Calculadora de longitud de arco de elipse

La calculadora de longitud de arco de elipse mide la longitud de un arco de una elipse a partir de sus dos semiejes y dos ángulos. La página se abre con el panel de longitud de arco de elipse activo, que muestra la fórmula L = ∫_θ1^θ₂ √(a² sin²θ + b² cos²θ) dθ. Siga estos pasos para obtener una respuesta correcta en menos de un minuto.

1. Elija cómo se introducen los ejes. Use las longitudes de los semiejes (a, b) por defecto. Si midió los ejes completos, cambie a longitudes de eje completo y la calculadora dividirá cada valor por la mitad.
2. Introduzca el semieje mayor (a). Es el radio más largo de la elipse, medido desde el centro hasta el punto más lejano del borde.
3. Introduzca el semieje menor (b). Es el radio más corto, medido desde el centro hasta el punto más cercano del borde. No debe ser mayor que a.
4. Introduzca el ángulo inicial (θ₁) y el ángulo final (θ₂). Use el selector DEG y RAD en la parte superior del panel para que coincida con sus números. Los grados son la opción por defecto.
5. Elija la dirección del arco. El sentido antihorario sigue los ángulos en aumento desde θ₁ hasta θ₂. El sentido horario va en el otro sentido. Las opciones de más corto y más largo comparan ambos caminos físicos e informan el más corto o el más largo.
6. Elija una unidad y una precisión. La unidad etiqueta la respuesta; la precisión establece cuántos decimales muestra el resultado.
7. Haga clic en Calcular ahora. La calculadora evalúa numéricamente la integral de longitud de arco y muestra el resultado, el perímetro completo, el arco complementario, el porcentaje del perímetro y las coordenadas de ambos extremos.
8. Copie o restablezca. Use Copiar resultado para colocar la respuesta en el portapapeles, o Restablecer para limpiar el panel. El enlace Intercambiar ángulos inicial y final cambia θ₁ y θ₂ con un clic.

Pruebe un ejemplo. Los botones Cuarto de elipse, Media elipse, Cuarto de círculo y Elipse completa cargan valores verificados al instante: a = 5, b = 3, de 0° a 90° da 6.3817497158 unidades, y la misma elipse de 0° a 360° da el perímetro completo, 25.5269988634 unidades.

Consejos importantes. Mantenga a y b en la misma unidad. Introduzca b sin que sea mayor que a. Recuerde que los ángulos son ángulos paramétricos, medidos desde el centro, no ángulos medidos a lo largo del borde. Si los ángulos inicial y final son iguales, la longitud de arco es cero; use 0° a 360° para una elipse completa.

Una elipse es una curva cerrada formada por todos los puntos cuyas distancias a dos puntos fijos, los focos, suman la misma constante. Se parece a un círculo estirado: tiene una dirección larga y una dirección corta, pero es perfectamente suave, sin esquinas. Un arco es una parte de esa curva entre dos puntos de ella. La longitud de arco es la distancia que recorrería si caminara a lo largo de la curva desde el primer punto hasta el segundo.

Cada punto de una elipse se puede describir con un solo ángulo θ, llamado ángulo paramétrico:

Aquí a es el semieje mayor y b es el semieje menor. Cuando θ va de 0 a 2π radianes, el punto (x, y) recorre toda la elipse exactamente una vez, empezando en (a, 0) y volviendo allí. Un arco de θ₁ a θ₂ es la parte de ese recorrido entre los dos ángulos.

Un arco elíptico se diferencia de un arco circular en un aspecto importante. En un círculo, cada punto está a la misma distancia r del centro, por lo que la longitud de arco es simplemente L = rθ. En una elipse, la distancia desde el centro cambia a medida que se avanza por la curva, así que la velocidad con la que se recorre la curva también cambia. Por tanto, la longitud de arco depende de la forma de la elipse, no solo del ángulo barrido, y debe hallarse mediante integración en lugar de una sola multiplicación.

Por eso la longitud de arco de una elipse es un cálculo real y no una consulta en una tabla. La calculadora de esta página realiza esa integración numéricamente, con alta precisión, para cualquier elipse y cualquier par de ángulos.

La longitud de arco de una elipse entre los ángulos paramétricos θ₁ y θ₂ se expresa con una integral definida:

Cada símbolo de la fórmula tiene un significado preciso:

El integrando √(a² sin²θ + b² cos²θ) es la velocidad con la que se mueve el punto (a cos θ, b sin θ) a medida que aumenta θ. Es mínimo, igual a b, en θ = 0°, donde la curva cruza el eje mayor, y máximo, igual a a, en θ = 90°, donde la curva cruza el eje menor. Integrar esa velocidad sobre el intervalo angular suma todos los segmentos diminutos hasta dar la longitud total del arco.

