Calculadora de longitud de arco con la regla del punto medio

La calculadora de longitud de arco con la regla del punto medio aproxima la longitud de una curva dividiendo la integral de longitud de arco en rectángulos y tomando una muestra en el centro de cada uno. Introduce una función, elige un intervalo y el número de subintervalos, y la calculadora muestra la aproximación, la tabla completa de puntos medios, la estimación del error y un diagrama en vivo de los rectángulos. Sigue estos pasos para obtener una respuesta correcta.

1. Elige el modo de cálculo. Usa Función explícita para una curva escrita como y = f(x), por ejemplo y = x² o y = sin(x). Usa Curva paramétrica para una curva escrita como x = x(t) e y = y(t), por ejemplo un círculo o una elipse trazada por un parámetro.
2. Introduce la función. Escribe la función en el cuadro de entrada, usando ^ para las potencias, la función de raíz cuadrada para las raíces cuadradas, y sin(), cos(), exp() y ln() para las funciones habituales. La calculadora halla la derivada de forma automática, o puedes escribir la derivada tú mismo si ya la conoces.
3. Define el intervalo. Introduce el límite inferior a y el límite superior b. El intervalo [a, b] es el tramo de la curva cuya longitud quieres medir. Si introduces un valor de b menor que a, la calculadora devuelve igualmente una longitud positiva, porque la longitud de arco nunca es negativa.
4. Elige el número de subintervalos n. Usa el control deslizante o escribe un valor. Los valores predefinidos incluyen 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 50, 100, 500, 1,000 y 5,000. Un valor mayor de n significa rectángulos más estrechos y, por lo general, una aproximación más cercana. Empieza con n = 4 para ver el procedimiento con claridad y luego aumenta n para observar cómo se estabiliza la respuesta.
5. Elige la precisión de visualización. Elige 2, 4, 6, 8 o 10 decimales. La calculadora conserva la precisión completa en sus cálculos internos y solo redondea el resultado mostrado, así que cambiar la precisión nunca cambia el cálculo subyacente.
6. Haz clic en Calcular longitud de arco. El resultado principal es la aproximación por punto medio L_n, etiquetada con claridad como una aproximación. Debajo aparecen la anchura de subintervalo, el primer y el último punto medio, los primeros y últimos valores del integrando, la suma de los valores del integrando, la longitud de la cuerda entre los extremos, la longitud de referencia de alta precisión y los errores absoluto y relativo estimados.
7. Estudia los diagramas. El primer diagrama muestra la curva original con el arco seleccionado resaltado y los puntos medios marcados. El segundo diagrama muestra el integrando de longitud de arco con los rectángulos de punto medio dibujados debajo. El área total de esos rectángulos es la aproximación, así que no hay que confundir los dos diagramas: los rectángulos pertenecen al integrando, nunca a la curva original.
8. Lee la tabla de cálculo. Cada subintervalo tiene una fila con sus límites, su punto medio, la derivada en el punto medio, el valor del integrando y la contribución del rectángulo. La última fila muestra la suma, que es igual al resultado principal.
9. Compara la convergencia y prueba la extrapolación de Richardson. El panel de convergencia muestra las aproximaciones para n, 2n y 4n una junto a otra, con las diferencias entre ellas. La opción de Richardson combina dos aproximaciones en una estimación refinada. Ambas se explican en las secciones de la guía que siguen.
10. Copia, exporta o reinicia. Usa Copiar resultado para la respuesta, exporta la tabla como CSV para tu trabajo, o Reiniciar para limpiar el panel. Los botones de ejemplos cargan al instante ejemplos verificados: la parábola, la recta, la recta horizontal, el cuarto de círculo, la cúbica y la curva seno.

Prueba un ejemplo. y = x² en [0, 2] con n = 4 da L₄ = 4.6267234873 unidades, frente a una referencia de 4.6467837624 unidades. y = 3x + 1 en [0, 4] con n = 4 da exactamente 12.6491106407 unidades. y = 2 en [1, 5] con n = 4 da exactamente 4.0000000000 unidades. El cuarto de círculo paramétrico de radio 5 da 7.8539816340 unidades. y = x³ en [0, 1] con n = 4 da 1.5330289642 unidades, e y = sin(x) en [0, π] con n = 8 da 3.8201978627 unidades.

Consejos importantes. Deriva siempre la función primero: el integrando usa f'(x), no f(x). Toma la muestra en los puntos medios, no en los extremos, o estarás calculando otra regla distinta. Mantén la unidad de ángulo en radianes para las funciones trigonométricas. No redondees los puntos medios ni los valores del integrando a mitad del cálculo, porque esos pequeños redondeos se acumulan en muchos rectángulos. Si la función no está definida en un punto medio, la calculadora informa de un error en lugar de saltarse la muestra en silencio.

La integración numérica es el arte de estimar una integral definida cuando resulta difícil hallar una antiderivada exacta, o cuando solo se dispone de valores muestreados. La regla del punto medio es uno de los métodos de integración numérica más sencillos y fiables. Estima el área bajo una curva cubriéndola con rectángulos y sumando sus áreas.

Una suma de Riemann divide el intervalo [a, b] en n subintervalos iguales, cada uno de anchura Δx = (b - a) / n, y construye un rectángulo sobre cada subintervalo. La altura de cada rectángulo es el valor de la función en un solo punto de muestra dentro de ese subintervalo. Las sumas de extremo izquierdo toman la muestra en el borde izquierdo, las sumas de extremo derecho en el borde derecho, y la regla del punto medio toma la muestra en el centro de cada subintervalo.

Tomar la muestra en el centro es la idea clave. En un subintervalo corto, una curva que sube a un lado del punto medio baja al otro lado en una cantidad parecida, así que la sobreestimación en una mitad cancela aproximadamente la subestimación en la otra mitad. Esa cancelación es la razón por la que la regla del punto medio es más precisa que las reglas de extremo izquierdo o derecho con el mismo número de rectángulos, y por la que su error disminuye con el cuadrado de la anchura del subintervalo.

Para una función g(x) en [a, b], la regla del punto medio compuesta es:

Aquí x_i* es el punto medio del subintervalo i, y la suma recorre los n subintervalos. Cada término Δx × g(x_i*) es el área de un rectángulo, y la suma de todas las áreas de los rectángulos es la aproximación de la integral.

