Máy tính quy tắc hình thang

Máy tính Quy tắc hình thang ước tính độ dài cung bằng phương pháp số. Công cụ áp dụng quy tắc hình thang tổng hợp cho tích phân độ dài cung của một hàm số mà bạn nhập. Hãy làm theo các bước dưới đây để có ước tính đầu tiên trong chưa đầy một phút.

1. Nhập hàm số. Nhập f(x) vào trường hàm số, ví dụ x^2, sin(x), hoặc ln(x+1). Dùng ^ cho lũy thừa và tên hàm chuẩn như sin, cos, exp, và ln.
2. Nhập giá trị bắt đầu. Đặt a, cận dưới của tích phân. Với đoạn đường cong từ x = 0 đến x = 1, nhập 0.
3. Nhập giá trị kết thúc. Đặt b, cận trên của tích phân. Máy tính yêu cầu b > a.
4. Chọn số khoảng con. Nhập n, số khoảng con bằng nhau. Lần chạy đầu tiên với n = 10 thường phù hợp với các đường cong trơn.
5. Chọn phương pháp hình thang. Trong giao diện tích phân số, chọn quy tắc hình thang để công thức hiển thị phía dưới là công thức được áp dụng.
6. Nhấn Tính toán. Công cụ đánh giá hàm bị tích phân độ dài cung tại n + 1 điểm mẫu, áp dụng trọng số đầu mút, và hiển thị giá trị xấp xỉ.
7. Diễn giải kết quả. Số hiển thị là ước tính độ dài đường cong giữa x = a và x = b, với đơn vị độ dài giống như giá trị x của bạn.
8. Nâng cao độ chính xác. Nhân đôi n và tính lại. Khi hai ước tính liên tiếp hầu như không thay đổi, kết quả đã hội tụ ở mức thực tế.

Dưới đây là ý nghĩa của từng đầu vào:

Nhập f(x) = x², a = 0, b = 1, và n = 10 cho ra ước tính độ dài cung gần 1.479, gần với giá trị chính xác 1.478943. Phần còn lại của hướng dẫn này giải thích chính xác những gì máy tính tính toán và cách đánh giá chất lượng câu trả lời của nó.

Quy tắc hình thang là một phương pháp tích phân số. Phương pháp này xấp xỉ một tích phân xác định bằng cách thay thế diện tích dưới đường cong bằng diện tích của các hình thang vẽ dưới hàm bị tích phân. Mỗi hình thang được dựng từ hai điểm mẫu kề nhau, và tổng diện tích của tất cả các hình thang cho ra ước tính của tích phân.

Cái tên bắt nguồn từ hình học. Giữa hai điểm mẫu x_i và x_i+1, hàm bị tích phân g(x) được thay thế bằng một đường thẳng. Vùng dưới đường thẳng đó là một hình thang: hai cạnh dọc song song có độ cao g(x_i) và g(x_i+1), và chiều rộng ngang h = x_i+1 - x_i.

Một hình thang đơn có diện tích h/2 · [g(x_i) + g(x_i+1)]. Cộng diện tích của cả n hình thang cho ra xấp xỉ hình thang tổng hợp của tích phân. Từ "composite" (tổng hợp) có nghĩa là khoảng tích phân được chia thành nhiều panel thay vì chỉ một.

Quy tắc này thuộc họ các phương pháp cầu phương số (numerical quadrature). Nó được đánh giá cao vì tính minh bạch: mọi bước đều có ý nghĩa hình học rõ ràng, và tham số duy nhất là số khoảng con n. Ý tưởng chính dễ phát biểu: các panel càng thẳng và càng hẹp thì càng bám sát hàm bị tích phân, vì vậy ước tính càng tốt khi n tăng.

Đối với độ dài cung, hàm bị tích phân không phải là hàm gốc f(x). Đó là hàm bị tích phân độ dài cung g(x) = √(1 + (f'(x))²), đo tốc độ tích lũy độ dài dọc theo đường cong. Giữ rõ sự phân biệt này sẽ tránh được hiểu lầm phổ biến nhất về phương pháp.

