উপবৃত্ত চাপের দৈর্ঘ্য ক্যালকুলেটর

উপবৃত্ত চাপের দৈর্ঘ্য ক্যালকুলেটর তার দুটি অর্ধ-অক্ষ ও দুটি কোণ থেকে উপবৃত্তের একটি চাপের দৈর্ঘ্য মাপে। পৃষ্ঠাটি Ellipse Arc Length প্যানেল সক্রিয় অবস্থায় খোলে, যেখানে সূত্রটি দেখানো থাকে: L = ∫_θ1^θ₂ √(a² sin²θ + b² cos²θ) dθ। এক মিনিটের মধ্যে সঠিক উত্তর পেতে এই ধাপগুলো অনুসরণ করুন।

1. অক্ষ লেখার পদ্ধতি বেছে নিন। ডিফল্টভাবে অর্ধ-অক্ষের দৈর্ঘ্য (a, b) ব্যবহার করুন। পূর্ণ অক্ষ মেপে থাকলে, পূর্ণ-অক্ষের দৈর্ঘ্য পদ্ধতিতে যান, ক্যালকুলেটর প্রতিটি মান অর্ধেক করে দেবে।
2. অর্ধ-প্রধান অক্ষ (a) লিখুন। এটি উপবৃত্তের সবচেয়ে দীর্ঘ ব্যাসার্ধ, কেন্দ্র থেকে সীমানার সবচেয়ে দূরের বিন্দু পর্যন্ত মাপা হয়।
3. অর্ধ-গৌণ অক্ষ (b) লিখুন। এটি সবচেয়ে ছোট ব্যাসার্ধ, কেন্দ্র থেকে সীমানার সবচেয়ে কাছের বিন্দু পর্যন্ত মাপা হয়। এটি a-এর চেয়ে বড় হওয়া চলবে না।
4. শুরুর কোণ (θ₁) ও শেষ কোণ (θ₂) লিখুন। আপনার সংখ্যার সঙ্গে মেলাতে প্যানেলের ওপরের DEG ও RAD টগল ব্যবহার করুন। ডিগ্রি ডিফল্ট।
5. চাপের দিক বেছে নিন। Counterclockwise মানে θ₁ থেকে θ₂ পর্যন্ত কোণ বাড়তে থাকে। Clockwise মানে উল্টো দিকে যাওয়া। Shortest ও longest উভয় বাস্তব পথ তুলনা করে ছোট বা বড়টি জানায়।
6. একক ও নির্ভুলতা বেছে নিন। একক উত্তরে লেবেল দেয়; নির্ভুলতা নির্ধারণ করে ফলাফলে কত দশমিক স্থান দেখাবে।
7. Calculate Now ক্লিক করুন। ক্যালকুলেটর চাপের দৈর্ঘ্যের সমাকল সংখ্যাগতভাবে মূল্যায়ন করে এবং ফলাফল, সম্পূর্ণ পরিধি, পরিপূরক চাপ, পরিধির শতাংশ এবং উভয় প্রান্তবিন্দুর স্থানাঙ্ক দেখায়।
8. অনুলিপি করুন বা রিসেট করুন। Copy Result দিয়ে উত্তর ক্লিপবোর্ডে নিন, অথবা Reset দিয়ে প্যানেল পরিষ্কার করুন। Swap Start and End Angles লিংক এক ক্লিকে θ₁ ও θ₂ অদলবদল করে।

একটি উদাহরণ চেষ্টা করুন। Quarter Ellipse, Half Ellipse, Quarter Circle ও Complete Ellipse বোতামগুলো যাচাই করা মান তাৎক্ষণিকভাবে লোড করে: a = 5, b = 3, 0° থেকে 90° দিলে 6.3817497158 একক পাওয়া যায়, এবং একই উপবৃত্ত 0° থেকে 360° দিলে সম্পূর্ণ পরিধি 25.5269988634 একক পাওয়া যায়।

গুরুত্বপূর্ণ পরামর্শ। a ও b একই এককে রাখুন। b, a-এর চেয়ে বড় লিখবেন না। মনে রাখবেন, কোণগুলো প্যারামেট্রিক কোণ, কেন্দ্র থেকে মাপা, সীমানা বরাবর মাপা কোণ নয়। শুরুর ও শেষ কোণ সমান হলে চাপের দৈর্ঘ্য শূন্য হয়; সম্পূর্ণ উপবৃত্তের জন্য 0° থেকে 360° ব্যবহার করুন।

উপবৃত্ত হলো এমন একটি বদ্ধ বক্ররেখা, যার প্রতিটি বিন্দু থেকে দুটি স্থির বিন্দু, নাভিদ্বয়, পর্যন্ত দূরত্বের যোগফল সবসময় একই থাকে। এটি দেখতে টানা বৃত্তের মতো: এর একটি লম্বা দিক ও একটি ছোট দিক আছে, কিন্তু এটি সম্পূর্ণ মসৃণ, এতে কোনো কোণা নেই। চাপ হলো সেই বক্ররেখার একটি অংশ, যা এর ওপরের দুটি বিন্দুর মধ্যে থাকে। চাপের দৈর্ঘ্য হলো সেই দূরত্ব, যা আপনি প্রথম বিন্দু থেকে দ্বিতীয় বিন্দু পর্যন্ত বক্ররেখা বরাবর হাঁটলে অতিক্রম করবেন।