La regla del punto medio se usa mucho más allá de los ejercicios de cálculo. Los ingenieros la usan para estimar integrales en análisis de tensiones y procesamiento de señales, los físicos la usan en simulaciones numéricas, y los gráficos por ordenador la usan para medir longitudes de curvas y áreas de superficies. Su combinación de sencillez y precisión de segundo orden la convierte en una primera opción habitual cuando una integral no tiene una forma cerrada sencilla.

Por qué los puntos medios superan a los extremos. Toma g(x) = x en [0, 1] con n = 1. La suma izquierda da 0, la suma derecha da 1, y la suma de punto medio da 0.5, que es la respuesta exacta. El punto medio capta el comportamiento medio de la función en todo el subintervalo, mientras que un extremo solo ve un lado. Esa ventaja se mantiene para cualquier función suave, y es la razón por la que la regla del punto medio es la suma de Riemann habitual en la mayor parte del trabajo numérico.

La longitud de arco es la distancia medida a lo largo de una curva, en lugar de la distancia en línea recta entre sus extremos. Una carretera que serpentea entre colinas es más larga que la línea recta trazada entre sus dos extremos en un mapa. Un alambre curvado es más largo que el hueco que cubre. La longitud de arco mide el propio camino sinuoso.

Para hallar esa longitud, imagina cortar la curva en muchos trozos diminutos. Cada trozo diminuto es tan corto que casi es recto, así que su longitud se acerca a la línea recta que une sus extremos. Por el teorema de Pitágoras, un trozo diminuto que se mueve Δx en horizontal y Δy en vertical tiene una longitud cercana a √(Δx² + Δy²). Sumar todos los trozos diminutos da la longitud total, y dejar que los trozos se reduzcan a cero convierte la suma en una integral.

Para una curva y = f(x), un paso diminuto en horizontal dx produce un cambio vertical dy = f'(x) dx, así que el elemento diminuto de longitud es:

Sumar todos los elementos de longitud desde a hasta b da la integral de longitud de arco:

Esa fórmula explica por qué interviene la derivada. Una curva empinada cambia de altura con rapidez, así que f'(x) es grande, el integrando √(1 + [f'(x)]²) es grande, y cada unidad de distancia horizontal aporta más de una unidad de longitud de curva. Una curva plana tiene f'(x) cercana a cero, el integrando se acerca a 1, y la longitud de arco se acerca a la distancia horizontal b - a.

La longitud de arco siempre es al menos tan larga como la cuerda. La línea recta entre los extremos es el camino más corto entre ellos, así que la curva nunca puede ser más corta que ella. Para la parábola y = x² en [0, 2], la cuerda desde (0, 0) hasta (2, 4) es √(20) = 4.4721359550 unidades, mientras que la longitud de arco verdadera es 4.6467837624 unidades, más larga por 0.1746478074 unidades. Para la curva seno y = sin(x) en [0, π], la cuerda es π = 3.1415926536 unidades y el arco es 3.8201977890 unidades, más largo por 0.6786051354 unidades. Comprobar que el arco supera a la cuerda es una prueba rápida de cordura para cualquier respuesta de longitud de arco.

La mayoría de las integrales de longitud de arco no tienen antiderivada elemental. La integral de la parábola ∫ √(1 + 4x²) dx se puede resolver con una sustitución, pero la integral del seno ∫ √(1 + cos²x) dx no se puede expresar con funciones elementales en absoluto. Ahí es exactamente donde la regla del punto medio gana su lugar: estima la integral de forma numérica, sin necesitar una antiderivada.

El cálculo de la longitud de arco con la regla del punto medio parte de la integral exacta de longitud de arco y sustituye la integral por una suma de áreas de rectángulos. Define el integrando de longitud de arco:

Entonces la longitud de arco exacta es L = ∫_a^b g(x) dx, y la regla del punto medio aproxima esa integral. Divide [a, b] en n subintervalos iguales. La anchura de subintervalo es:

El punto medio del subintervalo i, contando i desde 0, es:

Evalúa el integrando en cada punto medio, multiplica cada valor por Δx y suma los resultados:

Cada símbolo tiene un significado preciso:

Una comprobación concreta. Para y = x² en [0, 2] con n = 4, la anchura es Δx = (2 - 0) / 4 = 0.5, los puntos medios son 0.25, 0.75, 1.25 y 1.75, y los valores del integrando son 1.1180339887, 1.8027756377, 2.6925824036 y 3.6400549446. Su suma es 9.2534469747, y multiplicar por 0.5 da L₄ = 4.6267234873 unidades. Cada número de esa cadena aparece en el panel paso a paso de la calculadora y en su tabla de cálculo.

Para una curva paramétrica x = x(t), y = y(t), la misma idea se aplica al intervalo de parámetro [t₁, t₂], con la velocidad v(t) = √([x'(t)]² + [y'(t)]²) en el papel del integrando. La fórmula paramétrica se trata en su propia sección más adelante.

El cálculo con la regla del punto medio sigue diez pasos, y la calculadora los realiza todos de forma automática. Repasarlos a mano una vez hace que la herramienta resulte mucho más fácil de entender y de usar. El ejemplo resuelto siguiente usa y = x² en [0, 2] con n = 4, el mismo ejemplo que la calculadora carga como su primer valor predefinido.

1. Identifica la función. f(x) = x².
2. Halla su primera derivada. f'(x) = 2x.
3. Identifica el intervalo de integración. a = 0, b = 2.
4. Elige el número de subintervalos. n = 4.
5. Calcula la anchura de subintervalo. Δx = (2 - 0) / 4 = 0.5.
6. Determina el punto medio de cada subintervalo. x₀* = 0.25, x₁* = 0.75, x₂* = 1.25, x₃* = 1.75. Cada punto medio se encuentra justo a mitad de camino entre los límites de su subintervalo: 0.25 está a mitad de camino entre 0 y 0.5, 0.75 está a mitad de camino entre 0.5 y 1, y así sucesivamente.
7. Evalúa el integrando de longitud de arco en cada punto medio. g(x) = √(1 + 4x²), así que g(0.25) = 1.1180339887, g(0.75) = 1.8027756377, g(1.25) = 2.6925824036 y g(1.75) = 3.6400549446.
8. Multiplica cada valor por la anchura de subintervalo. Las cuatro contribuciones de los rectángulos son 0.5 × 1.1180339887 = 0.5590169944, 0.5 × 1.8027756377 = 0.9013878189, 0.5 × 2.6925824036 = 1.3462912018 y 0.5 × 3.6400549446 = 1.8200274723.
9. Suma todas las contribuciones. 0.5590169944 + 0.9013878189 + 1.3462912018 + 1.8200274723 = 4.6267234873.
10. Interpreta la longitud de arco aproximada. L₄ = 4.6267234873 unidades. La referencia de alta precisión es 4.6467837624 unidades, así que esta aproximación queda corta por 0.0200602751 unidades, un error relativo del 0.4317%.

