Kalkulator Panjang Lengkok Peraturan Titik Tengah

Kalkulator Panjang Lengkok Peraturan Titik Tengah menganggarkan panjang sesuatu lengkung dengan membahagikan kamiran panjang lengkok kepada segi empat tepat dan mengambil sampel setiap satunya di pusatnya. Masukkan fungsi, pilih selangan, pilih bilangan sub-selangan yang hendak digunakan, dan kalkulator akan menunjukkan anggaran, jadual titik tengah yang lengkap, anggaran ralat, dan rajah langsung bagi segi empat tepat tersebut. Ikut langkah berikut untuk mendapat jawapan yang betul.

1. Pilih mod pengiraan. Gunakan Fungsi Eksplisit untuk lengkung yang ditulis sebagai y = f(x), seperti y = x² atau y = sin(x). Gunakan Lengkung Berparameter untuk lengkung yang ditulis sebagai x = x(t) dan y = y(t), seperti bulatan atau elips yang dilakarkan oleh suatu parameter.
2. Masukkan fungsi. Taip fungsi dalam kotak input, gunakan ^ untuk kuasa, fungsi punca kuasa dua untuk punca kuasa dua, dan sin(), cos(), exp(), dan ln() untuk fungsi piawai. Kalkulator mencari terbitan secara automatik, atau anda boleh menaip terbitan itu sendiri jika anda sudah mengetahuinya.
3. Tetapkan selangan. Masukkan had bawah a dan had atas b. Selangan [a, b] ialah bahagian lengkung yang panjangnya hendak dicari. Jika anda memasukkan b yang lebih kecil daripada a, kalkulator tetap memberikan panjang yang positif, kerana panjang lengkok tidak pernah negatif.
4. Pilih bilangan sub-selangan n. Gunakan peluncur atau taip nilai. Pilihan pratetap termasuk 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 50, 100, 500, 1,000, dan 5,000. Nilai n yang lebih besar bermakna segi empat tepat yang lebih sempit dan anggaran yang lebih hampir. Mulakan dengan n = 4 untuk melihat cara kerja dengan jelas, kemudian naikkan n untuk melihat jawapan semakin stabil.
5. Pilih ketepatan paparan. Pilih 2, 4, 6, 8, atau 10 tempat perpuluhan. Kalkulator menyimpan ketepatan penuh secara dalaman dan hanya membundarkan hasil yang dipaparkan, jadi menukar ketepatan tidak pernah mengubah pengiraan sebenar.
6. Klik Kira Panjang Lengkok. Hasil utama ialah anggaran titik tengah L_n, yang dilabel dengan jelas sebagai anggaran. Di bawahnya anda mendapat lebar sub-selangan, titik tengah pertama dan terakhir, nilai kamiran pertama dan terakhir, hasil tambah nilai kamiran, panjang perentas antara titik akhir, panjang rujukan berketepatan tinggi, serta anggaran ralat mutlak dan ralat relatif.
7. Kaji rajah. Rajah pertama menunjukkan lengkung asal dengan lengkok yang dipilih diserlahkan dan titik sampel titik tengah ditanda. Rajah kedua menunjukkan kamiran panjang lengkok dengan segi empat tepat titik tengah dilukis di bawahnya. Jumlah luas segi empat tepat itu ialah anggaran, jadi kedua-dua rajah tidak boleh dikelirukan: segi empat tepat itu terletak di bawah kamiran, bukan di bawah lengkung asal.
8. Baca jadual pengiraan. Setiap sub-selangan mendapat satu baris dengan sempadannya, titik tengahnya, terbitan pada titik tengah, nilai kamiran, dan sumbangan segi empat tepat. Baris terakhir menunjukkan hasil tambah, yang sama dengan hasil utama.
9. Bandingkan penumpuan dan cuba ekstrapolasi Richardson. Panel penumpuan menunjukkan anggaran untuk n, 2n, dan 4n bersebelahan, berserta perbezaan antara mereka. Pilihan Richardson menggabungkan dua anggaran menjadi anggaran yang lebih halus. Kedua-duanya diterangkan dalam bahagian panduan di bawah.
10. Salin, eksport, atau tetapkan semula. Gunakan Salin Hasil untuk jawapan, eksport jadual sebagai CSV untuk kerja anda, atau Tetapkan Semula untuk mengosongkan panel. Butang pratetap memuatkan contoh yang telah disahkan serta-merta: parabola, garis lurus, garis mengufuk, suku bulatan, kubik, dan lengkung sinus.

Cuba contoh. y = x² pada [0, 2] dengan n = 4 memberikan L₄ = 4.6267234873 unit, berbanding rujukan 4.6467837624 unit. y = 3x + 1 pada [0, 4] dengan n = 4 memberikan tepat 12.6491106407 unit. y = 2 pada [1, 5] dengan n = 4 memberikan tepat 4.0000000000 unit. Suku bulatan berparameter berjejari 5 memberikan 7.8539816340 unit. y = x³ pada [0, 1] dengan n = 4 memberikan 1.5330289642 unit, dan y = sin(x) pada [0, π] dengan n = 8 memberikan 3.8201978627 unit.

Petua penting. Bezakan fungsi dahulu: kamiran menggunakan f'(x), bukan f(x). Ambil sampel pada titik tengah, bukan pada titik akhir, atau anda sedang mengira peraturan lain. Kekalkan unit sudut dalam radian untuk fungsi trigonometri. Jangan bundarkan titik tengah atau nilai kamiran semasa pengiraan, kerana pembundaran kecil itu bertambah merentas banyak segi empat tepat. Jika fungsi tidak tertakrif pada suatu titik tengah, kalkulator melaporkan ralat dan bukannya melangkau sampel itu secara senyap.

Pengamiran berangka ialah seni menganggarkan suatu kamiran tentu apabila antiterbitan yang tepat sukar dicari, atau apabila hanya nilai sampel tersedia. Peraturan titik tengah ialah salah satu kaedah pengamiran berangka yang paling mudah dan paling boleh diharap. Kaedah ini menganggarkan luas di bawah lengkung dengan menutupnya menggunakan segi empat tepat dan menjumlahkan luasnya.

Hasil tambah Riemann membahagikan selangan [a, b] kepada n sub-selangan yang sama, setiap satunya selebar Δx = (b - a) / n, dan membina satu segi empat tepat pada setiap sub-selangan. Tinggi setiap segi empat tepat ialah nilai fungsi pada satu titik sampel di dalam sub-selangan itu. Hasil tambah titik akhir kiri mengambil sampel di tepi kiri, hasil tambah titik akhir kanan mengambil sampel di tepi kanan, dan peraturan titik tengah mengambil sampel di pusat setiap sub-selangan.

Mengambil sampel di pusat ialah idea utamanya. Pada sub-selangan yang pendek, lengkung yang menaik pada satu sisi titik tengah akan menurun pada sisi yang satu lagi dengan jumlah yang hampir sama, jadi lebihan anggaran pada satu bahagian hampir membatalkan kekurangan anggaran pada bahagian yang satu lagi. Pembatalan inilah sebabnya peraturan titik tengah lebih tepat daripada peraturan titik akhir kiri atau kanan dengan bilangan segi empat tepat yang sama, dan sebabnya ralatnya mengecil mengikut kuasa dua lebar sub-selangan.