উপবৃত্তের প্রতিটি বিন্দুকে একটি মাত্র কোণ θ দিয়ে বর্ণনা করা যায়, যাকে প্যারামেট্রিক কোণ বলা হয়:

এখানে a হলো অর্ধ-প্রধান অক্ষ এবং b হলো অর্ধ-গৌণ অক্ষ। θ 0 থেকে 2π রেডিয়ান পর্যন্ত চললে বিন্দুটি (x, y) পুরো উপবৃত্তটি ঠিক একবার আঁকে, (a, 0) থেকে শুরু করে সেখানেই ফিরে আসে। θ₁ থেকে θ₂ পর্যন্ত চাপ হলো সেই আঁকার দুটি কোণের মধ্যবর্তী অংশ।

উপবৃত্তীয় চাপ বৃত্তীয় চাপ থেকে একটি গুরুত্বপূর্ণ দিক থেকে আলাদা। বৃত্তে প্রতিটি বিন্দু কেন্দ্র থেকে একই দূরত্ব r-এ থাকে, তাই চাপের দৈর্ঘ্য কেবল L = rθ। উপবৃত্তে কেন্দ্র থেকে দূরত্ব বক্ররেখা বরাবর চলতে চলতে বদলায়, তাই বক্ররেখাটি আঁকার গতিও বদলায়। তাই চাপের দৈর্ঘ্য কেবল অতিক্রান্ত কোণের ওপর নয়, উপবৃত্তের আকৃতির ওপরও নির্ভর করে, এবং একটিমাত্র গুণ দিয়ে নয়, সমাকলন করে তা বের করতে হয়।

এই কারণেই উপবৃত্তের চাপের দৈর্ঘ্য একটি আসল গণনা, কোনো তালিকা থেকে দেখে নেওয়ার মান নয়। এই পৃষ্ঠার ক্যালকুলেটর সেই সমাকলন সংখ্যাগতভাবে, উচ্চ নির্ভুলতায়, যেকোনো উপবৃত্ত ও যেকোনো কোণজোড়ার জন্য সম্পন্ন করে।

প্যারামেট্রিক কোণ θ₁ ও θ₂-এর মধ্যে উপবৃত্তের চাপের দৈর্ঘ্য একটি নির্দিষ্ট সমাকল দিয়ে দেওয়া হয়:

সূত্রের প্রতিটি প্রতীকের একটি সুনির্দিষ্ট অর্থ আছে:

সমাকলজ √(a² sin²θ + b² cos²θ) হলো সেই গতি, যে গতিতে বিন্দুটি (a cos θ, b sin θ) θ বাড়ার সঙ্গে সঙ্গে চলে। এটি সবচেয়ে ছোট, b-এর সমান, θ = 0°-এ, যেখানে বক্ররেখাটি প্রধান অক্ষকে ছেদ করে, এবং সবচেয়ে বড়, a-এর সমান, θ = 90°-এ, যেখানে বক্ররেখাটি গৌণ অক্ষকে ছেদ করে। কোণের ব্যবধান জুড়ে সেই গতির সমাকলন করলে সব ক্ষুদ্র অংশ যোগ হয়ে মোট চাপের দৈর্ঘ্য পাওয়া যায়।

a = b হলে উপবৃত্তটি r = a ব্যাসার্ধের বৃত্ত হয়ে যায়, সমাকলজটি ধ্রুবক r হয়ে যায়, এবং সূত্রটি পরিচিত L = rθ-এ পরিণত হয়, যেখানে θ রেডিয়ানে। এই বিশেষ ক্ষেত্রটি একটি দরকারি পরীক্ষা: যেকোনো উপবৃত্ত ক্যালকুলেটরকে দুটি অক্ষ সমান হলে বৃত্তের ফলাফল দিতেই হবে।

হাতে উপবৃত্তের চাপের দৈর্ঘ্য গণনা করতে আটটি ধাপ অনুসরণ করতে হয়। নিচের কাজ করা উদাহরণে a = 5, b = 3, 0° থেকে 90° পর্যন্ত ব্যবহার করা হয়েছে, অর্থাৎ একটি চতুর্থাংশ উপবৃত্ত।