Los mismos diez pasos sirven para cualquier función. Para y = x³ en [0, 1] con n = 4, la derivada es f'(x) = 3x², la anchura es Δx = 0.25, los puntos medios son 0.125, 0.375, 0.625 y 0.875, los valores del integrando son 1.0010980300, 1.0853471867, 1.5405489332 y 2.5051217067, su suma es 6.1321158566, y multiplicar por 0.25 da L₄ = 1.5330289642 unidades, frente a una referencia de 1.5478656547 unidades.

Un segundo ejemplo resuelto con una función trigonométrica. Para y = sin(x) en [0, π] con n = 8, la derivada es f'(x) = cos(x), la anchura es Δx = π / 8 = 0.3926990817, y los ocho puntos medios son π/16, 3π/16, 5π/16, 7π/16, 9π/16, 11π/16, 13π/16 y 15π/16. Los valores del integrando, en orden, son 1.4006926023, 1.3005159423, 1.1439660326, 1.0188524102, 1.0188524102, 1.1439660326, 1.3005159423 y 1.4006926023. Su suma es 9.7280539749, y multiplicar por 0.3926990817 da L₈ = 3.8201978627 unidades, frente a una referencia de 3.8201977890 unidades, un error absoluto de solo 0.0000000736 unidades.

Cada rectángulo de punto medio es una imagen pequeña y fiel de una parte de la integral. Tiene tres partes, y cada parte tiene un significado claro.

Para la parábola y = x² en [0, 2] con n = 4, los cuatro rectángulos tienen todos anchura 0.5. Sus alturas son 1.1180339887, 1.8027756377, 2.6925824036 y 3.6400549446, y sus áreas son 0.5590169944, 0.9013878189, 1.3462912018 y 1.8200274723. El área total es 4.6267234873 unidades, que es exactamente la aproximación por punto medio L₄.

Por qué la suma de las áreas aproxima la integral. La integral ∫_a^b g(x) dx es el área exacta bajo la curva del integrando. Cada rectángulo sustituye la franja curva sobre un subintervalo por una franja de techo plano con la misma anchura, usando la altura del punto medio como altura representativa. Donde el integrando se curva hacia arriba, el techo plano recorta un poco de área por un lado y añade un poco por el otro. Como la muestra se toma en el centro, esos dos errores casi se cancelan, y el área del rectángulo se acerca al área verdadera de la franja. Sumar los rectángulos da una estimación de toda el área y, por tanto, de la longitud de arco.

El error de diagrama más común. Los rectángulos deben dibujarse bajo la curva del integrando g(x) = √(1 + [f'(x)]²), no bajo la curva original f(x). La curva original y el integrando son gráficas distintas con alturas distintas: para y = x² en [0, 2], la curva original va de 0 a 4, mientras que el integrando va de 1 a √(17) = 4.1231056256. Los rectángulos dibujados bajo la curva original sumarían el área bajo f(x), que no tiene nada que ver con la longitud de arco. La calculadora mantiene las dos gráficas separadas, y el diagrama de la guía que aparece arriba muestra los rectángulos solo bajo el integrando.

Cómo leer un rectángulo. Al pasar el cursor sobre un rectángulo en la calculadora, o al seleccionarlo, se muestran su número de subintervalo, sus límites izquierdo y derecho, su punto medio, la derivada en el punto medio, el valor del integrando y la contribución del rectángulo. Ese detalle es lo que hace útil la tabla para los deberes: cada número de la respuesta final se puede rastrear hasta un rectángulo.

El número de subintervalos n es el control más importante de la calculadora, porque decide lo finos que son los rectángulos. Un valor pequeño de n significa unos pocos rectángulos anchos. Un valor grande de n significa muchos rectángulos estrechos que siguen de cerca la curva del integrando.

Qué ocurre cuando n es pequeño. Con n = 1, todo el intervalo es un solo rectángulo, y la respuesta es Δx × g(punto medio). Para la parábola y = x² en [0, 2], n = 1 da 2 × √(5) = 4.4721359550 unidades, que queda por debajo de las 4.6467837624 unidades verdaderas por 0.1746478074 unidades. El único rectángulo no puede seguir al integrando mientras sube de 1 a 4.1231056256, así que el error es grande. Con n = 2, la respuesta mejora a 4.5764912225 unidades. Con n = 4, es 4.6267234873 unidades. Con n = 8, es 4.6417306581 unidades. Con n = 16, es 4.6455205322 unidades, y con n = 32, es 4.6464679593 unidades.

Cómo disminuye el error. Para un integrando suave, el error de la regla del punto medio es proporcional a 1 / n². Duplicar n reduce el error a aproximadamente una cuarta parte. Los números de la parábola lo muestran con claridad: el error baja de 0.0200602751 unidades con n = 4 a 0.0050531044 unidades con n = 8, luego a 0.0012632302 unidades con n = 16, y luego a 0.0003158031 unidades con n = 32. Cada duplicación divide el error entre cuatro, aproximadamente. Ese comportamiento de 1 / n² se llama convergencia de segundo orden, y es la razón por la que la regla del punto medio es tan eficaz: un aumento moderado de n compra una gran mejora en la precisión.

Por qué la mejora no siempre es monótona. El error suele disminuir a medida que n crece, pero no tiene por qué disminuir en cada paso para cada función. La curva seno muestra una versión suave de esto: n = 2 da 3.8476494905 unidades, que supera la referencia de 3.8201977890 unidades, mientras que n = 4 da 3.8204517876 unidades, mucho más cercana. La aproximación pasó de estar por encima del valor verdadero a un valor apenas por encima, y el error siguió disminuyendo en conjunto. Para funciones con giros bruscos, oscilaciones o casi singularidades, el error puede oscilar a medida que n cambia, aunque la tendencia a largo plazo sea descendente. Nunca supongas que un valor mayor de n siempre da una respuesta mejor en un solo paso; consulta la tabla de convergencia.

