Máy tính độ dài cung theo quy tắc điểm giữa

Máy tính độ dài cung theo quy tắc điểm giữa xấp xỉ độ dài của một đường cong bằng cách chia tích phân độ dài cung thành các hình chữ nhật và lấy mẫu mỗi hình tại tâm của nó. Nhập một hàm số, chọn một khoảng, chọn số khoảng con cần dùng, và máy tính sẽ hiển thị giá trị xấp xỉ, bảng điểm giữa đầy đủ, ước tính sai số và sơ đồ trực tiếp của các hình chữ nhật. Hãy làm theo các bước sau để có đáp án đúng.

1. Chọn chế độ tính toán. Dùng Hàm số tường minh cho đường cong viết dưới dạng y = f(x), chẳng hạn y = x² hoặc y = sin(x). Dùng Đường cong tham số cho đường cong viết dưới dạng x = x(t) và y = y(t), chẳng hạn đường tròn hoặc elip được vẽ theo một tham số.
2. Nhập hàm số. Gõ hàm số vào ô nhập liệu, dùng ^ cho lũy thừa, hàm căn bậc hai cho căn bậc hai, và sin(), cos(), exp() và ln() cho các hàm chuẩn. Máy tính tự tìm đạo hàm, hoặc bạn có thể tự gõ đạo hàm nếu đã biết.
3. Đặt khoảng. Nhập cận dưới a và cận trên b. Khoảng [a, b] là đoạn đường cong mà bạn muốn tính độ dài. Nếu bạn nhập b nhỏ hơn a, máy tính vẫn trả về độ dài dương, vì độ dài cung không bao giờ âm.
4. Chọn số khoảng con n. Dùng thanh trượt hoặc gõ một giá trị. Các giá trị sẵn có gồm 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 50, 100, 500, 1,000 và 5,000. Giá trị n càng lớn thì các hình chữ nhật càng hẹp và thường cho giá trị xấp xỉ càng gần. Hãy bắt đầu với n = 4 để thấy rõ cách tính, rồi tăng n để xem đáp án ổn định dần.
5. Chọn độ chính xác hiển thị. Chọn 2, 4, 6, 8 hoặc 10 chữ số thập phân. Máy tính giữ độ chính xác đầy đủ ở bên trong và chỉ làm tròn kết quả hiển thị, vì vậy thay đổi độ chính xác không bao giờ làm thay đổi phép tính bên dưới.
6. Nhấn Tính độ dài cung. Kết quả chính là giá trị xấp xỉ điểm giữa L_n, được ghi rõ là giá trị xấp xỉ. Bên dưới là độ rộng khoảng con, điểm giữa đầu tiên và cuối cùng, giá trị hàm dưới dấu tích phân đầu tiên và cuối cùng, tổng các giá trị hàm dưới dấu tích phân, độ dài dây cung giữa hai đầu mút, độ dài tham chiếu có độ chính xác cao, cùng sai số tuyệt đối và sai số tương đối ước tính.
7. Xem các sơ đồ. Sơ đồ đầu tiên cho thấy đường cong gốc với cung đã chọn được tô sáng và các điểm mẫu tại điểm giữa được đánh dấu. Sơ đồ thứ hai cho thấy hàm dưới dấu tích phân của độ dài cung với các hình chữ nhật điểm giữa được vẽ bên dưới nó. Tổng diện tích của các hình chữ nhật đó chính là giá trị xấp xỉ, vì vậy đừng nhầm lẫn hai sơ đồ: các hình chữ nhật thuộc về phần dưới của hàm dưới dấu tích phân, không bao giờ nằm dưới đường cong gốc.
8. Đọc bảng tính toán. Mỗi khoảng con có một hàng với các biên của nó, điểm giữa, đạo hàm tại điểm giữa, giá trị hàm dưới dấu tích phân và phần đóng góp của hình chữ nhật. Hàng cuối cùng cho thấy tổng số, bằng với kết quả chính.
9. So sánh sự hội tụ và thử ngoại suy Richardson. Bảng hội tụ hiển thị các giá trị xấp xỉ cho n, 2n và 4n cạnh nhau, cùng với hiệu số giữa chúng. Tùy chọn Richardson kết hợp hai giá trị xấp xỉ thành một ước tính tinh chỉnh. Cả hai đều được giải thích trong các phần hướng dẫn bên dưới.
10. Sao chép, xuất hoặc cài lại. Dùng Sao chép kết quả để lấy đáp án, xuất bảng dưới dạng CSV cho bài làm của bạn, hoặc Cài lại để xóa bảng tính. Các nút ví dụ sẵn tải ngay các ví dụ đã kiểm chứng: parabol, đường thẳng, đường ngang, cung tròn một phần tư, đường cong bậc ba và đường cong sin.

Thử một ví dụ. y = x² trên [0, 2] với n = 4 cho L₄ = 4.6267234873 đơn vị, so với giá trị tham chiếu là 4.6467837624 đơn vị. y = 3x + 1 trên [0, 4] với n = 4 cho đúng 12.6491106407 đơn vị. y = 2 trên [1, 5] với n = 4 cho đúng 4.0000000000 đơn vị. Cung tròn một phần tư tham số có bán kính 5 cho 7.8539816340 đơn vị. y = x³ trên [0, 1] với n = 4 cho 1.5330289642 đơn vị, và y = sin(x) trên [0, π] với n = 8 cho 3.8201978627 đơn vị.

Mẹo quan trọng. Luôn lấy đạo hàm của hàm số trước: hàm dưới dấu tích phân dùng f'(x), không phải f(x). Lấy mẫu tại các điểm giữa, không phải tại các đầu mút, nếu không bạn đang tính một quy tắc khác. Giữ đơn vị góc là radian cho các hàm lượng giác. Đừng làm tròn các điểm giữa hay các giá trị hàm dưới dấu tích phân giữa chừng, vì những lần làm tròn nhỏ đó cộng dồn qua nhiều hình chữ nhật. Nếu hàm số không xác định tại một điểm giữa, máy tính sẽ báo lỗi thay vì lặng lẽ bỏ qua mẫu đó.

Tích phân số là nghệ thuật ước tính một tích phân xác định khi khó tìm nguyên hàm chính xác, hoặc khi chỉ có các giá trị mẫu. Quy tắc điểm giữa là một trong những phương pháp tích phân số đơn giản và đáng tin cậy nhất. Nó ước tính diện tích dưới một đường cong bằng cách phủ lên nó các hình chữ nhật và cộng diện tích của chúng.

Một tổng Riemann chia khoảng [a, b] thành n khoảng con bằng nhau, mỗi khoảng có độ rộng Δx = (b - a) / n, và dựng một hình chữ nhật trên mỗi khoảng con. Chiều cao của mỗi hình chữ nhật là giá trị của hàm số tại một điểm mẫu duy nhất bên trong khoảng con đó. Tổng đầu mút trái lấy mẫu tại biên trái, tổng đầu mút phải lấy mẫu tại biên phải, còn quy tắc điểm giữa lấy mẫu tại tâm của mỗi khoảng con.

Lấy mẫu tại tâm là ý tưởng then chốt. Trên một khoảng con ngắn, đường cong tăng ở một phía của điểm giữa thì giảm ở phía còn lại với lượng tương tự, vì vậy phần ước tính thừa ở một nửa gần như triệt tiêu phần ước tính thiếu ở nửa còn lại. Sự triệt tiêu đó là lý do quy tắc điểm giữa chính xác hơn quy tắc đầu mút trái hay phải với cùng số hình chữ nhật, và là lý do sai số của nó giảm theo bình phương độ rộng khoảng con.

