Orta Nokta Kuralı Yay Uzunluğu Hesaplayıcı

Orta Nokta Kuralı Yay Uzunluğu Hesaplayıcı, bir eğrinin uzunluğunu, yay uzunluğu integralini dikdörtgenlere bölerek ve her dikdörtgeni merkezinden örnekleyerek yaklaşık hesaplar. Bir fonksiyon girin, bir aralık seçin, kaç alt aralık kullanacağınızı belirleyin; hesaplayıcı yaklaşık değeri, tam orta nokta tablosunu, hata tahminini ve dikdörtgenlerin canlı diyagramını gösterir. Doğru bir sonuç almak için şu adımları izleyin.

1. Hesaplama modunu seçin. y = f(x) biçiminde yazılan bir eğri için Açık Fonksiyon modunu kullanın; örneğin y = x² veya y = sin(x). x = x(t) ve y = y(t) biçiminde yazılan bir eğri için Parametrik Eğri modunu kullanın; örneğin bir parametreyle çizilen daire veya elips.
2. Fonksiyonu girin. Fonksiyonu giriş kutusuna yazın; kuvvetler için ^ işaretini, karekökler için karekök fonksiyonunu, standart fonksiyonlar için sin(), cos(), exp() ve ln() kullanın. Hesaplayıcı türevi otomatik olarak bulur; türevi zaten biliyorsanız kendiniz de yazabilirsiniz.
3. Aralığı belirleyin. Alt sınır a ve üst sınır b değerlerini girin. [a, b] aralığı, uzunluğunu istediğiniz eğri parçasıdır. b değerini a değerinden küçük girerseniz hesaplayıcı yine de pozitif bir uzunluk verir, çünkü yay uzunluğu hiçbir zaman negatif olmaz.
4. Alt aralık sayısı n değerini seçin. Kaydırıcıyı kullanın veya bir değer yazın. Hazır değerler arasında 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 50, 100, 500, 1.000 ve 5.000 bulunur. Daha büyük bir n, daha dar dikdörtgenler ve genellikle daha yakın bir yaklaşık değer demektir. Çalışmayı net görmek için n = 4 ile başlayın, ardından cevabın nasıl oturduğunu izlemek için n değerini artırın.
5. Görüntüleme hassasiyetini seçin. 2, 4, 6, 8 veya 10 ondalık basamak seçin. Hesaplayıcı dahili olarak tam hassasiyetle çalışır ve yalnızca görüntülenen sonucu yuvarlar; bu yüzden hassasiyeti değiştirmek alttaki hesabı hiçbir zaman değiştirmez.
6. Yay Uzunluğunu Hesapla düğmesine tıklayın. Ana sonuç, yaklaşık değer olarak açıkça etiketlenmiş orta nokta yaklaşımı L_n değeridir. Altında alt aralık genişliğini, ilk ve son orta noktaları, ilk ve son integrand değerlerini, integrand değerlerinin toplamını, uç noktalar arasındaki kiriş uzunluğunu, yüksek doğruluklu referans uzunluğu ve tahmini mutlak ve bağıl hataları görürsünüz.
7. Diyagramları inceleyin. İlk diyagram, seçilen yayın vurgulandığı ve orta nokta örnekleme noktalarının işaretlendiği orijinal eğriyi gösterir. İkinci diyagram, altında orta nokta dikdörtgenleri çizilmiş yay uzunluğu integrandını gösterir. Bu dikdörtgenlerin toplam alanı yaklaşık değerdir; bu yüzden iki diyagram karıştırılmamalıdır: dikdörtgenler integrandın altına aittir, orijinal eğrinin altına asla çizilmez.
8. Hesaplama tablosunu okuyun. Her alt aralığın sınırlarını, orta noktasını, orta noktadaki türevini, integrand değerini ve dikdörtgen katkısını gösteren bir satırı vardır. Son satır toplamı gösterir ve bu toplam ana sonuca eşittir.
9. Yakınsamayı karşılaştırın ve Richardson ekstrapolasyonunu deneyin. Yakınsama paneli, n, 2n ve 4n için yaklaşık değerleri yan yana ve aralarındaki farklarla gösterir. Richardson seçeneği, iki yaklaşık değeri birleştirerek iyileştirilmiş bir tahmin üretir. İkisi de aşağıdaki kılavuz bölümlerinde açıklanmıştır.
10. Kopyalayın, dışa aktarın veya sıfırlayın. Cevap için Sonucu Kopyala seçeneğini kullanın, çalışmanız için tabloyu CSV olarak dışa aktarın veya paneli temizlemek için Sıfırla seçeneğini kullanın. Hazır ayar düğmeleri doğrulanmış örnekleri anında yükler: parabol, doğru, yatay doğru, çeyrek daire, kübik ve sinüs eğrisi.

Bir örnek deneyin. [0, 2] üzerinde y = x² ve n = 4 için L₄ = 4.6267234873 birim olur; referans değer 4.6467837624 birimdir. [0, 4] üzerinde y = 3x + 1 ve n = 4 için tam olarak 12.6491106407 birim olur. [1, 5] üzerinde y = 2 ve n = 4 için tam olarak 4.0000000000 birim olur. Yarıçapı 5 olan parametrik çeyrek daire 7.8539816340 birim verir. [0, 1] üzerinde y = x³ ve n = 4 için 1.5330289642 birim, [0, π] üzerinde y = sin(x) ve n = 8 için 3.8201978627 birim olur.

Önemli ipuçları. Her zaman önce fonksiyonun türevini alın: integrand f(x) değil, f'(x) kullanır. Uç noktalarda değil, orta noktalarda örnekleyin; yoksa farklı bir kuralı hesaplamış olursunuz. Trigonometrik fonksiyonlarda açı birimini radyan olarak tutun. Orta noktaları veya integrand değerlerini hesap ortasında yuvarlamayın, çünkü bu küçük yuvarlamalar birçok dikdörtgende birikir. Fonksiyon bir orta noktada tanımsızsa hesaplayıcı örneği sessizce atlamak yerine bir hata bildirir.

Sayısal integral, kesin bir ters türevin bulunması zor olduğunda veya yalnızca örneklenmiş değerler mevcut olduğunda, belirli bir integrali tahmin etme sanatıdır. Orta nokta kuralı, en basit ve en güvenilir sayısal integral yöntemlerinden biridir. Bir eğrinin altındaki alanı, eğriyi dikdörtgenlerle kaplayıp alanlarını toplayarak tahmin eder.

Bir Riemann toplamı, [a, b] aralığını her biri genişliği Δx = (b - a) / n olan n eşit alt aralığa böler ve her alt aralık üzerine bir dikdörtgen kurar. Her dikdörtgenin yüksekliği, o alt aralığın içindeki tek bir örnekleme noktasındaki fonksiyon değeridir. Sol uç toplamları sol kenardan, sağ uç toplamları sağ kenardan örnekler; orta nokta kuralı ise her alt aralığın merkezinden örnekler.

Merkezden örneklemek asıl fikirdir. Kısa bir alt aralıkta, eğri orta noktanın bir yanında yükselirken diğer yanında benzer miktarda alçalır; bu yüzden bir yarıdaki fazla tahmin, diğer yarıdaki eksik tahmini kabaca dengeler. Bu denge, orta nokta kuralının aynı dikdörtgen sayısıyla sol veya sağ uç kurallarından daha doğru olmasının ve hatasının alt aralık genişliğinin karesiyle küçülmesinin nedenidir.