El coste de un valor mayor de n. Más subintervalos significan más operaciones: más evaluaciones de la derivada, más valores del integrando y más filas en la tabla. Con n = 5,000, la calculadora realiza 5,000 evaluaciones, lo cual es rápido para un ordenador, pero produce una tabla demasiado larga para leer fila por fila, así que la calculadora la pagina. La regla práctica es aumentar n hasta que la respuesta deje de cambiar en la precisión que necesitas. Si n = 100 y n = 200 coinciden hasta seis decimales, n = 100 basta, y n = 5,000 no añade nada más que trabajo.

Cómo elegir n en la práctica. Usa n = 4 o n = 8 mientras aprendes, porque la tabla sigue siendo lo bastante corta para comprobarla a mano. Usa n = 50 o n = 100 para respuestas de deberes que necesiten cuatro o cinco decimales correctos. Usa n = 1,000 o más solo cuando necesites una precisión muy alta, o cuando el integrando cambie con rapidez en el intervalo. El panel de convergencia muestra n, 2n y 4n juntos, así que puedes ver cómo se estabiliza la respuesta sin tener que adivinar.

La regla del punto medio es uno de los tres métodos clásicos de integración numérica, y cada uno toma muestras del integrando de forma distinta. Saber en qué se diferencian ayuda a elegir la herramienta adecuada y a entender por qué sus respuestas no coinciden.

Regla del punto medio. Toma muestras en el centro de cada subintervalo y construye rectángulos. Su error es O(1 / n²), el mismo orden que la regla del trapecio, pero la regla del punto medio suele ser unas dos veces más precisa que la regla del trapecio para el mismo n, porque la muestra central cancela el error principal. Solo necesita n evaluaciones, una por subintervalo, y funciona para cualquier n positivo.

Regla del trapecio. Toma muestras en los extremos y los une con líneas rectas, formando trapecios. Comparte el orden de error O(1 / n²) de la regla del punto medio, pero su error suele tener el signo opuesto: para un integrando convexo, la regla del trapecio sobreestima mientras la regla del punto medio subestima, o al revés. Promediar las dos da la combinación trapecio-punto medio, que es la base de la regla de Simpson. Prueba la calculadora de la regla del trapecio para comparar los dos métodos con la misma función.

Regla de Simpson. Ajusta una parábola por los dos extremos y el punto medio de cada par de subintervalos, lo que exige un número par de subintervalos. Su error es O(1 / n⁴), así que converge mucho más rápido que cualquiera de las otras dos para funciones suaves. El precio es la restricción de n par y más evaluaciones por subintervalo. Prueba la calculadora de la regla de Simpson cuando necesites alta precisión con pocos subintervalos.

Una comparación con números. Para la parábola y = x² en [0, 2] con n = 4, la regla del punto medio da 4.6267234873 unidades, la regla del trapecio da 4.6870560064 unidades, y la regla de Simpson da 4.6502010785 unidades, frente a la referencia de 4.6467837624 unidades. El error del punto medio es 0.0200602751 unidades, el error del trapecio es 0.0402722440 unidades, y el error de Simpson es 0.0034173160 unidades. Simpson gana aquí, como suele ocurrir para funciones suaves, pero la regla del punto medio es más sencilla, no necesita la restricción de n par, y es la opción natural cuando solo se dispone de muestras en puntos medios.

Qué regla deberías usar. Usa la regla del punto medio cuando quieras una estimación sencilla y fiable, cuando estés tomando muestras de una función en puntos interiores espaciados de forma uniforme, o cuando estés enseñando sumas de Riemann. Usa la regla del trapecio cuando los valores en los extremos sean los datos naturales, como mediciones tomadas en los extremos de cada intervalo. Usa la regla de Simpson cuando la función sea suave y necesites alta precisión con un valor pequeño de n. Para la longitud de arco en concreto, la regla del punto medio tiene una ventaja práctica: nunca evalúa el integrando en los extremos, donde una función puede no estar definida o ser singular, así que puede trabajar con curvas con las que las otras dos reglas ni siquiera pueden empezar.

Cada aproximación por punto medio se diferencia de la longitud de arco verdadera en cierta cantidad, y entender ese error es lo que convierte un número en una respuesta fiable. Hay tres formas distintas de hablar del error, y no hay que confundirlas.

Error absoluto. El error absoluto es el tamaño de la distancia entre la aproximación y el valor verdadero: |L - L_n|. Para la parábola con n = 4, el error absoluto es |4.6467837624 - 4.6267234873| = 0.0200602751 unidades. Para la curva seno con n = 8, es |3.8201977890 - 3.8201978627| = 0.0000000736 unidades. El error absoluto se mide en las mismas unidades que la propia longitud.

Error relativo. El error relativo divide el error absoluto entre el tamaño del valor verdadero, y suele darse en porcentaje: |L - L_n| / |L| × 100. Para la parábola con n = 4, el error relativo es 0.4317%. Para la cúbica con n = 4, es 0.9585%. Para la curva seno con n = 8, es 0.00000193%. El error relativo es la forma justa de comparar la precisión entre problemas de tamaños distintos: un error de 0.02 unidades importa poco en una longitud de 100 unidades y mucho en una longitud de 0.1 unidades.

Indicador de error basado en el refinamiento. En el trabajo real el valor verdadero se desconoce, así que el error absoluto no se puede calcular directamente. En su lugar, compara dos aproximaciones: la diferencia |M_2n - M_n| muestra cuánto se movió la respuesta cuando se refinó la partición. Para la parábola, |M₈ - M₄| = |4.6417306581 - 4.6267234873| = 0.0150071707 unidades. Esa diferencia es una señal de aviso práctica: si es grande, la respuesta aún se está moviendo y hay que aumentar n. Es un indicador, no una cota garantizada: el error verdadero puede ser mayor o menor que la diferencia de refinamiento, y suele ser aproximadamente un tercio de ella para la regla del punto medio, porque el error se reduce por un factor de cuatro en cada duplicación.