Cuando a = b, la elipse es un círculo de radio r = a, el integrando se convierte en la constante r, y la fórmula se reduce a la conocida L = rθ, con θ en radianes. Ese caso especial es una comprobación útil: cualquier calculadora de elipses debe reproducir el resultado del círculo cuando los dos ejes son iguales.

Calcular a mano la longitud de arco de una elipse sigue ocho pasos. El ejemplo resuelto siguiente usa a = 5, b = 3, de 0° a 90°, un cuarto de elipse.

1. Identifique el semieje mayor. a = 5 unidades.
2. Identifique el semieje menor. b = 3 unidades.
3. Determine el ángulo inicial. θ₁ = 0°.
4. Determine el ángulo final. θ₂ = 90°.
5. Convierta los grados a radianes cuando sea necesario. 0° = 0 radianes y 90° = π/2 ≈ 1.5707963268 radianes.
6. Aplique la integral de longitud de arco de la elipse. L = ∫₀^π/2 √(25 sin²θ + 9 cos²θ) dθ.
7. Evalúe la integral numéricamente. El integrando no tiene antiderivada elemental, así que use un método numérico como la regla de Simpson adaptativa, que refina sus intervalos hasta que la respuesta es estable.
8. Interprete la respuesta final. L ≈ 6.3817497158 unidades. La calculadora de esta página devuelve el mismo valor.

Para ver por qué se necesita la integración numérica, observe el integrando en tres ángulos:

Un solo paso de Simpson en todo el cuarto da (π/4)/3 × (3 + 4 × 4.1231056256 + 5) ≈ 6.4121012169, que está cerca pero no es exacto. La regla de Simpson adaptativa sigue dividiendo el intervalo y reevaluando hasta que el error cae por debajo de su tolerancia, convergiendo en 6.3817497158. La lección es práctica: una estimación numérica aproximada es fácil, pero una respuesta confiable necesita un método que compruebe su propia precisión, que es lo que hace la calculadora.

El eje mayor es la línea recta más larga que pasa por el centro de la elipse, desde un lado del borde hasta el otro. El eje menor es la línea más corta de ese tipo, perpendicular al eje mayor. El semieje mayor a es la mitad del eje mayor: la distancia desde el centro hasta el borde en la dirección larga. El semieje menor b es la mitad del eje menor: la distancia desde el centro hasta el borde en la dirección corta.

Confundir los ejes completos con los semiejes es el error de entrada más común. Si un dibujo da el ancho completo de una elipse como 10, el semieje mayor es a = 5, no 10. Introducir 10 como a describiría una elipse dos veces más grande, y cada longitud que devuelva la calculadora se duplicaría. La calculadora ofrece un modo de eje completo justo para esta situación: introduzca las longitudes completas y ella las dividirá por la mitad antes de calcular.

Los dos ejes también controlan la forma. Cuando a y b son casi iguales, la elipse es casi un círculo. Cuando b es mucho menor que a, la elipse es larga y plana, como una pista de atletismo vista de lado. La relación b/a a veces se llama relación de aspecto; la excentricidad e = √(1 − (b/a)²) mide la misma idea, con e = 0 para un círculo y e cercana a 1 para una elipse muy plana. Para a = 5 y b = 3, e = √(1 − 9/25) = 0.8.

El perímetro completo es la longitud de toda la curva cerrada, mientras que una longitud de arco parcial es la longitud de una parte de ella. El perímetro es el caso especial de la fórmula de arco con θ₁ = 0° y θ₂ = 360°:

El factor 4 aparece porque los cuatro cuadrantes de una elipse son imágenes especulares entre sí. Para a = 5 y b = 3, el perímetro es P ≈ 25.5269988634 unidades. La tabla siguiente compara las partes estándar de esa elipse.

Un cuarto de elipse es exactamente un cuarto del perímetro, y una media elipse exactamente la mitad, porque los cuadrantes son imágenes especulares. Pero esa simetría solo se cumple para arcos que empiezan y terminan en los ejes. Un barrido arbitrario de 90° no es un cuarto del perímetro: en una elipse mayor con a = 10 y b = 6, el arco de 30° a 120° mide 14.4818404027 unidades, exactamente el doble del valor para la elipse con a = 5 y b = 3, y el ejemplo resuelto más adelante en esta guía muestra que este barrido de 90° es el 28.3657% del perímetro de la elipse mayor. Nunca suponga que un barrido de 90° equivale a P/4 a menos que vaya de un eje al siguiente.

