Calculadora de regra trapezoidal

A Calculadora da Regra do Trapézio estima o comprimento do arco numericamente. Ela aplica a regra do trapézio composta à integral do comprimento do arco da função que você inserir. Siga estes passos para obter uma primeira estimativa em menos de um minuto.

1. Digite a função. Digite f(x) no campo de função, por exemplo x^2, sin(x) ou ln(x+1). Use ^ para potências e nomes de funções padrão como sin, cos, exp e ln.
2. Digite o valor inicial. Defina a, o limite inferior de integração. Para o trecho da curva de x = 0 até x = 1, digite 0.
3. Digite o valor final. Defina b, o limite superior de integração. A calculadora exige b > a.
4. Escolha as subdivisões. Digite n, o número de subintervalos iguais. Uma primeira execução com n = 10 funciona bem para curvas suaves.
5. Selecione o método trapezoidal. Na interface de integração numérica, escolha a regra do trapézio para que a fórmula do painel abaixo seja a aplicada.
6. Clique em Calcular. A ferramenta avalia o integrando do comprimento do arco em n + 1 pontos amostrais, aplica os pesos das extremidades e exibe a aproximação.
7. Interprete o resultado. O número exibido é uma estimativa do comprimento da curva entre x = a e x = b, nas mesmas unidades de comprimento dos seus valores de x.
8. Melhore a precisão. Dobre n e recalcule. Quando duas estimativas sucessivas quase não mudarem, o resultado convergiu para fins práticos.

Veja o que cada entrada controla:

Inserir f(x) = x², a = 0, b = 1 e n = 10 produz uma estimativa de comprimento de arco próxima de 1.479, que está perto do valor exato 1.478943. O restante deste guia explica exatamente o que a calculadora computa e como julgar a qualidade da resposta.

A regra do trapézio é um método de integração numérica. Ela aproxima uma integral definida substituindo a área sob uma curva pela área de trapézios desenhados sob o integrando. Cada trapézio é construído a partir de dois pontos amostrais adjacentes, e a soma das áreas de todos os trapézios estima a integral.

O nome vem da geometria. Entre dois pontos amostrais x_i e x_i+1, o integrando g(x) é substituído por uma reta. A região sob essa reta é um trapézio: dois lados verticais paralelos de alturas g(x_i) e g(x_i+1) e uma largura horizontal h = x_i+1 - x_i.

Um único trapézio tem área h/2 · [g(x_i) + g(x_i+1)]. Somar as áreas de todos os n trapézios produz a aproximação trapezoidal composta da integral. A palavra "composta" significa que o intervalo é dividido em vários painéis em vez de um só.

Essa regra pertence à família dos métodos de quadratura numérica. Ela é valorizada pela transparência: cada passo tem um significado geométrico claro, e o único parâmetro é a contagem de subdivisões n. A ideia principal é fácil de enunciar: painéis mais estreitos e com retas mais curtas acompanham o integrando mais de perto, de modo que a estimativa melhora à medida que n cresce.

Para o comprimento do arco, o integrando não é a função original f(x). É o integrando do comprimento do arco g(x) = √(1 + (f'(x))²), que mede a velocidade com que o comprimento se acumula ao longo da curva. Manter essa distinção clara evita o mal-entendido mais comum do método.

A fórmula da regra do trapézio tem duas formas: uma versão de painel único e a versão composta usada na prática. Ambas vêm da mesma geometria do trapézio.

Fórmula de painel único. Com um trapézio cobrindo todo o intervalo:

A largura (b - a) é multiplicada pela média das duas alturas das extremidades. Isso é exatamente a área de um trapézio.

Fórmula composta. Divida [a, b] em n subintervalos iguais de largura h = (b - a)/n, com pontos amostrais x₀ = a, x₁ = a + h, ..., x_n = b:

Cada símbolo tem um significado fixo:

• T_n é a aproximação numérica com n painéis.
• h é a largura do subintervalo, (b - a)/n.
• a e b são os limites inferior e superior de integração.
• n é o número de subintervalos, um inteiro positivo.
• x_i são os pontos amostrais, espaçados de h em h.
• g(x_i) são os valores do integrando nesses pontos.

As extremidades recebem meio peso porque cada ponto amostral interior é compartilhado por dois trapézios vizinhos, enquanto cada extremidade pertence a apenas um. Algebricamente, os termos adjacentes h/2 · [g(x_i) + g(x_i+1)] se combinam de modo que os valores interiores contam por inteiro e os dois valores externos contam pela metade.