Cota teórica del error. Para un integrando g(x) suficientemente suave, el error de la regla del punto medio compuesta cumple:

La cota necesita el máximo de la segunda derivada del integrando en el intervalo, que a menudo es difícil de hallar con exactitud. Para el integrando de la parábola g(x) = √(1 + 4x²), la segunda derivada es g''(x) = 4 / (1 + 4x²)^3/2, cuyo valor mayor en [0, 2] es 4 en x = 0. La cota para n = 4 es, por tanto, (8 / (24 × 16)) × 4 = 0.0833333333 unidades, y el error real de 0.0200602751 unidades queda dentro de ella con holgura. Para n = 8, la cota es 0.0208333333 unidades. La cota es honesta pero amplia: sobreestima el error real por un factor de cuatro en este caso, lo cual es habitual.

Cuándo no se aplica la cota. La cota del error supone que el integrando es suave, con una segunda derivada acotada. Una función con una esquina, un salto o una singularidad rompe esa suposición, y la cota no existe o es inútilmente grande. La calculadora no inventa una cota cuando no puede certificarla. En ese caso muestra la diferencia de refinamiento y explica sus límites, que es la respuesta honesta.

Por qué importa la suavidad. El comportamiento del error de 1 / n² depende de que el integrando sea lo bastante suave para que funcione la cancelación del punto medio. Un integrando suave como √(1 + 4x²) converge de forma limpia. Un integrando con una esquina brusca converge más despacio, y un integrando con una singularidad puede converger muy despacio o no converger en absoluto. Si duplicar n apenas cambia la respuesta, la función puede ser suave y ya precisa. Si duplicar n cambia mucho la respuesta, o bien la función es irregular, o bien n sigue siendo demasiado pequeño.

La extrapolación de Richardson es un truco sencillo que convierte dos aproximaciones por punto medio en una estimación mucho mejor. Usa el patrón conocido del error de la regla del punto medio para cancelar el término principal del error.

Para un integrando suave, la aproximación por punto medio con n subintervalos tiene un error que se comporta como C / n², donde C es una constante que depende de la función pero no de n. Duplicar los subintervalos hasta 2n divide, por tanto, el error entre cuatro. Eso da dos ecuaciones con dos incógnitas, el valor verdadero L y la constante C:

Resolver para L elimina C y deja la estimación extrapolada de Richardson:

Ejemplo resuelto. Para la parábola y = x² en [0, 2], M₄ = 4.6267234873 unidades y M₈ = 4.6417306581 unidades. La estimación de Richardson es L_R = (4 × 4.6417306581 - 4.6267234873) / 3 = 4.6467330483 unidades. El valor verdadero es 4.6467837624 unidades, así que el error extrapolado es de solo 0.0000507141 unidades, mucho menor que el error original de M₄ de 0.0200602751 unidades. La extrapolación logró la precisión de un valor de n mucho mayor usando solo los cálculos con n = 4 y n = 8.

Ejemplo resuelto con la curva seno. Para y = sin(x) en [0, π], M₈ = 3.8201978627 unidades y M₁₆ = 3.8201977890 unidades. La estimación de Richardson es L_R = (4 × 3.8201977890 - 3.8201978627) / 3 = 3.8201977645 unidades, frente a la referencia de 3.8201977890 unidades, un error de solo 0.0000000245 unidades.

Ejemplo resuelto con la cúbica. Para y = x³ en [0, 1], M₄ = 1.5330289642 unidades y M₈ = 1.5441590533 unidades. La estimación de Richardson es L_R = (4 × 1.5441590533 - 1.5330289642) / 3 = 1.5478690830 unidades, frente a la referencia de 1.5478656547 unidades, un error de 0.0000034283 unidades. El error original de M₄ era 0.0148366905 unidades, así que la extrapolación lo redujo por un factor de aproximadamente 4327.7.

Qué no es la extrapolación de Richardson. El valor extrapolado es una estimación refinada, no el resultado de la regla del punto medio ni una respuesta exacta garantizada. Supone que el error se comporta de verdad como C / n², lo cual se cumple para integrandos suaves y falla para los irregulares. Si el integrando tiene una esquina o una singularidad, la extrapolación puede ser peor que la aproximación original, así que la calculadora siempre muestra primero el resultado original del punto medio y etiqueta el valor extrapolado por separado. La extrapolación de Richardson también es la idea detrás de la integración de Romberg, que repite el mismo truco en varios niveles para lograr una precisión muy alta.

Algunas curvas no se pueden escribir como y = f(x). Un círculo, por ejemplo, da dos valores de y para la mayoría de los valores de x, así que ninguna función por sí sola lo describe. Las curvas paramétricas resuelven esto describiendo ambas coordenadas como funciones de un parámetro t: x = x(t) e y = y(t). Cuando t va de t₁ a t₂, el punto (x(t), y(t)) traza la curva.

Para una curva paramétrica, el elemento diminuto de longitud proviene del movimiento en ambas coordenadas: ds = √(dx² + dy²). Escribir dx = x'(t) dt y dy = y'(t) dt da la integral paramétrica de longitud de arco:

La cantidad bajo la raíz cuadrada es la velocidad v(t) = √([x'(t)]² + [y'(t)]²), el ritmo al que el punto se mueve a lo largo de la curva cuando cambia t. La regla del punto medio se aplica al intervalo de parámetro exactamente igual que a un intervalo de x: divide [t₁, t₂] en n secciones iguales de anchura Δt = (t₂ - t₁) / n, toma muestras de la velocidad en los parámetros de punto medio t_i* = t₁ + (i + ½)Δt, y suma las contribuciones:

Ejemplo resuelto: el cuarto de círculo. Toma x(t) = 5 cos(t) e y(t) = 5 sin(t) en [0, π/2], con n = 4. Las derivadas son x'(t) = -5 sin(t) e y'(t) = 5 cos(t). La velocidad es v(t) = √(25 sin²(t) + 25 cos²(t)) = √(25) = 5, una constante, porque sin²(t) + cos²(t) = 1. La anchura de parámetro es Δt = (π/2 - 0) / 4 = π/8 = 0.3926990817, y los parámetros de punto medio son π/16, 3π/16, 5π/16 y 7π/16. Cada valor de velocidad es 5, así que cada contribución es 0.3926990817 × 5 = 1.9634954085, y el total es 4 × 1.9634954085 = 7.8539816340 unidades, que es exactamente 5π/2. La regla del punto medio es exacta aquí para cualquier n, porque la velocidad es constante.