[a, b] üzerinde bir g(x) fonksiyonu için bileşik orta nokta kuralı şöyledir:

Burada x_i* i. alt aralığın orta noktasıdır ve toplam tüm n alt aralık üzerinden alınır. Her Δx × g(x_i*) terimi bir dikdörtgenin alanıdır ve tüm dikdörtgen alanlarının toplamı integralin yaklaşık değeridir.

Orta nokta kuralı, matematik ödevlerinin çok ötesinde kullanılır. Mühendisler gerilim analizinde ve sinyal işlemede integralleri tahmin etmek için, fizikçiler sayısal benzetimlerde, bilgisayar grafikleri ise eğri uzunluklarını ve yüzey alanlarını ölçmek için kullanır. Basitliği ve ikinci dereceden doğruluğu bir araya geldiğinde, kapalı bir biçimi olmayan her integral için standart ilk seçim olur.

Orta noktalar uç noktaları neden yener? [0, 1] üzerinde g(x) = x ve n = 1 alın. Sol toplam 0, sağ toplam 1, orta nokta toplamı ise 0.5 verir ve bu tam cevaptır. Orta nokta, fonksiyonun alt aralık genelindeki ortalama davranışını görürken uç nokta yalnızca bir yanını görür. Bu avantaj her düzgün fonksiyon için geçerlidir ve orta nokta kuralının çoğu sayısal çalışmada varsayılan Riemann toplamı olmasının nedenidir.

Yay uzunluğu, uç noktalar arasındaki düz çizgi mesafesi değil, eğri boyunca ölçülen mesafedir. Tepelerden kıvrılarak geçen bir yol, haritada iki ucu arasına çizilen düz çizgiden daha uzundur. Kavisli bir tel, kapladığı boşluktan daha uzundur. Yay uzunluğu, kıvrımlı yolun kendisini ölçer.

Bu uzunluğu bulmak için eğriyi birçok küçük parçaya böldüğünüzü hayal edin. Her küçük parça o kadar kısadır ki neredeyse düzdür; bu yüzden uzunluğu uçlarını birleştiren düz çizgiye yakındır. Pisagor teoremine göre, yatayda Δx ve dikeyde Δy hareket eden küçük bir parçanın uzunluğu √(Δx² + Δy²) değerine yakındır. Tüm küçük parçaları toplamak toplam uzunluğu verir ve parçaların sıfıra küçülmesine izin vermek toplamı bir integrale dönüştürür.

y = f(x) eğrisi için küçük bir yatay dx adımı, dy = f'(x) dx dikey değişimini üretir; bu yüzden küçük uzunluk öğesi şöyledir:

a ile b arasındaki tüm uzunluk öğelerini toplamak yay uzunluğu integralini verir:

Bu formül, türevin neden işin içinde olduğunu açıklar. Dik bir eğri yüksekliği hızlı değiştirir; bu yüzden f'(x) büyüktür, integrand √(1 + [f'(x)]²) büyüktür ve her birim yatay mesafe bir birimden fazla eğri uzunluğuna katkıda bulunur. Düz bir eğride f'(x) sıfıra yakındır, integrand 1'e yakındır ve yay uzunluğu yatay mesafe b - a değerine yakındır.

Yay uzunluğu her zaman kirişten en az o kadar uzundur. Uç noktalar arasındaki düz çizgi, aralarındaki en kısa yoldur; bu yüzden eğri ondan asla kısa olamaz. [0, 2] üzerinde y = x² parabolü için (0, 0) ile (2, 4) arasındaki kiriş √(20) = 4.4721359550 birimdir; gerçek yay uzunluğu ise 4.6467837624 birimdir, yani 0.1746478074 birim daha uzundur. [0, π] üzerinde y = sin(x) sinüs eğrisi için kiriş π = 3.1415926536 birim, yay ise 3.8201977890 birimdir, yani 0.6786051354 birim daha uzundur. Yayın kirişi aştığını kontrol etmek, her yay uzunluğu cevabı için hızlı bir sağduyu testidir.

Çoğu yay uzunluğu integralinin temel bir ters türevi yoktur. ∫ √(1 + 4x²) dx parabol integrali bir yerine koymayla yapılabilir; ama ∫ √(1 + cos²x) dx sinüs integrali temel fonksiyonlarla hiç ifade edilemez. Orta nokta kuralı yerini tam da burada alır: integrali, ters türeve ihtiyaç duymadan sayısal olarak tahmin eder.

Orta nokta kuralı yay uzunluğu hesabı, tam yay uzunluğu integralinden başlar ve integrali dikdörtgen alanlarının toplamıyla değiştirir. Yay uzunluğu integrandını tanımlayın:

O zaman tam yay uzunluğu L = ∫_a^b g(x) dx olur ve orta nokta kuralı bu integrali yaklaşık hesaplar. [a, b] aralığını n eşit alt aralığa bölün. Alt aralık genişliği şöyledir:

i sayısını 0'dan sayarak i. alt aralığın orta noktası şöyledir:

Integrandı her orta noktada değerlendirin, her değeri Δx ile çarpın ve sonuçları toplayın:

Her sembolün kesin bir anlamı vardır:

Somut bir kontrol. [0, 2] üzerinde y = x² ve n = 4 için genişlik Δx = (2 - 0) / 4 = 0.5, orta noktalar 0.25, 0.75, 1.25 ve 1.75, integrand değerleri 1.1180339887, 1.8027756377, 2.6925824036 ve 3.6400549446 olur. Toplamları 9.2534469747 eder ve 0.5 ile çarpmak L₄ = 4.6267234873 birim verir. Bu zincirdeki her sayı, hesaplayıcının adım adım panelinde ve hesaplama tablosunda gösterilir.

Parametrik bir eğri x = x(t), y = y(t) için aynı fikir [t₁, t₂] parametre aralığına uygulanır; hız v(t) = √([x'(t)]² + [y'(t)]²) integrandın yerini alır. Parametrik formül aşağıdaki kendi bölümünde ele alınmıştır.

Orta nokta kuralı hesabı on adım izler ve hesaplayıcı hepsini otomatik olarak yapar. Aracı güvenmek ve kullanmak, bu adımları bir kez elle çalışmakla çok daha kolay olur. Aşağıdaki çözümlü örnek, hesaplayıcının ilk hazır ayarı olarak yüklediği aynı örnek olan [0, 2] üzerinde y = x² ve n = 4 kullanır.