Bagi fungsi g(x) pada [a, b], peraturan titik tengah bergabung ialah:

Di sini x_i* ialah titik tengah sub-selangan ke-i, dan hasil tambah meliputi semua n sub-selangan. Setiap sebutan Δx × g(x_i*) ialah luas satu segi empat tepat, dan hasil tambah semua luas segi empat tepat itu ialah anggaran kamiran.

Peraturan titik tengah digunakan jauh melangkaui kerja rumah kalkulus. Jurutera menggunakannya untuk menganggarkan kamiran dalam analisis tegasan dan pemprosesan isyarat, ahli fizik menggunakannya dalam simulasi berangka, dan grafik komputer menggunakannya untuk mengukur panjang lengkung dan luas permukaan. Gabungan kesederhanaan dan ketepatan peringkat kedua menjadikannya pilihan pertama yang biasa apabila suatu kamiran tiada bentuk tertutup yang kemas.

Mengapa titik tengah mengatasi titik akhir. Ambil g(x) = x pada [0, 1] dengan n = 1. Hasil tambah kiri memberikan 0, hasil tambah kanan memberikan 1, dan hasil tambah titik tengah memberikan 0.5, iaitu jawapan tepat. Titik tengah melihat kelakuan purata fungsi merentas sub-selangan, manakala titik akhir hanya melihat satu sisi fungsi itu. Kelebihan ini kekal bagi mana-mana fungsi licin, dan inilah sebabnya peraturan titik tengah menjadi hasil tambah Riemann lalai dalam kebanyakan kerja berangka.

Panjang lengkok ialah jarak yang diukur sepanjang sesuatu lengkung, bukannya jarak garis lurus antara titik akhirnya. Jalan yang berliku melalui bukit lebih panjang daripada garis lurus yang dilukis antara kedua-dua hujungnya pada peta. Dawai yang melengkung lebih panjang daripada jarak yang direntanginya. Panjang lengkok mengukur laluan yang berliku itu sendiri.

Untuk mencari panjang itu, bayangkan lengkung dipotong kepada banyak bahagian kecil. Setiap bahagian kecil sangat pendek sehingga hampir lurus, jadi panjangnya hampir sama dengan garis lurus yang menyambung hujungnya. Menurut teorem Pythagoras, bahagian kecil yang bergerak Δx secara mengufuk dan Δy secara menegak mempunyai panjang hampir √(Δx² + Δy²). Menjumlahkan semua bahagian kecil memberikan jumlah panjang, dan membiarkan bahagian itu mengecil ke sifar menukar hasil tambah itu menjadi kamiran.

Bagi lengkung y = f(x), langkah mengufuk yang kecil dx menghasilkan perubahan menegak dy = f'(x) dx, jadi unsur panjang yang kecil ialah:

Menjumlahkan semua unsur panjang dari a ke b memberikan kamiran panjang lengkok:

Formula itu menerangkan mengapa terbitan terlibat. Lengkung yang curam berubah tinggi dengan cepat, jadi f'(x) besar, kamiran √(1 + [f'(x)]²) besar, dan setiap unit jarak mengufuk menyumbang lebih daripada satu unit panjang lengkung. Lengkung yang rata mempunyai f'(x) hampir sifar, kamirannya hampir 1, dan panjang lengkoknya hampir sama dengan jarak mengufuk b - a.

Panjang lengkok sentiasa sekurang-kurangnya sama panjang dengan perentas. Garis lurus antara titik akhir ialah laluan terpendek antara keduanya, jadi lengkung tidak boleh lebih pendek daripadanya. Bagi parabola y = x² pada [0, 2], perentas dari (0, 0) ke (2, 4) ialah √(20) = 4.4721359550 unit, manakala panjang lengkok sebenar ialah 4.6467837624 unit, lebih panjang sebanyak 0.1746478074 unit. Bagi lengkung sinus y = sin(x) pada [0, π], perentasnya ialah π = 3.1415926536 unit dan lengkoknya ialah 3.8201977890 unit, lebih panjang sebanyak 0.6786051354 unit. Memeriksa bahawa lengkok melebihi perentas ialah ujian kewarasan yang cepat bagi mana-mana jawapan panjang lengkok.

Kebanyakan kamiran panjang lengkok tiada antiterbitan asas. Kamiran parabola ∫ √(1 + 4x²) dx boleh diselesaikan dengan penggantian, tetapi kamiran sinus ∫ √(1 + cos²x) dx langsung tidak boleh dinyatakan dengan fungsi asas. Di sinilah peraturan titik tengah memainkan peranannya: ia menganggarkan kamiran secara berangka, tanpa memerlukan antiterbitan.

Pengiraan panjang lengkok peraturan titik tengah bermula daripada kamiran panjang lengkok yang tepat dan menggantikan kamiran itu dengan hasil tambah luas segi empat tepat. Takrifkan kamiran panjang lengkok:

Kemudian panjang lengkok yang tepat ialah L = ∫_a^b g(x) dx, dan peraturan titik tengah menganggarkan kamiran itu. Bahagikan [a, b] kepada n sub-selangan yang sama. Lebar sub-selangan ialah:

Titik tengah sub-selangan ke-i, dengan i dikira dari 0, ialah:

Nilaikan kamiran pada setiap titik tengah, darabkan setiap nilai dengan Δx, dan tambahkan hasilnya:

Setiap simbol mempunyai maksud yang tepat:

Semakan konkrit. Bagi y = x² pada [0, 2] dengan n = 4, lebarnya ialah Δx = (2 - 0) / 4 = 0.5, titik tengahnya ialah 0.25, 0.75, 1.25, dan 1.75, dan nilai kamirannya ialah 1.1180339887, 1.8027756377, 2.6925824036, dan 3.6400549446. Hasil tambah mereka ialah 9.2534469747, dan mendarab dengan 0.5 memberikan L₄ = 4.6267234873 unit. Setiap nombor dalam rantaian itu ditunjukkan dalam panel langkah demi langkah kalkulator dan dalam jadual pengiraannya.

Bagi lengkung berparameter x = x(t), y = y(t), idea yang sama terpakai pada selangan parameter [t₁, t₂], dengan laju v(t) = √([x'(t)]² + [y'(t)]²) memainkan peranan kamiran. Formula berparameter dibincangkan dalam bahagiannya sendiri di bawah.

Pengiraan peraturan titik tengah mengikut sepuluh langkah, dan kalkulator melaksanakan semuanya secara automatik. Mengusahakan langkah itu sekali dengan tangan menjadikan alat ini jauh lebih mudah dipercayai dan digunakan. Contoh kerja di bawah menggunakan y = x² pada [0, 2] dengan n = 4, contoh yang sama dimuatkan kalkulator sebagai pratetap pertamanya.

1. Kenal pasti fungsi. f(x) = x².
2. Cari terbitan pertamanya. f'(x) = 2x.
3. Kenal pasti selangan pengamiran. a = 0, b = 2.
4. Pilih bilangan sub-selangan. n = 4.
5. Kira lebar sub-selangan. Δx = (2 - 0) / 4 = 0.5.
6. Tentukan titik tengah setiap sub-selangan. x₀* = 0.25, x₁* = 0.75, x₂* = 1.25, x₃* = 1.75. Setiap titik tengah terletak tepat di tengah antara sempadan sub-selangannya: 0.25 terletak di tengah antara 0 dan 0.5, 0.75 terletak di tengah antara 0.5 dan 1, dan seterusnya.
7. Nilaikan kamiran panjang lengkok pada setiap titik tengah. g(x) = √(1 + 4x²), jadi g(0.25) = 1.1180339887, g(0.75) = 1.8027756377, g(1.25) = 2.6925824036, dan g(1.75) = 3.6400549446.
8. Darabkan setiap nilai dengan lebar sub-selangan. Empat sumbangan segi empat tepat itu ialah 0.5 × 1.1180339887 = 0.5590169944, 0.5 × 1.8027756377 = 0.9013878189, 0.5 × 2.6925824036 = 1.3462912018, dan 0.5 × 3.6400549446 = 1.8200274723.
9. Tambahkan semua sumbangan. 0.5590169944 + 0.9013878189 + 1.3462912018 + 1.8200274723 = 4.6267234873.
10. Tafsirkan anggaran panjang lengkok. L₄ = 4.6267234873 unit. Rujukan berketepatan tinggi ialah 4.6467837624 unit, jadi anggaran ini kurang sebanyak 0.0200602751 unit, iaitu ralat relatif 0.4317%.