Với hàm số g(x) trên [a, b], quy tắc điểm giữa tổng hợp là:

Ở đây x_i* là điểm giữa của khoảng con thứ i, và tổng chạy qua tất cả n khoảng con. Mỗi số hạng Δx × g(x_i*) là diện tích của một hình chữ nhật, và tổng diện tích của mọi hình chữ nhật là giá trị xấp xỉ của tích phân.

Quy tắc điểm giữa được dùng vượt xa bài tập về nhà trong giải tích. Kỹ sư dùng nó để ước tính tích phân trong phân tích ứng suất và xử lý tín hiệu, nhà vật lý dùng nó trong mô phỏng số, và đồ họa máy tính dùng nó để đo độ dài đường cong và diện tích bề mặt. Sự kết hợp giữa tính đơn giản và độ chính xác bậc hai khiến nó trở thành lựa chọn đầu tiên quen thuộc mỗi khi một tích phân không có dạng đóng gọn gàng.

Vì sao điểm giữa tốt hơn đầu mút. Lấy g(x) = x trên [0, 1] với n = 1. Tổng trái cho 0, tổng phải cho 1, còn tổng điểm giữa cho 0.5, chính là đáp án đúng. Điểm giữa nắm được hành vi trung bình của hàm số trên khắp khoảng con, trong khi đầu mút chỉ thấy một phía của nó. Lợi thế đó đúng với mọi hàm trơn, và đó là lý do quy tắc điểm giữa là tổng Riemann mặc định trong hầu hết công việc tính số.

Độ dài cung là khoảng cách đo dọc theo một đường cong, chứ không phải khoảng cách đường thẳng giữa hai đầu mút của nó. Một con đường uốn lượn qua đồi dài hơn đường thẳng nối hai đầu của nó trên bản đồ. Một sợi dây cong dài hơn khoảng trống mà nó bắc qua. Độ dài cung đo chính đường đi quanh co đó.

Để tìm độ dài đó, hãy tưởng tượng cắt đường cong thành nhiều mảnh nhỏ. Mỗi mảnh nhỏ ngắn đến mức gần như thẳng, vì vậy độ dài của nó gần bằng đường thẳng nối hai đầu của nó. Theo định lý Pythagoras, một mảnh nhỏ di chuyển Δx theo chiều ngang và Δy theo chiều dọc có độ dài gần bằng √(Δx² + Δy²). Cộng tất cả các mảnh nhỏ lại cho tổng độ dài, và khi các mảnh thu nhỏ về không, tổng đó trở thành một tích phân.

Với đường cong y = f(x), một bước ngang nhỏ dx tạo ra thay đổi dọc dy = f'(x) dx, vì vậy phần tử độ dài nhỏ là:

Cộng tất cả các phần tử độ dài từ a đến b cho tích phân độ dài cung:

Công thức đó giải thích vì sao đạo hàm có mặt trong đó. Một đường cong dốc thay đổi chiều cao nhanh, vì vậy f'(x) lớn, hàm dưới dấu tích phân √(1 + [f'(x)]²) lớn, và mỗi đơn vị khoảng cách ngang đóng góp hơn một đơn vị độ dài đường cong. Một đường cong phẳng có f'(x) gần bằng không, hàm dưới dấu tích phân gần bằng 1, và độ dài cung gần bằng khoảng cách ngang b - a.

Độ dài cung luôn ít nhất bằng dây cung. Đường thẳng giữa hai đầu mút là đường ngắn nhất giữa chúng, vì vậy đường cong không bao giờ ngắn hơn nó. Với parabol y = x² trên [0, 2], dây cung từ (0, 0) đến (2, 4) là √(20) = 4.4721359550 đơn vị, trong khi độ dài cung thực là 4.6467837624 đơn vị, dài hơn 0.1746478074 đơn vị. Với đường cong sin y = sin(x) trên [0, π], dây cung là π = 3.1415926536 đơn vị và cung là 3.8201977890 đơn vị, dài hơn 0.6786051354 đơn vị. Kiểm tra cung dài hơn dây cung là một cách kiểm tra nhanh cho bất kỳ đáp án độ dài cung nào.

Hầu hết tích phân độ dài cung không có nguyên hàm sơ cấp. Tích phân parabol ∫ √(1 + 4x²) dx có thể tính bằng phép thế, nhưng tích phân sin ∫ √(1 + cos²x) dx hoàn toàn không thể biểu diễn bằng hàm sơ cấp. Đó chính là lúc quy tắc điểm giữa phát huy tác dụng: nó ước tính tích phân bằng số mà không cần nguyên hàm.

Phép tính độ dài cung theo quy tắc điểm giữa bắt đầu từ tích phân độ dài cung chính xác và thay tích phân bằng tổng diện tích các hình chữ nhật. Định nghĩa hàm dưới dấu tích phân của độ dài cung:

Khi đó độ dài cung chính xác là L = ∫_a^b g(x) dx, và quy tắc điểm giữa xấp xỉ tích phân đó. Chia [a, b] thành n khoảng con bằng nhau. Độ rộng khoảng con là:

Điểm giữa của khoảng con thứ i, đếm i từ 0, là:

Tính hàm dưới dấu tích phân tại mỗi điểm giữa, nhân mỗi giá trị với Δx, rồi cộng các kết quả lại:

Mỗi ký hiệu có một ý nghĩa chính xác:

Một kiểm chứng cụ thể. Với y = x² trên [0, 2] và n = 4, độ rộng là Δx = (2 - 0) / 4 = 0.5, các điểm giữa là 0.25, 0.75, 1.25 và 1.75, và các giá trị hàm dưới dấu tích phân là 1.1180339887, 1.8027756377, 2.6925824036 và 3.6400549446. Tổng của chúng là 9.2534469747, và nhân với 0.5 cho L₄ = 4.6267234873 đơn vị. Mọi con số trong chuỗi đó đều hiển thị trong bảng giải từng bước của máy tính và trong bảng tính toán của nó.

Với đường cong tham số x = x(t), y = y(t), ý tưởng tương tự áp dụng cho khoảng tham số [t₁, t₂], với vận tốc v(t) = √([x'(t)]² + [y'(t)]²) đóng vai trò hàm dưới dấu tích phân. Công thức tham số được trình bày trong phần riêng bên dưới.

Phép tính theo quy tắc điểm giữa gồm mười bước, và máy tính thực hiện tất cả tự động. Tự làm qua các bước một lần sẽ giúp bạn tin tưởng và sử dụng công cụ dễ dàng hơn nhiều. Ví dụ minh họa bên dưới dùng y = x² trên [0, 2] với n = 4, cùng ví dụ mà máy tính tải làm ví dụ sẵn đầu tiên.

1. Xác định hàm số. f(x) = x².
2. Tìm đạo hàm cấp một. f'(x) = 2x.
3. Xác định khoảng tích phân. a = 0, b = 2.
4. Chọn số khoảng con. n = 4.
5. Tính độ rộng khoảng con. Δx = (2 - 0) / 4 = 0.5.
6. Xác định điểm giữa của mỗi khoảng con. x₀* = 0.25, x₁* = 0.75, x₂* = 1.25, x₃* = 1.75. Mỗi điểm giữa nằm đúng chính giữa hai biên của khoảng con: 0.25 nằm giữa 0 và 0.5, 0.75 nằm giữa 0.5 và 1, và cứ thế.
7. Tính hàm dưới dấu tích phân của độ dài cung tại mỗi điểm giữa. g(x) = √(1 + 4x²), vì vậy g(0.25) = 1.1180339887, g(0.75) = 1.8027756377, g(1.25) = 2.6925824036 và g(1.75) = 3.6400549446.
8. Nhân mỗi giá trị với độ rộng khoảng con. Bốn phần đóng góp của hình chữ nhật là 0.5 × 1.1180339887 = 0.5590169944, 0.5 × 1.8027756377 = 0.9013878189, 0.5 × 2.6925824036 = 1.3462912018 và 0.5 × 3.6400549446 = 1.8200274723.
9. Cộng tất cả các phần đóng góp. 0.5590169944 + 0.9013878189 + 1.3462912018 + 1.8200274723 = 4.6267234873.
10. Diễn giải độ dài cung xấp xỉ. L₄ = 4.6267234873 đơn vị. Giá trị tham chiếu có độ chính xác cao là 4.6467837624 đơn vị, vì vậy giá trị xấp xỉ này thiếu 0.0200602751 đơn vị, sai số tương đối 0.4317%.