1. Fonksiyonu belirleyin. f(x) = x².
2. Birinci türevini bulun. f'(x) = 2x.
3. İntegral aralığını belirleyin. a = 0, b = 2.
4. Alt aralık sayısını seçin. n = 4.
5. Alt aralık genişliğini hesaplayın. Δx = (2 - 0) / 4 = 0.5.
6. Her alt aralığın orta noktasını belirleyin. x₀* = 0.25, x₁* = 0.75, x₂* = 1.25, x₃* = 1.75. Her orta nokta, alt aralık sınırlarının tam ortasında yer alır: 0.25, 0 ile 0.5 arasında tam ortadadır, 0.75, 0.5 ile 1 arasında tam ortadadır, vb.
7. Yay uzunluğu integrandını her orta noktada değerlendirin. g(x) = √(1 + 4x²); bu yüzden g(0.25) = 1.1180339887, g(0.75) = 1.8027756377, g(1.25) = 2.6925824036 ve g(1.75) = 3.6400549446.
8. Her değeri alt aralık genişliğiyle çarpın. Dört dikdörtgen katkısı 0.5 × 1.1180339887 = 0.5590169944, 0.5 × 1.8027756377 = 0.9013878189, 0.5 × 2.6925824036 = 1.3462912018 ve 0.5 × 3.6400549446 = 1.8200274723 olur.
9. Tüm katkıları toplayın. 0.5590169944 + 0.9013878189 + 1.3462912018 + 1.8200274723 = 4.6267234873.
10. Yaklaşık yay uzunluğunu yorumlayın. L₄ = 4.6267234873 birim. Yüksek doğruluklu referans 4.6467837624 birimdir; bu yüzden bu yaklaşık değer 0.0200602751 birim eksiktir, bağıl hata 0.4317% olur.

Aynı on adım her fonksiyon için geçerlidir. [0, 1] üzerinde y = x³ ve n = 4 için türev f'(x) = 3x², genişlik Δx = 0.25, orta noktalar 0.125, 0.375, 0.625 ve 0.875, integrand değerleri 1.0010980300, 1.0853471867, 1.5405489332 ve 2.5051217067, toplamları 6.1321158566 olur ve 0.25 ile çarpmak L₄ = 1.5330289642 birim verir; referans değer 1.5478656547 birimdir.

Trigonometrik fonksiyonlu ikinci bir çözümlü örnek. [0, π] üzerinde y = sin(x) ve n = 8 için türev f'(x) = cos(x), genişlik Δx = π / 8 = 0.3926990817 ve sekiz orta nokta π/16, 3π/16, 5π/16, 7π/16, 9π/16, 11π/16, 13π/16 ve 15π/16 olur. Integrand değerleri sırasıyla 1.4006926023, 1.3005159423, 1.1439660326, 1.0188524102, 1.0188524102, 1.1439660326, 1.3005159423 ve 1.4006926023 olur. Toplamları 9.7280539749 eder ve 0.3926990817 ile çarpmak L₈ = 3.8201978627 birim verir; referans değer 3.8201977890 birimdir, mutlak hata yalnızca 0.0000000736 birimdir.

Her orta nokta dikdörtgeni, integralin bir parçasının küçük ve dürüst bir resmidir. Üç parçası vardır ve her parçanın net bir anlamı vardır.

[0, 2] üzerinde y = x² parabolü ve n = 4 için dört dikdörtgenin genişliği de 0.5 olur. Yükseklikleri 1.1180339887, 1.8027756377, 2.6925824036 ve 3.6400549446, alanları 0.5590169944, 0.9013878189, 1.3462912018 ve 1.8200274723 olur. Toplam alan 4.6267234873 birimdir ve bu tam olarak orta nokta yaklaşımı L₄ değeridir.

Alanların toplamı integrali neden yaklaşık hesaplar? ∫_a^b g(x) dx integrali, integrand eğrisinin altındaki tam alandır. Her dikdörtgen, bir alt aralığın üzerindeki kavisli şeridi aynı genişlikte düz tepeli bir şeritle değiştirir ve temsilci yükseklik olarak orta nokta yüksekliğini kullanır. Integrand yukarı doğru kıvrıldığında düz üst, bir yanda biraz alan keser ve diğer yanda biraz ekler. Örnek merkezden alındığı için bu iki hata neredeyse birbirini götürür ve dikdörtgen alanı gerçek şerit alanına yakın olur. Dikdörtgenleri toplamak bütün alanın ve dolayısıyla yay uzunluğunun bir tahminini verir.

En yaygın diyagram hatası. Dikdörtgenler, g(x) = √(1 + [f'(x)]²) integrand eğrisinin altına çizilmelidir, orijinal f(x) eğrisinin altına değil. Orijinal eğri ve integrand, farklı yüksekliklere sahip farklı grafiklerdir: [0, 2] üzerinde y = x² için orijinal eğri 0 ile 4 arasında, integrand ise 1 ile √(17) = 4.1231056256 arasında değişir. Orijinal eğrinin altına çizilen dikdörtgenler f(x) altındaki alanı toplar ki bunun yay uzunluğuyla ilgisi yoktur. Hesaplayıcı iki grafiği ayrı tutar ve yukarıdaki kılavuz diyagramı dikdörtgenleri yalnızca integrandın altında gösterir.

Bir dikdörtgeni okumak. Hesaplayıcıda bir dikdörtgenin üzerine gelmek veya onu seçmek, alt aralık numarasını, sol ve sağ sınırlarını, orta noktasını, orta noktadaki türevi, integrand değerini ve dikdörtgen katkısını gösterir. Bu ayrıntı, tabloyu ödev için kullanışlı kılan şeydir: son cevaptaki her sayı bir dikdörtgene kadar izlenebilir.

Alt aralık sayısı n, hesaplayıcıdaki en önemli kontroldür, çünkü dikdörtgenlerin ne kadar ince olacağına karar verir. Küçük bir n, birkaç geniş dikdörtgen demektir. Büyük bir n, integrand eğrisini yakından izleyen birçok dar dikdörtgen demektir.

n küçük olduğunda ne olur? n = 1 iken bütün aralık tek bir dikdörtgendir ve cevap Δx × g(orta nokta) olur. [0, 2] üzerinde y = x² parabolü için n = 1, 2 × √(5) = 4.4721359550 birim verir; bu, gerçek 4.6467837624 birim değerinden 0.1746478074 birim eksiktir. Tek dikdörtgen, integrand 1'den 4.1231056256'ya yükselirken onu izleyemez; bu yüzden hata büyüktür. n = 2 ile cevap 4.5764912225 birime iyileşir. n = 4 ile 4.6267234873 birim olur. n = 8 ile 4.6417306581 birim olur. n = 16 ile 4.6455205322 birim, n = 32 ile 4.6464679593 birim olur.

Hata nasıl küçülür? Düzgün bir integrand için orta nokta kuralı hatası 1 / n² ile orantılıdır. n değerini iki katına çıkarmak hatayı kabaca dörtte birine indirir. Parabol sayıları bunu net gösterir: hata n = 4'te 0.0200602751 birimden n = 8'de 0.0050531044 birime, ardından n = 16'da 0.0012632302 birime ve n = 32'de 0.0003158031 birime düşer. Her iki katına çıkarma hatayı yaklaşık dörde böler. Bu 1 / n² davranışına ikinci dereceden yakınsama denir ve orta nokta kuralının bu kadar etkili olmasının nedenidir: n değerindeki mütevazı bir artış, doğrulukta büyük bir iyileşme sağlar.

İyileşme neden her zaman tek yönlü değildir? Hata n büyüdükçe genellikle küçülür, ama her fonksiyon için her adımda küçülmek zorunda değildir. Sinüs eğrisi bunun hafif bir örneğini gösterir: n = 2, referans 3.8201977890 birim değerini aşan 3.8476494905 birim verirken n = 4 çok daha yakın olan 3.8204517876 birim verir. Yaklaşık değer gerçek değerin üstünden hemen üstündeki bir değere geçti ve hata genel olarak yine de küçüldü. Keskin kıvrımları, salınımları veya tekilliğe yakın noktaları olan fonksiyonlarda hata n değiştikçe dalgalanabilir; uzun vadeli eğilim yine de aşağı doğrudur. Tek bir adımda daha büyük bir n değerinin her zaman daha iyi bir cevap verdiğini asla varsaymayın; bunun yerine yakınsama tablosuna bakın.