Công thức quy tắc hình thang có hai dạng: phiên bản một panel và phiên bản tổng hợp dùng trong thực hành. Cả hai đều xuất phát từ cùng một hình học hình thang.

Công thức một panel. Với một hình thang bao phủ toàn bộ khoảng:

Chiều rộng (b - a) được nhân với trung bình của hai độ cao ở đầu mút. Đây chính là diện tích của một hình thang.

Công thức tổng hợp. Chia [a, b] thành n khoảng con bằng nhau có độ rộng h = (b - a)/n, với các điểm mẫu x₀ = a, x₁ = a + h, ..., x_n = b:

Mỗi ký hiệu có một ý nghĩa cố định:

• T_n là xấp xỉ số với n panel.
• h là độ rộng khoảng con, (b - a)/n.
• a và b là cận dưới và cận trên của tích phân.
• n là số khoảng con, một số nguyên dương.
• x_i là các điểm mẫu, cách đều nhau một khoảng h.
• g(x_i) là các giá trị hàm bị tích phân tại những điểm đó.

Các đầu mút nhận trọng số một nửa vì mỗi điểm mẫu trong được hai hình thang kề nhau chia sẻ, trong khi mỗi đầu mút chỉ thuộc về một hình thang. Về mặt đại số, các số hạng h/2 · [g(x_i) + g(x_i+1)] kề nhau kết hợp lại sao cho các giá trị trong được tính đầy đủ và hai giá trị ngoài cùng được tính một nửa.

Một phép tính mẫu ngắn. Xấp xỉ ∫₀¹ x² dx với n = 2. Khi đó h = 0.5, x₀ = 0, x₁ = 0.5, x₂ = 1, và T₂ = 0.5 · [0/2 + 0.25 + 1/2] = 0.5 · 0.75 = 0.375. Tích phân chính xác là 1/3 ≈ 0.333, vì vậy ước tính hai panel thô này nằm trong vùng hợp lý, vẫn còn chỗ để tinh chỉnh.

Độ dài cung là một tích phân, vì vậy quy tắc hình thang áp dụng trực tiếp cho nó. Đường cong y = f(x) có độ dài cung từ x = a đến x = b được cho bởi:

Máy tính tạo hàm bị tích phân độ dài cung g(x) = √(1 + (f'(x))²) và đưa nó vào công thức hình thang tổng hợp. Quy trình đầy đủ như sau:

1. Bắt đầu với y = f(x). Xác nhận hàm khả vi trên [a, b].
2. Tìm đạo hàm f'(x). Công cụ lấy đạo hàm biểu thức đã nhập trong nội bộ.
3. Bình phương đạo hàm. Tạo (f'(x))². Việc bình phương loại bỏ thông tin về dấu vì độ dài tích lũy bất kể hướng của độ dốc.
4. Cộng 1. Hàm bị tích phân là 1 + (f'(x))², không bao giờ nhỏ hơn 1.
5. Lấy căn bậc hai. Điều này cho ra g(x), tốc độ cục bộ mà độ dài tích lũy theo mỗi đơn vị x.
6. Chia khoảng. Chọn n và tính h = (b - a)/n.
7. Đánh giá hàm bị tích phân. Tính g(x₀), ..., g(x_n) tại các điểm mẫu.
8. Áp dụng quy tắc tổng hợp. Kết hợp các giá trị với trọng số một nửa tại các đầu mút.
9. Diễn giải kết quả. Tổng đó là độ dài xấp xỉ của đoạn đường cong.

Đạo hàm được bình phương rồi đặt dưới dấu căn vì một lý do hình học: một đoạn đường cong rất nhỏ rộng dx và cao dy có độ dài √(dx² + dy²) = √(1 + (dy/dx)²) dx theo định lý Pythagore. Tích phân độ dài cục bộ đó trên [a, b] cho ra tổng độ dài, và quy tắc hình thang xấp xỉ tích phân này.