Sepuluh langkah yang sama terpakai bagi mana-mana fungsi. Bagi y = x³ pada [0, 1] dengan n = 4, terbitannya ialah f'(x) = 3x², lebarnya ialah Δx = 0.25, titik tengahnya ialah 0.125, 0.375, 0.625, dan 0.875, nilai kamirannya ialah 1.0010980300, 1.0853471867, 1.5405489332, dan 2.5051217067, hasil tambah mereka ialah 6.1321158566, dan mendarab dengan 0.25 memberikan L₄ = 1.5330289642 unit, berbanding rujukan 1.5478656547 unit.

Contoh kerja kedua dengan fungsi trigonometri. Bagi y = sin(x) pada [0, π] dengan n = 8, terbitannya ialah f'(x) = cos(x), lebarnya ialah Δx = π / 8 = 0.3926990817, dan lapan titik tengahnya ialah π/16, 3π/16, 5π/16, 7π/16, 9π/16, 11π/16, 13π/16, dan 15π/16. Nilai kamiran, mengikut turutan, ialah 1.4006926023, 1.3005159423, 1.1439660326, 1.0188524102, 1.0188524102, 1.1439660326, 1.3005159423, dan 1.4006926023. Hasil tambah mereka ialah 9.7280539749, dan mendarab dengan 0.3926990817 memberikan L₈ = 3.8201978627 unit, berbanding rujukan 3.8201977890 unit, iaitu ralat mutlak hanya 0.0000000736 unit.

Setiap segi empat tepat titik tengah ialah gambaran kecil yang jujur tentang satu bahagian kamiran. Ia mempunyai tiga bahagian, dan setiap bahagian mempunyai maksud yang jelas.

Bagi parabola y = x² pada [0, 2] dengan n = 4, keempat-empat segi empat tepat mempunyai lebar 0.5. Tingginya ialah 1.1180339887, 1.8027756377, 2.6925824036, dan 3.6400549446, dan luasnya ialah 0.5590169944, 0.9013878189, 1.3462912018, dan 1.8200274723. Jumlah luasnya ialah 4.6267234873 unit, iaitu tepat anggaran titik tengah L₄.

Mengapa hasil tambah luas menghampiri kamiran. Kamiran ∫_a^b g(x) dx ialah luas tepat di bawah lengkung kamiran. Setiap segi empat tepat menggantikan jalur melengkung di atas satu sub-selangan dengan jalur berbumbung rata yang sama lebar, menggunakan tinggi titik tengah sebagai tinggi wakil. Apabila kamiran melengkung ke atas, bumbung rata itu memotong sedikit luas pada satu sisi dan menambah sedikit pada sisi yang satu lagi. Oleh sebab sampel diambil di pusat, kedua-dua ralat itu hampir membatalkan satu sama lain, dan luas segi empat tepat hampir sama dengan luas jalur sebenar. Menjumlahkan segi empat tepat memberikan anggaran seluruh luas, dan dengan itu anggaran panjang lengkok.

Kesilapan rajah yang paling biasa. Segi empat tepat mesti dilukis di bawah lengkung kamiran g(x) = √(1 + [f'(x)]²), bukan di bawah lengkung asal f(x). Lengkung asal dan kamiran ialah graf berbeza dengan tinggi berbeza: bagi y = x² pada [0, 2], lengkung asal bergerak dari 0 ke 4, manakala kamiran bergerak dari 1 ke √(17) = 4.1231056256. Segi empat tepat yang dilukis di bawah lengkung asal akan menjumlahkan luas di bawah f(x), yang tiada kaitan dengan panjang lengkok. Kalkulator memisahkan kedua-dua graf itu, dan rajah panduan di atas menunjukkan segi empat tepat di bawah kamiran sahaja.

Membaca segi empat tepat. Melayangkan penuding pada segi empat tepat dalam kalkulator menunjukkan nombor sub-selangannya, sempadan kiri dan kanannya, titik tengahnya, terbitan pada titik tengah, nilai kamiran, dan sumbangan segi empat tepat. Perincian inilah yang menjadikan jadual berguna untuk kerja rumah: setiap nombor dalam jawapan akhir boleh dijejak kembali kepada satu segi empat tepat.

Bilangan sub-selangan n ialah kawalan tunggal yang paling penting pada kalkulator, kerana ia menentukan betapa halusnya segi empat tepat itu. Nilai n yang kecil bermakna beberapa segi empat tepat yang lebar. Nilai n yang besar bermakna banyak segi empat tepat sempit yang mengikut lengkung kamiran dengan rapat.

Apa yang berlaku apabila n kecil. Dengan n = 1, seluruh selangan menjadi satu segi empat tepat, dan jawapannya ialah Δx × g(titik tengah). Bagi parabola y = x² pada [0, 2], n = 1 memberikan 2 × √(5) = 4.4721359550 unit, iaitu kurang daripada nilai sebenar 4.6467837624 unit sebanyak 0.1746478074 unit. Segi empat tepat tunggal itu tidak dapat mengikut kamiran yang menaik dari 1 ke 4.1231056256, jadi ralatnya besar. Dengan n = 2, jawapan bertambah baik kepada 4.5764912225 unit. Dengan n = 4, jawapannya ialah 4.6267234873 unit. Dengan n = 8, jawapannya ialah 4.6417306581 unit. Dengan n = 16, jawapannya ialah 4.6455205322 unit, dan dengan n = 32, jawapannya ialah 4.6464679593 unit.

Bagaimana ralat mengecil. Bagi kamiran yang licin, ralat peraturan titik tengah berkadar dengan 1 / n². Menggandakan n mengurangkan ralat kepada kira-kira satu perempat. Nombor parabola menunjukkan ini dengan jelas: ralat jatuh dari 0.0200602751 unit pada n = 4 kepada 0.0050531044 unit pada n = 8, kemudian kepada 0.0012632302 unit pada n = 16, kemudian kepada 0.0003158031 unit pada n = 32. Setiap penggandaan membahagikan ralat dengan kira-kira empat. Kelakuan 1 / n² ini dipanggil penumpuan peringkat kedua, dan inilah sebabnya peraturan titik tengah sangat berkesan: peningkatan n yang sederhana memberikan peningkatan ketepatan yang besar.