Um cálculo curto resolvido. Aproxime ∫₀¹ x² dx com n = 2. Então h = 0.5, x₀ = 0, x₁ = 0.5, x₂ = 1, e T₂ = 0.5 · [0/2 + 0.25 + 1/2] = 0.5 · 0.75 = 0.375. A integral exata é 1/3 ≈ 0.333, de modo que a estimativa grosseira de dois painéis está na vizinhança certa, com espaço para refinamento.

O comprimento do arco é uma integral, então a regra do trapézio se aplica a ele diretamente. A curva y = f(x) tem comprimento de arco de x = a até x = b dado por:

A calculadora forma o integrando do comprimento do arco g(x) = √(1 + (f'(x))²) e o alimenta na fórmula trapezoidal composta. O procedimento completo é:

1. Comece com y = f(x). Confirme que a função é diferenciável em [a, b].
2. Encontre a derivada f'(x). A ferramenta deriva a expressão digitada internamente.
3. Eleve a derivada ao quadrado. Forme (f'(x))². Elevar ao quadrado remove a informação de sinal porque o comprimento se acumula independentemente da direção da inclinação.
4. Some 1. O integrando é 1 + (f'(x))², que nunca é menor que 1.
5. Tire a raiz quadrada. Isso produz g(x), a taxa local com que o comprimento se acumula por unidade de x.
6. Divida o intervalo. Escolha n e calcule h = (b - a)/n.
7. Avalie o integrando. Calcule g(x₀), ..., g(x_n) nos pontos amostrais.
8. Aplique a regra composta. Combine os valores com meio peso nas extremidades.
9. Interprete o resultado. A soma é o comprimento aproximado do trecho da curva.

A derivada é elevada ao quadrado e depois colocada sob uma raiz quadrada por uma razão geométrica: um minúsculo trecho de curva de largura dx e altura dy tem comprimento √(dx² + dy²) = √(1 + (dy/dx)²) dx pelo teorema de Pitágoras. Integrar esse comprimento local sobre [a, b] dá o comprimento total, e a regra do trapézio aproxima a integral.

O integrando é sempre não negativo porque 1 + (f'(x))² é no mínimo 1. Seu valor mínimo é 1, atingido onde a curva é plana. Inclinações mais íngremes tornam g(x) maior, e é exatamente por isso que curvas íngremes são mais longas que curvas suaves no mesmo intervalo de x.

Este exemplo totalmente resolvido mostra cada número que a regra do trapézio produz. Use f(x) = x² em [0, 1] com n = 4.

1. Derivada. f'(x) = 2x.

2. Integrando. g(x) = √(1 + (2x)²) = √(1 + 4x²).

3. Tamanho do passo. h = (1 - 0)/4 = 0.25.

4. Pontos amostrais. 0, 0.25, 0.5, 0.75, 1.

5. Valores do integrando e pesos.

6. Soma ponderada. 1.000000/2 + 1.118034 + 1.414214 + 1.802776 + 2.236068/2 = 5.953057.

7. Multiplique por h.

8. Compare com o valor exato. O comprimento exato do arco é L = √5/2 + asinh(2)/4 ≈ 1.478943. A estimativa com n = 4, 1.488264, excede-o em 0.009321, um erro de cerca de 0.63%. Repetir com n = 8 dá 1.481272, já a 0.002330 do valor exato.

Observe que a estimativa é maior que o valor exato. Para esse integrando convexo, as cordas de reta ficam acima da curva, então a regra do trapézio superestima. Esse comportamento sistemático é normal, e a superestimativa diminui à medida que n cresce.

A contagem de subdivisões n e o tamanho do passo h estão ligados por h = (b - a)/n. Juntos, eles controlam quão finamente o integrando é amostrado e quão precisa é a estimativa.

O que n representa. É o número de painéis trapezoidais, um inteiro positivo. O número de pontos amostrais é sempre n + 1 porque painéis consecutivos compartilham seus pontos de fronteira.

Por que n = 1 é a regra de painel único. Com n = 1, h = b - a e T₁ = h/2 · [g(a) + g(b)]. Esta é a forma mais grosseira do método e raramente é precisa o suficiente.