La calculadora informa ambos números en cada cálculo: la longitud de arco que pidió y el perímetro completo al que pertenece, junto con el arco complementario (el resto de la elipse) y el porcentaje del perímetro que cubre su arco.

La longitud de arco de una elipse no tiene una fórmula exacta construida con funciones ordinarias. La integral ∫ √(a² sin²θ + b² cos²θ) dθ es una integral elíptica incompleta de segunda especie, escrita E(φ, k), donde φ es el ángulo y k = √(1 − (b/a)²) es la excentricidad. El arco de θ₁ a θ₂ es a × (E(θ₂, k) − E(θ₁, k)). Para a = 5 y b = 3, k = 0.8, y el cuarto de elipse es 5 × E(π/2, 0.8) = 5 × 1.2763499432 = 6.3817497158.

Las integrales elípticas se comprenden bien, pero no son elementales: ninguna combinación de polinomios, raíces, exponenciales y funciones trigonométricas las evalúa en forma cerrada. Por eso cada cálculo práctico de elipse usa integración numérica. La regla de Simpson adaptativa, que usa esta calculadora, es una buena opción porque refina los intervalos donde el integrando cambia más rápido y se detiene cuando el resultado es estable dentro de su tolerancia.

Solo para el perímetro completo existe también una famosa aproximación de Srinivasa Ramanujan:

Para a = 5 y b = 3, h = 0.0625, y la fórmula de Ramanujan da P ≈ 25.5269988628, que coincide con el perímetro numérico exacto 25.5269988634 hasta nueve decimales. Es notablemente precisa para elipses que no son extremadamente planas. Pero es una aproximación solo para el perímetro completo: no se puede recortar para dar un arco parcial, así que nunca la use como sustituto de la integral de arco. La calculadora muestra el valor de Ramanujan en sus pasos únicamente como comparación educativa junto al resultado numérico.

Use la integración numérica siempre que la respuesta importe, y use Ramanujan solo como una comprobación rápida de cordura de un perímetro completo. Si ambos difieren más allá de unos pocos decimales, confíe en la integración numérica y revise las entradas.

La fórmula del círculo L = rθ funciona porque cada punto de un círculo está a la misma distancia r del centro, así que la velocidad a lo largo de la curva es constante. En una elipse la velocidad varía: para a = 5 y b = 3 va de 3 en los extremos del eje mayor a 5 en los extremos del eje menor. Un solo radio no puede captar esa variación, así que la fórmula del círculo da la respuesta incorrecta para cualquier elipse que no sea un círculo.

Compare un arco de 90° en tres formas con el mismo tamaño nominal:

Usar r = 5 en la fórmula del círculo sobreestima el arco de cuarto de la elipse en aproximadamente un 23% cuando b = 3, y en aproximadamente un 11% cuando b = 4. El error se reduce a medida que la elipse se acerca a un círculo y crece a medida que se aplana, que es exactamente lo que cabría esperar: la fórmula del círculo es el límite de la fórmula de la elipse cuando b se acerca a a, no un sustituto general de ella.

La calculadora nunca usa la fórmula del círculo para una elipse. Integra el integrando exacto de la elipse, y solo cuando a = b esa integración se reduce a L = rθ, lo que la calculadora también verifica internamente como comprobación de consistencia.

Dos puntos de una elipse dividen la curva en dos arcos: uno en sentido antihorario y otro en sentido horario. No son imágenes especulares, porque la elipse no es un círculo, así que los dos arcos tienen longitudes diferentes. El más corto es el camino más corto a lo largo de la curva entre los puntos; el más largo es el resto de la elipse.

Tome a = 5, b = 3, con extremos en 0° y 120°:

Las dos longitudes suman el perímetro completo, 25.5269988634, como deben, ya que juntas cubren toda la elipse. El arco más corto es 8.9253958986 y el más largo es 16.6016029648. Observe que la división angular es 120° frente a 240°, una relación de uno a dos, mientras que la división de longitudes es aproximadamente 35% frente a 65%: las longitudes no siguen a los ángulos, porque la curva se mueve más rápido cerca del eje menor que cerca del eje mayor.

Por eso la calculadora mide ambos caminos mediante integración real en lugar de comparar ángulos. Comparar diferencias angulares daría el ganador incorrecto siempre que la elipse esté lejos de ser circular. Elija Arco físico más corto cuando necesite la ruta más corta, por ejemplo el tendido de cable más corto entre dos puntos de un marco elíptico, y Arco físico más largo cuando necesite el resto de la curva.