1. অর্ধ-প্রধান অক্ষ চিহ্নিত করুন। a = 5 একক।
2. অর্ধ-গৌণ অক্ষ চিহ্নিত করুন। b = 3 একক।
3. শুরুর কোণ নির্ণয় করুন। θ₁ = 0°।
4. শেষ কোণ নির্ণয় করুন। θ₂ = 90°।
5. প্রয়োজনে ডিগ্রিকে রেডিয়ানে রূপান্তর করুন। 0° = 0 রেডিয়ান এবং 90° = π/2 ≈ 1.5707963268 রেডিয়ান।
6. উপবৃত্তের চাপের দৈর্ঘ্যের সমাকল প্রয়োগ করুন। L = ∫₀^π/2 √(25 sin²θ + 9 cos²θ) dθ।
7. সমাকলটি সংখ্যাগতভাবে মূল্যায়ন করুন। সমাকলজের কোনো প্রাথমিক প্রতিঅন্তরকলজ নেই, তাই অভিযোজিত সিম্পসনের নিয়মের মতো সংখ্যাগত পদ্ধতি ব্যবহার করুন, যা উত্তর স্থিতিশীল না হওয়া পর্যন্ত ব্যবধানগুলোকে ভাগ করতে থাকে।
8. চূড়ান্ত উত্তর ব্যাখ্যা করুন। L ≈ 6.3817497158 একক। এই পৃষ্ঠার ক্যালকুলেটর একই মান দেয়।

সংখ্যাগত সমাকলন কেন দরকার, তা বুঝতে তিনটি কোণে সমাকলজটি দেখুন:

পুরো চতুর্থাংশ জুড়ে একটিমাত্র সিম্পসন ধাপ দিলে (π/4)/3 × (3 + 4 × 4.1231056256 + 5) ≈ 6.4121012169 পাওয়া যায়, যা কাছাকাছি কিন্তু নির্ভুল নয়। অভিযোজিত সিম্পসনের নিয়ম ব্যবধান ভাগ করতে ও পুনরায় মূল্যায়ন করতে থাকে, যতক্ষণ না ত্রুটি তার সহনসীমার নিচে নেমে আসে, এবং 6.3817497158-এ পৌঁছায়। শিক্ষাটি ব্যবহারিক: মোটামুটি সংখ্যাগত অনুমান সহজ, কিন্তু বিশ্বাসযোগ্য উত্তরের জন্য এমন পদ্ধতি দরকার যা নিজের নির্ভুলতা নিজেই যাচাই করে, আর ক্যালকুলেটর ঠিক সেটাই করে।

প্রধান অক্ষ হলো উপবৃত্তের কেন্দ্র দিয়ে যাওয়া সবচেয়ে দীর্ঘ সরলরেখা, যা সীমানার এক পাশ থেকে অন্য পাশ পর্যন্ত যায়। গৌণ অক্ষ হলো সবচেয়ে ছোট এমন রেখা, যা প্রধান অক্ষের লম্ব। অর্ধ-প্রধান অক্ষ a হলো প্রধান অক্ষের অর্ধেক: কেন্দ্র থেকে দীর্ঘ দিক বরাবর সীমানা পর্যন্ত দূরত্ব। অর্ধ-গৌণ অক্ষ b হলো গৌণ অক্ষের অর্ধেক: কেন্দ্র থেকে ছোট দিক বরাবর সীমানা পর্যন্ত দূরত্ব।

পূর্ণ অক্ষকে অর্ধ-অক্ষের সঙ্গে গুলিয়ে ফেলা সবচেয়ে সাধারণ ইনপুট ভুল। কোনো চিত্রে উপবৃত্তের পূর্ণ প্রস্থ 10 দেওয়া থাকলে অর্ধ-প্রধান অক্ষ a = 5, 10 নয়। a হিসেবে 10 লিখলে দ্বিগুণ বড় উপবৃত্ত বর্ণনা করা হবে, এবং ক্যালকুলেটরের দেওয়া প্রতিটি দৈর্ঘ্য দ্বিগুণ হয়ে যাবে। ক্যালকুলেটরে পূর্ণ-অক্ষ মোড ঠিক এই পরিস্থিতির জন্যই আছে: পূর্ণ দৈর্ঘ্যগুলো লিখুন, গণনার আগে ক্যালকুলেটর সেগুলোকে অর্ধেক করে নেবে।

দুটি অক্ষ আকৃতিও নিয়ন্ত্রণ করে। a ও b প্রায় সমান হলে উপবৃত্তটি প্রায় বৃত্তের মতো হয়। b, a-এর চেয়ে অনেক ছোট হলে উপবৃত্তটি লম্বা ও চ্যাপ্টা হয়, যেমন পাশ থেকে দেখা দৌড়ের ট্র্যাক। b/a অনুপাতকে কখনো কখনো আকৃতির অনুপাত বলা হয়; উৎকেন্দ্রতা e = √(1 − (b/a)²) একই ধারণা মাপে, বৃত্তের জন্য e = 0 এবং খুব চ্যাপ্টা উপবৃত্তের জন্য e 1-এর কাছাকাছি। a = 5 ও b = 3-এর জন্য e = √(1 − 9/25) = 0.8।

সম্পূর্ণ পরিধি হলো পুরো বদ্ধ বক্ররেখার দৈর্ঘ্য, আর আংশিক চাপের দৈর্ঘ্য হলো তার একটি অংশের দৈর্ঘ্য। পরিধি হলো চাপের সূত্রের বিশেষ ক্ষেত্র, যেখানে θ₁ = 0° ও θ₂ = 360°:

4 গুণকটি আসে, কারণ উপবৃত্তের চারটি চতুর্থাংশ পরস্পরের দর্পণ প্রতিবিম্ব। a = 5 ও b = 3-এর জন্য পরিধি P ≈ 25.5269988634 একক। নিচের সারণিতে সেই উপবৃত্তের প্রমিত অংশগুলো তুলনা করা হয়েছে।

চতুর্থাংশ উপবৃত্ত ঠিক পরিধির এক-চতুর্থাংশ, এবং অর্ধেক উপবৃত্ত ঠিক অর্ধেক, কারণ চতুর্থাংশগুলো দর্পণ প্রতিবিম্ব। কিন্তু এই প্রতিসাম্য কেবল তখনই খাটে, যখন চাপ অক্ষের ওপর শুরু হয়ে অক্ষের ওপর শেষ হয়। যেকোনো 90° বিস্তার পরিধির এক-চতুর্থাংশ নয়: 30° থেকে 120° পর্যন্ত চাপ একটি বড় উপবৃত্তে 14.4818404027 একক হয়, এবং এই গাইডের পরের কাজ করা উদাহরণে দেখানো হয়েছে যে 90° বিস্তার তার পরিধির 28.3657%। একটি 90° বিস্তার P/4-এর সমান বলে কখনো ধরে নেবেন না, যদি না তা এক অক্ষ থেকে পরের অক্ষ পর্যন্ত যায়।

ক্যালকুলেটর প্রতিটি গণনার জন্য দুটি সংখ্যাই জানায়: আপনি যে চাপের দৈর্ঘ্য চেয়েছেন তা, এবং সেটি যে সম্পূর্ণ পরিধির অংশ, তা, সঙ্গে পরিপূরক চাপ (উপবৃত্তের বাকি অংশ) ও আপনার চাপ পরিধির কত শতাংশ জুড়ে আছে।

উপবৃত্তের চাপের দৈর্ঘ্যের কোনো নির্ভুল সূত্র নেই, যা সাধারণ ফাংশন দিয়ে তৈরি। সমাকল ∫ √(a² sin²θ + b² cos²θ) dθ হলো দ্বিতীয় প্রকারের অসম্পূর্ণ উপবৃত্তীয় সমাকল, যা E(φ, k) লেখা হয়, যেখানে φ হলো কোণ এবং k = √(1 − (b/a)²) হলো উৎকেন্দ্রতা। θ₁ থেকে θ₂ পর্যন্ত চাপ হলো a × (E(θ₂, k) − E(θ₁, k))। a = 5 ও b = 3-এর জন্য k = 0.8, এবং চতুর্থাংশ উপবৃত্ত হলো 5 × E(π/2, 0.8) = 5 × 1.2763499432 = 6.3817497158।

উপবৃত্তীয় সমাকল ভালোভাবে বোঝা যায়, কিন্তু সেগুলো প্রাথমিক নয়: বহুপদ, মূল, সূচকীয় ও ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের কোনো সমন্বয় সেগুলোকে বদ্ধ আকারে মূল্যায়ন করতে পারে না। এই কারণেই প্রতিটি ব্যবহারিক উপবৃত্ত গণনায় সংখ্যাগত সমাকলন ব্যবহার করা হয়। অভিযোজিত সিম্পসনের নিয়ম, যা এই ক্যালকুলেটর ব্যবহার করে, একটি ভালো পছন্দ, কারণ এটি সেই ব্যবধানগুলোকে ভাগ করে, যেখানে সমাকলজ সবচেয়ে দ্রুত বদলায়, এবং ফলাফল তার সহনসীমার মধ্যে স্থিতিশীল হলে থামে।

শুধু সম্পূর্ণ পরিধির জন্য শ্রীনিবাস রামানুজনের একটি বিখ্যাত আসন্ন সূত্রও আছে:

a = 5 ও b = 3-এর জন্য h = 0.0625, এবং রামানুজনের সূত্রে P ≈ 25.5269988628 পাওয়া যায়, যা নির্ভুল সংখ্যাগত পরিধি 25.5269988634-এর সঙ্গে নয় দশমিক স্থান পর্যন্ত মেলে। যেসব উপবৃত্ত খুব বেশি চ্যাপ্টা নয়, সেগুলোর জন্য এটি অসাধারণভাবে নির্ভুল। কিন্তু এটি শুধু পুরো পরিধির জন্য একটি আসন্ন মান: এটিকে কেটে ছোট করে আংশিক চাপ পাওয়া যায় না, তাই চাপের সমাকলের বিকল্প হিসেবে এটি কখনো ব্যবহার করবেন না। ক্যালকুলেটর সংখ্যাগত ফলাফলের পাশে শিক্ষামূলক তুলনা হিসেবে ধাপগুলোতে রামানুজনের মান দেখায়।