Larguras dos painéis em [0, 1]. A tabela abaixo mostra como h diminui à medida que n cresce:

Painéis menores acompanham o integrando mais de perto, então a aproximação de reta dentro de cada painel se desvia menos da curva verdadeira. É por isso que aumentar n geralmente melhora a precisão. O custo é computacional: cada novo painel precisa de mais uma avaliação de função.

Mais subdivisões não garantem um resultado estritamente melhor para todo integrando. Integrandos não suaves ou oscilatórios podem mostrar comportamento irregular do erro, e o arredondamento de ponto flutuante acaba limitando os ganhos para n muito grande. Para curvas suaves como as deste guia, porém, a melhora é constante e previsível.

Uma estratégia prática: comece com n = 10 ou n = 20 e depois dobre n até a estimativa parar de mudar na precisão de que você precisa. Essa verificação de convergência é mais confiável do que confiar em qualquer valor único de n.

Seis exemplos cobrem o intervalo de casos exatos até funções cujos comprimentos de arco não têm forma fechada elementar. Cada um mostra a derivada, o integrando, a substituição e o resultado numérico.

Exemplo 1: Reta, f(x) = 2x em [0, 3]. A derivada é f'(x) = 2, uma constante, então o integrando é g(x) = √(1 + 4) = √5, também constante. Um único painel é exato porque o integrando nunca se curva: T₁ = 3 · √5 ≈ 6.708204. O comprimento exato 3√5 coincide. Isso confirma a regra: a regra do trapézio é exata sempre que o integrando for linear ou constante.

Exemplo 2: Quadrática, f(x) = x² em [0, 1], n = 4. Com f'(x) = 2x e g(x) = √(1 + 4x²), o cálculo completo na seção anterior dá L ≈ 1.488264, comparado com o exato 1.478943. A pequena diferença vem do integrando convexo; cordas traçadas acima da curva adicionam área extra.

Exemplo 3: Quadrática mais longa, f(x) = x² em [0, 2], n = 8. Aqui h = 0.25 novamente, mas o intervalo é duas vezes mais longo e o integrando mais íngreme. A estimativa é T₈ = 4.656890. Um cálculo de alta resolução dá 4.646784, então o erro é de cerca de 0.010106. Estender o intervalo não apenas escala a resposta: o integrando cresce com x, então o comprimento do arco cresce mais rápido que o comprimento do intervalo.

Exemplo 4: Curva senoidal, f(x) = sin x em [0, π]. A derivada é f'(x) = cos x, dando g(x) = √(1 + cos²x). Com n = 8, a estimativa é 3.820198; com n = 16, é 3.820198, inalterada em seis casas decimais. O integrando simétrico converge rapidamente porque sua curvatura é suave e distribuída uniformemente. (Digite ângulos em radianos; graus produziriam uma curva diferente.)

Exemplo 5: Logaritmo, f(x) = ln(x + 1) em [0, 2], n = 10. A derivada é f'(x) = 1/(x + 1), então g(x) = √(1 + 1/(x + 1)²). O domínio exige x > -1, o que o intervalo satisfaz. A estimativa é T₁₀ = 2.304215, enquanto um cálculo refinado dá 2.301988, um erro de cerca de 0.002227. Perto de x = 0 a inclinação é mais íngreme, então a maior parte do comprimento se acumula no início do intervalo.

Exemplo 6: Cúbica, f(x) = x³ em [0, 1], n = 10. Aqui f'(x) = 3x² e g(x) = √(1 + 9x⁴). Este comprimento de arco não tem antiderivada elementar, e é exatamente aí que a integração numérica mostra seu valor. A estimativa é T₁₀ = 1.552609 contra um valor refinado de 1.547866, um erro de cerca de 0.004743. Sem um método numérico, este comprimento seria muito difícil de obter.

Cada resultado acima foi calculado diretamente a partir da fórmula composta, arredondado para seis casas decimais. Repetir qualquer um deles na calculadora com o mesmo n reproduz os mesmos dígitos.

Convergência significa que as aproximações se estabilizam em direção ao valor verdadeiro à medida que n cresce. A tabela abaixo acompanha f(x) = x² em [0, 1], cujo comprimento exato é 1.478943:

Cada vez que n dobra, o erro cai por um fator de cerca de quatro: 0.037181 para 0.009321 para 0.002330 para 0.000582 para 0.000146 para 0.000036. Esta é a convergência de segunda ordem, a assinatura da regra do trapézio composta em integrandos suaves. Reduzir h pela metade corta o termo de erro dominante para cerca de um quarto.