Mười bước tương tự áp dụng cho mọi hàm số. Với y = x³ trên [0, 1] và n = 4, đạo hàm là f'(x) = 3x², độ rộng là Δx = 0.25, các điểm giữa là 0.125, 0.375, 0.625 và 0.875, các giá trị hàm dưới dấu tích phân là 1.0010980300, 1.0853471867, 1.5405489332 và 2.5051217067, tổng của chúng là 6.1321158566, và nhân với 0.25 cho L₄ = 1.5330289642 đơn vị, so với giá trị tham chiếu 1.5478656547 đơn vị.

Ví dụ minh họa thứ hai với hàm lượng giác. Với y = sin(x) trên [0, π] và n = 8, đạo hàm là f'(x) = cos(x), độ rộng là Δx = π / 8 = 0.3926990817, và tám điểm giữa là π/16, 3π/16, 5π/16, 7π/16, 9π/16, 11π/16, 13π/16 và 15π/16. Các giá trị hàm dưới dấu tích phân, theo thứ tự, là 1.4006926023, 1.3005159423, 1.1439660326, 1.0188524102, 1.0188524102, 1.1439660326, 1.3005159423 và 1.4006926023. Tổng của chúng là 9.7280539749, và nhân với 0.3926990817 cho L₈ = 3.8201978627 đơn vị, so với giá trị tham chiếu 3.8201977890 đơn vị, sai số tuyệt đối chỉ 0.0000000736 đơn vị.

Mỗi hình chữ nhật điểm giữa là một bức tranh nhỏ, trung thực về một phần của tích phân. Nó có ba thành phần, và mỗi thành phần có một ý nghĩa rõ ràng.

Với parabol y = x² trên [0, 2] và n = 4, bốn hình chữ nhật đều có độ rộng 0.5. Chiều cao của chúng là 1.1180339887, 1.8027756377, 2.6925824036 và 3.6400549446, và diện tích của chúng là 0.5590169944, 0.9013878189, 1.3462912018 và 1.8200274723. Tổng diện tích là 4.6267234873 đơn vị, chính là giá trị xấp xỉ điểm giữa L₄.

Vì sao tổng diện tích xấp xỉ tích phân. Tích phân ∫_a^b g(x) dx là diện tích chính xác dưới đường cong hàm dưới dấu tích phân. Mỗi hình chữ nhật thay dải cong phía trên một khoảng con bằng một dải phẳng có cùng độ rộng, dùng chiều cao tại điểm giữa làm chiều cao đại diện. Ở nơi hàm dưới dấu tích phân cong lên, đỉnh phẳng cắt bớt một ít diện tích ở một phía và thêm một ít ở phía còn lại. Vì mẫu được lấy tại tâm, hai sai số đó gần như triệt tiêu nhau, và diện tích hình chữ nhật gần bằng diện tích dải thực. Cộng các hình chữ nhật lại cho ước tính của toàn bộ diện tích, và do đó của độ dài cung.

Lỗi sơ đồ thường gặp nhất. Các hình chữ nhật phải được vẽ dưới đường cong hàm dưới dấu tích phân g(x) = √(1 + [f'(x)]²), không phải dưới đường cong gốc f(x). Đường cong gốc và hàm dưới dấu tích phân là hai đồ thị khác nhau với chiều cao khác nhau: với y = x² trên [0, 2], đường cong gốc chạy từ 0 đến 4, trong khi hàm dưới dấu tích phân chạy từ 1 đến √(17) = 4.1231056256. Các hình chữ nhật vẽ dưới đường cong gốc sẽ cộng thành diện tích dưới f(x), điều đó không liên quan gì đến độ dài cung. Máy tính giữ hai đồ thị riêng biệt, và sơ đồ hướng dẫn ở trên chỉ cho thấy các hình chữ nhật dưới hàm dưới dấu tích phân.

Đọc một hình chữ nhật. Di chuột lên hoặc chọn một hình chữ nhật trong máy tính sẽ hiển thị số thứ tự khoảng con, biên trái và biên phải, điểm giữa, đạo hàm tại điểm giữa, giá trị hàm dưới dấu tích phân và phần đóng góp của hình chữ nhật. Chi tiết đó là điều khiến bảng hữu ích cho bài tập về nhà: mọi con số trong đáp án cuối cùng đều có thể truy ngược về một hình chữ nhật.

Số khoảng con n là điều khiển quan trọng nhất trên máy tính, vì nó quyết định các hình chữ nhật mịn đến mức nào. Giá trị n nhỏ nghĩa là ít hình chữ nhật rộng. Giá trị n lớn nghĩa là nhiều hình chữ nhật hẹp bám sát đường cong hàm dưới dấu tích phân.

Điều gì xảy ra khi n nhỏ. Với n = 1, toàn bộ khoảng là một hình chữ nhật, và đáp án là Δx × g(điểm giữa). Với parabol y = x² trên [0, 2], n = 1 cho 2 × √(5) = 4.4721359550 đơn vị, thiếu so với giá trị thực 4.6467837624 đơn vị là 0.1746478074 đơn vị. Hình chữ nhật duy nhất không thể bám theo hàm dưới dấu tích phân khi nó tăng từ 1 lên 4.1231056256, vì vậy sai số lớn. Với n = 2, đáp án cải thiện thành 4.5764912225 đơn vị. Với n = 4, nó là 4.6267234873 đơn vị. Với n = 8, nó là 4.6417306581 đơn vị. Với n = 16, nó là 4.6455205322 đơn vị, và với n = 32, nó là 4.6464679593 đơn vị.

Sai số thu hẹp như thế nào. Với hàm dưới dấu tích phân trơn, sai số của quy tắc điểm giữa tỉ lệ với 1 / n². Tăng gấp đôi n sẽ cắt sai số xuống còn khoảng một phần tư. Các con số của parabol cho thấy rõ điều này: sai số giảm từ 0.0200602751 đơn vị ở n = 4 xuống 0.0050531044 đơn vị ở n = 8, rồi xuống 0.0012632302 đơn vị ở n = 16, rồi xuống 0.0003158031 đơn vị ở n = 32. Mỗi lần tăng gấp đôi chia sai số cho khoảng bốn. Hành vi 1 / n² này được gọi là hội tụ bậc hai, và đó là lý do quy tắc điểm giữa hiệu quả đến vậy: tăng n vừa phải đã mua được độ chính xác cải thiện lớn.