Mengapa peningkatan itu tidak selalunya monoton. Ralat biasanya mengecil apabila n bertambah, tetapi ia tidak semestinya mengecil pada setiap langkah bagi setiap fungsi. Lengkung sinus menunjukkan contoh ringan tentang ini: n = 2 memberikan 3.8476494905 unit, yang melebihi rujukan 3.8201977890 unit, manakala n = 4 memberikan 3.8204517876 unit, yang jauh lebih hampir. Anggaran itu melintas dari atas nilai sebenar kepada nilai yang sedikit di atasnya, dan ralat tetap mengecil secara keseluruhan. Bagi fungsi dengan liku tajam, ayunan, atau hampir singular, ralat boleh bergoyang apabila n berubah, walaupun arah aliran jangka panjangnya menurun. Jangan sesekali menganggap n yang lebih besar sentiasa memberikan jawapan yang lebih baik pada satu langkah; semak jadual penumpuan sebaliknya.

Kos n yang lebih besar. Lebih banyak sub-selangan bermakna lebih banyak hitungan: lebih banyak penilaian terbitan, lebih banyak nilai kamiran, dan lebih banyak baris jadual. Bagi n = 5,000, kalkulator melakukan 5,000 penilaian, yang pantas bagi komputer tetapi menghasilkan jadual yang terlalu panjang untuk dibaca baris demi baris, jadi kalkulator membahagikannya kepada halaman. Peraturan praktikalnya ialah menaikkan n sehingga jawapan berhenti berubah pada ketepatan yang anda perlukan. Jika n = 100 dan n = 200 bersetuju hingga enam tempat perpuluhan, n = 100 sudah cukup, dan n = 5,000 hanya menambah kerja.

Memilih n dalam amalan. Gunakan n = 4 atau n = 8 semasa belajar, kerana jadual kekal cukup pendek untuk disemak dengan tangan. Gunakan n = 50 atau n = 100 untuk jawapan kerja rumah yang memerlukan empat atau lima tempat perpuluhan yang betul. Gunakan n = 1,000 atau lebih hanya apabila anda memerlukan ketepatan yang sangat tinggi, atau apabila kamiran berubah dengan cepat merentas selangan. Panel penumpuan menunjukkan n, 2n, dan 4n bersama, jadi anda dapat melihat jawapan semakin stabil tanpa perlu meneka.

Peraturan titik tengah ialah salah satu daripada tiga kaedah pengamiran berangka yang klasik, dan setiap satunya mengambil sampel kamiran dengan cara berbeza. Mengetahui perbezaan mereka membantu anda memilih alat yang betul dan memahami mengapa jawapan mereka berbeza.

Peraturan titik tengah. Mengambil sampel di pusat setiap sub-selangan dan membina segi empat tepat. Ralatnya ialah O(1 / n²), sama peringkatnya dengan peraturan trapezium, tetapi peraturan titik tengah biasanya kira-kira dua kali lebih tepat daripada peraturan trapezium bagi n yang sama, kerana sampel pusat membatalkan ralat utama. Ia hanya memerlukan n penilaian, satu bagi setiap sub-selangan, dan ia berfungsi bagi mana-mana n yang positif.

Peraturan trapezium. Mengambil sampel pada titik akhir dan menyambungkannya dengan garis lurus, membentuk trapezium. Ia berkongsi peringkat ralat O(1 / n²) dengan peraturan titik tengah, tetapi ralatnya biasanya mempunyai tanda yang berlawanan: bagi kamiran yang cembung, peraturan trapezium melebihkan anggaran manakala peraturan titik tengah mengurangkan anggaran, atau sebaliknya. Mengambil purata kedua-duanya memberikan gabungan trapezium-titik tengah, yang menjadi asas peraturan Simpson. Cuba kalkulator peraturan trapezium untuk membandingkan kedua-dua kaedah pada fungsi yang sama.

Peraturan Simpson. Memadankan parabola melalui dua titik akhir dan titik tengah setiap pasangan sub-selangan, yang memerlukan bilangan sub-selangan yang genap. Ralatnya ialah O(1 / n⁴), jadi ia menumpu jauh lebih cepat daripada kedua-dua kaedah lain bagi fungsi licin. Harganya ialah sekatan n genap dan lebih banyak penilaian bagi setiap sub-selangan. Cuba kalkulator peraturan Simpson apabila anda memerlukan ketepatan tinggi dengan sedikit sub-selangan.

Perbandingan nombor. Bagi parabola y = x² pada [0, 2] dengan n = 4, peraturan titik tengah memberikan 4.6267234873 unit, peraturan trapezium memberikan 4.6870560064 unit, dan peraturan Simpson memberikan 4.6502010785 unit, berbanding rujukan 4.6467837624 unit. Ralat titik tengah ialah 0.0200602751 unit, ralat trapezium ialah 0.0402722440 unit, dan ralat Simpson ialah 0.0034173160 unit. Simpson menang di sini, seperti biasa bagi fungsi licin, tetapi peraturan titik tengah lebih mudah, tidak memerlukan sekatan n genap, dan menjadi pilihan biasa apabila hanya sampel titik tengah tersedia.

Peraturan mana yang patut anda gunakan? Gunakan peraturan titik tengah apabila anda mahukan anggaran yang mudah dan boleh diharap, apabila anda mengambil sampel fungsi pada titik pedalaman yang sama jarak, atau apabila anda mengajar hasil tambah Riemann. Gunakan peraturan trapezium apabila nilai titik akhir ialah data yang biasa, seperti ukuran yang diambil pada hujung setiap selangan. Gunakan peraturan Simpson apabila fungsi licin dan anda memerlukan ketepatan tinggi dengan n yang kecil. Bagi panjang lengkok khususnya, peraturan titik tengah mempunyai kelebihan praktikal: ia tidak pernah menilai kamiran pada titik akhir, tempat fungsi boleh jadi tidak tertakrif atau singular, jadi ia dapat mengendalikan lengkung yang tidak dapat dimulakan oleh kedua-dua peraturan lain.

Setiap anggaran titik tengah berbeza daripada panjang lengkok sebenar sebanyak suatu jumlah, dan memahami ralat itu mengubah nombor menjadi jawapan yang boleh dipercayai. Terdapat tiga cara berbeza untuk bercakap tentang ralat, dan ketiganya tidak boleh dikelirukan.

Ralat mutlak. Ralat mutlak ialah saiz jurang antara anggaran dengan nilai sebenar: |L - L_n|. Bagi parabola dengan n = 4, ralat mutlak ialah |4.6467837624 - 4.6267234873| = 0.0200602751 unit. Bagi lengkung sinus dengan n = 8, ralatnya ialah |3.8201977890 - 3.8201978627| = 0.0000000736 unit. Ralat mutlak diukur dalam unit yang sama dengan panjang itu sendiri.

Ralat relatif. Ralat relatif membahagikan ralat mutlak dengan saiz nilai sebenar, dan biasanya diberikan sebagai peratusan: |L - L_n| / |L| × 100. Bagi parabola dengan n = 4, ralat relatif ialah 0.4317%. Bagi kubik dengan n = 4, ralatnya ialah 0.9585%. Bagi lengkung sinus dengan n = 8, ralatnya ialah 0.00000193%. Ralat relatif ialah cara yang adil untuk membandingkan ketepatan merentas masalah yang berbeza saiz: ralat 0.02 unit tidak penting pada panjang 100 unit dan sangat penting pada panjang 0.1 unit.