A coluna "mudança em relação à anterior" é a verificação prática de convergência que o fluxo de trabalho da calculadora recomenda. Quando dobrar n muda a resposta menos do que a precisão exigida, a estimativa está estável. Para esta curva, n = 16 já fixa o comprimento a menos de 0.000582 da verdade.

O erro da regra do trapézio composta tem uma forma matemática precisa. Para um integrando g suficientemente suave em [a, b]:

para algum ξ em [a, b]. O sinal é importante: quando g'' é positivo (integrando convexo), o erro é negativo, o que significa que T_n superestima a integral. Isso corresponde ao exemplo de x², em que cada estimativa excedeu o exato 1.478943.

Um limite garantido segue substituindo g''(ξ) por sua magnitude máxima M = max|g''(x)| em [a, b]:

Termos-chave. Erro absoluto é |I - T_n|, a distância entre a verdade e a estimativa. Erro relativo divide isso por |I|. Erro de truncamento é o erro de aproximar a integral por uma soma finita, em oposição ao erro de arredondamento da aritmética de precisão finita. A segunda derivada g'' mede a curvatura do integrando, que é o que os painéis de reta não conseguem capturar.

Limite concreto para o exemplo de x². Em [0, 1], g''(x) = 4/(1 + 4x²)^3/2, maior em x = 0 com M = 4. O limite dá |I - T₄| ≤ 4/(12 · 16) = 0.020833. O erro real 0.009321 está confortavelmente dentro dele. Limites são conservadores por construção; eles prometem um teto, não um erro exato.

Dois avisos. Primeiro, g é o integrando do comprimento do arco, não o f original. Derivar duas vezes através da raiz quadrada é o que M descreve. Segundo, limites de erro podem ser penosos de calcular para funções complicadas porque o próprio M pode exigir maximização. Na prática, a verificação de convergência de dobrar n é a ferramenta mais útil, e a calculadora não exibe um limite de erro automático.

A Regra de Simpson é a parente mais próxima da regra do trapézio. Ambas dividem [a, b] em subintervalos iguais, mas Simpson ajusta uma parábola por três pontos consecutivos, onde a regra do trapézio traça uma corda reta por dois.

Em integrandos suaves, a convergência de quarta ordem de Simpson geralmente vence: dobrar n corta seu erro por cerca de dezesseis, contra quatro para a regra do trapézio. Mas Simpson não é universalmente melhor. Para integrandos ásperos ou descontínuos, ambos os métodos se degradam, e a ordem extra de precisão pode não se materializar. A regra do trapézio também aceita n ímpar, o que é conveniente para verificações rápidas.

Um bom fluxo de trabalho usa ambos: a estimativa trapezoidal como linha de base transparente e a Regra de Simpson para maior precisão. Quando as duas concordam nos dígitos exigidos, a confiança é alta. Quando discordam, aumente n antes de confiar em qualquer uma.

Duas ideias diferentes do tipo "trapezoidal" são fáceis de confundir. Elas produzem números diferentes para a mesma curva, então a distinção importa.

Método 1: Integração trapezoidal do integrando do comprimento do arco. É o que a calculadora faz. Ela integra g(x) = √(1 + (f'(x))²) com painéis trapezoidais desenhados sob a curva do integrando:

Método 2: Aproximação poligonal (soma de cordas) da curva original. Ela conecta pontos adjacentes da própria curva com segmentos retos e soma seus comprimentos:

Uma soma de cordas une os pontos (x_i, f(x_i)) na curva original. Um painel trapezoidal, em vez disso, aproxima a área sob o integrando g(x). Os painéis não representam segmentos retos da curva original, embora ambas as imagens envolvam retas.

Ambos os métodos convergem para o comprimento verdadeiro à medida que n cresce, e ambos são ferramentas numéricas legítimas. A calculadora desta página implementa o Método 1. Se você precisa de somas de cordas a partir de dados de coordenadas, a ferramenta comprimento de arco a partir de pontos segue o Método 2.

A regra do trapézio é a escolha certa quando simplicidade e transparência importam mais do que extrair os últimos dígitos de precisão.