Hàm bị tích phân luôn không âm vì 1 + (f'(x))² ít nhất bằng 1. Giá trị nhỏ nhất của nó là 1, đạt được ở bất cứ nơi nào đường cong nằm ngang. Độ dốc càng lớn thì g(x) càng lớn, đó chính là lý do đường cong dốc dài hơn đường cong thoải trên cùng một khoảng x.

Ví dụ được giải đầy đủ này cho thấy mọi con số mà quy tắc hình thang tạo ra. Dùng f(x) = x² trên [0, 1] với n = 4.

1. Đạo hàm. f'(x) = 2x.

2. Hàm bị tích phân. g(x) = √(1 + (2x)²) = √(1 + 4x²).

3. Độ rộng bước. h = (1 - 0)/4 = 0.25.

4. Điểm mẫu. 0, 0.25, 0.5, 0.75, 1.

5. Giá trị hàm bị tích phân và trọng số.

6. Tổng có trọng số. 1.000000/2 + 1.118034 + 1.414214 + 1.802776 + 2.236068/2 = 5.953057.

7. Nhân với h.

8. So sánh với giá trị chính xác. Độ dài cung chính xác là L = √5/2 + asinh(2)/4 ≈ 1.478943. Ước tính n = 4 là 1.488264 vượt quá nó 0.009321, sai số khoảng 0.63%. Lặp lại với n = 8 cho ra 1.481272, đã nằm trong khoảng 0.002330 của giá trị chính xác.

Lưu ý ước tính lớn hơn giá trị chính xác. Với hàm bị tích phân lồi này, các dây cung đường thẳng nằm phía trên đường cong, vì vậy quy tắc hình thang ước tính vượt. Hành vi có hệ thống đó là bình thường, và mức ước tính vượt sẽ thu hẹp khi n tăng.

Số khoảng con n và độ rộng bước h liên hệ với nhau qua h = (b - a)/n. Cùng nhau, chúng kiểm soát mức độ lấy mẫu chi tiết của hàm bị tích phân và độ chính xác của ước tính.

n đại diện cho điều gì. Đó là số panel hình thang, một số nguyên dương. Số điểm mẫu luôn là n + 1 vì các panel liên tiếp chia sẻ điểm biên của chúng.

Vì sao n = 1 là quy tắc một panel. Với n = 1, h = b - a và T₁ = h/2 · [g(a) + g(b)]. Đây là dạng thô nhất của phương pháp và hiếm khi đủ chính xác.

Độ rộng panel trên [0, 1]. Bảng dưới đây cho thấy h thu hẹp khi n tăng:

Các panel nhỏ hơn bám sát hàm bị tích phân chặt chẽ hơn, vì vậy phép xấp xỉ đường thẳng bên trong mỗi panel lệch ít hơn so với đường cong thật. Đó là lý do tăng n thường cải thiện độ chính xác. Đánh đổi là chi phí tính toán: mỗi panel mới cần thêm một lần đánh giá hàm.

Nhiều khoảng con hơn không đảm bảo kết quả tốt hơn một cách nghiêm ngặt cho mọi hàm bị tích phân. Các hàm bị tích phân không trơn hoặc dao động có thể cho hành vi sai số không đều, và sai số làm tròn dấu chấm động cuối cùng giới hạn mức cải thiện ở n rất lớn. Tuy nhiên, với các đường cong trơn như trong hướng dẫn này, sự cải thiện ổn định và có thể dự đoán.

Một chiến lược thực tế: bắt đầu với n = 10 hoặc n = 20, sau đó nhân đôi n cho đến khi ước tính ngừng thay đổi ở độ chính xác bạn cần. Phép kiểm tra hội tụ này đáng tin cậy hơn việc tin vào bất kỳ một giá trị n nào.

Sáu ví dụ bao quát từ các trường hợp chính xác đến các hàm mà độ dài cung không có dạng đóng sơ cấp. Mỗi ví dụ cho thấy đạo hàm, hàm bị tích phân, phép thế, và kết quả số.