Penunjuk ralat berasaskan penambahbaikan. Dalam kerja sebenar nilai sebenar tidak diketahui, jadi ralat mutlak tidak dapat dikira secara langsung. Sebaliknya, bandingkan dua anggaran: perbezaan |M_2n - M_n| menunjukkan sebanyak mana jawapan bergerak apabila pembahagian dihaluskan. Bagi parabola, |M₈ - M₄| = |4.6417306581 - 4.6267234873| = 0.0150071707 unit. Perbezaan itu ialah isyarat amaran praktikal: jika ia besar, jawapan masih bergerak dan n patut dinaikkan. Ia ialah penunjuk, bukan batas yang dijamin: ralat sebenar boleh lebih besar atau lebih kecil daripada perbezaan penambahbaikan itu, dan ia biasanya kira-kira satu pertiga daripadanya bagi peraturan titik tengah, kerana ralat mengecil dengan faktor empat pada setiap penggandaan.

Batas ralat teori. Bagi kamiran g(x) yang cukup licin, ralat peraturan titik tengah bergabung memenuhi:

Batas itu memerlukan nilai maksimum terbitan kedua kamiran merentas selangan, yang selalunya sukar dicari dengan tepat. Bagi kamiran parabola g(x) = √(1 + 4x²), terbitan keduanya ialah g''(x) = 4 / (1 + 4x²)^3/2, yang nilai terbesarnya pada [0, 2] ialah 4 pada x = 0. Batas bagi n = 4 ialah (8 / (24 × 16)) × 4 = 0.0833333333 unit, dan ralat sebenar 0.0200602751 unit terletak dengan selamat di dalamnya. Bagi n = 8, batasnya ialah 0.0208333333 unit. Batas itu jujur tetapi longgar: ia melebihkan ralat sebenar dengan faktor empat di sini, yang biasa berlaku.

Apabila batas tidak terpakai. Batas ralat mengandaikan kamiran licin, dengan terbitan kedua yang terbatas. Fungsi dengan bucu, lompatan, atau singulariti melanggar andaian itu, dan batas sama ada tidak wujud atau terlalu besar sehingga tidak berguna. Kalkulator tidak mereka batas apabila ia tidak dapat mengesahkannya. Dalam kes itu ia menunjukkan perbezaan penambahbaikan dan menerangkan hadnya, iaitu jawapan yang jujur.

Mengapa kelicinan penting. Kelakuan ralat 1 / n² bergantung pada kamiran yang cukup licin untuk pembatalan titik tengah berfungsi. Kamiran licin seperti √(1 + 4x²) menumpu dengan kemas. Kamiran dengan bucu tajam menumpu lebih perlahan, dan kamiran dengan singulariti mungkin menumpu sangat perlahan atau langsung tidak menumpu. Jika menggandakan n hampir tidak mengubah jawapan, fungsi itu mungkin licin dan sudah tepat. Jika menggandakan n mengubah jawapan dengan banyak, sama ada fungsi itu kasar atau n masih terlalu kecil.

Ekstrapolasi Richardson ialah helah mudah yang menukar dua anggaran titik tengah menjadi satu anggaran yang jauh lebih baik. Ia menggunakan pola ralat peraturan titik tengah yang diketahui untuk membatalkan sebutan ralat utama.

Bagi kamiran yang licin, anggaran titik tengah dengan n sub-selangan mempunyai ralat yang berkelakuan seperti C / n², dengan C ialah pemalar yang bergantung pada fungsi tetapi bukan pada n. Menggandakan sub-selangan kepada 2n pula membahagikan ralat dengan empat. Itu memberikan dua persamaan dengan dua anu, nilai sebenar L dan pemalar C:

Menyelesaikan bagi L menyingkirkan C dan meninggalkan anggaran ekstrapolasi Richardson:

Contoh kerja. Bagi parabola y = x² pada [0, 2], M₄ = 4.6267234873 unit dan M₈ = 4.6417306581 unit. Anggaran Richardson ialah L_R = (4 × 4.6417306581 - 4.6267234873) / 3 = 4.6467330483 unit. Nilai sebenar ialah 4.6467837624 unit, jadi ralat ekstrapolasi hanya 0.0000507141 unit, jauh lebih kecil daripada ralat M₄ asal 0.0200602751 unit. Ekstrapolasi itu memberikan ketepatan n yang jauh lebih besar hanya dengan pengiraan n = 4 dan n = 8.

Contoh kerja dengan lengkung sinus. Bagi y = sin(x) pada [0, π], M₈ = 3.8201978627 unit dan M₁₆ = 3.8201977890 unit. Anggaran Richardson ialah L_R = (4 × 3.8201977890 - 3.8201978627) / 3 = 3.8201977645 unit, berbanding rujukan 3.8201977890 unit, iaitu ralat hanya 0.0000000245 unit.

Contoh kerja dengan kubik. Bagi y = x³ pada [0, 1], M₄ = 1.5330289642 unit dan M₈ = 1.5441590533 unit. Anggaran Richardson ialah L_R = (4 × 1.5441590533 - 1.5330289642) / 3 = 1.5478690830 unit, berbanding rujukan 1.5478656547 unit, iaitu ralat 0.0000034283 unit. Ralat M₄ asal ialah 0.0148366905 unit, jadi ekstrapolasi mengurangkannya dengan faktor kira-kira 4327.7.

Apa yang bukan ekstrapolasi Richardson. Nilai ekstrapolasi ialah anggaran yang dihalusi, bukan hasil peraturan titik tengah dan bukan jawapan tepat yang dijamin. Ia mengandaikan ralat benar-benar berkelakuan seperti C / n², yang terpakai bagi kamiran licin dan gagal bagi kamiran kasar. Jika kamiran mempunyai bucu atau singulariti, ekstrapolasi boleh jadi lebih teruk daripada anggaran asal, jadi kalkulator sentiasa menunjukkan hasil titik tengah asal dahulu dan melabel nilai ekstrapolasi secara berasingan. Ekstrapolasi Richardson juga ialah idea di sebalik pengamiran Romberg, yang mengulangi helah yang sama pada beberapa peringkat untuk mencapai ketepatan yang sangat tinggi.

Sesetengah lengkung tidak boleh ditulis sebagai y = f(x). Bulatan, misalnya, memberikan dua nilai y bagi kebanyakan nilai x, jadi tiada satu fungsi pun yang memerihalkannya. Lengkung berparameter menyelesaikan ini dengan memerihalkan kedua-dua koordinat sebagai fungsi parameter t: x = x(t) dan y = y(t). Apabila t bergerak dari t₁ ke t₂, titik (x(t), y(t)) melakarkan lengkung itu.

Bagi lengkung berparameter, unsur panjang yang kecil datang daripada pergerakan dalam kedua-dua koordinat: ds = √(dx² + dy²). Menulis dx = x'(t) dt dan dy = y'(t) dt memberikan kamiran panjang lengkok berparameter:

Kuantiti di bawah punca kuasa dua ialah laju v(t) = √([x'(t)]² + [y'(t)]²), iaitu kadar titik itu bergerak sepanjang lengkung apabila t berubah. Peraturan titik tengah terpakai pada selangan parameter tepat seperti ia terpakai pada selangan x: bahagikan [t₁, t₂] kepada n bahagian sama selebar Δt = (t₂ - t₁) / n, ambil sampel laju pada parameter titik tengah t_i* = t₁ + (i + ½)Δt, dan tambahkan sumbangannya:

Contoh kerja: suku bulatan. Ambil x(t) = 5 cos(t) dan y(t) = 5 sin(t) pada [0, π/2], dengan n = 4. Terbitannya ialah x'(t) = -5 sin(t) dan y'(t) = 5 cos(t). Lajunya ialah v(t) = √(25 sin²(t) + 25 cos²(t)) = √(25) = 5, suatu pemalar, kerana sin²(t) + cos²(t) = 1. Lebar parameter ialah Δt = (π/2 - 0) / 4 = π/8 = 0.3926990817, dan parameter titik tengahnya ialah π/16, 3π/16, 5π/16, dan 7π/16. Setiap nilai laju ialah 5, jadi setiap sumbangan ialah 0.3926990817 × 5 = 1.9634954085, dan jumlahnya ialah 4 × 1.9634954085 = 7.8539816340 unit, iaitu tepat 5π/2. Peraturan titik tengah adalah tepat di sini bagi mana-mana n, kerana lajunya malar.