Daha büyük bir n değerinin maliyeti. Daha fazla alt aralık daha fazla aritmetik demektir: daha fazla türev değerlendirmesi, daha fazla integrand değeri ve daha fazla tablo satırı. n = 5.000 için hesaplayıcı 5.000 değerlendirme yapar; bu bir bilgisayar için hızlıdır ama satır satır okunamayacak kadar uzun bir tablo üretir; bu yüzden hesaplayıcı tabloyu sayfalara böler. Pratik kural, cevap ihtiyaç duyduğunuz hassasiyette değişmeyi bırakana kadar n değerini artırmaktır. n = 100 ve n = 200 altı ondalık basamağa kadar aynıysa n = 100 yeterlidir ve n = 5.000 işten başka bir şey katmaz.

Pratikte n seçimi. Öğrenirken n = 4 veya n = 8 kullanın, çünkü tablo elle kontrol edilebilecek kadar kısa kalır. Dört veya beş doğru ondalık basamak gerektiren ödev cevapları için n = 50 veya n = 100 kullanın. n = 1.000 veya daha fazlasını yalnızca çok yüksek hassasiyet gerektiğinde veya integrand aralık boyunca hızlı değiştiğinde kullanın. Yakınsama paneli n, 2n ve 4n değerlerini birlikte gösterir; bu sayede cevabın oturduğunu tahmin etmeden görebilirsiniz.

Orta nokta kuralı, üç klasik sayısal integral yönteminden biridir ve her biri integrandı farklı şekilde örnekler. Aralarındaki farkı bilmek, doğru aracı seçmenize ve cevaplarının neden farklı olduğunu anlamanıza yardımcı olur.

Orta nokta kuralı. Her alt aralığın merkezinden örnekler ve dikdörtgenler kurar. Hatası O(1 / n²) derecesindedir, yamuk kuralıyla aynı derecededir; ama orta nokta kuralı aynı n için yamuk kuralından genellikle yaklaşık iki kat daha doğrudur, çünkü merkez örneklemesi önde gelen hatayı götürür. Alt aralık başına yalnızca n değerlendirme gerekir ve her pozitif n için çalışır.

Yamuk kuralı. Uç noktalardan örnekler ve onları düz çizgilerle birleştirerek yamuklar oluşturur. Orta nokta kuralıyla aynı O(1 / n²) hata derecesini paylaşır; ama hatası genellikle ters işarete sahiptir: dışbükey bir integrand için yamuk kuralı fazla tahmin ederken orta nokta kuralı eksik tahmin eder veya tam tersi olur. İkisinin ortalaması, Simpson kuralının temelini oluşturan yamuk-orta nokta birleşimini verir. İki yöntemi aynı fonksiyon üzerinde karşılaştırmak için yamuk kuralı hesaplayıcıyı deneyin.

Simpson kuralı. Her alt aralık çiftinin iki uç noktasından ve orta noktasından bir parabol geçirir; bu da çift sayıda alt aralık gerektirir. Hatası O(1 / n⁴) derecesindedir; bu yüzden düzgün fonksiyonlar için diğer ikisinden çok daha hızlı yakınsar. Bedeli, çift n kısıtlaması ve alt aralık başına daha fazla değerlendirmedir. Az sayıda alt aralıkla yüksek doğruluk gerektiğinde Simpson kuralı hesaplayıcıyı deneyin.

Sayısal bir karşılaştırma. [0, 2] üzerinde y = x² parabolü ve n = 4 için orta nokta kuralı 4.6267234873 birim, yamuk kuralı 4.6870560064 birim ve Simpson kuralı 4.6502010785 birim verir; referans değer 4.6467837624 birimdir. Orta nokta hatası 0.0200602751 birim, yamuk hatası 0.0402722440 birim ve Simpson hatası 0.0034173160 birimdir. Simpson burada, düzgün fonksiyonlarda genellikle olduğu gibi kazanır; ama orta nokta kuralı daha basittir, çift n kısıtlaması gerektirmez ve yalnızca orta nokta örnekleri mevcut olduğunda doğal seçimdir.

Hangi kuralı kullanmalısınız? Basit ve güvenilir bir tahmin istediğinizde, bir fonksiyonu eşit aralıklı iç noktalarda örneklediğinizde veya Riemann toplamlarını öğretirken orta nokta kuralını kullanın. Uç nokta değerleri doğal veri olduğunda, örneğin her aralığın uçlarında alınan ölçümler söz konusu olduğunda yamuk kuralını kullanın. Fonksiyon düzgün olduğunda ve küçük bir n ile yüksek doğruluk gerektiğinde Simpson kuralını kullanın. Yay uzunluğu için orta nokta kuralının pratik bir avantajı vardır: integrandı uç noktalarda hiçbir zaman değerlendirmez; bu noktalarda fonksiyon tanımsız veya tekil olabilir, bu yüzden diğer iki kuralın başlayamadığı eğrileri bile işleyebilir.

Her orta nokta yaklaşımı gerçek yay uzunluğundan bir miktar farklıdır ve bu hatayı anlamak, bir sayıyı güvenilir bir cevaba dönüştüren şeydir. Hatadan bahsetmenin üç farklı yolu vardır ve bunlar karıştırılmamalıdır.

Mutlak hata. Mutlak hata, yaklaşık değer ile gerçek değer arasındaki farkın büyüklüğüdür: |L - L_n|. n = 4 olan parabol için mutlak hata |4.6467837624 - 4.6267234873| = 0.0200602751 birimdir. n = 8 olan sinüs eğrisi için |3.8201977890 - 3.8201978627| = 0.0000000736 birimdir. Mutlak hata, uzunluğun kendisiyle aynı birimlerle ölçülür.

Bağıl hata. Bağıl hata, mutlak hatayı gerçek değerin büyüklüğüne böler ve genellikle yüzde olarak verilir: |L - L_n| / |L| × 100. n = 4 olan parabol için bağıl hata 0.4317% olur. n = 4 olan kübik için 0.9585% olur. n = 8 olan sinüs eğrisi için 0.00000193% olur. Bağıl hata, farklı büyüklükteki problemlerde doğruluğu karşılaştırmanın adil yoludur: 0.02 birimlik bir hata, 100 birimlik bir uzunlukta çok az, 0.1 birimlik bir uzunlukta ise çok önemlidir.

İyileştirmeye dayalı hata göstergesi. Gerçek çalışmada gerçek değer bilinmez; bu yüzden mutlak hata doğrudan hesaplanamaz. Bunun yerine iki yaklaşık değeri karşılaştırın: |M_2n - M_n| farkı, bölüm iyileştirildiğinde cevabın ne kadar hareket ettiğini gösterir. Parabol için |M₈ - M₄| = |4.6417306581 - 4.6267234873| = 0.0150071707 birimdir. Bu fark pratik bir uyarı işaretidir: büyükse cevap hâlâ hareket ediyordur ve n artırılmalıdır. Bu bir göstergedir, garantili bir sınır değildir: gerçek hata, iyileştirme farkından daha büyük veya daha küçük olabilir ve orta nokta kuralı için genellikle bunun yaklaşık üçte biri kadardır, çünkü hata her iki katına çıkarmada dört kat küçülür.