Ví dụ 1: Đường thẳng, f(x) = 2x trên [0, 3]. Đạo hàm là f'(x) = 2, một hằng số, vì vậy hàm bị tích phân là g(x) = √(1 + 4) = √5, cũng là hằng số. Một panel duy nhất là chính xác vì hàm bị tích phân không bao giờ cong: T₁ = 3 · √5 ≈ 6.708204. Độ dài chính xác 3√5 khớp với kết quả. Điều này khẳng định quy tắc: quy tắc hình thang là chính xác bất cứ khi nào hàm bị tích phân là tuyến tính hoặc hằng số.

Ví dụ 2: Hàm bậc hai, f(x) = x² trên [0, 1], n = 4. Với f'(x) = 2x và g(x) = √(1 + 4x²), phép tính đầy đủ ở phần trước cho L ≈ 1.488264, so với giá trị chính xác 1.478943. Khoảng chênh lệch nhỏ đến từ hàm bị tích phân lồi; các dây cung vẽ phía trên đường cong cộng thêm diện tích.

Ví dụ 3: Hàm bậc hai dài hơn, f(x) = x² trên [0, 2], n = 8. Ở đây h = 0.25 như cũ, nhưng khoảng dài gấp đôi và hàm bị tích phân dốc hơn. Ước tính là T₈ = 4.656890. Một phép tính độ phân giải cao cho ra 4.646784, vì vậy sai số khoảng 0.010106. Mở rộng khoảng không chỉ nhân đáp án theo tỉ lệ: hàm bị tích phân tăng theo x, vì vậy độ dài cung tăng nhanh hơn độ dài khoảng.

Ví dụ 4: Đường cong sin, f(x) = sin x trên [0, π]. Đạo hàm là f'(x) = cos x, cho g(x) = √(1 + cos²x). Với n = 8, ước tính là 3.820198; với n = 16, nó là 3.820198, không đổi đến sáu chữ số thập phân. Hàm bị tích phân đối xứng hội tụ nhanh vì độ cong của nó nhẹ và phân bố đều. (Nhập góc bằng radian; độ sẽ tạo ra một đường cong khác.)

Ví dụ 5: Logarit, f(x) = ln(x + 1) trên [0, 2], n = 10. Đạo hàm là f'(x) = 1/(x + 1), vì vậy g(x) = √(1 + 1/(x + 1)²). Miền xác định yêu cầu x > -1, mà khoảng này thỏa mãn. Ước tính là T₁₀ = 2.304215, trong khi một phép tính tinh chỉnh cho ra 2.301988, sai số khoảng 0.002227. Gần x = 0 độ dốc lớn nhất, vì vậy phần lớn độ dài tích lũy ở đầu khoảng.

Ví dụ 6: Hàm bậc ba, f(x) = x³ trên [0, 1], n = 10. Ở đây f'(x) = 3x² và g(x) = √(1 + 9x⁴). Độ dài cung này không có nguyên hàm sơ cấp, đó chính là lúc tích phân số chứng tỏ giá trị của nó. Ước tính là T₁₀ = 1.552609 so với giá trị tinh chỉnh 1.547866, sai số khoảng 0.004743. Nếu không có phương pháp số, độ dài này sẽ rất khó tính được.

Mọi kết quả trên đều được tính trực tiếp từ công thức tổng hợp, làm tròn đến sáu chữ số thập phân. Lặp lại bất kỳ ví dụ nào trong máy tính với cùng n sẽ cho ra cùng các chữ số.

Hội tụ có nghĩa là các xấp xỉ dần ổn định về giá trị thật khi n tăng. Bảng dưới đây theo dõi f(x) = x² trên [0, 1], có độ dài chính xác là 1.478943:

Mỗi khi n nhân đôi, sai số giảm khoảng bốn lần: 0.037181 thành 0.009321 thành 0.002330 thành 0.000582 thành 0.000146 thành 0.000036. Đây là sự hội tụ bậc hai, dấu hiệu đặc trưng của quy tắc hình thang tổng hợp trên các hàm bị tích phân trơn. Giảm một nửa h cắt số hạng sai số dẫn đầu còn khoảng một phần tư.