Mengapa bentuk berparameter penting. Banyak lengkung sebenar bersifat berparameter secara semula jadi: bulatan, elips, lingkaran, lengkung Bezier dalam perisian reka bentuk, dan laluan objek bergerak dalam fizik dan robotik. Bentuk eksplisit y = f(x) tidak dapat memerihalkan lengkung yang berpatah balik pada dirinya sendiri, tetapi bentuk berparameter dapat. Kalkulator mengendalikan kedua-dua bentuk dengan enjin titik tengah yang sama, jadual yang sama, dan analisis penumpuan yang sama. Untuk maklumat lanjut tentang lengkung berparameter, lihat kalkulator panjang lengkok berparameter.

Amaran tentang parameter. Parameter t tidak sama dengan panjang lengkok melainkan lajunya ialah 1. Langkah yang sama dalam t memberikan langkah yang sama sepanjang lengkung hanya apabila lajunya malar. Bagi lengkung berparameter yang umum, peraturan titik tengah tetap berfungsi dengan betul, kerana ia mengkamirkan laju, tetapi segi empat tepatnya sama dalam t, bukan sama dalam jarak sepanjang lengkung. Itu tidak mengapa: formula mengambil kiranya melalui v(t).

Peraturan titik tengah berguna di mana-mana sahaja kamiran perlu dianggarkan secara berangka, dan panjang lengkok hanyalah salah satu tugasnya. Kesederhanaannya, ketepatan peringkat kedua, dan toleransinya terhadap masalah titik akhir menjadikannya alat kerja yang penting dalam banyak bidang.

Kalkulus berangka dan pendidikan. Peraturan titik tengah selalunya kaedah pengamiran berangka pertama yang ditemui pelajar, kerana segi empat tepat mudah dilukis dan idea titik tengah mudah difahami. Ia mengajar hasil tambah Riemann, penumpuan, dan analisis ralat dalam satu pakej. Jadual dan rajah kalkulator ini dibina tepat untuk tujuan itu: setiap nombor dalam jawapan boleh dijejak kepada satu segi empat tepat.

Kejuruteraan. Jurutera menganggarkan panjang bahagian melengkung, kabel, paip, dan selekoh jalan daripada model matematik. Apabila lengkung itu polinomial atau fungsi trigonometri, kamiran panjang lengkok selalunya tiada bentuk tertutup, jadi kaedah berangka ialah satu-satunya pilihan. Peraturan titik tengah memberikan jawapan yang pantas dengan anggaran ralat yang jelas, dan menaikkan n menghaluskannya setakat yang diperlukan oleh reka bentuk.

Fizik. Ahli fizik mengkamirkan sepanjang laluan untuk mengira kerja, jarak perjalanan, dan kuantiti medan. Zarah yang bergerak sepanjang laluan melengkung meliputi jarak yang sama dengan panjang lengkok trajektorinya, dan peraturan titik tengah menganggarkan jarak itu daripada data halaju. Kaedah yang sama menganggarkan kamiran dalam termodinamik, optik, dan mekanik kuantum, di mana sahaja antiterbitan analitik tidak dapat dicapai.

Grafik komputer dan CAD. Lengkung pada skrin dilukis sebagai banyak segmen lurus yang pendek, dan jumlah panjang lengkung dianggarkan dengan menambah segmen itu, iaitu sejenis pengamiran berangka. Garis fon, laluan animasi, dan laluan alat CAD semuanya bergantung pada ukuran panjang lengkung yang tepat. Peraturan titik tengah memberikan cara yang berprinsip untuk mengukur panjang itu dan bukannya meneka daripada gambar.

Pengukuran lengkung dan robotik. Lengan robot yang menggerakkan pencengkamnya sepanjang lengkok bulatan, mesin CNC yang memotong tepi melengkung, atau juruukur yang mengukur sempadan melengkung semuanya memerlukan panjang lengkung yang hanya diketahui melalui persamaannya atau melalui titik sampel. Peraturan titik tengah menukar sampel itu menjadi panjang, dengan anggaran ralat yang menyatakan sejauh mana jawapan itu boleh dipercayai.

Permodelan saintifik dan geometri pengiraan. Model dalam biologi, kewangan, dan sains iklim mengkamirkan fungsi yang hanya diketahui pada titik diskret. Peraturan titik tengah ialah pilihan biasa apabila data itu sampel yang diambil di pusat selangan, yang lazim dalam bacaan penderia dan output simulasi. Dalam geometri pengiraan, ia mengukur perimeter bentuk melengkung dan panjang lengkung splin.

Apabila tidak patut menggunakannya. Peraturan titik tengah ialah pilihan yang lemah apabila kamiran mempunyai singulariti di dalam selangan, apabila fungsi tidak selanjar, atau apabila ketepatan yang sangat tinggi diperlukan dengan sedikit penilaian: peraturan Simpson atau kaedah adaptif akan berfungsi lebih baik di sana. Ia juga alat yang salah apabila kamiran itu sendiri bukan persoalannya, seperti apabila panjang lengkok bentuk tertutup sudah diketahui. Bulatan berjejari 5 mempunyai lengkok suku bulatan tepat 5π/2 = 7.8539816340 unit, dan tiada kaedah berangka yang dapat memperbaiki nilai itu.

Kebanyakan jawapan titik tengah yang salah datang daripada senarai kesilapan yang pendek. Menyemak setiap satunya mengambil masa beberapa saat dan menyelamatkan kebanyakan kesilapan.