Por qué importa la forma paramétrica. Muchas curvas reales son paramétricas por naturaleza: círculos, elipses, espirales, curvas de Bézier en programas de diseño, y las trayectorias de objetos en movimiento en física y robótica. La forma explícita y = f(x) no puede describir una curva que vuelve sobre sí misma, pero la forma paramétrica sí puede. La calculadora maneja ambas formas con el mismo motor de punto medio, la misma tabla y el mismo análisis de convergencia. Para saber más sobre curvas paramétricas, consulta la calculadora de longitud de arco paramétrica.

Una advertencia sobre el parámetro. El parámetro t no es lo mismo que la longitud de arco, salvo que la velocidad sea 1. Pasos iguales en t dan pasos iguales a lo largo de la curva solo cuando la velocidad es constante. Para una curva paramétrica general, la regla del punto medio sigue funcionando bien, porque integra la velocidad, pero los rectángulos son iguales en t, no iguales en distancia a lo largo de la curva. Eso está bien: la fórmula lo tiene en cuenta a través de v(t).

La regla del punto medio es útil dondequiera que una integral tenga que estimarse de forma numérica, y la longitud de arco es solo uno de sus trabajos. Su sencillez, su precisión de segundo orden y su tolerancia a los problemas en los extremos la convierten en una herramienta de trabajo en muchos campos.

Cálculo numérico y educación. La regla del punto medio suele ser el primer método de integración numérica que conocen los estudiantes, porque los rectángulos son fáciles de dibujar y la idea del punto medio es fácil de entender. Enseña sumas de Riemann, convergencia y análisis de errores en un solo paquete. La tabla y los diagramas de esta calculadora están hechos justo para eso: cada número de la respuesta se puede rastrear hasta un rectángulo.

Ingeniería. Los ingenieros estiman longitudes de piezas curvas, cables, tuberías y curvas de carreteras a partir de modelos matemáticos. Cuando la curva es un polinomio o una función trigonométrica, la integral de longitud de arco a menudo no tiene forma cerrada, así que un método numérico es la única opción. La regla del punto medio da una respuesta rápida con una estimación de error clara, y aumentar n la refina tanto como el diseño necesita.

Física. Los físicos integran a lo largo de trayectorias para calcular trabajo, distancia recorrida y magnitudes de campo. Una partícula que se mueve por una trayectoria curva recorre una distancia igual a la longitud de arco de su trayectoria, y la regla del punto medio estima esa distancia a partir de los datos de velocidad. El mismo método estima integrales en termodinámica, óptica y mecánica cuántica, dondequiera que una antiderivada analítica quede fuera de alcance.

Gráficos por ordenador y CAD. Las curvas en una pantalla se dibujan como muchos segmentos rectos cortos, y la longitud total de una curva se estima sumando esos segmentos, lo cual es una forma de integración numérica. Los contornos de las fuentes, las trayectorias de animación y las rutas de herramientas CAD dependen de una medición precisa de la longitud de las curvas. La regla del punto medio ofrece una forma rigurosa de medir esas longitudes en lugar de adivinar a partir de una imagen.

Medición de curvas y robótica. Un brazo robótico que mueve su pinza por un arco circular, una máquina CNC que corta un borde curvo, o un topógrafo que mide un límite curvo necesitan la longitud de una curva que solo se conoce por su ecuación o por puntos muestreados. La regla del punto medio convierte esas muestras en una longitud, con una estimación de error que dice hasta dónde se puede confiar en la respuesta.

Modelización científica y geometría computacional. Los modelos de biología, finanzas y ciencia del clima integran funciones que solo se conocen en puntos discretos. La regla del punto medio es la opción natural cuando los datos son muestras tomadas en los centros de los intervalos, algo habitual en lecturas de sensores y resultados de simulaciones. En geometría computacional, mide perímetros de formas curvas y longitudes de curvas spline.

Cuándo no usarla. La regla del punto medio es una mala opción cuando el integrando tiene una singularidad dentro del intervalo, cuando la función es discontinua, o cuando se necesita una precisión muy alta con pocas evaluaciones: la regla de Simpson o un método adaptativo funcionarán mejor en esos casos. También es la herramienta equivocada cuando la integral en sí no es la pregunta, como cuando ya se conoce una longitud de arco en forma cerrada. Un círculo de radio 5 tiene un arco de cuarto de círculo de exactamente 5π/2 = 7.8539816340 unidades, y ningún método numérico puede mejorar eso.

La mayoría de las respuestas incorrectas con el punto medio provienen de una lista corta de errores. Comprobar cada uno lleva segundos y evita la mayoría de los fallos.