Teorik hata sınırı. Yeterince düzgün bir g(x) integrandı için bileşik orta nokta kuralı hatası şu koşulu sağlar:

Bu sınır, aralık üzerinde integrandın ikinci türevinin maksimumunu gerektirir ve bunu tam olarak bulmak genellikle zordur. g(x) = √(1 + 4x²) parabol integrandı için ikinci türev g''(x) = 4 / (1 + 4x²)^3/2 olur ve [0, 2] üzerindeki en büyük değeri x = 0 noktasında 4 olur. Bu yüzden n = 4 için sınır (8 / (24 × 16)) × 4 = 0.0833333333 birimdir ve gerçek hata 0.0200602751 birim bu sınırın içinde güvenle kalır. n = 8 için sınır 0.0208333333 birimdir. Sınır dürüsttür ama gevşektir: buradaki gerçek hatayı dört kat fazla tahmin eder ve bu tipiktir.

Sınırın geçerli olmadığı durum. Hata sınırı, integrandın düzgün olduğunu ve sınırlı bir ikinci türevi olduğunu varsayar. Köşesi, sıçraması veya tekilliği olan bir fonksiyon bu varsayımı bozar ve sınır ya yoktur ya da işe yaramayacak kadar büyüktür. Hesaplayıcı, onaylayamadığı bir sınırı uydurmaz. Bu durumda iyileştirme farkını gösterir ve sınırlarını açıklar; dürüst cevap budur.

Düzgünlük neden önemlidir? 1 / n² hata davranışı, orta nokta dengelemesinin çalışması için integrandın yeterince düzgün olmasına bağlıdır. √(1 + 4x²) gibi düzgün bir integrand temiz bir şekilde yakınsar. Keskin köşeli bir integrand daha yavaş yakınsar ve tekilliği olan bir integrand çok yavaş yakınsayabilir veya hiç yakınsamayabilir. n değerini iki katına çıkarmak cevabı zar zor değiştiriyorsa fonksiyon düzgün olabilir ve zaten doğrudur. n değerini iki katına çıkarmak cevabı çok değiştiriyorsa ya fonksiyon pürüzlüdür ya da n hâlâ çok küçüktür.

Richardson ekstrapolasyonu, iki orta nokta yaklaşımını çok daha iyi bir tahmine dönüştüren basit bir numaradır. Orta nokta kuralı hatasının bilinen örüntüsünü kullanarak önde gelen hata terimini götürür.

Düzgün bir integrand için n alt aralıklı orta nokta yaklaşımının hatası C / n² gibi davranır; burada C fonksiyona bağlı ama n değerine bağlı olmayan bir sabittir. Alt aralıkları 2n değerine iki katına çıkarmak hatayı dörde böler. Bu, gerçek değer L ve sabit C olmak üzere iki bilinmeyenli iki denklem verir:

L için çözmek C değerini ortadan kaldırır ve Richardson ekstrapolasyon tahminini bırakır:

Çözümlü örnek. [0, 2] üzerinde y = x² parabolü için M₄ = 4.6267234873 birim ve M₈ = 4.6417306581 birimdir. Richardson tahmini L_R = (4 × 4.6417306581 - 4.6267234873) / 3 = 4.6467330483 birimdir. Gerçek değer 4.6467837624 birimdir; bu yüzden ekstrapolasyon hatası yalnızca 0.0000507141 birimdir ve bu, 0.0200602751 birimlik orijinal M₄ hatasından çok daha küçüktür. Ekstrapolasyon, yalnızca n = 4 ve n = 8 hesaplarını kullanarak çok daha büyük bir n değerinin doğruluğunu satın aldı.

Sinüs eğrisiyle çözümlü örnek. [0, π] üzerinde y = sin(x) için M₈ = 3.8201978627 birim ve M₁₆ = 3.8201977890 birimdir. Richardson tahmini L_R = (4 × 3.8201977890 - 3.8201978627) / 3 = 3.8201977645 birimdir; referans değer 3.8201977890 birimdir ve hata yalnızca 0.0000000245 birimdir.

Kübikle çözümlü örnek. [0, 1] üzerinde y = x³ için M₄ = 1.5330289642 birim ve M₈ = 1.5441590533 birimdir. Richardson tahmini L_R = (4 × 1.5441590533 - 1.5330289642) / 3 = 1.5478690830 birimdir; referans değer 1.5478656547 birimdir ve hata 0.0000034283 birimdir. Orijinal M₄ hatası 0.0148366905 birimdi; bu yüzden ekstrapolasyon hatayı yaklaşık 4327.7 kat azalttı.

Richardson ekstrapolasyonu ne değildir? Ekstrapolasyon değeri, iyileştirilmiş bir tahmindir; orta nokta kuralı sonucu değildir ve garantili tam bir cevap da değildir. Hatanın gerçekten C / n² gibi davrandığını varsayar; bu, düzgün integrandlar için geçerlidir ve pürüzlü olanlar için geçersiz olur. Integrandın köşesi veya tekilliği varsa ekstrapolasyon orijinal yaklaşımdan daha kötü olabilir; bu yüzden hesaplayıcı her zaman önce orijinal orta nokta sonucunu gösterir ve ekstrapolasyon değerini ayrı olarak etiketler. Richardson ekstrapolasyonu, aynı numarayı birkaç seviyede tekrarlayarak çok yüksek doğruluğa ulaşan Romberg integralinin de arkasındaki fikirdir.

Bazı eğriler y = f(x) olarak yazılamaz. Örneğin bir daire, çoğu x değeri için iki y değeri verir; bu yüzden hiçbir tek fonksiyon onu tanımlayamaz. Parametrik eğriler bunu, her iki koordinatı da bir t parametresinin fonksiyonu olarak tanımlayarak çözer: x = x(t) ve y = y(t). t, t₁ değerinden t₂ değerine ilerlerken (x(t), y(t)) noktası eğriyi çizer.

Parametrik bir eğri için küçük uzunluk öğesi her iki koordinattaki hareketten gelir: ds = √(dx² + dy²). dx = x'(t) dt ve dy = y'(t) dt yazmak parametrik yay uzunluğu integralini verir:

Karekökün altındaki nicelik, noktanın t değiştikçe eğri boyunca hareket etme hızı olan v(t) = √([x'(t)]² + [y'(t)]²) hızıdır. Orta nokta kuralı, parametre aralığına tıpkı bir x aralığına uygulandığı gibi uygulanır: [t₁, t₂] aralığını genişliği Δt = (t₂ - t₁) / n olan n eşit bölüme ayırın, hızı orta parametreler t_i* = t₁ + (i + ½)Δt noktalarında örnekleyin ve katkıları toplayın:

Çözümlü örnek: çeyrek daire. [0, π/2] üzerinde x(t) = 5 cos(t) ve y(t) = 5 sin(t) alın, n = 4 olsun. Türevler x'(t) = -5 sin(t) ve y'(t) = 5 cos(t) olur. Hız v(t) = √(25 sin²(t) + 25 cos²(t)) = √(25) = 5, yani bir sabittir; çünkü sin²(t) + cos²(t) = 1. Parametre genişliği Δt = (π/2 - 0) / 4 = π/8 = 0.3926990817 ve orta parametreler π/16, 3π/16, 5π/16 ve 7π/16 olur. Her hız değeri 5 olduğundan her katkı 0.3926990817 × 5 = 1.9634954085 olur ve toplam 4 × 1.9634954085 = 7.8539816340 birimdir; bu tam olarak 5π/2 değeridir. Hız sabit olduğu için orta nokta kuralı burada her n için tamdır.