1. Menggunakan titik akhir dan bukannya titik tengah. Mengambil sampel di tepi kiri atau kanan setiap sub-selangan mengira hasil tambah Riemann kiri atau kanan, bukan peraturan titik tengah. Bagi parabola y = x² pada [0, 2] dengan n = 4, hasil tambah kiri ialah 3.75 unit dan hasil tambah kanan ialah 5.75 unit, manakala peraturan titik tengah memberikan 4.6267234873 unit. Hanya nilai titik tengah ialah jawapan peraturan titik tengah.
2. Lupa membezakan fungsi. Kamirannya ialah g(x) = √(1 + [f'(x)]²), bukan √(1 + [f(x)]²). Bagi y = x², menggunakan f(x) dan bukannya f'(x) memberikan kamiran √(1 + x⁴), nombor yang berbeza sama sekali. Bezakan dahulu.
3. Menggunakan kamiran panjang lengkok yang salah. Kamiran mestilah √(1 + [f'(x)]²). Menggugurkan 1, melupakan kuasa dua, atau mengambil punca kuasa dua daripada kuantiti yang salah semuanya memberikan jawapan yang salah. Bagi garis lurus dengan kecerunan 3, kamirannya ialah pemalar √(10) = 3.1622776602, bukan 3 dan bukan √(1 + 3).
4. Membahagikan selangan dengan salah. Lebarnya ialah Δx = (b - a) / n, dengan panjang selangan penuh di atas. Membahagi dengan n + 1, atau menggunakan b / n dan bukannya (b - a) / n, menggerakkan setiap titik tengah dan merosakkan jawapan. Bagi [0, 2] dengan n = 4, lebarnya ialah 0.5, bukan 0.4 dan bukan 0.6666666667.
5. Menggunakan bilangan titik tengah yang salah. Terdapat tepat n titik tengah, satu bagi setiap sub-selangan, bukan n + 1. Titik akhir bukan titik tengah. Mengira n + 1 titik sampel bermakna satu sub-selangan dikira dua kali atau titik akhir diambil sampelnya secara silap.
6. Mengelirukan lengkung asal dengan graf kamiran. Segi empat tepat titik tengah terletak di bawah kamiran g(x), bukan di bawah lengkung asal f(x). Melukisnya di bawah f(x) dan menambah luasnya memberikan luas di bawah f(x), yang bukan panjang lengkok. Kedua-dua graf itu lengkung berbeza dan mesti ditunjukkan secara berasingan.
7. Membundarkan nilai perantaraan. Membundarkan titik tengah, nilai terbitan, atau nilai kamiran sebelum menambahkannya menimbulkan ralat kecil yang bertambah merentas banyak segi empat tepat. Kekalkan ketepatan penuh sepanjang pengiraan dan bundarkan hanya hasil akhir yang dipaparkan. Kalkulator melakukan ini secara automatik.
8. Menganggap setiap anggaran adalah tepat. Peraturan titik tengah memberikan anggaran, bukan nilai sebenar, kecuali dalam kes khas seperti garis lurus dan lengkung berparameter yang lajunya malar. Bagi parabola, L₄ = 4.6267234873 unit hampir dengan nilai sebenar 4.6467837624 unit, tetapi tidak sama dengannya. Laporkan hasil sentiasa sebagai anggaran dan berikan anggaran ralat bersamanya.
9. Mengelirukan anggaran ralat dengan batas ralat yang dijamin. Perbezaan penambahbaikan |M_2n - M_n| ialah penunjuk sebanyak mana jawapan masih bergerak, bukan jaminan bahawa ralat sebenar lebih kecil daripada perbezaan itu. Batas teori ((b - a)³ / (24n²)) × max|g''(x)| ialah jaminan, tetapi hanya apabila nilai maksimum terbitan kedua diketahui dan kamirannya licin.
10. Mengabaikan sekatan domain fungsi. Fungsi seperti √(x) tidak tertakrif bagi x negatif, dan ln(x) tidak tertakrif bagi x ≤ 0. Jika titik tengah jatuh di luar domain, nilai kamiran tidak wujud, dan anggaran itu tidak bermakna. Kalkulator melaporkan ralat dalam kes itu dan bukannya mereka nilai.
11. Menggunakan terbitan berparameter yang salah. Bagi lengkung berparameter, kedua-dua terbitan x'(t) dan y'(t) diperlukan, dan lajunya ialah √([x'(t)]² + [y'(t)]²). Menggunakan hanya salah satunya, atau membezakan terhadap pemboleh ubah yang salah, memberikan laju yang salah dan panjang yang salah. Bagi suku bulatan, x'(t) = -5 sin(t) dan y'(t) = 5 cos(t), dan kedua-duanya diperlukan untuk mendapat laju malar 5.
12. Menganggap fungsi yang tidak licin atau singular seolah-olah andaian ralat piawai terpakai secara automatik. Kelakuan ralat 1 / n² dan batas teori mengandaikan kamiran yang licin. Fungsi dengan bucu, lompatan, atau singulariti di dalam selangan boleh menumpu jauh lebih perlahan, dan ekstrapolasi Richardson boleh gagal. Semak jadual penumpuan: jika menggandakan n tidak mengurangkan perubahan dengan kira-kira empat, andaian piawai tidak terpakai bagi fungsi itu.

Semakan akhir yang menangkap kebanyakan kesilapan ini. Sahkan hasil terhadap panjang perentas dan nilai rujukan. Anggaran mestilah sekurang-kurangnya sama panjang dengan perentas, ia mesti menghampiri rujukan apabila n bertambah, hasil tambah baris jadual mesti sama dengan hasil utama, dan bagi garis lurus atau lengkung yang lajunya malar ia mesti sama dengan nilai tepat. Jika mana-mana semakan itu gagal, salah satu daripada dua belas kesilapan di atas ialah puncanya.

Enam contoh ini merangkumi mod utama kalkulator dan jenis fungsi. Setiap satunya dikira oleh enjin titik tengah yang sama yang menggerakkan alat ini, dan setiap hasil telah disahkan secara bebas terhadap rujukan Simpson adaptif yang berketepatan tinggi.

Contoh 1: Parabola, y = x² pada [0, 2], n = 4. Terbitannya ialah f'(x) = 2x, lebarnya ialah Δx = 0.5, dan titik tengahnya ialah 0.25, 0.75, 1.25, dan 1.75. Nilai kamirannya ialah 1.1180339887, 1.8027756377, 2.6925824036, dan 3.6400549446, hasil tambah mereka ialah 9.2534469747, dan L₄ = 0.5 × 9.2534469747 = 4.6267234873 unit. Rujukannya ialah 4.6467837624 unit, jadi ralat mutlak ialah 0.0200602751 unit dan ralat relatif ialah 0.4317%. Menggandakan kepada n = 8 memberikan 4.6417306581 unit, dan anggaran Richardson daripada kedua-duanya ialah 4.6467330483 unit.

Contoh 2: Garis lurus, y = 3x + 1 pada [0, 4], n = 4. Terbitannya ialah f'(x) = 3, jadi kamirannya ialah pemalar g(x) = √(10) = 3.1622776602. Lebarnya ialah Δx = 1, titik tengahnya ialah 0.5, 1.5, 2.5, dan 3.5, dan setiap nilai kamiran ialah 3.1622776602. Hasil tambahnya ialah 4 × 3.1622776602 = 12.6491106407, dan L₄ = 1 × 12.6491106407 = 12.6491106407 unit, iaitu tepat 4√(10). Peraturan titik tengah adalah tepat bagi mana-mana n di sini, kerana kamirannya malar dan setiap segi empat tepat mempunyai tinggi yang betul.

Contoh 3: Garis mengufuk, y = 2 pada [1, 5], n = 4. Terbitannya ialah f'(x) = 0, jadi kamirannya ialah pemalar g(x) = √(1 + 0) = 1. Lebarnya ialah Δx = 1, titik tengahnya ialah 1.5, 2.5, 3.5, dan 4.5, dan setiap sumbangan ialah 1 × 1 = 1. Jumlahnya ialah L₄ = 4.0000000000 unit, iaitu tepat jarak mengufuk 5 - 1 = 4. Garis mengufuk tiada perubahan menegak, jadi panjang lengkoknya hanya panjang selangan.

Contoh 4: Suku bulatan berparameter, x(t) = 5 cos(t), y(t) = 5 sin(t) pada [0, π/2], n = 4. Terbitannya ialah x'(t) = -5 sin(t) dan y'(t) = 5 cos(t), dan lajunya ialah pemalar v(t) = 5. Lebar parameter ialah Δt = π/8 = 0.3926990817, parameter titik tengahnya ialah π/16, 3π/16, 5π/16, dan 7π/16, dan setiap sumbangan ialah 0.3926990817 × 5 = 1.9634954085. Jumlahnya ialah L₄ = 7.8539816340 unit, tepat 5π/2. Bulatan penuh ialah 10π = 31.4159265359 unit, dan semibulatan ialah 5π = 15.7079632679 unit.