Vì sao sự cải thiện không phải lúc nào cũng đơn điệu. Sai số thường thu hẹp khi n tăng, nhưng không nhất thiết phải thu hẹp ở mọi bước với mọi hàm số. Đường cong sin cho thấy một phiên bản nhẹ của điều này: n = 2 cho 3.8476494905 đơn vị, vượt quá giá trị tham chiếu 3.8201977890 đơn vị, trong khi n = 4 cho 3.8204517876 đơn vị, gần hơn nhiều. Giá trị xấp xỉ đã vượt từ phía trên giá trị thực xuống một giá trị chỉ hơi cao hơn, và sai số vẫn thu hẹp về tổng thể. Với hàm số có chỗ gấp khúc, dao động hoặc gần kỳ dị, sai số có thể dao động khi n thay đổi, dù xu hướng dài hạn vẫn đi xuống. Đừng bao giờ cho rằng n lớn hơn luôn cho đáp án tốt hơn trong một bước duy nhất; hãy kiểm tra bảng hội tụ thay vì thế.

Chi phí của n lớn hơn. Nhiều khoảng con hơn nghĩa là nhiều phép tính hơn: nhiều lần tính đạo hàm hơn, nhiều giá trị hàm dưới dấu tích phân hơn và nhiều hàng trong bảng hơn. Với n = 5,000, máy tính thực hiện 5,000 lần tính, nhanh đối với máy tính nhưng tạo ra bảng quá dài để đọc từng hàng, vì vậy máy tính phân trang nó. Quy tắc thực tế là tăng n cho đến khi đáp án ngừng thay đổi ở độ chính xác bạn cần. Nếu n = 100 và n = 200 trùng nhau đến sáu chữ số thập phân, n = 100 là đủ, và n = 5,000 chỉ thêm việc chứ không thêm gì.

Chọn n trong thực tế. Dùng n = 4 hoặc n = 8 khi học, vì bảng vẫn đủ ngắn để kiểm tra bằng tay. Dùng n = 50 hoặc n = 100 cho đáp án bài tập cần bốn hoặc năm chữ số thập phân đúng. Chỉ dùng n = 1,000 trở lên khi bạn cần độ chính xác rất cao, hoặc khi hàm dưới dấu tích phân thay đổi nhanh trên khoảng. Bảng hội tụ hiển thị n, 2n và 4n cùng nhau, vì vậy bạn có thể thấy đáp án ổn định mà không cần đoán.

Quy tắc điểm giữa là một trong ba phương pháp tích phân số cổ điển, và mỗi phương pháp lấy mẫu hàm dưới dấu tích phân theo cách khác nhau. Biết chúng khác nhau thế nào giúp bạn chọn đúng công cụ và hiểu vì sao đáp án của chúng không trùng nhau.

Quy tắc điểm giữa. Lấy mẫu tại tâm của mỗi khoảng con và dựng hình chữ nhật. Sai số của nó là O(1 / n²), cùng bậc với quy tắc hình thang, nhưng quy tắc điểm giữa thường chính xác gấp khoảng hai lần quy tắc hình thang với cùng n, vì mẫu tại tâm triệt tiêu sai số dẫn đầu. Nó chỉ cần n lần tính, một lần cho mỗi khoảng con, và dùng được với mọi n dương.

Quy tắc hình thang. Lấy mẫu tại các đầu mút và nối chúng bằng đường thẳng, tạo thành hình thang. Nó có cùng bậc sai số O(1 / n²) với quy tắc điểm giữa, nhưng sai số của nó thường có dấu ngược lại: với hàm dưới dấu tích phân lồi, quy tắc hình thang ước tính thừa trong khi quy tắc điểm giữa ước tính thiếu, hoặc ngược lại. Lấy trung bình hai quy tắc cho tổ hợp hình thang, điểm giữa, vốn là nền tảng của quy tắc Simpson. Hãy thử máy tính quy tắc hình thang để so sánh hai phương pháp trên cùng một hàm số.

Quy tắc Simpson. Khớp một parabol qua hai đầu mút và điểm giữa của mỗi cặp khoảng con, điều này cần số khoảng con chẵn. Sai số của nó là O(1 / n⁴), vì vậy nó hội tụ nhanh hơn nhiều so với hai quy tắc còn lại đối với hàm trơn. Cái giá phải trả là hạn chế n chẵn và nhiều lần tính hơn cho mỗi khoảng con. Hãy thử máy tính quy tắc Simpson khi bạn cần độ chính xác cao với ít khoảng con.

So sánh bằng số. Với parabol y = x² trên [0, 2] và n = 4, quy tắc điểm giữa cho 4.6267234873 đơn vị, quy tắc hình thang cho 4.6870560064 đơn vị, và quy tắc Simpson cho 4.6502010785 đơn vị, so với giá trị tham chiếu 4.6467837624 đơn vị. Sai số điểm giữa là 0.0200602751 đơn vị, sai số hình thang là 0.0402722440 đơn vị, và sai số Simpson là 0.0034173160 đơn vị. Simpson thắng ở đây, như thường lệ với hàm trơn, nhưng quy tắc điểm giữa đơn giản hơn, không cần hạn chế n chẵn, và là lựa chọn tự nhiên khi chỉ có mẫu tại điểm giữa.

Nên dùng quy tắc nào? Dùng quy tắc điểm giữa khi bạn muốn một ước tính đơn giản, đáng tin cậy, khi bạn lấy mẫu hàm số tại các điểm trong cách đều nhau, hoặc khi bạn dạy tổng Riemann. Dùng quy tắc hình thang khi các giá trị tại đầu mút là dữ liệu tự nhiên, chẳng hạn các phép đo tại hai đầu của mỗi khoảng. Dùng quy tắc Simpson khi hàm số trơn và bạn cần độ chính xác cao với n nhỏ. Riêng với độ dài cung, quy tắc điểm giữa có một lợi thế thực tế: nó không bao giờ tính hàm dưới dấu tích phân tại các đầu mút, nơi hàm số có thể không xác định hoặc kỳ dị, vì vậy nó xử lý được những đường cong mà hai quy tắc còn lại không thể bắt đầu.

Mọi giá trị xấp xỉ điểm giữa đều khác độ dài cung thực một lượng nào đó, và hiểu sai số đó là điều biến một con số thành đáp án đáng tin. Có ba cách khác nhau để nói về sai số, và đừng nhầm lẫn chúng.

Sai số tuyệt đối. Sai số tuyệt đối là độ lớn khoảng cách giữa giá trị xấp xỉ và giá trị thực: |L - L_n|. Với parabol và n = 4, sai số tuyệt đối là |4.6467837624 - 4.6267234873| = 0.0200602751 đơn vị. Với đường cong sin và n = 8, nó là |3.8201977890 - 3.8201978627| = 0.0000000736 đơn vị. Sai số tuyệt đối được đo bằng cùng đơn vị với chính độ dài.

Sai số tương đối. Sai số tương đối chia sai số tuyệt đối cho độ lớn của giá trị thực, và thường được cho dưới dạng phần trăm: |L - L_n| / |L| × 100. Với parabol và n = 4, sai số tương đối là 0.4317%. Với đường cong bậc ba và n = 4, nó là 0.9585%. Với đường cong sin và n = 8, nó là 0.00000193%. Sai số tương đối là cách công bằng để so sánh độ chính xác giữa các bài toán có kích thước khác nhau: sai số 0.02 đơn vị chẳng đáng kể trên độ dài 100 đơn vị nhưng rất quan trọng trên độ dài 0.1 đơn vị.

Chỉ báo sai số dựa trên tinh chỉnh. Trong công việc thực, giá trị thực chưa biết, vì vậy không thể tính trực tiếp sai số tuyệt đối. Thay vào đó, hãy so sánh hai giá trị xấp xỉ: hiệu số |M_2n - M_n| cho thấy đáp án đã dịch chuyển bao nhiêu khi phân hoạch được tinh chỉnh. Với parabol, |M₈ - M₄| = |4.6417306581 - 4.6267234873| = 0.0150071707 đơn vị. Hiệu số đó là một tín hiệu cảnh báo thực tế: nếu nó lớn, đáp án vẫn đang dịch chuyển và nên tăng n. Nó là một chỉ báo, không phải một chặn đảm bảo: sai số thực có thể lớn hơn hoặc nhỏ hơn hiệu số tinh chỉnh, và với quy tắc điểm giữa nó thường bằng khoảng một phần ba hiệu số đó, vì sai số thu hẹp bốn lần mỗi lần tăng gấp đôi.