Cột "thay đổi so với trước" là phép kiểm tra hội tụ thực tế mà quy trình máy tính khuyến nghị. Khi nhân đôi n mà đáp án thay đổi ít hơn độ chính xác yêu cầu của bạn, ước tính đã ổn định. Với đường cong này, n = 16 đã cố định độ dài trong khoảng 0.000582 so với giá trị thật.

Sai số của quy tắc hình thang tổng hợp có dạng toán học chính xác. Với một hàm bị tích phân g đủ trơn trên [a, b]:

với một ξ nào đó trong [a, b]. Dấu rất quan trọng: khi g'' dương (hàm bị tích phân lồi), sai số âm, nghĩa là T_n ước tính vượt tích phân. Điều này khớp với ví dụ x², nơi mọi ước tính đều vượt quá giá trị chính xác 1.478943.

Một giới hạn đảm bảo suy ra bằng cách thay g''(ξ) bằng độ lớn cực đại M = max|g''(x)| trên [a, b]:

Thuật ngữ chính. Sai số tuyệt đối là |I - T_n|, khoảng cách giữa giá trị thật và ước tính. Sai số tương đối chia nó cho |I|. Sai số cắt cụt là sai số do xấp xỉ tích phân bằng một tổng hữu hạn, trái ngược với sai số làm tròn từ phép tính số học hữu hạn chữ số. Đạo hàm bậc hai g'' đo độ cong của hàm bị tích phân, điều mà các panel đường thẳng không nắm bắt được.

Giới hạn cụ thể cho ví dụ x². Trên [0, 1], g''(x) = 4/(1 + 4x²)^3/2, lớn nhất tại x = 0 với M = 4. Giới hạn cho |I - T₄| ≤ 4/(12 · 16) = 0.020833. Sai số thực tế 0.009321 nằm thoải mái trong đó. Các giới hạn vốn thận trọng; chúng hứa hẹn một mức trần, không phải sai số chính xác.

Hai cảnh báo. Thứ nhất, g là hàm bị tích phân độ dài cung, không phải f gốc. Lấy đạo hàm hai lần qua dấu căn là điều M mô tả. Thứ hai, các giới hạn sai số có thể khó tính với các hàm phức tạp vì bản thân M có thể cần cực đại hóa. Trong thực hành, phép kiểm tra hội tụ bằng cách nhân đôi n là công cụ hữu ích hơn, và máy tính không hiển thị giới hạn sai số tự động.

Quy tắc Simpson là họ hàng gần nhất của quy tắc hình thang. Cả hai đều chia [a, b] thành các khoảng con bằng nhau, nhưng Simpson khớp một parabol qua ba điểm liên tiếp trong khi quy tắc hình thang vẽ một dây cung thẳng qua hai điểm.

Trên các hàm bị tích phân trơn, sự hội tụ bậc bốn của Simpson thường thắng: nhân đôi n cắt sai số của nó khoảng mười sáu lần, so với bốn lần của quy tắc hình thang. Nhưng Simpson không phải lúc nào cũng tốt hơn. Với các hàm bị tích phân thô hoặc gián đoạn, cả hai phương pháp đều suy giảm, và thứ tự chính xác cao hơn có thể không hiện ra. Quy tắc hình thang cũng chấp nhận n lẻ, thuận tiện cho các kiểm tra nhanh.

Một quy trình hợp lý dùng cả hai: ước tính hình thang như một đường cơ sở minh bạch, và Quy tắc Simpson cho độ chính xác cao hơn. Khi cả hai khớp đến số chữ số bạn cần, độ tin cậy cao. Khi chúng không khớp, hãy tăng n trước khi tin vào bên nào.

Hai ý tưởng "giống hình thang" khác nhau dễ bị nhầm lẫn. Chúng cho ra các số khác nhau cho cùng một đường cong, vì vậy sự phân biệt rất quan trọng.