Parametrik biçimin önemi. Birçok gerçek eğri doğal olarak parametriktir: daireler, elipsler, spiraller, tasarım yazılımlarındaki Bezier eğrileri ve fizik ile robotikte hareket eden nesnelerin yolları. Açık y = f(x) biçimi, kendi üzerine geri dönen bir eğriyi tanımlayamaz; ama parametrik biçim tanımlayabilir. Hesaplayıcı her iki biçimi de aynı orta nokta motoru, aynı tablo ve aynı yakınsama analiziyle işler. Parametrik eğriler hakkında daha fazla bilgi için parametrik yay uzunluğu hesaplayıcısına bakın.

Parametre hakkında bir uyarı. Hız 1 olmadıkça t parametresi yay uzunluğuyla aynı şey değildir. t değerindeki eşit adımlar, hız sabit olmadıkça eğri boyunca eşit adımlar vermez. Genel bir parametrik eğri için orta nokta kuralı yine de doğru çalışır, çünkü hızın integralini alır; ama dikdörtgenler t cinsinden eşittir, eğri boyunca mesafe cinsinden eşit değildir. Bu sorun değildir: formül bunu v(t) aracılığıyla hesaba katar.

Orta nokta kuralı, bir integralin sayısal olarak tahmin edilmesi gereken her yerde yararlıdır ve yay uzunluğu onun işlerinden yalnızca biridir. Basitliği, ikinci dereceden doğruluğu ve uç nokta sorunlarına toleransı onu birçok alanda vazgeçilmez kılar.

Sayısal analiz ve eğitim. Orta nokta kuralı, öğrencilerin karşılaştığı ilk sayısal integral yöntemlerinden biridir; çünkü dikdörtgenlerin çizilmesi kolaydır ve orta nokta fikri kolay kavranır. Riemann toplamlarını, yakınsamayı ve hata analizini tek pakette öğretir. Bu hesaplayıcının tablosu ve diyagramları tam da bu amaç için yapılmıştır: cevaptaki her sayı bir dikdörtgene kadar izlenebilir.

Mühendislik. Mühendisler kavisli parçaların, kabloların, boruların ve yol kıvrımlarının uzunluklarını matematiksel modellerden tahmin eder. Eğri bir polinom veya trigonometrik fonksiyon olduğunda yay uzunluğu integralinin genellikle kapalı biçimi yoktur; bu yüzden sayısal yöntem tek seçenektir. Orta nokta kuralı, net bir hata tahminiyle hızlı bir cevap verir ve n artırmak onu tasarımın ihtiyaç duyduğu kadar iyileştirir.

Fizik. Fizikçiler işi, kat edilen mesafeyi ve alan büyüklüklerini hesaplamak için yollar boyunca integral alır. Kavisli bir yol boyunca hareket eden bir parçacığın kat ettiği mesafe, yörüngesinin yay uzunluğuna eşittir ve orta nokta kuralı bu mesafeyi hız verilerinden tahmin eder. Aynı yöntem, analitik ters türevin ulaşılamaz olduğu termodinamik, optik ve kuantum mekaniğindeki integralleri tahmin eder.

Bilgisayar grafikleri ve CAD. Ekrandaki eğriler birçok kısa düz parça olarak çizilir ve bir eğrinin toplam uzunluğu bu parçalar toplanarak tahmin edilir; bu bir sayısal integral biçimidir. Yazı tipi ana hatları, animasyon yolları ve CAD takım yolları doğru eğri uzunluğu ölçümüne bağlıdır. Orta nokta kuralı, bu uzunlukları bir resimden tahmin etmek yerine ilkeli bir şekilde ölçmenin yolunu verir.

Eğri ölçümü ve robotik. Tutucusunu dairesel bir yay boyunca hareket ettiren bir robot kolu, kavisli bir kenarı kesen bir CNC makinesi veya kavisli bir sınırı ölçen bir haritacı, hepsi denklemiyle veya örneklenmiş noktalarıyla bilinen bir eğrinin uzunluğuna ihtiyaç duyar. Orta nokta kuralı bu örnekleri bir uzunluğa dönüştürür ve cevaba ne kadar güvenilebileceğini söyleyen bir hata tahmini verir.

Bilimsel modelleme ve hesaplamalı geometri. Biyoloji, finans ve iklim bilimindeki modeller, yalnızca ayrık noktalarda bilinen fonksiyonların integrallerini alır. Orta nokta kuralı, verilerin aralıkların merkezlerinde alınan örnekler olduğu durumlarda doğal seçimdir; bu, sensör okumalarında ve benzetim çıktılarında yaygındır. Hesaplamalı geometride kavisli şekillerin çevrelerini ve spline eğrilerinin uzunluklarını ölçer.

Ne zaman kullanılmaz? Orta nokta kuralı, integrandın aralık içinde bir tekilliği olduğunda, fonksiyon süreksiz olduğunda veya az değerlendirmeyle çok yüksek doğruluk gerektiğinde kötü bir seçimdir: Simpson kuralı veya uyarlamalı bir yöntem orada daha iyi iş çıkarır. İntegralin kendisinin soru olmadığı durumlarda da yanlış araçtır; örneğin kapalı biçimli bir yay uzunluğu zaten biliniyorsa. Yarıçapı 5 olan bir dairenin çeyrek daire yayı tam olarak 5π/2 = 7.8539816340 birimdir ve hiçbir sayısal yöntem bunu iyileştiremez.

Yanlış orta nokta cevaplarının çoğu kısa bir hata listesinden gelir. Her birini kontrol etmek saniyeler sürer ve çoğu hatayı önler.