1. Usar extremos en lugar de puntos medios. Tomar la muestra en el borde izquierdo o derecho de cada subintervalo calcula la suma de Riemann izquierda o derecha, no la regla del punto medio. Para la parábola y = x² en [0, 2] con n = 4, la suma izquierda es 3.75 unidades y la suma derecha es 5.75 unidades, mientras que la regla del punto medio da 4.6267234873 unidades. Solo el valor del punto medio es la respuesta de la regla del punto medio.
2. Olvidar derivar la función. El integrando es g(x) = √(1 + [f'(x)]²), no √(1 + [f(x)]²). Para y = x², usar f(x) en lugar de f'(x) da la integral de √(1 + x⁴), un número totalmente distinto. Deriva siempre primero.
3. Usar el integrando de longitud de arco equivocado. El integrando debe ser √(1 + [f'(x)]²). Omitir el 1, olvidar el cuadrado, o tomar la raíz cuadrada de la cantidad equivocada dan respuestas incorrectas. Para una recta con pendiente 3, el integrando es la constante √(10) = 3.1622776602, no 3 ni √(1 + 3).
4. Dividir el intervalo de forma incorrecta. La anchura es Δx = (b - a) / n, con la longitud completa del intervalo arriba. Dividir entre n + 1, o usar b / n en lugar de (b - a) / n, desplaza cada punto medio y corrompe la respuesta. Para [0, 2] con n = 4, la anchura es 0.5, no 0.4 ni 0.6666666667.
5. Usar un número equivocado de puntos medios. Hay exactamente n puntos medios, uno por subintervalo, no n + 1. Los extremos no son puntos medios. Contar n + 1 puntos de muestra significa que un subintervalo se contó dos veces o que se tomó un extremo por error.
6. Confundir la curva original con la gráfica del integrando. Los rectángulos de punto medio se encuentran bajo el integrando g(x), no bajo la curva original f(x). Dibujarlos bajo f(x) y sumar sus áreas da el área bajo f(x), que no es la longitud de arco. Las dos gráficas son curvas distintas y deben mostrarse por separado.
7. Redondear valores intermedios. Redondear los puntos medios, los valores de la derivada o los valores del integrando antes de sumarlos introduce pequeños errores que se acumulan en muchos rectángulos. Mantén la precisión completa durante todo el cálculo y redondea solo el resultado final mostrado. La calculadora lo hace de forma automática.
8. Suponer que cada aproximación es exacta. La regla del punto medio da una aproximación, no el valor verdadero, salvo en casos especiales como las rectas y las curvas paramétricas de velocidad constante. Para la parábola, L₄ = 4.6267234873 unidades se acerca al valor verdadero de 4.6467837624 unidades, pero no es igual a él. Presenta siempre el resultado como una aproximación y acompáñalo de la estimación del error.
9. Confundir el error estimado con las cotas de error garantizadas. La diferencia de refinamiento |M_2n - M_n| es un indicador de cuánto se sigue moviendo la respuesta, no una garantía de que el error verdadero sea menor que esa diferencia. La cota teórica ((b - a)³ / (24n²)) × max|g''(x)| es una garantía, pero solo cuando se conoce el máximo de la segunda derivada y el integrando es suave.
10. Ignorar las restricciones del dominio de la función. Una función como √(x) no está definida para x negativa, y ln(x) no está definida para x ≤ 0. Si un punto medio cae fuera del dominio, el valor del integrando no existe, y la aproximación no tiene sentido. La calculadora informa de un error en ese caso en lugar de inventar un valor.
11. Usar las derivadas paramétricas equivocadas. Para una curva paramétrica, se necesitan ambas derivadas x'(t) e y'(t), y la velocidad es √([x'(t)]² + [y'(t)]²). Usar solo una de ellas, o derivar respecto a la variable equivocada, da una velocidad incorrecta y una longitud incorrecta. Para el cuarto de círculo, x'(t) = -5 sin(t) e y'(t) = 5 cos(t), y ambas son necesarias para obtener la velocidad constante 5.
12. Tratar una función no suave o singular como si las suposiciones habituales de error se aplicaran de forma automática. El comportamiento del error de 1 / n² y la cota teórica suponen un integrando suave. Una función con una esquina, un salto o una singularidad dentro del intervalo puede converger mucho más despacio, y la extrapolación de Richardson puede fallar. Revisa la tabla de convergencia: si duplicar n no reduce el cambio en aproximadamente cuatro veces, las suposiciones habituales no se cumplen para esa función.

Una comprobación final que detecta la mayoría de estos errores. Verifica el resultado con la longitud de la cuerda y el valor de referencia. La aproximación debe ser al menos tan larga como la cuerda, debe acercarse a la referencia a medida que n crece, la suma de las filas de la tabla debe ser igual al resultado principal, y para una recta o una curva de velocidad constante debe ser igual al valor exacto. Si alguna de esas comprobaciones falla, la causa es uno de los doce errores anteriores.

Estos seis ejemplos cubren los modos principales de la calculadora y los tipos de funciones. Cada uno se calcula con el mismo motor de punto medio que impulsa la herramienta, y cada resultado se ha verificado de forma independiente con una referencia de Simpson adaptativa de alta precisión.

Ejemplo 1: Parábola, y = x² en [0, 2], n = 4. La derivada es f'(x) = 2x, la anchura es Δx = 0.5, y los puntos medios son 0.25, 0.75, 1.25 y 1.75. Los valores del integrando son 1.1180339887, 1.8027756377, 2.6925824036 y 3.6400549446, su suma es 9.2534469747, y L₄ = 0.5 × 9.2534469747 = 4.6267234873 unidades. La referencia es 4.6467837624 unidades, así que el error absoluto es 0.0200602751 unidades y el error relativo es 0.4317%. Duplicar hasta n = 8 da 4.6417306581 unidades, y la estimación de Richardson a partir de ambas es 4.6467330483 unidades.

Ejemplo 2: Recta, y = 3x + 1 en [0, 4], n = 4. La derivada es f'(x) = 3, así que el integrando es la constante g(x) = √(10) = 3.1622776602. La anchura es Δx = 1, los puntos medios son 0.5, 1.5, 2.5 y 3.5, y cada valor del integrando es 3.1622776602. La suma es 4 × 3.1622776602 = 12.6491106407, y L₄ = 1 × 12.6491106407 = 12.6491106407 unidades, que es exactamente 4√(10). La regla del punto medio es exacta para cualquier n en este caso, porque el integrando es constante y cada rectángulo tiene la altura correcta.

Ejemplo 3: Recta horizontal, y = 2 en [1, 5], n = 4. La derivada es f'(x) = 0, así que el integrando es la constante g(x) = √(1 + 0) = 1. La anchura es Δx = 1, los puntos medios son 1.5, 2.5, 3.5 y 4.5, y cada contribución es 1 × 1 = 1. El total es L₄ = 4.0000000000 unidades, que es exactamente la distancia horizontal 5 - 1 = 4. Una recta horizontal no tiene cambio vertical, así que su longitud de arco es simplemente la longitud del intervalo.

Ejemplo 4: Cuarto de círculo paramétrico, x(t) = 5 cos(t), y(t) = 5 sin(t) en [0, π/2], n = 4. Las derivadas son x'(t) = -5 sin(t) e y'(t) = 5 cos(t), y la velocidad es la constante v(t) = 5. La anchura de parámetro es Δt = π/8 = 0.3926990817, los parámetros de punto medio son π/16, 3π/16, 5π/16 y 7π/16, y cada contribución es 0.3926990817 × 5 = 1.9634954085. El total es L₄ = 7.8539816340 unidades, exactamente 5π/2. El círculo completo sería 10π = 31.4159265359 unidades, y el semicírculo sería 5π = 15.7079632679 unidades.