উত্তর গুরুত্বপূর্ণ হলে সবসময় সংখ্যাগত সমাকলন ব্যবহার করুন, এবং সম্পূর্ণ পরিধির দ্রুত যাচাই হিসেবে কেবল রামানুজন ব্যবহার করুন। দুটি কয়েক দশমিক স্থানের বেশি না মিললে সংখ্যাগত সমাকলনকে বিশ্বাস করুন এবং ইনপুটগুলো যাচাই করুন।

বৃত্তের সূত্র L = rθ কাজ করে, কারণ বৃত্তের প্রতিটি বিন্দু কেন্দ্র থেকে একই দূরত্ব r-এ থাকে, তাই বক্ররেখা বরাবর গতি ধ্রুবক থাকে। উপবৃত্তে গতি বদলায়: a = 5 ও b = 3-এর জন্য এটি প্রধান অক্ষের প্রান্তে 3 থেকে গৌণ অক্ষের প্রান্তে 5 পর্যন্ত হয়। একটি মাত্র ব্যাসার্ধ সেই পরিবর্তন ধরতে পারে না, তাই বৃত্তের সূত্র যেকোনো উপবৃত্তের জন্য ভুল উত্তর দেয়, যদি না সেটি বৃত্ত হয়।

একই নামমাত্র আকারের তিনটি আকৃতিতে 90° চাপ তুলনা করুন:

বৃত্তের সূত্রে r = 5 ব্যবহার করলে b = 3 হলে উপবৃত্তের চতুর্থাংশ চাপ প্রায় 23% বেশি অনুমান করা হয়, এবং b = 4 হলে প্রায় 11% বেশি। উপবৃত্ত বৃত্তের যত কাছাকাছি আসে, ত্রুটি তত কমে, এবং যত চ্যাপ্টা হয়, ত্রুটি তত বাড়ে, যা ঠিক প্রত্যাশিত: বৃত্তের সূত্র হলো উপবৃত্তের সূত্রের সীমা, যখন b, a-এর দিকে যায়, এর সাধারণ বিকল্প নয়।

ক্যালকুলেটর উপবৃত্তের জন্য কখনো বৃত্তের সূত্র ব্যবহার করে না। এটি নির্ভুল উপবৃত্তীয় সমাকলজের সমাকলন করে, এবং কেবল a = b হলেই সেই সমাকলন L = rθ-এ পরিণত হয়, যা ক্যালকুলেটর অভ্যন্তরীণ সামঞ্জস্য পরীক্ষা হিসেবেও যাচাই করে।

উপবৃত্তের ওপরের দুটি বিন্দু বক্ররেখাটিকে দুটি চাপে ভাগ করে: একটি ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে যায়, অন্যটি ঘড়ির কাঁটার দিকে। সেগুলো দর্পণ প্রতিবিম্ব নয়, কারণ উপবৃত্ত বৃত্ত নয়, তাই দুটি চাপের দৈর্ঘ্য আলাদা হয়। ছোটটি হলো বিন্দু দুটির মধ্যে বক্ররেখা বরাবর ক্ষুদ্রতম পথ; বড়টি হলো উপবৃত্তের বাকি অংশ।

a = 5, b = 3 নিন, প্রান্তবিন্দু 0° ও 120°-এ:

দুটি দৈর্ঘ্য যোগ করলে সম্পূর্ণ পরিধি 25.5269988634 হয়, যেমনটা হতেই হবে, কারণ একসঙ্গে সেগুলো পুরো উপবৃত্ত জুড়ে থাকে। ক্ষুদ্রতম চাপ 8.9253958986 এবং দীর্ঘতম চাপ 16.6016029648। লক্ষ্য করুন, কৌণিক ভাগ 120° বনাম 240°, এক-দুই অনুপাত, অথচ দৈর্ঘ্যের ভাগ মোটামুটি 35% বনাম 65%: দৈর্ঘ্যগুলো কোণ অনুসরণ করে না, কারণ বক্ররেখাটি প্রধান অক্ষের কাছে ধীরে ও গৌণ অক্ষের কাছে দ্রুত চলে।

এই কারণেই ক্যালকুলেটর কোণ তুলনা না করে প্রকৃত সমাকলন দিয়ে উভয় পথ মাপে। কৌণিক পার্থক্য তুলনা করলে ভুল বিজয়ী পাওয়া যেত, যখনই উপবৃত্ত বৃত্ত থেকে অনেক দূরে থাকে। উপবৃত্তীয় কাঠামোর দুটি বিন্দুর মধ্যে সবচেয়ে ছোট কেবল পথের মতো ছোট পথ দরকার হলে Shortest physical arc বেছে নিন, আর বক্ররেখার বাকি অংশ দরকার হলে Longest physical arc বেছে নিন।

উপবৃত্তে প্যারামেট্রিক কোণ ঘুরে আসে: 360° ও 0° একই বিন্দু, এবং 370° ও 10° একই বিন্দু। ক্যালকুলেটর সেই আবর্তন আপনার জন্য সামলে নেয়, তবে এটি যে নিয়মগুলো অনুসরণ করে, সেগুলো জানা কাজে আসে।

ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে মানে কোণ θ₁ থেকে θ₂ পর্যন্ত বাড়ে, প্রয়োজনে 360° পেরিয়ে ঘুরে আসে। 350° থেকে 10° পর্যন্ত ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকের চাপ 0° দিয়ে 20° যায়, 340° পেছনে যায় না। a = 5 ও b = 3-এর জন্য সেই চাপের পরিমাপ 1.0565175692 একক, যা −10° থেকে 10° পর্যন্ত চাপের সমান।

ঘড়ির কাঁটার দিকে মানে কোণ θ₁ থেকে θ₂ পর্যন্ত কমে। 10° থেকে 350° পর্যন্ত ঘড়ির কাঁটার দিকের চাপ 0° দিয়ে যাওয়া একই 20° চাপ, অথচ একই জোড়া ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে গেলে 340° লম্বা পথে যেত।

সমান কোণ শূন্য দৈর্ঘ্যের চাপ দেয়। θ₁ ও θ₂ একই হলে শুরুর ও শেষ বিন্দু মিলে যায় এবং তাদের মধ্যে কোনো চাপ থাকে না। সম্পূর্ণ উপবৃত্তের জন্য এর বদলে 0° থেকে 360° লিখুন: সেটি এক পূর্ণ আবর্তন, এবং ক্যালকুলেটর পুরো পরিধি ফেরত দেয়।

ঋণাত্মক কোণ অনুমোদিত এবং তাদের ধনাত্মক সমতুল্যের মতো একই বিন্দু বোঝায়: −30° ও 330° একই বিন্দু। ক্যালকুলেটর সমাকলনের আগে প্রতিটি কোণকে 0° থেকে 360° পরিসরে স্বাভাবিক করে, তাই −30° থেকে 30° ও 330° থেকে 30° একই উত্তর দেয়।

রেডিয়ান 360°-এর জায়গায় 2π নিয়ে একই নিয়ম অনুসরণ করে। রেডিয়ান মান লেখার আগে DEG ও RAD টগলটি বদলে নিন, কারণ 1.57 রেডিয়ান ও 1.57 ডিগ্রি খুব আলাদা চাপ বোঝায়।

কয়েকটি কোণের ব্যবধান এত ঘন ঘন আসে যে সেগুলোর নিজস্ব নাম থাকা উচিত। নিচের সারণিতে a = 5, b = 3 উপবৃত্ত ও 5 ব্যাসার্ধের বৃত্তের জন্য সেগুলো তালিকাভুক্ত করা হয়েছে, সবই ক্যালকুলেটর দিয়ে যাচাই করা।

বৃত্ত (a = b)। উপবৃত্তটি বৃত্ত হয়ে যায়, সমাকলজটি ধ্রুবক ব্যাসার্ধ হয়ে যায়, এবং L = rθ হয়, যেখানে θ রেডিয়ানে। 5 ব্যাসার্ধের চতুর্থাংশ বৃত্ত হলো 5 × π/2 = 7.853981634, এবং সম্পূর্ণ পরিধি হলো 2πr = 31.4159265359।

খুব লম্বা উপবৃত্ত। b, a-এর চেয়ে অনেক ছোট হলে উপবৃত্তটি প্রায় একটি চ্যাপ্টা রেখাংশ, যা এগিয়ে ও ফিরে আঁকা হয়। পরিধি 4a-এর দিকে যায়, এবং চতুর্থাংশ চাপ a-এর দিকে যায়। a = 10 ও b = 1-এর জন্য চতুর্থাংশ চাপ 10.1599354503, যা a থেকে কেবল সামান্য বেশি।

খুব চ্যাপ্টা উপবৃত্ত। উল্টো দিকেও একই ধারণা খাটে: চাপটি প্রধান অক্ষের প্রান্তের কাছে জমা হয়, যেখানে বক্ররেখাটি তীব্রভাবে বাঁকে, এবং সংখ্যাগত সমাকলনকে সেখানে তার ব্যবধানগুলো ভাগ করতে হয়। অভিযোজিত সিম্পসনের নিয়ম সেটি স্বয়ংক্রিয়ভাবে সামলে নেয়।

a = 10, b = 6, θ₁ = 30° থেকে θ₂ = 120° পর্যন্ত একটি সম্পূর্ণ উদাহরণ ধাপে ধাপে করুন। এটি একটি 90° বিস্তার, যা অক্ষের ওপর শুরু হয় না, তাই এটি পদ্ধতির প্রতিটি অংশ পরীক্ষা করে।