Phương pháp 1: Tích phân hình thang của hàm bị tích phân độ dài cung. Đây là điều máy tính làm. Nó tích phân g(x) = √(1 + (f'(x))²) với các panel hình thang vẽ dưới đường cong hàm bị tích phân:

Phương pháp 2: Xấp xỉ đa giác (tổng dây cung) của đường cong gốc. Phương pháp này nối các điểm kề nhau trên chính đường cong bằng các đoạn thẳng và cộng độ dài của chúng:

Một tổng dây cung nối các điểm (x_i, f(x_i)) trên đường cong gốc. Một panel hình thang thì xấp xỉ diện tích dưới hàm bị tích phân g(x). Các panel không đại diện cho các đoạn thẳng của đường cong gốc, dù cả hai hình ảnh đều liên quan đến đường thẳng.

Cả hai phương pháp đều hội tụ về độ dài thật khi n tăng, và cả hai đều là công cụ số hợp lệ. Máy tính trên trang này triển khai Phương pháp 1. Nếu bạn cần tổng dây cung từ dữ liệu tọa độ, công cụ độ dài cung từ các điểm theo Phương pháp 2.

Quy tắc hình thang là lựa chọn đúng khi sự đơn giản và minh bạch quan trọng hơn việc vắt kiệt những chữ số chính xác cuối cùng.

• Tìm hiểu tích phân số. Mọi bước đều có ý nghĩa hình học nhìn thấy được, khiến nó trở thành phương pháp đầu tiên chuẩn trong các khóa học giải tích.
• Ước tính độ dài đường cong nhanh. Một vài panel thường cho hai hoặc ba chữ số đúng với các đường cong trơn.
• Kiểm tra nghiệm giải tích. So sánh một độ dài cung suy ra bằng tay với một ước tính số độc lập.
• Mô hình kỹ thuật và vật lý. Ước tính độ dài cho cáp, vòm và quỹ đạo, nơi các giá trị xấp xỉ nuôi các phép tính lớn hơn.
• So sánh các phương pháp số. Nó là đường cơ sở mà Quy tắc Simpson và các phương pháp bậc cao hơn được đánh giá.
• Hàm lấy mẫu trơn. Khi f trơn và n có thể ở mức vừa phải, phương pháp đáng tin cậy.
• Kiểm chứng giáo dục. Hành vi O(h²) có thể dự đoán khiến việc kiểm tra hội tụ dễ diễn giải.

Hãy chuyển sang phương pháp khác khi hàm bị tích phân thay đổi nhanh, có điểm gãy hoặc gián đoạn, hoặc khi cần độ chính xác cao với chi phí thấp. Với các đường cong trơn, Quy tắc Simpson thường cho nhiều chữ số hơn mỗi panel. Với các đường cong tham số, cực, hoặc đường cong không gian, hãy dùng các máy tính tham số, cực, hoặc độ dài cung 3D chuyên dụng, áp dụng cùng ý tưởng số trong hệ tọa độ phù hợp.

Đây là những lỗi xuất hiện thường xuyên nhất trong bài làm của học sinh và trong các câu hỏi hỗ trợ. Mỗi lỗi đều dễ tránh một khi bạn biết nó tồn tại.