• Aprender integração numérica. Cada passo tem um significado geométrico visível, o que a torna o primeiro método padrão nos cursos de cálculo.
• Estimar comprimentos de curva rapidamente. Alguns painéis geralmente dão dois ou três dígitos corretos para curvas suaves.
• Verificar soluções analíticas. Compare um comprimento de arco derivado à mão com uma estimativa numérica independente.
• Modelos de engenharia e física. Estimativas de comprimento para cabos, arcos e trajetórias, onde valores aproximados alimentam cálculos maiores.
• Comparar métodos numéricos. É a linha de base contra a qual a Regra de Simpson e métodos de ordem superior são julgados.
• Funções amostradas suaves. Quando f é suave e n pode ser moderado, o método é confiável.
• Verificação educacional. Seu comportamento O(h²) previsível torna as verificações de convergência fáceis de interpretar.

Recorra a um método diferente quando o integrando muda rapidamente, tem quinas ou descontinuidades, ou quando alta precisão é exigida a baixo custo. Para curvas suaves, a Regra de Simpson geralmente entrega mais dígitos por painel. Para curvas paramétricas, polares ou espaciais, use as calculadoras dedicadas de paramétricas, polares ou comprimento de arco 3D, que aplicam as mesmas ideias numéricas no sistema de coordenadas certo.

Estes são os erros que aparecem com mais frequência no trabalho de estudantes e nas perguntas de suporte. Cada um é fácil de evitar quando se sabe que ele existe.

1. Digitar limites de integração incorretos. O trecho [0, 2] não é a mesma porção da curva que [2, 0]. Confirme sempre que a < b e que os limites correspondem ao problema.
2. Usar a função errada. Um erro de digitação como x^3 em vez de x^2 muda a derivada e todos os valores subsequentes.
3. Esquecer a derivada na fórmula do comprimento do arco. O comprimento do arco integra √(1 + (f')²), nunca o próprio f.
4. Aplicar a regra diretamente a f(x) para o comprimento do arco. Os painéis devem ficar sob g(x). Integrar f(x) calcula área com sinal, não comprimento.
5. Escolher poucas subdivisões. n = 2 em um integrando curvo pode errar por vários por cento; o exemplo de x² teve erro de 2.5% com n = 2.
6. Usar zero subdivisões. n = 0 significa h = (b - a)/0, que é indefinido. n deve ser um inteiro positivo.
7. Digitar uma contagem de subdivisões não inteira. n = 2.5 não tem significado para contagem de painéis; arredonde para um número inteiro.
8. Confundir n com o número de pontos amostrais. n painéis precisam de n + 1 pontos amostrais. Com n = 4 há 5 pontos, não 4.
9. Esquecer os meios pesos das extremidades. Dar a g(x₀) e g(x_n) peso total infla a estimativa em h/2 · (g(x₀) + g(x_n)).
10. Usar o tamanho de passo errado. h = (b - a)/n, não b - a e não 1/n. Em [0, 2] com n = 8, h = 0.25.
11. Misturar graus e radianos. sin(x) com x em graus é uma curva diferente de sin(x) em radianos; os comprimentos de arco diferem de acordo.
12. Ignorar restrições de domínio da função. ln(x + 1) exige x > -1. Avaliar fora do domínio produz valores sem sentido.
13. Confundir aproximação com integração exata. T_n se aproxima de L; ele é igual a L apenas para integrandos especiais como constantes.
14. Assumir que mais painéis sempre garantem melhor precisão. Verdade no regime assintótico para integrandos suaves, mas erro de arredondamento e falta de suavidade podem quebrar o padrão nos extremos.
15. Ignorar verificações de convergência. Uma estimativa é um palpite; duas estimativas em n e 2n que concordam é evidência.
16. Confundir a Regra de Simpson com a regra do trapézio. Simpson usa pesos 1-4-2-4-...-1 e precisa de n par; a regra do trapézio usa 1/2-1-...-1-1/2 e qualquer n positivo.
17. Confundir integração trapezoidal com soma de cordas. Painéis sob o integrando não são cordas na curva; os dois métodos dão números diferentes.
18. Relatar precisão decimal excessiva. Se o erro está em torno de 0.002, escrever seis casas decimais exagera o que se sabe. Arredonde de acordo com a precisão verificada.

A mesma aritmética de painéis por trás do comprimento do arco aparece onde quer que uma quantidade suave precise ser acumulada numericamente.

