈ 15.3675599856, kaba bir tahmindir. İntegrand sabit olmadığı için fazla tahmin eder.
5. Doğru şekilde integre edin. Uyarlamalı Simpson kuralı, cevap dengelenene kadar aralığı daraltır ve L ≈ 14.4818404027 birim verir.
6. Uç noktaları denetleyin. Başlangıç noktası (10 cos 30°, 6 sin 30°) = (8.660254, 3) olur. Bitiş noktası (10 cos 120°, 6 sin 120°) = (−5, 5.196152) olur. Hesaplayıcı her sonuçla birlikte iki noktayı da gösterir.
7. Çevreyle karşılaştırın. Tam çevre P ≈ 51.0539977268 olur, bu yüzden bu yay, 90° süpürmesine rağmen elipsin %28.3657'sidir. Ramanujan yaklaşımı 51.0539977256 verir ve dokuz ondalık basamağa kadar uyuşur.

Önemli ders 7. adımdadır: bir 90° süpürme, bir eksenden diğerine uzanmadıkça çevrenin dörtte biri değildir. Burada aynı 90° açı, eğrinin yalnızca %28.3657'sini kapsar, çünkü süpürme, eğrinin en hızlı hareket ettiği küçük ekseni keser ve büyük eksen yakınındaki yavaş uzantıyı kaçırır.

Elips yay uzunluğu yalnızca bir sınıf alıştırması değildir. Eliptik bir şeklin ölçülmesi, kesilmesi veya inşa edilmesi gereken her yerde karşımıza çıkar.

Makine mühendisliği. Eliptik dişliler, kamlar ve bağlantı düzenekleri hep eliptik yollar boyunca hareket eder. İki kam açısı arasındaki yay uzunluğunu bilmek, mühendise izleyicinin ne kadar ilerlediğini söyler; bu da mekanizmanın zamanlamasını belirler.

Mimari. Eliptik kemerler, kubbeler ve avlular, taş veya çelik sipariş edilmeden önce kesin çevre ve kısmi yay ölçümleri gerektirir. Elipsin yalnızca bir kısmını kapsayan bir kemer, tüm çevrenin değil, o kısmın yay uzunluğuna ihtiyaç duyar.

İmalat ve CNC işleme. Eliptik bir cep veya eliptik bir flanş kesen bir CNC tezgâhı eğriyi küçük adımlarla izler. Toplam takım yolu uzunluğu yay integralinden gelir ve işleme süresini ile takım aşınmasını belirler.

Eliptik pistler ve yapılar. Koşu pistleri, velodromlar ve eliptik borular yay uzunluklarıyla ölçülür. Elipsin bir kısmından bükülen bir boru dirseği, malzemeyi boyuna kesmek için bükümün yay uzunluğuna ihtiyaç duyar.

CAD ve teknik çizim. Elipsler CAD yazılımında temel varlıklardır ve yay uzunlukları, kaplama ve kenar malzemeleri için boyutlandırma, alan hesapları ve malzeme listesi uzunluklarına girer.

Fizik ve geometri eğitimi. Gezegen yörüngeleri elipstir ve bir gezegenin iki açı arasında yörüngesi boyunca kat ettiği mesafe bir elips yay uzunluğudur. Aynı integral, eliptik aynaların ışığı odakladığı optikte ve eliptik integrallerin kendi çalışmasında da görülür.

Elips yay uzunluğundaki hataların çoğu, elipsi daire gibi ele almaktan veya girdileri karıştırmaktan kaynaklanır. Bu yedi hataya dikkat edin.

1. Elips için daire formülünü kullanmak. L = rθ yalnızca a = b olduğunda işe yarar. a = 5 ve b = 3 için çeyrek yayı yaklaşık %23 fazla tahmin eder.
2. Tam eksenleri yarı eksenlerle karıştırmak. Tam genişlik 10 ise a = 5 olur. a yerine 10 girmek, hesaplayıcının verdiği her uzunluğu iki katına çıkarır. Tam uzunlukları ölçtüyseniz tam eksen modunu kullanın.
3. Dereceleri radyana çevirmeyi unutmak. Formüller radyan kullanır. Radyan olarak girilen 90 açısı, çeyrek tur değil, on dört tam devirden fazladır. Yazmadan önce DEG ve RAD düğmesini denetleyin.
4. Yanlış açı kuralını kullanmak. Buradaki açılar, merkezden ölçülen parametrik açılardır; x = a cos θ, y = b sin θ. Bunlar, eksenler dışında farklı olan noktanın kutupsal açısı değildir.
5. Saat yönü ile saat yönünün tersi yolları göz ardı etmek. İki nokta iki yay tanımlar ve bunlar bir elipste eşit değildir. Gerçekten kastettiğiniz yönü seçin veya ikisini de görmek için en kısa ve en uzun seçenekleri kullanın.
6. Çeyrek elipsin her zaman çevrenin dörtte biri olduğunu varsaymak. Bu yalnızca bir eksenden diğerine uzanan yaylar için geçerlidir. 30° ile 120° arasındaki 90° süpürme, çevresinin %25'i değil, %28.3657'sidir.
7. Ramanujan yaklaşımını kesin bir kısmi yay formülü sanmak. Ramanujan formülü tüm çevreye yaklaşır. Kısmi bir yay hakkında hiçbir şey söylemez ve bir yayı tahmin etmek için asla bir açı kesriyle ölçeklenerek küçültülmemelidir.

Kendi hesaplamalarınız için hızlı bir denetim olarak bu tabloyu kullanın. Tüm değerler bu sayfadaki hesaplayıcı ile üretilmiştir.

Son satır, çok yassı bir elipsin nasıl davrandığını gösterir: a = 10 ve b = 1 olduğunda çeyrek yay, a değerinden yalnızca biraz uzundur ve çevre 4a = 40 değerinden yalnızca biraz fazladır. b sıfıra doğru küçüldükçe elips ileri geri izlenen bir doğru parçasına doğru çöker ve çevresi 4a değerine yaklaşır.

Hızlı başvuru için bu formülleri bir arada tutun. Bu sayfadaki her hesaplamayı kapsarlar.

Bu formüllerdeki açılar radyandır. Dönüştürmek için dereceleri π/180 ile çarpın. Ramanujan satırı yalnızca tüm çevre için bir yaklaşımdır; integral satırları ise kesindir ve hesaplayıcı tarafından sayısal olarak değerlendirilir.