Calculateur de règle trapézoïdale

Le calculateur de règle des trapèzes estime numériquement la longueur d'arc. Il applique la règle des trapèzes composite à l'intégrale de longueur d'arc d'une fonction que vous saisissez. Suivez ces étapes pour obtenir une première estimation en moins d'une minute.

1. Saisissez la fonction. Tapez f(x) dans le champ de fonction, par exemple x^2, sin(x) ou ln(x+1). Utilisez ^ pour les puissances et les noms de fonctions standard comme sin, cos, exp et ln.
2. Saisissez la valeur de départ. Définissez a, la borne d'intégration inférieure. Pour le segment de courbe de x = 0 à x = 1, saisissez 0.
3. Saisissez la valeur de fin. Définissez b, la borne d'intégration supérieure. Le calculateur exige b > a.
4. Choisissez les subdivisions. Saisissez n, le nombre de sous-intervalles égaux. Un premier essai avec n = 10 convient bien aux courbes lisses.
5. Sélectionnez la méthode des trapèzes. Dans l'interface d'intégration numérique, choisissez la règle des trapèzes afin que la formule des panneaux ci-dessous soit celle appliquée.
6. Cliquez sur Calculer. L'outil évalue l'intégrande de longueur d'arc en n + 1 points d'échantillonnage, applique les poids des extrémités et affiche l'approximation.
7. Interprétez le résultat. Le nombre affiché est une estimation de la longueur de la courbe entre x = a et x = b, dans les mêmes unités de longueur que vos valeurs x.
8. Améliorez la précision. Doublez n et recalculez. Lorsque deux estimations successives changent à peine, le résultat a convergé à des fins pratiques.

Voici ce que contrôle chaque entrée :

Saisir f(x) = x², a = 0, b = 1 et n = 10 produit une estimation de longueur d'arc proche de 1.479, proche de la valeur exacte 1.478943. Le reste de ce guide explique exactement ce que le calculateur calcule et comment juger de la qualité de sa réponse.

La règle des trapèzes est une méthode d'intégration numérique. Elle approxime une intégrale définie en remplaçant l'aire sous une courbe par l'aire de trapèzes dessinés sous l'intégrande. Chaque trapèze est construit à partir de deux points d'échantillonnage adjacents, et la somme de toutes les aires des trapèzes estime l'intégrale.

Le nom vient de la géométrie. Entre deux points d'échantillonnage x_i et x_i+1, l'intégrande g(x) est remplacée par une ligne droite. La région sous cette ligne droite est un trapèze : deux côtés verticaux parallèles de hauteurs g(x_i) et g(x_i+1), et une largeur horizontale h = x_i+1 - x_i.

Un trapèze unique a une aire de h/2 · [g(x_i) + g(x_i+1)]. Additionner les aires des n trapèzes donne l'approximation trapézoïdale composite de l'intégrale. Le mot « composite » signifie que l'intervalle est divisé en plusieurs panneaux au lieu d'un seul.

Cette règle appartient à la famille des méthodes de quadrature numérique. Elle est appréciée pour sa transparence : chaque étape a un sens géométrique clair, et le seul paramètre est le nombre de subdivisions n. L'idée principale est simple à énoncer : des panneaux plus droits et plus étroits suivent l'intégrande de plus près, donc l'estimation s'améliore à mesure que n augmente.

Pour la longueur d'arc, l'intégrande n'est pas la fonction d'origine f(x). C'est l'intégrande de longueur d'arc g(x) = √(1 + (f'(x))²), qui mesure la vitesse à laquelle la longueur s'accumule le long de la courbe. Garder cette distinction claire évite le malentendu le plus courant sur la méthode.

La formule de la règle des trapèzes existe sous deux formes : une version à un seul panneau et la version composite utilisée en pratique. Les deux proviennent de la même géométrie des trapèzes.

Formule à un seul panneau. Avec un trapèze couvrant tout l'intervalle :

La largeur (b - a) est multipliée par la moyenne des deux hauteurs aux extrémités. C'est exactement l'aire d'un trapèze.