Chặn sai số lý thuyết. Với hàm dưới dấu tích phân g(x) đủ trơn, sai số của quy tắc điểm giữa tổng hợp thỏa mãn:

Chặn này cần giá trị lớn nhất của đạo hàm cấp hai của hàm dưới dấu tích phân trên khoảng, điều thường khó tìm chính xác. Với hàm dưới dấu tích phân của parabol g(x) = √(1 + 4x²), đạo hàm cấp hai là g''(x) = 4 / (1 + 4x²)^3/2, giá trị lớn nhất của nó trên [0, 2] là 4 tại x = 0. Chặn cho n = 4 do đó là (8 / (24 × 16)) × 4 = 0.0833333333 đơn vị, và sai số thực 0.0200602751 đơn vị nằm an toàn bên trong nó. Với n = 8, chặn là 0.0208333333 đơn vị. Chặn này trung thực nhưng lỏng: ở đây nó ước tính thừa sai số thực bốn lần, điều thường gặp.

Khi chặn không áp dụng được. Chặn sai số giả định hàm dưới dấu tích phân trơn, với đạo hàm cấp hai bị chặn. Một hàm số có góc nhọn, bước nhảy hoặc kỳ dị sẽ phá vỡ giả định đó, và chặn hoặc không tồn tại hoặc lớn một cách vô dụng. Máy tính không bịa ra chặn khi không thể chứng nhận nó. Trong trường hợp đó, nó hiển thị hiệu số tinh chỉnh và giải thích giới hạn của nó, đó là đáp án trung thực.

Vì sao tính trơn lại quan trọng. Hành vi sai số 1 / n² phụ thuộc vào việc hàm dưới dấu tích phân đủ trơn để sự triệt tiêu tại điểm giữa phát huy tác dụng. Một hàm dưới dấu tích phân trơn như √(1 + 4x²) hội tụ gọn gàng. Một hàm dưới dấu tích phân có góc nhọn hội tụ chậm hơn, và một hàm dưới dấu tích phân có kỳ dị có thể hội tụ rất chậm hoặc hoàn toàn không hội tụ. Nếu tăng gấp đôi n mà đáp án hầu như không đổi, hàm số có thể đã trơn và đủ chính xác. Nếu tăng gấp đôi n làm đáp án thay đổi nhiều, hoặc hàm số gồ ghề, hoặc n vẫn còn quá nhỏ.

Ngoại suy Richardson là một mẹo đơn giản biến hai giá trị xấp xỉ điểm giữa thành một ước tính tốt hơn nhiều. Nó dùng dạng đã biết của sai số quy tắc điểm giữa để triệt tiêu số hạng sai số dẫn đầu.

Với hàm dưới dấu tích phân trơn, giá trị xấp xỉ điểm giữa với n khoảng con có sai số biến thiên như C / n², trong đó C là hằng số phụ thuộc vào hàm số nhưng không phụ thuộc vào n. Tăng gấp đôi số khoảng con lên 2n do đó chia sai số cho bốn. Điều đó cho hai phương trình với hai ẩn số, giá trị thực L và hằng số C:

Giải tìm L sẽ loại bỏ C và còn lại ước tính ngoại suy Richardson:

Ví dụ minh họa. Với parabol y = x² trên [0, 2], M₄ = 4.6267234873 đơn vị và M₈ = 4.6417306581 đơn vị. Ước tính Richardson là L_R = (4 × 4.6417306581 - 4.6267234873) / 3 = 4.6467330483 đơn vị. Giá trị thực là 4.6467837624 đơn vị, vì vậy sai số ngoại suy chỉ 0.0000507141 đơn vị, nhỏ hơn nhiều so với sai số M₄ ban đầu là 0.0200602751 đơn vị. Phép ngoại suy đã mua được độ chính xác của một n lớn hơn nhiều mà chỉ dùng phép tính n = 4 và n = 8.

Ví dụ minh họa với đường cong sin. Với y = sin(x) trên [0, π], M₈ = 3.8201978627 đơn vị và M₁₆ = 3.8201977890 đơn vị. Ước tính Richardson là L_R = (4 × 3.8201977890 - 3.8201978627) / 3 = 3.8201977645 đơn vị, so với giá trị tham chiếu 3.8201977890 đơn vị, sai số chỉ 0.0000000245 đơn vị.

Ví dụ minh họa với đường cong bậc ba. Với y = x³ trên [0, 1], M₄ = 1.5330289642 đơn vị và M₈ = 1.5441590533 đơn vị. Ước tính Richardson là L_R = (4 × 1.5441590533 - 1.5330289642) / 3 = 1.5478690830 đơn vị, so với giá trị tham chiếu 1.5478656547 đơn vị, sai số 0.0000034283 đơn vị. Sai số M₄ ban đầu là 0.0148366905 đơn vị, vì vậy phép ngoại suy đã cắt nó khoảng 4327.7 lần.

Ngoại suy Richardson không phải là gì. Giá trị ngoại suy là một ước tính tinh chỉnh, không phải kết quả của quy tắc điểm giữa và không phải đáp án chính xác được đảm bảo. Nó giả định sai số thực sự biến thiên như C / n², điều đúng với hàm dưới dấu tích phân trơn và sai với hàm gồ ghề. Nếu hàm dưới dấu tích phân có góc nhọn hoặc kỳ dị, phép ngoại suy có thể tệ hơn giá trị xấp xỉ ban đầu, vì vậy máy tính luôn hiển thị kết quả điểm giữa gốc trước và ghi nhãn giá trị ngoại suy riêng. Ngoại suy Richardson cũng là ý tưởng đằng sau tích phân Romberg, vốn lặp lại cùng mẹo đó ở nhiều cấp độ để đạt độ chính xác rất cao.

Một số đường cong không thể viết dưới dạng y = f(x). Chẳng hạn, đường tròn cho hai giá trị y với hầu hết giá trị x, vì vậy không một hàm số nào mô tả được nó. Đường cong tham số giải quyết điều này bằng cách mô tả cả hai tọa độ dưới dạng hàm của tham số t: x = x(t) và y = y(t). Khi t chạy từ t₁ đến t₂, điểm (x(t), y(t)) vẽ nên đường cong.

Với đường cong tham số, phần tử độ dài nhỏ xuất phát từ chuyển động theo cả hai tọa độ: ds = √(dx² + dy²). Viết dx = x'(t) dt và dy = y'(t) dt cho tích phân độ dài cung tham số:

Đại lượng dưới dấu căn là vận tốc v(t) = √([x'(t)]² + [y'(t)]²), tốc độ mà điểm di chuyển dọc đường cong khi t thay đổi. Quy tắc điểm giữa áp dụng cho khoảng tham số đúng như với khoảng x: chia [t₁, t₂] thành n đoạn bằng nhau có độ rộng Δt = (t₂ - t₁) / n, lấy mẫu vận tốc tại các tham số điểm giữa t_i* = t₁ + (i + ½)Δt, rồi cộng các phần đóng góp:

Ví dụ minh họa: cung tròn một phần tư. Lấy x(t) = 5 cos(t) và y(t) = 5 sin(t) trên [0, π/2], với n = 4. Các đạo hàm là x'(t) = -5 sin(t) và y'(t) = 5 cos(t). Vận tốc là v(t) = √(25 sin²(t) + 25 cos²(t)) = √(25) = 5, một hằng số, vì sin²(t) + cos²(t) = 1. Độ rộng tham số là Δt = (π/2 - 0) / 4 = π/8 = 0.3926990817, và các tham số điểm giữa là π/16, 3π/16, 5π/16 và 7π/16. Mọi giá trị vận tốc đều bằng 5, vì vậy mọi phần đóng góp là 0.3926990817 × 5 = 1.9634954085, và tổng số là 4 × 1.9634954085 = 7.8539816340 đơn vị, đúng bằng 5π/2. Quy tắc điểm giữa chính xác ở đây với mọi n, vì vận tốc là hằng số.