1. কোণগুলো রূপান্তর করুন। 30° = π/6 ≈ 0.5235987756 রেডিয়ান। 120° = 2π/3 ≈ 2.0943951024 রেডিয়ান।
2. সমাকলটি লিখুন। L = ∫_0.5235987756^2.0943951024 √(100 sin²θ + 36 cos²θ) dθ।
3. সমাকলজের নমুনা নিন। 30°-এ এটি √(100 × 0.25 + 36 × 0.75) = √52 ≈ 7.2111025509। মধ্যবিন্দু 75°-এ এটি ≈ 9.7832925399। 120°-এ এটি √(100 × 0.75 + 36 × 0.25) = √84 ≈ 9.1651513899।
4. মোটামুটি অনুমান করুন। মধ্যবিন্দুর মান গুণ ব্যবধানের প্রস্থ, 9.7832925399 × 1.5707963268 ≈ 15.3675599856, একটি মোটামুটি অনুমান। এটি বেশি অনুমান করে, কারণ সমাকলজ ধ্রুবক নয়।
5. নির্ভুলভাবে সমাকলন করুন। অভিযোজিত সিম্পসনের নিয়ম ব্যবধানটি ভাগ করতে থাকে, যতক্ষণ না উত্তর স্থিতিশীল হয়, এবং L ≈ 14.4818404027 একক দেয়।
6. প্রান্তবিন্দুগুলো যাচাই করুন। শুরুর বিন্দু (10 cos 30°, 6 sin 30°) = (8.660254, 3)। শেষ বিন্দু (10 cos 120°, 6 sin 120°) = (−5, 5.196152)। ক্যালকুলেটর প্রতিটি ফলাফলের সঙ্গে উভয় বিন্দুই দেখায়।
7. পরিধির সঙ্গে তুলনা করুন। সম্পূর্ণ পরিধি P ≈ 51.0539977268, তাই এই চাপটি উপবৃত্তের 28.3657%, যদিও এটি 90° বিস্তার করে। রামানুজনের আসন্ন মানে 51.0539977256 পাওয়া যায়, যা নয় দশমিক স্থান পর্যন্ত মেলে।

মূল শিক্ষাটি ধাপ 7-এ আছে: একটি 90° বিস্তার পরিধির এক-চতুর্থাংশ নয়, যদি না তা এক অক্ষ থেকে পরের অক্ষ পর্যন্ত যায়। এখানে একই 90° কোণ বক্ররেখার মাত্র 28.3657% জুড়ে থাকে, কারণ বিস্তারটি গৌণ অক্ষ অতিক্রম করে, যেখানে বক্ররেখা সবচেয়ে দ্রুত চলে, এবং প্রধান অক্ষের কাছের ধীর অংশটি বাদ যায়।

উপবৃত্তের চাপের দৈর্ঘ্য শুধু শ্রেণিকক্ষের অনুশীলন নয়। যেখানেই উপবৃত্তীয় আকৃতি মাপতে, কাটতে বা তৈরি করতে হয়, সেখানেই এটি আসে।

যান্ত্রিক প্রকৌশল। উপবৃত্তীয় গিয়ার, ক্যাম ও লিংকেজ সবই উপবৃত্তীয় পথে চলে। দুটি ক্যাম কোণের মধ্যে চাপের দৈর্ঘ্য জানলে প্রকৌশলী জানতে পারেন ফলোয়ার কতদূর যায়, যা প্রক্রিয়াটির সময় নির্ধারণ করে।

স্থাপত্য। উপবৃত্তীয় খিলান, গম্বুজ ও প্রাঙ্গণের জন্য পাথর বা ইস্পাত অর্ডার করার আগে নির্ভুল পরিধি ও আংশিক চাপের পরিমাপ দরকার হয়। যে খিলান উপবৃত্তের শুধু একটি অংশ জুড়ে থাকে, তার জন্য সেই অংশের চাপের দৈর্ঘ্য দরকার, পুরো পরিধি নয়।

উৎপাদন ও CNC মেশিনিং। CNC মিল উপবৃত্তীয় পকেট বা উপবৃত্তীয় ফ্ল্যাঞ্জ কাটার সময় ছোট ছোট ধাপে বক্ররেখা অনুসরণ করে। মোট টুল পথের দৈর্ঘ্য চাপের সমাকল থেকে আসে, এবং এটি মেশিনিংয়ের সময় ও টুলের ক্ষয় নির্ধারণ করে।

উপবৃত্তীয় ট্র্যাক ও কাঠামো। দৌড়ের ট্র্যাক, ভেলোড্রোম ও উপবৃত্তীয় পাইপ চাপের দৈর্ঘ্যে মাপা হয়। উপবৃত্তের অংশ দিয়ে বাঁকা পাইপের বাঁকের জন্য উপাদান মাপমতো কাটতে বাঁকের চাপের দৈর্ঘ্য দরকার হয়।

CAD ও কারিগরি অঙ্কন। CAD সফটওয়্যারে উপবৃত্ত মৌলিক আকৃতি, এবং সেগুলোর চাপের দৈর্ঘ্য মাত্রা নির্ধারণ, ক্ষেত্রফল গণনা ও ট্রিম ও এজিংয়ের উপাদান তালিকার দৈর্ঘ্যে কাজে আসে।