• Estimativa de comprimento de curvas na engenharia. Comprimentos de cabos, curvas de suspensão e curvas de tubulação são calculados a partir de funções de projeto antes da fabricação.
• Projeto mecânico. Perfis de cames e curvas de dentes de engrenagem precisam de estimativas precisas de perímetro para planejamento de material.
• Geometria de estradas e caminhos. Curvas de alinhamento de estradas e ferrovias são medidas ao longo de suas linhas centrais, que raramente são funções elementares.
• Projeto auxiliado por computador. Núcleos CAD estimam comprimentos de curva para renderização, geração de trajetórias de ferramenta e cotagem.
• Simulações de física. Trajetórias de partículas e comprimentos de linhas de campo são acumulados a partir de modelos numéricos.
• Modelagem numérica. Qualquer integral sem forma fechada, de densidades de probabilidade a energia de sinal, pode começar com painéis trapezoidais.
• Educação matemática. A regra é a porta de entrada padrão para a análise numérica porque seu comportamento de erro é fácil de demonstrar.
• Medição e verificação de curvas. Medições físicas de curvas irregulares são conferidas com previsões numéricas.

Para geometria especializada, o método se adapta: a mesma regra composta integra a velocidade paramétrica √((x')² + (y')²) e integrandos polares. A calculadora aqui trata do caso cartesiano; ferramentas relacionadas cobrem os outros sistemas de coordenadas. Ela não processa arquivos CAD ou conjuntos de dados de levantamento diretamente; estes precisam primeiro ser reduzidos a uma função e limites.

Resolva estes à mão e depois confira na calculadora. Cada solução mostra a substituição para que você possa encontrar seus próprios deslizes aritméticos.

Problema 1. Use a regra do trapézio com n = 1 para aproximar ∫₀² 3 dx e diga se o resultado é exato.
Solução. h = 2, T₁ = 2/2 · [3 + 3] = 6. O integrando é constante, então o único trapézio coincide exatamente com o retângulo. A integral exata também é 6, então o resultado é exato.

Problema 2. Encontre o comprimento do arco de f(x) = x em [0, 1] usando a regra do trapézio com n = 1.
Solução. f'(x) = 1, então g(x) = √2, uma constante. T₁ = 1 · √2 ≈ 1.414214, que é exato porque o integrando é constante. Geometricamente, esta é a diagonal de um quadrado unitário.

Problema 3. Aproxime o comprimento do arco de f(x) = x² em [0, 1] com n = 2.
Solução. h = 0.5; g(0) = 1, g(0.5) = 1.414214, g(1) = 2.236068. T₂ = 0.5 · [1/2 + 1.414214 + 2.236068/2] = 0.5 · 3.032249 = 1.516124. O valor exato é 1.478943, então o erro é 0.037181.

Problema 4. Aproxime o comprimento do arco de f(x) = sin x em [0, π] com n = 4.
Solução. g(x) = √(1 + cos²x), h = π/4. Avaliando em 0, π/4, π/2, 3π/4, π e aplicando os pesos dá T₄ ≈ 3.819944. Com n = 8 o valor é 3.820198, então o resultado com n = 4 já está a 0.000254 do valor convergido.

Problema 5. Calcule o tamanho do passo para a = 2, b = 5, n = 6.
Solução. h = (5 - 2)/6 = 3/6 = 0.5. Os pontos amostrais são 2, 2.5, 3, 3.5, 4, 4.5, 5: sete pontos para seis painéis.

Problema 6. Para n = 10, quantos pontos amostrais existem e quais são seus pesos?
Solução. Há n + 1 = 11 pontos amostrais. As extremidades x₀ e x₁₀ têm peso 1/2; os nove pontos interiores x₁ até x₉ têm peso 1.

Problema 7. Para f(x) = x² em [0, 1], compare T₂ e T₄ e indique a mudança.
Solução. T₂ = 1.516124 e T₄ = 1.488264, uma mudança de 0.027860. O valor exato é 1.478943, então dobrar n cortou o erro de 0.037181 para 0.009321, um fator de cerca de quatro, como prevê a convergência de segunda ordem.

Problema 8. T₈ = 1.481272 para f(x) = x² em [0, 1]. Informe o erro absoluto e o relativo em relação ao exato 1.478943.
Solução. Erro absoluto = |1.481272 - 1.478943| = 0.002330. Erro relativo = 0.002330 / 1.478943 ≈ 0.001576, cerca de 0.16%. Tanto a estimativa quanto o erro devem ser citados aqui com três casas decimais; os dígitos extras em 1.481272 ainda não são confiáveis.