1. Orta nokta yerine uç noktaları kullanmak. Her alt aralığın sol veya sağ kenarından örneklemek, sol veya sağ Riemann toplamını hesaplar, orta nokta kuralını değil. [0, 2] üzerinde y = x² parabolü ve n = 4 için sol toplam 3.75 birim, sağ toplam 5.75 birim olur; orta nokta kuralı ise 4.6267234873 birim verir. Yalnızca orta nokta değeri orta nokta kuralı cevabıdır.
2. Fonksiyonun türevini almayı unutmak. Integrand g(x) = √(1 + [f'(x)]²) olur, √(1 + [f(x)]²) değil. y = x² için f'(x) yerine f(x) kullanmak √(1 + x⁴) integralini verir; bu tamamen farklı bir sayıdır. Her zaman önce türev alın.
3. Yanlış yay uzunluğu integrandı kullanmak. Integrand √(1 + [f'(x)]²) olmalıdır. 1'i düşürmek, kareyi unutmak veya yanlış niceliğin karekökünü almak hep yanlış cevap verir. Eğimi 3 olan bir doğru için integrand sabit √(10) = 3.1622776602 olur; 3 değil ve √(1 + 3) değil.
4. Aralığı yanlış bölmek. Genişlik Δx = (b - a) / n olur; üstte aralığın tam uzunluğu vardır. n + 1'e bölmek veya (b - a) / n yerine b / n kullanmak her orta noktayı kaydırır ve cevabı bozar. [0, 2] ve n = 4 için genişlik 0.5 olur; 0.4 değil ve 0.6666666667 değil.
5. Yanlış sayıda orta nokta kullanmak. Tam olarak n orta nokta vardır, alt aralık başına bir tane; n + 1 değil. Uç noktalar orta nokta değildir. n + 1 örnekleme noktası saymak, bir alt aralığın iki kez sayıldığı veya bir uç noktanın yanlışlıkla örneklendiği anlamına gelir.
6. Orijinal eğriyi integrand grafiğiyle karıştırmak. Orta nokta dikdörtgenleri integrand g(x) altında yer alır, orijinal f(x) eğrisinin altında değil. Onları f(x) altına çizip alanlarını toplamak f(x) altındaki alanı verir ki bu yay uzunluğu değildir. İki grafik farklı eğrilerdir ve ayrı gösterilmelidir.
7. Ara değerleri yuvarlamak. Orta noktaları, türev değerlerini veya integrand değerlerini toplamadan önce yuvarlamak, birçok dikdörtgende biriken küçük hatalar üretir. Hesap boyunca tam hassasiyeti koruyun ve yalnızca son görüntülenen sonucu yuvarlayın. Hesaplayıcı bunu otomatik olarak yapar.
8. Her yaklaşımın tam olduğunu varsaymak. Orta nokta kuralı, doğrular ve sabit hızlı parametrik eğriler gibi özel durumlar dışında bir yaklaşık değer verir, gerçek değeri değil. Parabol için L₄ = 4.6267234873 birim, gerçek 4.6467837624 birim değerine yakındır ama ona eşit değildir. Sonucu her zaman yaklaşık değer olarak bildirin ve hata tahminini yanında verin.
9. Tahmini hatayı garantili hata sınırlarıyla karıştırmak. İyileştirme farkı |M_2n - M_n|, cevabın hâlâ ne kadar hareket ettiğinin bir göstergesidir; gerçek hatanın bu farktan küçük olduğunun garantisi değildir. Teorik sınır ((b - a)³ / (24n²)) × max|g''(x)| bir garantidir; ama yalnızca ikinci türev maksimumu bilindiğinde ve integrand düzgün olduğunda geçerlidir.
10. Fonksiyonun tanım kümesi kısıtlamalarını göz ardı etmek. √(x) gibi bir fonksiyon negatif x için tanımsızdır ve ln(x), x ≤ 0 için tanımsızdır. Bir orta nokta tanım kümesinin dışına düşerse integrand değeri yoktur ve yaklaşık değer anlamsız olur. Hesaplayıcı bu durumda bir değer uydurmak yerine bir hata bildirir.
11. Yanlış parametrik türevleri kullanmak. Parametrik bir eğri için hem x'(t) hem de y'(t) türevleri gereklidir ve hız √([x'(t)]² + [y'(t)]²) olur. Yalnızca birini kullanmak veya yanlış değişkene göre türev almak yanlış bir hız ve yanlış bir uzunluk verir. Çeyrek daire için x'(t) = -5 sin(t) ve y'(t) = 5 cos(t) olur ve sabit 5 hızını elde etmek için ikisi de gereklidir.
12. Düzgün olmayan veya tekil bir fonksiyona, standart hata varsayımlarının otomatik olarak uygulandığını varsayarak davranmak. 1 / n² hata davranışı ve teorik sınır, düzgün bir integrand varsayar. Aralık içinde köşesi, sıçraması veya tekilliği olan bir fonksiyon çok daha yavaş yakınsayabilir ve Richardson ekstrapolasyonu başarısız olabilir. Yakınsama tablosunu kontrol edin: n değerini iki katına çıkarmak değişimi kabaca dörde bölmüyorsa standart varsayımlar o fonksiyon için geçerli değildir.

Bu hataların çoğunu yakalayan son bir kontrol. Sonucu kiriş uzunluğuna ve referans değere karşı doğrulayın. Yaklaşık değer en az kiriş kadar uzun olmalı, n büyüdükçe referansa yaklaşmalı, tablo satırlarının toplamı ana sonuca eşit olmalı ve bir doğru veya sabit hızlı bir eğri için tam değere eşit olmalıdır. Bu kontrollerden herhangi biri başarısız olursa yukarıdaki on iki hatadan biri nedendir.

Bu altı örnek, hesaplayıcının ana modlarını ve fonksiyon türlerini kapsar. Her biri araca güç veren aynı orta nokta motoruyla hesaplanır ve her sonuç yüksek doğruluklu uyarlamalı Simpson referansına karşı bağımsız olarak doğrulanmıştır.

Örnek 1: Parabol, [0, 2] üzerinde y = x², n = 4. Türev f'(x) = 2x, genişlik Δx = 0.5 ve orta noktalar 0.25, 0.75, 1.25 ve 1.75 olur. Integrand değerleri 1.1180339887, 1.8027756377, 2.6925824036 ve 3.6400549446, toplamları 9.2534469747 ve L₄ = 0.5 × 9.2534469747 = 4.6267234873 birimdir. Referans değer 4.6467837624 birimdir; bu yüzden mutlak hata 0.0200602751 birim ve bağıl hata 0.4317% olur. n = 8'e iki katına çıkarmak 4.6417306581 birim verir ve ikisinden Richardson tahmini 4.6467330483 birim olur.

Örnek 2: Doğru, [0, 4] üzerinde y = 3x + 1, n = 4. Türev f'(x) = 3 olduğundan integrand sabit g(x) = √(10) = 3.1622776602 olur. Genişlik Δx = 1, orta noktalar 0.5, 1.5, 2.5 ve 3.5 olur ve her integrand değeri 3.1622776602 olur. Toplam 4 × 3.1622776602 = 12.6491106407 ve L₄ = 1 × 12.6491106407 = 12.6491106407 birimdir; bu tam olarak 4√(10) değeridir. Integrand sabit olduğu ve her dikdörtgen doğru yüksekliğe sahip olduğu için orta nokta kuralı burada her n için tamdır.

Örnek 3: Yatay doğru, [1, 5] üzerinde y = 2, n = 4. Türev f'(x) = 0 olduğundan integrand sabit g(x) = √(1 + 0) = 1 olur. Genişlik Δx = 1, orta noktalar 1.5, 2.5, 3.5 ve 4.5 olur ve her katkı 1 × 1 = 1 olur. Toplam L₄ = 4.0000000000 birimdir; bu tam olarak yatay mesafe 5 - 1 = 4 değeridir. Yatay bir doğrunun dikey değişimi yoktur; bu yüzden yay uzunluğu yalnızca aralık uzunluğudur.

Örnek 4: Parametrik çeyrek daire, [0, π/2] üzerinde x(t) = 5 cos(t), y(t) = 5 sin(t), n = 4. Türevler x'(t) = -5 sin(t) ve y'(t) = 5 cos(t) olur ve hız sabit v(t) = 5 olur. Parametre genişliği Δt = π/8 = 0.3926990817, orta parametreler π/16, 3π/16, 5π/16 ve 7π/16 olur ve her katkı 0.3926990817 × 5 = 1.9634954085 olur. Toplam L₄ = 7.8539816340 birimdir; tam olarak 5π/2 değeridir. Tam daire 10π = 31.4159265359 birim, yarım daire ise 5π = 15.7079632679 birim olur.