Vì sao dạng tham số lại quan trọng. Nhiều đường cong thực vốn có dạng tham số: đường tròn, elip, xoắn ốc, đường cong Bezier trong phần mềm thiết kế, và quỹ đạo của vật chuyển động trong vật lý và robot. Dạng tường minh y = f(x) không thể mô tả đường cong quay ngược lại chính nó, nhưng dạng tham số thì được. Máy tính xử lý cả hai dạng bằng cùng một công cụ điểm giữa, cùng một bảng và cùng một phân tích hội tụ. Để biết thêm về đường cong tham số, xem máy tính độ dài cung tham số.

Cảnh báo về tham số. Tham số t không giống độ dài cung trừ khi vận tốc bằng 1. Các bước bằng nhau theo t chỉ cho các bước bằng nhau dọc đường cong khi vận tốc là hằng số. Với đường cong tham số tổng quát, quy tắc điểm giữa vẫn hoạt động đúng, vì nó tích phân vận tốc, nhưng các hình chữ nhật bằng nhau theo t, không bằng nhau theo khoảng cách dọc đường cong. Điều đó không sao: công thức đã tính đến nó qua v(t).

Quy tắc điểm giữa hữu ích ở bất cứ nơi nào một tích phân cần được ước tính bằng số, và độ dài cung chỉ là một trong các công việc của nó. Tính đơn giản, độ chính xác bậc hai và khả năng chịu đựng vấn đề tại đầu mút khiến nó trở thành công cụ đắc lực trong nhiều lĩnh vực.

Giải tích số và giáo dục. Quy tắc điểm giữa thường là phương pháp tích phân số đầu tiên học sinh gặp, vì hình chữ nhật dễ vẽ và ý tưởng điểm giữa dễ nắm. Nó dạy tổng Riemann, sự hội tụ và phân tích sai số trong một gói. Bảng và sơ đồ của máy tính này được xây dựng đúng cho mục đích đó: mọi con số trong đáp án đều có thể truy ngược về một hình chữ nhật.

Kỹ thuật. Kỹ sư ước tính độ dài của chi tiết cong, cáp, ống và đoạn đường cong từ mô hình toán học. Khi đường cong là đa thức hoặc hàm lượng giác, tích phân độ dài cung thường không có dạng đóng, vì vậy phương pháp số là lựa chọn duy nhất. Quy tắc điểm giữa cho đáp án nhanh kèm ước tính sai số rõ ràng, và tăng n sẽ tinh chỉnh nó đến mức thiết kế cần.

Vật lý. Nhà vật lý tích phân dọc theo đường đi để tính công, quãng đường đã đi và các đại lượng trường. Một hạt chuyển động dọc đường cong bao phủ quãng đường bằng độ dài cung của quỹ đạo, và quy tắc điểm giữa ước tính quãng đường đó từ dữ liệu vận tốc. Cùng phương pháp ước tính tích phân trong nhiệt động lực học, quang học và cơ học lượng tử, ở bất cứ nơi nào nguyên hàm giải tích nằm ngoài tầm với.

Đồ họa máy tính và CAD. Đường cong trên màn hình được vẽ thành nhiều đoạn thẳng ngắn, và tổng độ dài của đường cong được ước tính bằng cách cộng các đoạn đó, một dạng tích phân số. Đường viền phông chữ, đường chuyển động trong hoạt hình và đường dao trong CAD đều phụ thuộc vào phép đo độ dài đường cong chính xác. Quy tắc điểm giữa cho cách đo có nguyên tắc các độ dài đó thay vì đoán từ hình ảnh.

Đo đường cong và robot. Cánh tay robot di chuyển kẹp gắp dọc một cung tròn, máy CNC cắt một cạnh cong, hay người đo đạc đo một biên cong đều cần độ dài của đường cong chỉ biết qua phương trình hoặc qua các điểm mẫu. Quy tắc điểm giữa biến các mẫu đó thành độ dài, kèm ước tính sai số cho biết đáp án đáng tin đến mức nào.

Mô hình khoa học và hình học tính toán. Mô hình trong sinh học, tài chính và khoa học khí hậu tích phân các hàm số chỉ biết tại các điểm rời rạc. Quy tắc điểm giữa là lựa chọn tự nhiên khi dữ liệu là mẫu lấy tại tâm của các khoảng, điều thường gặp trong số đọc cảm biến và kết quả mô phỏng. Trong hình học tính toán, nó đo chu vi của hình cong và độ dài của đường cong spline.

Khi nào không nên dùng nó. Quy tắc điểm giữa là lựa chọn kém khi hàm dưới dấu tích phân có kỳ dị bên trong khoảng, khi hàm số gián đoạn, hoặc khi cần độ chính xác rất cao với ít lần tính: quy tắc Simpson hoặc phương pháp thích ứng sẽ làm tốt hơn ở đó. Nó cũng là công cụ sai khi chính tích phân không phải là câu hỏi, chẳng hạn khi độ dài cung dạng đóng đã biết. Đường tròn bán kính 5 có cung một phần tư đúng bằng 5π/2 = 7.8539816340 đơn vị, và không phương pháp số nào cải thiện được điều đó.

Hầu hết đáp án điểm giữa sai đều xuất phát từ một danh sách lỗi ngắn. Kiểm tra từng lỗi mất vài giây và tránh được phần lớn sai sót.