1. Nhập sai cận tích phân. Đoạn [0, 2] không phải là cùng một phần đường cong như [2, 0]. Luôn xác nhận a < b và các cận khớp với bài toán.
2. Dùng sai hàm. Một lỗi đánh máy như x^3 thay vì x^2 làm thay đổi đạo hàm và mọi giá trị tiếp theo.
3. Quên đạo hàm trong công thức độ dài cung. Độ dài cung tích phân √(1 + (f')²), không bao giờ là chính f.
4. Áp dụng quy tắc trực tiếp cho f(x) để tính độ dài cung. Các panel phải nằm dưới g(x). Tích phân f(x) tính diện tích có dấu, không phải độ dài.
5. Chọn quá ít khoảng con. n = 2 trên một hàm bị tích phân cong có thể lệch vài phần trăm; ví dụ x² có sai số 2.5% tại n = 2.
6. Dùng không khoảng con nào. n = 0 nghĩa là h = (b - a)/0, không xác định. n phải là số nguyên dương.
7. Nhập số khoảng con không nguyên. n = 2.5 không có ý nghĩa trong việc đếm panel; làm tròn thành số nguyên.
8. Nhầm n với số điểm mẫu. n panel cần n + 1 điểm mẫu. Với n = 4 có 5 điểm, không phải 4.
9. Quên trọng số một nửa ở đầu mút. Cho g(x₀) và g(x_n) trọng số đầy đủ sẽ làm ước tính phồng thêm h/2 · (g(x₀) + g(x_n)).
10. Dùng sai độ rộng bước. h = (b - a)/n, không phải b - a và không phải 1/n. Trên [0, 2] với n = 8, h = 0.25.
11. Trộn lẫn độ và radian. sin(x) với x tính bằng độ là một đường cong khác so với sin(x) tính bằng radian; độ dài cung cũng khác nhau tương ứng.
12. Bỏ qua các ràng buộc miền xác định của hàm. ln(x + 1) yêu cầu x > -1. Đánh giá ngoài miền xác định cho ra các giá trị vô nghĩa.
13. Nhầm xấp xỉ với tích phân chính xác. T_n tiến về L; nó chỉ bằng L với các hàm bị tích phân đặc biệt như hằng số.
14. Cho rằng nhiều panel hơn luôn đảm bảo độ chính xác tốt hơn. Đúng trong vùng tiệm cận với các hàm bị tích phân trơn, nhưng sai số làm tròn và tính không trơn có thể phá vỡ quy luật ở các giá trị cực đoan.
15. Bỏ qua kiểm tra hội tụ. Một ước tính là phỏng đoán; hai ước tính tại n và 2n khớp nhau là bằng chứng.
16. Nhầm Quy tắc Simpson với quy tắc hình thang. Simpson dùng trọng số 1-4-2-4-...-1 và cần n chẵn; quy tắc hình thang dùng 1/2-1-...-1-1/2 và bất kỳ n dương nào.
17. Nhầm tích phân hình thang với tổng dây cung. Các panel dưới hàm bị tích phân không phải là dây cung trên đường cong; hai phương pháp cho các số khác nhau.
18. Báo cáo độ chính xác thập phân quá mức. Nếu sai số khoảng 0.002, viết sáu chữ số thập phân phóng đại những gì đã biết. Làm tròn cho khớp với độ chính xác đã kiểm chứng.

Cùng một phép tính panel đằng sau độ dài cung xuất hiện ở bất cứ nơi nào một đại lượng trơn phải được tích lũy bằng phương pháp số.

• Ước tính độ dài đường cong trong kỹ thuật. Độ dài của cáp, đường cong treo và khúc cong ống được tính từ các hàm thiết kế trước khi chế tạo.
• Thiết kế cơ khí. Biên dạng cam và đường cong răng bánh răng cần ước tính chu vi chính xác để lập kế hoạch vật liệu.
• Hình học đường và lối đi. Các đường cong tuyến cho đường bộ và đường sắt được đo dọc theo đường tim của chúng, hiếm khi là các hàm sơ cấp.
• Thiết kế hỗ trợ máy tính. Nhân CAD ước tính độ dài đường cong cho hiển thị, tạo đường chạy dao và ghi kích thước.
• Mô phỏng vật lý. Quỹ đạo hạt và độ dài đường sức được tích lũy từ các mô hình số.
• Mô hình số. Bất kỳ tích phân nào không có dạng đóng, từ mật độ xác suất đến năng lượng tín hiệu, đều có thể bắt đầu bằng các panel hình thang.
• Giáo dục toán học. Quy tắc là cửa ngõ chuẩn vào giải tích số vì hành vi sai số của nó dễ minh họa.
• Đo và kiểm chứng đường cong. Các phép đo vật lý của đường cong bất thường được đối chiếu với các dự đoán số.