পদার্থবিজ্ঞান ও জ্যামিতি শিক্ষা। গ্রহের কক্ষপথ উপবৃত্ত, এবং কোনো গ্রহ দুটি কোণের মধ্যে তার কক্ষপথ বরাবর যে দূরত্ব যায়, তা একটি উপবৃত্তের চাপের দৈর্ঘ্য। একই সমাকল আলোকবিজ্ঞানে আসে, যেখানে উপবৃত্তীয় আয়না আলোকে ফোকাস করে, এবং উপবৃত্তীয় সমাকল অধ্যয়নেও আসে।

উপবৃত্তের চাপের দৈর্ঘ্যের বেশিরভাগ ভুল আসে উপবৃত্তকে বৃত্তের মতো ধরা থেকে, অথবা ইনপুটগুলো গুলিয়ে ফেলা থেকে। এই সাতটির দিকে নজর রাখুন।

1. উপবৃত্তের জন্য বৃত্তের সূত্র ব্যবহার করা। L = rθ কেবল a = b হলে কাজ করে। a = 5 ও b = 3-এর জন্য এটি চতুর্থাংশ চাপ প্রায় 23% বেশি অনুমান করে।
2. পূর্ণ অক্ষকে অর্ধ-অক্ষের সঙ্গে গুলিয়ে ফেলা। পূর্ণ প্রস্থ 10 হলে a = 5। a হিসেবে 10 লিখলে ক্যালকুলেটরের দেওয়া প্রতিটি দৈর্ঘ্য দ্বিগুণ হয়ে যায়। পূর্ণ দৈর্ঘ্য মেপে থাকলে পূর্ণ-অক্ষ মোড ব্যবহার করুন।
3. ডিগ্রিকে রেডিয়ানে রূপান্তর করতে ভুলে যাওয়া। সূত্রগুলো রেডিয়ান ব্যবহার করে। রেডিয়ান হিসেবে লেখা 90 কোণ চতুর্থাংশ ঘূর্ণন নয়, চৌদ্দটিরও বেশি পূর্ণ আবর্তন। লেখার আগে DEG ও RAD টগল যাচাই করুন।
4. ভুল কোণ প্রথা ব্যবহার করা। এখানকার কোণগুলো কেন্দ্র থেকে মাপা প্যারামেট্রিক কোণ, x = a cos θ, y = b sin θ। বিন্দুটির মেরু কোণ সেগুলো নয়, যা অক্ষ ছাড়া অন্যত্র আলাদা হয়।
5. ঘড়ির কাঁটার দিকে বনাম বিপরীত দিকের পথ উপেক্ষা করা। দুটি বিন্দু দুটি চাপ নির্ধারণ করে, এবং উপবৃত্তে সেগুলো সমান নয়। আপনি আসলে যে দিক বোঝাচ্ছেন, সেটি বেছে নিন, অথবা উভয়টি দেখতে shortest ও longest বিকল্প ব্যবহার করুন।
6. চতুর্থাংশ উপবৃত্ত সবসময় পরিধির এক-চতুর্থাংশ বলে ধরে নেওয়া। এটি কেবল তখনই খাটে, যখন চাপ এক অক্ষ থেকে পরের অক্ষ পর্যন্ত যায়। 30° থেকে 120° পর্যন্ত 90° বিস্তার তার পরিধির 25% নয়, 28.3657%।
7. রামানুজনের আসন্ন মানকে নির্ভুল আংশিক চাপের সূত্র মনে করা। রামানুজনের সূত্র পুরো পরিধির আসন্ন মান দেয়। এটি আংশিক চাপ সম্পর্কে কিছু বলে না, এবং কোণের ভগ্নাংশ দিয়ে ছোট করে আংশিক চাপ অনুমান করতে এটি কখনো ব্যবহার করা চলবে না।

নিজের গণনা দ্রুত যাচাই করতে এই সারণিটি ব্যবহার করুন। সব মান এই পৃষ্ঠার ক্যালকুলেটর দিয়ে তৈরি করা হয়েছে।

শেষ সারিটি দেখায় খুব চ্যাপ্টা উপবৃত্ত কেমন আচরণ করে: a = 10 ও b = 1 হলে চতুর্থাংশ চাপ a থেকে কেবল সামান্য বেশি হয়, এবং পরিধি 4a = 40 থেকে কেবল সামান্য বেশি হয়। b শূন্যের দিকে ছোট হলে উপবৃত্তটি এগিয়ে ও ফিরে আঁকা রেখাংশের দিকে যায়, এবং তার পরিধি 4a-এর দিকে যায়।

দ্রুত নির্দেশিকার জন্য এই সূত্রগুলো একসঙ্গে রাখুন। এগুলো এই পৃষ্ঠার প্রতিটি গণনা জুড়ে দেয়।

এই সূত্রগুলোর কোণ রেডিয়ানে। রূপান্তর করতে ডিগ্রিকে π/180 দিয়ে গুণ করুন। রামানুজনের লাইনটি শুধু পুরো পরিধির জন্য একটি আসন্ন মান, আর সমাকলের লাইনগুলো নির্ভুল এবং ক্যালকুলেটর সেগুলোকে সংখ্যাগতভাবে মূল্যায়ন করে।