1. Dùng đầu mút thay vì điểm giữa. Lấy mẫu tại biên trái hoặc biên phải của mỗi khoảng con sẽ tính tổng Riemann trái hoặc phải, không phải quy tắc điểm giữa. Với parabol y = x² trên [0, 2] và n = 4, tổng trái là 3.75 đơn vị và tổng phải là 5.75 đơn vị, trong khi quy tắc điểm giữa cho 4.6267234873 đơn vị. Chỉ giá trị điểm giữa mới là đáp án của quy tắc điểm giữa.
2. Quên lấy đạo hàm của hàm số. Hàm dưới dấu tích phân là g(x) = √(1 + [f'(x)]²), không phải √(1 + [f(x)]²). Với y = x², dùng f(x) thay cho f'(x) sẽ cho tích phân của √(1 + x⁴), một con số hoàn toàn khác. Luôn lấy đạo hàm trước.
3. Dùng sai hàm dưới dấu tích phân của độ dài cung. Hàm dưới dấu tích phân phải là √(1 + [f'(x)]²). Bỏ số 1, quên bình phương, hoặc lấy căn bậc hai của đại lượng sai đều cho đáp án sai. Với đường thẳng có độ dốc 3, hàm dưới dấu tích phân là hằng số √(10) = 3.1622776602, không phải 3 và không phải √(1 + 3).
4. Chia khoảng không đúng. Độ rộng là Δx = (b - a) / n, với toàn bộ độ dài khoảng ở trên. Chia cho n + 1, hoặc dùng b / n thay cho (b - a) / n, sẽ dịch chuyển mọi điểm giữa và làm hỏng đáp án. Với [0, 2] và n = 4, độ rộng là 0.5, không phải 0.4 và không phải 0.6666666667.
5. Dùng sai số điểm giữa. Có đúng n điểm giữa, một điểm cho mỗi khoảng con, không phải n + 1. Các đầu mút không phải điểm giữa. Đếm n + 1 điểm mẫu nghĩa là một khoảng con đã bị đếm hai lần hoặc một đầu mút đã bị lấy mẫu nhầm.
6. Nhầm đường cong gốc với đồ thị hàm dưới dấu tích phân. Các hình chữ nhật điểm giữa nằm dưới hàm dưới dấu tích phân g(x), không nằm dưới đường cong gốc f(x). Vẽ chúng dưới f(x) rồi cộng diện tích sẽ cho diện tích dưới f(x), không phải độ dài cung. Hai đồ thị là hai đường cong khác nhau và phải được hiển thị riêng.
7. Làm tròn giá trị trung gian. Làm tròn các điểm giữa, giá trị đạo hàm hoặc giá trị hàm dưới dấu tích phân trước khi cộng dồn sẽ đưa vào những sai số nhỏ tích lũy qua nhiều hình chữ nhật. Giữ độ chính xác đầy đủ trong suốt phép tính và chỉ làm tròn kết quả hiển thị cuối cùng. Máy tính làm điều này tự động.
8. Cho rằng mọi giá trị xấp xỉ đều chính xác. Quy tắc điểm giữa cho giá trị xấp xỉ, không phải giá trị thực, trừ những trường hợp đặc biệt như đường thẳng và đường cong tham số có vận tốc không đổi. Với parabol, L₄ = 4.6267234873 đơn vị gần với giá trị thực 4.6467837624 đơn vị, nhưng không bằng nó. Luôn báo cáo kết quả dưới dạng giá trị xấp xỉ và kèm ước tính sai số bên cạnh.
9. Nhầm sai số ước tính với chặn sai số được đảm bảo. Hiệu số tinh chỉnh |M_2n - M_n| là chỉ báo cho thấy đáp án vẫn đang dịch chuyển bao nhiêu, không phải đảm bảo sai số thực nhỏ hơn hiệu số đó. Chặn lý thuyết ((b - a)³ / (24n²)) × max|g''(x)| là một đảm bảo, nhưng chỉ khi giá trị lớn nhất của đạo hàm cấp hai đã biết và hàm dưới dấu tích phân trơn.
10. Bỏ qua hạn chế về miền xác định của hàm số. Một hàm số như √(x) không xác định với x âm, và ln(x) không xác định với x ≤ 0. Nếu một điểm giữa rơi ngoài miền xác định, giá trị hàm dưới dấu tích phân không tồn tại, và giá trị xấp xỉ vô nghĩa. Máy tính báo lỗi trong trường hợp đó thay vì bịa ra một giá trị.
11. Dùng sai đạo hàm tham số. Với đường cong tham số, cần cả hai đạo hàm x'(t) và y'(t), và vận tốc là √([x'(t)]² + [y'(t)]²). Chỉ dùng một trong hai, hoặc lấy đạo hàm theo biến sai, sẽ cho vận tốc sai và độ dài sai. Với cung tròn một phần tư, x'(t) = -5 sin(t) và y'(t) = 5 cos(t), và cả hai đều cần để có vận tốc không đổi bằng 5.
12. Xem hàm số không trơn hoặc kỳ dị như thể các giả định sai số chuẩn tự động áp dụng. Hành vi sai số 1 / n² và chặn lý thuyết giả định hàm dưới dấu tích phân trơn. Một hàm số có góc nhọn, bước nhảy hoặc kỳ dị bên trong khoảng có thể hội tụ chậm hơn nhiều, và phép ngoại suy Richardson có thể thất bại. Hãy kiểm tra bảng hội tụ: nếu tăng gấp đôi n mà mức thay đổi không giảm khoảng bốn lần, các giả định chuẩn không đúng với hàm số đó.

Một kiểm tra cuối bắt được hầu hết các lỗi này. Kiểm chứng kết quả với độ dài dây cung và giá trị tham chiếu. Giá trị xấp xỉ phải ít nhất bằng dây cung, phải tiến đến giá trị tham chiếu khi n tăng, tổng các hàng trong bảng phải bằng kết quả chính, và với đường thẳng hoặc đường cong có vận tốc không đổi, nó phải bằng giá trị chính xác. Nếu bất kỳ kiểm tra nào thất bại, một trong mười hai lỗi trên là nguyên nhân.

Sáu ví dụ này bao quát các chế độ chính và loại hàm số của máy tính. Mỗi ví dụ được tính bằng cùng công cụ điểm giữa vận hành công cụ, và mỗi kết quả đã được kiểm chứng độc lập với giá trị tham chiếu Simpson thích ứng có độ chính xác cao.

Ví dụ 1: Parabol, y = x² trên [0, 2], n = 4. Đạo hàm là f'(x) = 2x, độ rộng là Δx = 0.5, và các điểm giữa là 0.25, 0.75, 1.25 và 1.75. Các giá trị hàm dưới dấu tích phân là 1.1180339887, 1.8027756377, 2.6925824036 và 3.6400549446, tổng của chúng là 9.2534469747, và L₄ = 0.5 × 9.2534469747 = 4.6267234873 đơn vị. Giá trị tham chiếu là 4.6467837624 đơn vị, vì vậy sai số tuyệt đối là 0.0200602751 đơn vị và sai số tương đối là 0.4317%. Tăng gấp đôi lên n = 8 cho 4.6417306581 đơn vị, và ước tính Richardson từ hai giá trị là 4.6467330483 đơn vị.

Ví dụ 2: Đường thẳng, y = 3x + 1 trên [0, 4], n = 4. Đạo hàm là f'(x) = 3, vì vậy hàm dưới dấu tích phân là hằng số g(x) = √(10) = 3.1622776602. Độ rộng là Δx = 1, các điểm giữa là 0.5, 1.5, 2.5 và 3.5, và mọi giá trị hàm dưới dấu tích phân đều là 3.1622776602. Tổng là 4 × 3.1622776602 = 12.6491106407, và L₄ = 1 × 12.6491106407 = 12.6491106407 đơn vị, đúng bằng 4√(10). Quy tắc điểm giữa chính xác với mọi n ở đây, vì hàm dưới dấu tích phân là hằng số và mọi hình chữ nhật đều có chiều cao đúng.

Ví dụ 3: Đường ngang, y = 2 trên [1, 5], n = 4. Đạo hàm là f'(x) = 0, vì vậy hàm dưới dấu tích phân là hằng số g(x) = √(1 + 0) = 1. Độ rộng là Δx = 1, các điểm giữa là 1.5, 2.5, 3.5 và 4.5, và mọi phần đóng góp đều là 1 × 1 = 1. Tổng số là L₄ = 4.0000000000 đơn vị, đúng bằng khoảng cách ngang 5 - 1 = 4. Đường ngang không có thay đổi dọc, vì vậy độ dài cung của nó đơn giản là độ dài khoảng.

Ví dụ 4: Cung tròn một phần tư tham số, x(t) = 5 cos(t), y(t) = 5 sin(t) trên [0, π/2], n = 4. Các đạo hàm là x'(t) = -5 sin(t) và y'(t) = 5 cos(t), và vận tốc là hằng số v(t) = 5. Độ rộng tham số là Δt = π/8 = 0.3926990817, các tham số điểm giữa là π/16, 3π/16, 5π/16 và 7π/16, và mọi phần đóng góp đều là 0.3926990817 × 5 = 1.9634954085. Tổng số là L₄ = 7.8539816340 đơn vị, đúng bằng 5π/2. Toàn bộ đường tròn sẽ là 10π = 31.4159265359 đơn vị, và nửa đường tròn sẽ là 5π = 15.7079632679 đơn vị.