Örnek 5: Kübik, [0, 1] üzerinde y = x³, n = 4. Türev f'(x) = 3x², genişlik Δx = 0.25 ve orta noktalar 0.125, 0.375, 0.625 ve 0.875 olur. Integrand değerleri 1.0010980300, 1.0853471867, 1.5405489332 ve 2.5051217067, toplamları 6.1321158566 ve L₄ = 0.25 × 6.1321158566 = 1.5330289642 birimdir. Referans değer 1.5478656547 birimdir; bu yüzden mutlak hata 0.0148366905 birim ve bağıl hata 0.9585% olur. n = 8'e iki katına çıkarmak 1.5441590533 birim verir ve Richardson tahmini 1.5478690830 birim olur.

Örnek 6: Trigonometrik, [0, π] üzerinde y = sin(x), n = 8. Türev f'(x) = cos(x), genişlik Δx = π/8 = 0.3926990817 ve sekiz orta nokta π/16, 3π/16, 5π/16, 7π/16, 9π/16, 11π/16, 13π/16 ve 15π/16 olur. Integrand değerleri 1.4006926023, 1.3005159423, 1.1439660326, 1.0188524102, 1.0188524102, 1.1439660326, 1.3005159423 ve 1.4006926023 olur. Toplamları 9.7280539749 ve L₈ = 0.3926990817 × 9.7280539749 = 3.8201978627 birimdir. Referans değer 3.8201977890 birimdir; bu yüzden mutlak hata yalnızca 0.0000000736 birim, bağıl hata 0.00000193% olur. Bu integralin temel bir ters türevi yoktur; bu yüzden orta nokta kuralı ve referans, cevabı almanın pratik yoludur.

Hesaplayıcıda bu örneklerden birini yüklemek ve o girdi için tam adım adım çözümü, canlı diyagramları, hesaplama tablosunu ve yakınsama karşılaştırmasını görmek için herhangi bir hazır ayar düğmesine tıklayın.

Orta nokta kuralıyla yay uzunluğu, kavisli bir mesafenin şerit metreyle değil, bir formülden ölçülmesi gereken her yerde karşınıza çıkar. Aynı hesap öğrencilere, mühendislere ve tasarımcılara hizmet eder.

Yollar, pistler ve kablolar. Kavisli bir yol, bir koşu pisti kıvrımı veya iki destek arasında asılı bir kablo, hepsi bir eğriyi izleyen uzunluklara sahiptir. Eğri bir fonksiyonla modellendiğinde orta nokta kuralı uzunluğunu modelden tahmin eder ve hata tahmini cevaba ne kadar güvenilebileceğini söyler. y = x² ile [0, 2] üzerinde modellenen bir kablo, düz çizgi boşluğu olan 4.4721359550 birim değil, 4.6467837624 birim kablo gerektirir.

Üretim ve sac metal. Kavisli bir panel, bükülmüş bir boru veya kıvrılmış bir kenar, bilinen uzunlukta düz malzeme olarak başlar. Orta nokta kuralı, kavisli tasarımı kesilecek düz uzunluğa çevirir ve yakınsama tablosu uzunluğu atölyenin ihtiyaç duyduğu hassasiyete kadar onaylar. Yarıçapı 5 olan çeyrek daire bir büküm, eğri boyunca 7.8539816340 birim malzeme gerektirir.

Mimarlık. Kemerler, kubbeler ve kavisli merdivenler yaylarıyla boyutlandırılır. Yarıçapı 5 olan yarım daire bir kemer, eğri boyunca 5π = 15.7079632679 birim kaplama gerektirir. Parabol veya sinüs eğrileriyle modellenen dairesel olmayan kemerler için orta nokta kuralı kaplama uzunluğunu doğrudan tasarım denkleminden verir.

Fizik ve hareket. Bir parçacığın kavisli bir yol boyunca kat ettiği mesafe, yörüngesinin yay uzunluğudur. Bir sarkaç topuzu, bir mermi veya eliptik bir yörüngedeki bir uydu, hepsi enerji, zamanlama ve yakıt hesapları için uzunlukları önemli olan eğriler boyunca hareket eder. Orta nokta kuralı bu mesafeleri hareket denklemlerinden tahmin eder.

Bilgisayar grafikleri, animasyon ve oyunlar. Kavisli yollar boyunca hareket eden nesneler, kamera hareketleri ve animasyonlu karakterler, hepsi spline ve parametrik eğrileri izler. Yol boyunca mesafe, hızı, zamanlamayı ve kare aralığını belirler. Orta nokta kuralı bu yol uzunluklarını eğri denklemlerinden ölçer ve parametrik mod geri dönen eğrileri işler.

Tıp ve biyoloji. Kan damarları, omurga ve organların kavisli yüzeyleri taramalardan ve modellerden ölçülür. Bir damar merkez çizgisi boyunca yay uzunluğu, stent ve kateter planlamasına yardımcı olur ve orta nokta kuralı modellenen bir merkez çizgisini hata tahminiyle bir uzunluğa dönüştürür.

Bu sitedeki ilgili hesaplayıcılar. Adı bilinen eğrilerin tam yay uzunlukları için parabol yay uzunluğu hesaplayıcıyı, elips yay uzunluğu hesaplayıcıyı, yarım daire yay uzunluğu hesaplayıcıyı, daire yay uzunluğu hesaplayıcıyı ve daire dilimi yay uzunluğu hesaplayıcıyı deneyin. Adım adım tam integral için adımlı yay uzunluğu hesaplayıcıyı, parametrik yay uzunluğu hesaplayıcıyı, kutupsal yay uzunluğu hesaplayıcıyı ve 3B yay uzunluğu hesaplayıcıyı deneyin. Diğer sayısal yöntemler için yamuk kuralı hesaplayıcıyı ve Simpson kuralı hesaplayıcıyı deneyin.

Bu tablolar, iki ana çözümlü örneğin yakınsama davranışını tek yerde toplar; böylece orta nokta kuralının ne kadar hızlı oturduğunu ve Richardson ekstrapolasyonunun cevabı nasıl iyileştirdiğini görebilirsiniz. Tüm değerler orta nokta motoruyla hesaplanır; referans uyarlamalı Simpson integralinden alınır.

[0, 2] üzerinde y = x² parabolü, referans 4.6467837624 birim.

[0, π] üzerinde y = sin(x) sinüs eğrisi, referans 3.8201977890 birim.

Tablolar nasıl okunur? Parabol hatası her iki katına çıkarmada yaklaşık dört kat düşer; n = 4'te 0.0200602751 birimden n = 8'de 0.0050531044 birime ve n = 16'da 0.0012632302 birime iner ve bu beklenen 1 / n² davranışıdır. Sinüs eğrisi daha da hızlı yakınsar, çünkü integrandı aralığın ortasına yakın neredeyse düzdür: n = 8'de hata zaten 0.0000000736 birimdir ve n = 16'da yaklaşık değer, gösterilen on ondalık basamağın tamamında referansla aynıdır. Richardson satırları aynı fikri tek adımda gösterir: iki yaklaşık değeri birleştirmek her birinden tek başına daha iyidir; parabol için 0.0000507141 birim, sinüs eğrisi için 0.0000000245 birim hatayla. Bu tabloları bir ölçüt olarak kullanın: bu örneklerden biri için kendi hesabınız tabloyla eşleşmiyorsa cevaba güvenmeden önce türevi, orta noktaları ve integrandı kontrol edin.