Với hình học chuyên biệt, phương pháp thích nghi: cùng quy tắc tổng hợp tích phân tốc độ tham số √((x')² + (y')²) và các hàm bị tích phân cực. Máy tính ở đây xử lý trường hợp Descartes; các công cụ liên quan bao quát các hệ tọa độ khác. Nó không xử lý trực tiếp tệp CAD hoặc dữ liệu khảo sát; những thứ đó cần được rút gọn thành một hàm và các cận trước.

Tự giải các bài này bằng tay, rồi đối chiếu với máy tính. Mỗi lời giải cho thấy phép thế để bạn có thể tìm ra các lỗi số học của chính mình.

Bài 1. Dùng quy tắc hình thang với n = 1 để xấp xỉ ∫₀² 3 dx, và cho biết kết quả có chính xác hay không.
Giải. h = 2, T₁ = 2/2 · [3 + 3] = 6. Hàm bị tích phân là hằng số, vì vậy hình thang duy nhất khớp chính xác với hình chữ nhật. Tích phân chính xác cũng là 6, vì vậy kết quả là chính xác.

Bài 2. Tìm độ dài cung của f(x) = x trên [0, 1] bằng quy tắc hình thang với n = 1.
Giải. f'(x) = 1, vì vậy g(x) = √2, một hằng số. T₁ = 1 · √2 ≈ 1.414214, chính xác vì hàm bị tích phân là hằng số. Về mặt hình học, đây là đường chéo của một hình vuông đơn vị.

Bài 3. Xấp xỉ độ dài cung của f(x) = x² trên [0, 1] với n = 2.
Giải. h = 0.5; g(0) = 1, g(0.5) = 1.414214, g(1) = 2.236068. T₂ = 0.5 · [1/2 + 1.414214 + 2.236068/2] = 0.5 · 3.032249 = 1.516124. Giá trị chính xác là 1.478943, vì vậy sai số là 0.037181.

Bài 4. Xấp xỉ độ dài cung của f(x) = sin x trên [0, π] với n = 4.
Giải. g(x) = √(1 + cos²x), h = π/4. Đánh giá tại 0, π/4, π/2, 3π/4, π và áp dụng trọng số cho T₄ ≈ 3.819944. Với n = 8 giá trị là 3.820198, vì vậy kết quả n = 4 đã nằm trong khoảng 0.000254 của giá trị hội tụ.

Bài 5. Tính độ rộng bước với a = 2, b = 5, n = 6.
Giải. h = (5 - 2)/6 = 3/6 = 0.5. Các điểm mẫu là 2, 2.5, 3, 3.5, 4, 4.5, 5: bảy điểm cho sáu panel.

Bài 6. Với n = 10, có bao nhiêu điểm mẫu, và trọng số của chúng là gì?
Giải. Có n + 1 = 11 điểm mẫu. Các đầu mút x₀ và x₁₀ mang trọng số 1/2; chín điểm trong x₁ đến x₉ mang trọng số 1.

Bài 7. Với f(x) = x² trên [0, 1], so sánh T₂ và T₄ và cho biết mức thay đổi.
Giải. T₂ = 1.516124 và T₄ = 1.488264, mức thay đổi 0.027860. Giá trị chính xác là 1.478943, vì vậy nhân đôi n cắt sai số từ 0.037181 còn 0.009321, giảm khoảng bốn lần, như dự đoán của sự hội tụ bậc hai.

Bài 8. T₈ = 1.481272 với f(x) = x² trên [0, 1]. Báo cáo sai số tuyệt đối và sai số tương đối so với giá trị chính xác 1.478943.
Giải. Sai số tuyệt đối = |1.481272 - 1.478943| = 0.002330. Sai số tương đối = 0.002330 / 1.478943 ≈ 0.001576, khoảng 0.16%. Cả ước tính và sai số nên được trích đến ba chữ số thập phân ở đây; các chữ số thừa trong 1.481272 chưa đáng tin cậy.