Los ángulos paramétricos de una elipse se envuelven: 360° es el mismo punto que 0°, y 370° es el mismo punto que 10°. La calculadora maneja ese salto por usted, pero ayuda conocer las reglas que sigue.

Sentido antihorario significa que el ángulo aumenta de θ₁ a θ₂, pasando por 360° cuando es necesario. Un arco de 350° a 10° en sentido antihorario recorre 20° a través de 0°, no 340° hacia atrás. Para a = 5 y b = 3 ese arco mide 1.0565175692 unidades, lo mismo que el arco de −10° a 10°.

Sentido horario significa que el ángulo disminuye de θ₁ a θ₂. Un arco de 10° a 350° en sentido horario es el mismo arco de 20° a través de 0°, mientras que el mismo par en sentido antihorario recorrería 340° por el camino largo.

Ángulos iguales dan un arco de longitud cero. Si θ₁ y θ₂ son iguales, los puntos inicial y final coinciden y no hay arco entre ellos. Para una elipse completa, introduzca 0° a 360°: eso es una revolución completa, y la calculadora devuelve todo el perímetro.

Ángulos negativos están permitidos y significan los mismos puntos que sus equivalentes positivos: −30° es el mismo punto que 330°. La calculadora normaliza cada ángulo al rango de 0° a 360° antes de integrar, así que −30° a 30° y 330° a 30° dan la misma respuesta.

Radianes siguen las mismas reglas con 2π en lugar de 360°. Cambie el selector DEG y RAD antes de escribir valores en radianes, ya que 1.57 radianes y 1.57 grados describen arcos muy diferentes.

Algunos intervalos de ángulos aparecen tan a menudo que merecen sus propios nombres. La tabla siguiente los enumera para la elipse a = 5, b = 3 y para un círculo de radio 5, todos verificados por la calculadora.

Círculo (a = b). La elipse se convierte en un círculo, el integrando se convierte en el radio constante, y L = rθ con θ en radianes. Un cuarto de círculo de radio 5 es 5 × π/2 = 7.853981634, y la circunferencia completa es 2πr = 31.4159265359.

Elipses muy alargadas. Cuando b es mucho menor que a, la elipse es casi un segmento de línea plano recorrido de ida y vuelta. El perímetro se acerca a 4a, y el arco de cuarto se acerca a a. Para a = 10 y b = 1, el arco de cuarto es 10.1599354503, solo un poco mayor que a.

Elipses muy planas. La misma idea se aplica en el otro sentido: el arco se concentra cerca de los extremos del eje mayor, donde la curva gira bruscamente, y la integración numérica debe refinar sus intervalos allí. La regla de Simpson adaptativa lo maneja automáticamente.

Resuelva un ejemplo completo con a = 10, b = 6, de θ₁ = 30° a θ₂ = 120°. Es un barrido de 90° que no empieza en un eje, así que pone a prueba cada parte del método.

1. Convierta los ángulos. 30° = π/6 ≈ 0.5235987756 radianes. 120° = 2π/3 ≈ 2.0943951024 radianes.
2. Escriba la integral. L = ∫_0.5235987756^2.0943951024 √(100 sin²θ + 36 cos²θ) dθ.
3. Muestree el integrando. En 30° es √(100 × 0.25 + 36 × 0.75) = √52 ≈ 7.2111025509. En el punto medio, 75°, es ≈ 9.7832925399. En 120° es √(100 × 0.75 + 36 × 0.25) = √84 ≈ 9.1651513899.
4. Estime aproximadamente. El valor del punto medio por el ancho del intervalo, 9.7832925399 × 1.5707963268 ≈ 15.3675599856, es una estimación aproximada. Se pasa porque el integrando no es constante.
5. Integre con precisión. La regla de Simpson adaptativa refina el intervalo hasta que la respuesta es estable, dando L ≈ 14.4818404027 unidades.
6. Compruebe los extremos. El punto inicial es (10 cos 30°, 6 sin 30°) = (8.660254, 3). El punto final es (10 cos 120°, 6 sin 120°) = (−5, 5.196152). La calculadora muestra ambos puntos con cada resultado.
7. Compare con el perímetro. El perímetro completo es P ≈ 51.0539977268, así que este arco es el 28.3657% de la elipse, aunque barre 90°. La aproximación de Ramanujan da 51.0539977256, que coincide hasta nueve decimales.