Ejemplo 5: Cúbica, y = x³ en [0, 1], n = 4. La derivada es f'(x) = 3x², la anchura es Δx = 0.25, y los puntos medios son 0.125, 0.375, 0.625 y 0.875. Los valores del integrando son 1.0010980300, 1.0853471867, 1.5405489332 y 2.5051217067, su suma es 6.1321158566, y L₄ = 0.25 × 6.1321158566 = 1.5330289642 unidades. La referencia es 1.5478656547 unidades, así que el error absoluto es 0.0148366905 unidades y el error relativo es 0.9585%. Duplicar hasta n = 8 da 1.5441590533 unidades, y la estimación de Richardson es 1.5478690830 unidades.

Ejemplo 6: Trigonométrica, y = sin(x) en [0, π], n = 8. La derivada es f'(x) = cos(x), la anchura es Δx = π/8 = 0.3926990817, y los ocho puntos medios son π/16, 3π/16, 5π/16, 7π/16, 9π/16, 11π/16, 13π/16 y 15π/16. Los valores del integrando son 1.4006926023, 1.3005159423, 1.1439660326, 1.0188524102, 1.0188524102, 1.1439660326, 1.3005159423 y 1.4006926023. Su suma es 9.7280539749, y L₈ = 0.3926990817 × 9.7280539749 = 3.8201978627 unidades. La referencia es 3.8201977890 unidades, así que el error absoluto es de solo 0.0000000736 unidades, un error relativo de 0.00000193%. Esta integral no tiene antiderivada elemental, así que la regla del punto medio y la referencia son la forma práctica de obtener la respuesta.

Haz clic en cualquier botón de ejemplo predefinido en la calculadora para cargar uno de estos ejemplos y ver la solución completa paso a paso, los diagramas en vivo, la tabla de cálculo y la comparación de convergencia para esa entrada.

La longitud de arco con la regla del punto medio aparece dondequiera que una distancia curva tenga que medirse a partir de una fórmula en lugar de una cinta métrica. El mismo cálculo sirve a estudiantes, ingenieros y diseñadores.

Carreteras, pistas y cables. Una carretera curva, la curva de una pista de atletismo, o un cable colgado entre dos apoyos tienen longitudes que siguen una curva. Cuando la curva se modela con una función, la regla del punto medio estima su longitud a partir del modelo, y la estimación del error dice hasta dónde se puede confiar en la respuesta. Un cable modelado por y = x² en [0, 2] necesita 4.6467837624 unidades de cable, no las 4.4721359550 unidades del hueco en línea recta.

Fabricación y chapa metálica. Un panel curvo, un tubo doblado, o un borde enrollado empiezan como material plano de una longitud conocida. La regla del punto medio convierte el diseño curvo en la longitud plana que hay que cortar, y la tabla de convergencia confirma la longitud con la precisión que necesita el taller. Un codo de cuarto de círculo de radio 5 necesita 7.8539816340 unidades de material a lo largo de la curva.

Arquitectura. Los arcos, las cúpulas y las escaleras curvas se dimensionan por sus arcos. Un arco semicircular de radio 5 necesita 5π = 15.7079632679 unidades de moldura a lo largo de la curva. Para arcos no circulares modelados por parábolas o curvas seno, la regla del punto medio da la longitud de la moldura directamente a partir de la ecuación de diseño.

Física y movimiento. La distancia que recorre una partícula por una trayectoria curva es la longitud de arco de su trayectoria. Un péndulo, un proyectil, o un satélite en una órbita elíptica se mueven por curvas cuyas longitudes importan para los cálculos de energía, tiempo y combustible. La regla del punto medio estima esas distancias a partir de las ecuaciones del movimiento.

Gráficos por ordenador, animación y juegos. Los objetos que se mueven por trayectorias curvas, los movimientos de cámara y los personajes animados siguen splines y curvas paramétricas. La distancia a lo largo de la trayectoria decide la velocidad, el tiempo y el espaciado de los fotogramas. La regla del punto medio mide esas longitudes de trayectoria a partir de las ecuaciones de las curvas, y el modo paramétrico maneja las curvas que vuelven sobre sí mismas.

Medicina y biología. Los vasos sanguíneos, la columna vertebral y las superficies curvas de los órganos se miden a partir de escáneres y modelos. La longitud de arco a lo largo de la línea central de un vaso ayuda a planificar stents y catéteres, y la regla del punto medio convierte una línea central modelada en una longitud con una estimación de error.

Calculadoras relacionadas en este sitio. Para longitudes de arco exactas de curvas con nombre, prueba la calculadora de longitud de arco de parábola, la calculadora de longitud de arco de elipse, la calculadora de longitud de arco de semicírculo, la calculadora de longitud de arco de círculo y la calculadora de longitud de arco de sector. Para la integración exacta paso a paso, prueba la calculadora de longitud de arco con pasos, la calculadora de longitud de arco paramétrica, la calculadora de longitud de arco polar y la calculadora de longitud de arco 3D. Para otros métodos numéricos, prueba la calculadora de la regla del trapecio y la calculadora de la regla de Simpson.

Estas tablas recogen el comportamiento de convergencia de los dos ejemplos principales trabajados en un solo lugar, para que puedas ver lo rápido que se estabiliza la regla del punto medio y cómo la extrapolación de Richardson mejora la respuesta. Todos los valores se calculan con el motor de punto medio, con la referencia de la integración de Simpson adaptativa.

Parábola y = x² en [0, 2], referencia 4.6467837624 unidades.

Curva seno y = sin(x) en [0, π], referencia 3.8201977890 unidades.

Cómo leer las tablas. El error de la parábola cae por un factor de aproximadamente cuatro en cada duplicación, de 0.0200602751 con n = 4 a 0.0050531044 con n = 8 y a 0.0012632302 con n = 16, que es el comportamiento esperado de 1 / n². La curva seno converge aún más rápido, porque su integrando es casi plano cerca del centro del intervalo: con n = 8 el error ya es 0.0000000736 unidades, y con n = 16 la aproximación coincide con la referencia en los diez decimales mostrados. Las filas de Richardson muestran la misma idea en un solo paso: combinar dos aproximaciones supera a cada una por separado, con un error de 0.0000507141 unidades para la parábola y de 0.0000000245 unidades para la curva seno. Usa estas tablas como referencia: si tu propio cálculo para uno de estos ejemplos no coincide con la tabla, revisa la derivada, los puntos medios y el integrando antes de confiar en la respuesta.