Ví dụ 5: Đường cong bậc ba, y = x³ trên [0, 1], n = 4. Đạo hàm là f'(x) = 3x², độ rộng là Δx = 0.25, và các điểm giữa là 0.125, 0.375, 0.625 và 0.875. Các giá trị hàm dưới dấu tích phân là 1.0010980300, 1.0853471867, 1.5405489332 và 2.5051217067, tổng của chúng là 6.1321158566, và L₄ = 0.25 × 6.1321158566 = 1.5330289642 đơn vị. Giá trị tham chiếu là 1.5478656547 đơn vị, vì vậy sai số tuyệt đối là 0.0148366905 đơn vị và sai số tương đối là 0.9585%. Tăng gấp đôi lên n = 8 cho 1.5441590533 đơn vị, và ước tính Richardson là 1.5478690830 đơn vị.

Ví dụ 6: Lượng giác, y = sin(x) trên [0, π], n = 8. Đạo hàm là f'(x) = cos(x), độ rộng là Δx = π/8 = 0.3926990817, và tám điểm giữa là π/16, 3π/16, 5π/16, 7π/16, 9π/16, 11π/16, 13π/16 và 15π/16. Các giá trị hàm dưới dấu tích phân là 1.4006926023, 1.3005159423, 1.1439660326, 1.0188524102, 1.0188524102, 1.1439660326, 1.3005159423 và 1.4006926023. Tổng của chúng là 9.7280539749, và L₈ = 0.3926990817 × 9.7280539749 = 3.8201978627 đơn vị. Giá trị tham chiếu là 3.8201977890 đơn vị, vì vậy sai số tuyệt đối chỉ 0.0000000736 đơn vị, sai số tương đối 0.00000193%. Tích phân này không có nguyên hàm sơ cấp, vì vậy quy tắc điểm giữa và giá trị tham chiếu là cách thực tế để có đáp án.

Nhấn bất kỳ nút ví dụ sẵn nào trong máy tính để tải một trong các ví dụ này và xem lời giải từng bước đầy đủ, sơ đồ trực tiếp, bảng tính toán và so sánh hội tụ cho dữ liệu đó.

Độ dài cung theo quy tắc điểm giữa xuất hiện ở bất cứ nơi nào khoảng cách cong cần được đo từ công thức thay vì thước dây. Cùng một phép tính phục vụ học sinh, kỹ sư và nhà thiết kế.

Đường sá, đường đua và cáp. Một con đường cong, khúc cua của đường chạy, hay sợi cáp võng giữa hai trụ đỡ đều có độ dài tuân theo một đường cong. Khi đường cong được mô hình hóa bằng một hàm số, quy tắc điểm giữa ước tính độ dài của nó từ mô hình, và ước tính sai số cho biết đáp án đáng tin đến mức nào. Sợi cáp được mô hình hóa bằng y = x² trên [0, 2] cần 4.6467837624 đơn vị cáp, không phải 4.4721359550 đơn vị của khoảng thẳng.

Sản xuất và tôn tấm. Một tấm cong, ống uốn hay mép cuộn bắt đầu từ vật liệu phẳng có độ dài đã biết. Quy tắc điểm giữa chuyển thiết kế cong thành độ dài phẳng cần cắt, và bảng hội tụ xác nhận độ dài đến độ chính xác mà xưởng cần. Một đoạn uốn cung tròn một phần tư bán kính 5 cần 7.8539816340 đơn vị vật liệu dọc đường cong.

Kiến trúc. Vòm, mái vòm và cầu thang cong được định kích thước theo cung của chúng. Một vòm nửa hình tròn bán kính 5 cần 5π = 15.7079632679 đơn vị vật liệu trang trí dọc đường cong. Với vòm không tròn được mô hình hóa bằng parabol hay đường cong sin, quy tắc điểm giữa cho độ dài trang trí trực tiếp từ phương trình thiết kế.

Vật lý và chuyển động. Quãng đường một hạt đi dọc đường cong là độ dài cung của quỹ đạo của nó. Con lắc, vật phóng hay vệ tinh trên quỹ đạo elip đều chuyển động dọc đường cong mà độ dài của chúng quan trọng cho tính toán năng lượng, thời gian và nhiên liệu. Quy tắc điểm giữa ước tính các quãng đường đó từ phương trình chuyển động.

Đồ họa máy tính, hoạt hình và trò chơi. Vật thể chuyển động dọc đường cong, chuyển động của máy quay và nhân vật hoạt hình đều đi theo đường spline và đường cong tham số. Khoảng cách dọc đường đi quyết định tốc độ, thời gian và khoảng cách giữa các khung hình. Quy tắc điểm giữa đo độ dài đường đi đó từ phương trình đường cong, và chế độ tham số xử lý đường cong quay ngược lại.

Y học và sinh học. Mạch máu, cột sống và bề mặt cong của cơ quan được đo từ ảnh quét và mô hình. Độ dài cung dọc đường tâm mạch máu giúp lập kế hoạch đặt stent và ống thông, và quy tắc điểm giữa biến đường tâm đã mô hình thành độ dài kèm ước tính sai số.

Các máy tính liên quan trên trang này. Để có độ dài cung chính xác của các đường cong có tên, hãy thử máy tính độ dài cung parabol, máy tính độ dài cung elip, máy tính độ dài cung nửa hình tròn, máy tính độ dài cung hình tròn và máy tính độ dài cung hình quạt. Để tích phân chính xác từng bước, hãy thử máy tính độ dài cung kèm các bước, máy tính độ dài cung tham số, máy tính độ dài cung cực và máy tính độ dài cung 3D. Với các phương pháp số khác, hãy thử máy tính quy tắc hình thang và máy tính quy tắc Simpson.

Các bảng này tập hợp hành vi hội tụ của hai ví dụ minh họa chính tại một chỗ, để bạn thấy quy tắc điểm giữa ổn định nhanh thế nào và phép ngoại suy Richardson cải thiện đáp án ra sao. Mọi giá trị đều do công cụ điểm giữa tính, với giá trị tham chiếu từ tích phân Simpson thích ứng.

Parabol y = x² trên [0, 2], giá trị tham chiếu 4.6467837624 đơn vị.

Đường cong sin y = sin(x) trên [0, π], giá trị tham chiếu 3.8201977890 đơn vị.

Cách đọc các bảng. Sai số của parabol giảm khoảng bốn lần mỗi lần tăng gấp đôi, từ 0.0200602751 ở n = 4 xuống 0.0050531044 ở n = 8 rồi xuống 0.0012632302 ở n = 16, đúng hành vi 1 / n² như kỳ vọng. Đường cong sin hội tụ còn nhanh hơn, vì hàm dưới dấu tích phân của nó gần như phẳng gần giữa khoảng: đến n = 8 sai số đã chỉ 0.0000000736 đơn vị, và đến n = 16 giá trị xấp xỉ trùng với giá trị tham chiếu đến cả mười chữ số thập phân hiển thị. Các hàng Richardson cho thấy cùng ý tưởng trong một bước: kết hợp hai giá trị xấp xỉ tốt hơn từng giá trị riêng lẻ, với sai số 0.0000507141 đơn vị cho parabol và 0.0000000245 đơn vị cho đường cong sin. Hãy dùng các bảng này làm chuẩn: nếu phép tính của bạn cho một trong các ví dụ này không khớp với bảng, hãy kiểm tra đạo hàm, các điểm giữa và hàm dưới dấu tích phân trước khi tin đáp án.