La lección clave está en el paso 7: un barrido de 90° no es un cuarto del perímetro a menos que vaya de un eje al siguiente. Aquí los mismos 90° de ángulo cubren solo el 28.3657% de la curva, porque el barrido cruza el eje menor, donde la curva se mueve más rápido, y se pierde el tramo lento cerca del eje mayor.

La longitud de arco de una elipse no es solo un ejercicio de clase. Aparece dondequiera que una forma elíptica tenga que medirse, cortarse o construirse.

Ingeniería mecánica. Los engranajes elípticos, las levas y los mecanismos articulados se mueven todos por trayectorias elípticas. Conocer la longitud de arco entre dos ángulos de leva le dice a un ingeniero cuánto se desplaza un seguidor, lo que fija la sincronización del mecanismo.

Arquitectura. Los arcos, cúpulas y patios elípticos necesitan medidas exactas de perímetro y de arco parcial antes de pedir la piedra o el acero. Un arco que abarca solo parte de una elipse necesita la longitud de arco de esa parte, no todo el perímetro.

Fabricación y mecanizado CNC. Una fresadora CNC que corta un hueco elíptico o una brida elíptica sigue la curva en pequeños pasos. La longitud total de la trayectoria de la herramienta proviene de la integral de arco, y determina el tiempo de mecanizado y el desgaste de la herramienta.

Pistas y estructuras elípticas. Las pistas de atletismo, los velódromos y las tuberías elípticas se miden en longitudes de arco. Un codo de tubería que se dobla a través de parte de una elipse necesita la longitud de arco del codo para cortar el material a medida.

CAD y dibujo técnico. Las elipses son entidades básicas en el software CAD, y sus longitudes de arco alimentan el acotado, los cálculos de área y las longitudes de la lista de materiales para molduras y bordes.

Física y educación en geometría. Las órbitas planetarias son elipses, y la distancia que recorre un planeta a lo largo de su órbita entre dos ángulos es una longitud de arco de elipse. La misma integral aparece en óptica, donde los espejos elípticos enfocan la luz, y en el estudio de las propias integrales elípticas.

La mayoría de los errores en la longitud de arco de una elipse provienen de tratar la elipse como un círculo o de confundir las entradas. Tenga en cuenta estos siete.

1. Usar la fórmula del círculo para una elipse. L = rθ solo funciona cuando a = b. Para a = 5 y b = 3 sobreestima un arco de cuarto en aproximadamente un 23%.
2. Confundir los ejes completos con los semiejes. Si el ancho completo es 10, entonces a = 5. Introducir 10 como a duplica cada longitud que devuelve la calculadora. Use el modo de eje completo si midió las longitudes completas.
3. Olvidar convertir los grados a radianes. Las fórmulas usan radianes. Un ángulo de 90 introducido como radianes es más de catorce revoluciones completas, no un cuarto de vuelta. Compruebe el selector DEG y RAD antes de escribir.
4. Usar la convención de ángulos incorrecta. Los ángulos aquí son ángulos paramétricos medidos desde el centro, x = a cos θ, y = b sin θ. No son el ángulo polar del punto, que difiere excepto en los ejes.
5. Ignorar los caminos en sentido horario frente a antihorario. Dos puntos definen dos arcos, y no son iguales en una elipse. Elija la dirección que realmente quiere, o use las opciones de más corto y más largo para ver ambos.
6. Suponer que un cuarto de elipse es siempre un cuarto del perímetro. Eso solo se cumple para arcos que van de un eje al siguiente. Un barrido de 90° de 30° a 120° es el 28.3657% de su perímetro, no el 25%.
7. Tratar la aproximación de Ramanujan como una fórmula exacta de arco parcial. La fórmula de Ramanujan aproxima todo el perímetro. No dice nada sobre un arco parcial, y nunca debe reducirse por una fracción de ángulo para estimar uno.

Use esta tabla como comprobación rápida de sus propios cálculos. Todos los valores fueron producidos por la calculadora de esta página.

La última fila muestra cómo se comporta una elipse muy plana: con a = 10 y b = 1, el arco de cuarto es solo un poco más largo que a, y el perímetro es solo un poco mayor que 4a = 40. Cuando b se reduce hacia cero, la elipse colapsa hacia un segmento de línea recorrido de ida y vuelta, y su perímetro se acerca a 4a.

Guarde estas fórmulas juntas para consulta rápida. Cubren cada cálculo de esta página.

Los ángulos en estas fórmulas están en radianes. Para convertir, multiplique los grados por π/180. La línea de Ramanujan es una aproximación solo para el perímetro completo, mientras que las líneas de la integral son exactas y la calculadora las evalúa numéricamente.