Contoh 5: Kubik, y = x³ pada [0, 1], n = 4. Terbitannya ialah f'(x) = 3x², lebarnya ialah Δx = 0.25, dan titik tengahnya ialah 0.125, 0.375, 0.625, dan 0.875. Nilai kamirannya ialah 1.0010980300, 1.0853471867, 1.5405489332, dan 2.5051217067, hasil tambah mereka ialah 6.1321158566, dan L₄ = 0.25 × 6.1321158566 = 1.5330289642 unit. Rujukannya ialah 1.5478656547 unit, jadi ralat mutlak ialah 0.0148366905 unit dan ralat relatif ialah 0.9585%. Menggandakan kepada n = 8 memberikan 1.5441590533 unit, dan anggaran Richardson ialah 1.5478690830 unit.

Contoh 6: Trigonometri, y = sin(x) pada [0, π], n = 8. Terbitannya ialah f'(x) = cos(x), lebarnya ialah Δx = π/8 = 0.3926990817, dan lapan titik tengahnya ialah π/16, 3π/16, 5π/16, 7π/16, 9π/16, 11π/16, 13π/16, dan 15π/16. Nilai kamirannya ialah 1.4006926023, 1.3005159423, 1.1439660326, 1.0188524102, 1.0188524102, 1.1439660326, 1.3005159423, dan 1.4006926023. Hasil tambah mereka ialah 9.7280539749, dan L₈ = 0.3926990817 × 9.7280539749 = 3.8201978627 unit. Rujukannya ialah 3.8201977890 unit, jadi ralat mutlak hanya 0.0000000736 unit, iaitu ralat relatif 0.00000193%. Kamiran ini tiada antiterbitan asas, jadi peraturan titik tengah dan rujukan ialah cara praktikal untuk mendapat jawapannya.

Klik mana-mana butang pratetap dalam kalkulator untuk memuatkan salah satu contoh ini dan melihat penyelesaian langkah demi langkah yang lengkap, rajah langsung, jadual pengiraan, dan perbandingan penumpuan bagi input itu.

Panjang lengkok dengan peraturan titik tengah muncul di mana-mana sahaja jarak melengkung perlu diukur daripada formula dan bukannya daripada pita ukur. Pengiraan yang sama berkhidmat untuk pelajar, jurutera, dan pereka bentuk.

Jalan raya, landasan, dan kabel. Jalan yang melengkung, selekoh landasan larian, atau kabel yang tergantung antara dua sokongan semuanya mempunyai panjang yang mengikut lengkung. Apabila lengkung itu dimodelkan oleh fungsi, peraturan titik tengah menganggarkan panjangnya daripada model itu, dan anggaran ralat menyatakan sejauh mana jawapan itu boleh dipercayai. Kabel yang dimodelkan oleh y = x² pada [0, 2] memerlukan 4.6467837624 unit kabel, bukan 4.4721359550 unit jurang garis lurus.

Pembuatan dan kepingan logam. Panel melengkung, paip yang dibengkokkan, atau tepi yang digulung bermula sebagai bahan rata yang panjangnya diketahui. Peraturan titik tengah menukar reka bentuk melengkung itu menjadi panjang rata yang perlu dipotong, dan jadual penumpuan mengesahkan panjang itu mengikut ketepatan yang diperlukan oleh bengkel. Selekoh suku bulatan berjejari 5 memerlukan 7.8539816340 unit bahan sepanjang lengkung.

Seni bina. Gerbang, kubah, dan tangga melengkung diukur mengikut lengkoknya. Gerbang semibulatan berjejari 5 memerlukan 5π = 15.7079632679 unit hiasan sepanjang lengkung. Bagi gerbang bukan bulatan yang dimodelkan oleh parabola atau lengkung sinus, peraturan titik tengah memberikan panjang hiasan terus daripada persamaan reka bentuk.

Fizik dan gerakan. Jarak yang dilalui zarah sepanjang laluan melengkung ialah panjang lengkok trajektorinya. Bandul, peluru, atau satelit dalam orbit elips semuanya bergerak sepanjang lengkung yang panjangnya penting bagi pengiraan tenaga, masa, dan bahan api. Peraturan titik tengah menganggarkan jarak itu daripada persamaan gerakan.

Grafik komputer, animasi, dan permainan. Objek yang bergerak sepanjang laluan melengkung, pergerakan kamera, dan watak animasi semuanya mengikut splin dan lengkung berparameter. Jarak sepanjang laluan menentukan kelajuan, masa, dan jarak bingkai. Peraturan titik tengah mengukur panjang laluan itu daripada persamaan lengkung, dan mod berparameter mengendalikan lengkung yang berpatah balik.

Perubatan dan biologi. Salur darah, tulang belakang, dan permukaan melengkung organ diukur daripada imbasan dan model. Panjang lengkok sepanjang garis tengah salur membantu merancang stent dan kateter, dan peraturan titik tengah menukar garis tengah yang dimodelkan itu menjadi panjang dengan anggaran ralat.

Kalkulator berkaitan di laman ini. Untuk panjang lengkok tepat bagi lengkung bernama, cuba kalkulator panjang lengkok parabola, kalkulator panjang lengkok elips, kalkulator panjang lengkok semibulatan, kalkulator panjang lengkok bulatan, dan kalkulator panjang lengkok sektor. Untuk pengamiran tepat langkah demi langkah, cuba kalkulator panjang lengkok dengan langkah, kalkulator panjang lengkok berparameter, kalkulator panjang lengkok kutub, dan kalkulator panjang lengkok 3D. Untuk kaedah berangka lain, cuba kalkulator peraturan trapezium dan kalkulator peraturan Simpson.

Jadual ini mengumpulkan kelakuan penumpuan dua contoh kerja utama di satu tempat, supaya anda dapat melihat betapa cepatnya peraturan titik tengah stabil dan bagaimana ekstrapolasi Richardson memperbaiki jawapannya. Semua nilai dikira oleh enjin titik tengah, dengan rujukan daripada pengamiran Simpson adaptif.

Parabola y = x² pada [0, 2], rujukan 4.6467837624 unit.

Lengkung sinus y = sin(x) pada [0, π], rujukan 3.8201977890 unit.

Cara membaca jadual. Ralat parabola jatuh dengan faktor kira-kira empat pada setiap penggandaan, dari 0.0200602751 pada n = 4 kepada 0.0050531044 pada n = 8 kepada 0.0012632302 pada n = 16, iaitu kelakuan 1 / n² yang dijangkakan. Lengkung sinus menumpu lebih cepat lagi, kerana kamirannya hampir rata berhampiran tengah selangan: menjelang n = 8 ralatnya sudah 0.0000000736 unit, dan menjelang n = 16 anggaran itu bersetuju dengan rujukan hingga kesemua sepuluh tempat perpuluhan yang dipaparkan. Baris Richardson menunjukkan idea yang sama dalam satu langkah: menggabungkan dua anggaran mengatasi mana-mana satu daripadanya, dengan ralat 0.0000507141 unit bagi parabola dan 0.0000000245 unit bagi lengkung sinus. Gunakan jadual ini sebagai penanda aras: jika pengiraan anda sendiri bagi salah satu contoh ini tidak sepadan dengan jadual, semak terbitan, titik tengah, dan kamiran sebelum mempercayai jawapannya.