Formule composite. Divisez [a, b] en n sous-intervalles égaux de largeur h = (b - a)/n, avec les points d'échantillonnage x₀ = a, x₁ = a + h, ..., x_n = b :

Chaque symbole a un sens précis :

• T_n est l'approximation numérique avec n panneaux.
• h est la largeur de sous-intervalle, (b - a)/n.
• a et b sont les bornes d'intégration inférieure et supérieure.
• n est le nombre de sous-intervalles, un entier positif.
• x_i sont les points d'échantillonnage, espacés de h.
• g(x_i) sont les valeurs de l'intégrande en ces points.

Les extrémités reçoivent un demi-poids parce que chaque point d'échantillonnage intérieur est partagé par deux trapèzes voisins, tandis que chaque extrémité n'appartient qu'à un seul. Algébriquement, les termes adjacents h/2 · [g(x_i) + g(x_i+1)] se combinent de sorte que les valeurs intérieures comptent pleinement et que les deux valeurs extérieures comptent pour moitié.

Un court calcul détaillé. Approximez ∫₀¹ x² dx avec n = 2. Alors h = 0.5, x₀ = 0, x₁ = 0.5, x₂ = 1, et T₂ = 0.5 · [0/2 + 0.25 + 1/2] = 0.5 · 0.75 = 0.375. L'intégrale exacte vaut 1/3 ≈ 0.333, donc l'estimation grossière à deux panneaux est dans le bon ordre de grandeur, avec une marge de raffinement.

La longueur d'arc est une intégrale, donc la règle des trapèzes s'y applique directement. La courbe y = f(x) a une longueur d'arc de x = a à x = b donnée par :

Le calculateur forme l'intégrande de longueur d'arc g(x) = √(1 + (f'(x))²) et l'injecte dans la formule trapézoïdale composite. La procédure complète est :

1. Commencez avec y = f(x). Vérifiez que la fonction est dérivable sur [a, b].
2. Trouvez la dérivée f'(x). L'outil dérive l'expression saisie en interne.
3. Mettez la dérivée au carré. Formez (f'(x))². La mise au carré supprime l'information de signe car la longueur s'accumule quelle que soit la direction de la pente.
4. Ajoutez 1. L'intégrande est 1 + (f'(x))², qui n'est jamais plus petite que 1.
5. Prenez la racine carrée. Cela donne g(x), le taux local auquel la longueur s'accumule par unité de x.
6. Divisez l'intervalle. Choisissez n et calculez h = (b - a)/n.
7. Évaluez l'intégrande. Calculez g(x₀), ..., g(x_n) aux points d'échantillonnage.
8. Appliquez la règle composite. Combinez les valeurs avec des demi-poids aux extrémités.
9. Interprétez le résultat. La somme est la longueur approximative du segment de courbe.

La dérivée est mise au carré puis placée sous une racine carrée pour une raison géométrique : un minuscule segment de courbe de largeur dx et de hauteur dy a une longueur de √(dx² + dy²) = √(1 + (dy/dx)²) dx d'après le théorème de Pythagore. Intégrer cette longueur locale sur [a, b] donne la longueur totale, et la règle des trapèzes approxime l'intégrale.

L'intégrande est toujours non négative car 1 + (f'(x))² vaut au moins 1. Sa valeur minimale est 1, atteinte partout où la courbe est plate. Des pentes plus raides rendent g(x) plus grand, ce qui explique exactement pourquoi les courbes raides sont plus longues que les courbes douces sur le même intervalle x.

Cet exemple entièrement détaillé montre chaque nombre produit par la règle des trapèzes. Utilisez f(x) = x² sur [0, 1] avec n = 4.

1. Dérivée. f'(x) = 2x.

2. Intégrande. g(x) = √(1 + (2x)²) = √(1 + 4x²).

3. Pas. h = (1 - 0)/4 = 0.25.

4. Points d'échantillonnage. 0, 0.25, 0.5, 0.75, 1.

5. Valeurs de l'intégrande et poids.

6. Somme pondérée. 1.000000/2 + 1.118034 + 1.414214 + 1.802776 + 2.236068/2 = 5.953057.

7. Multipliez par h.

8. Comparez avec la valeur exacte. La longueur d'arc exacte est L = √5/2 + asinh(2)/4 ≈ 1.478943. L'estimation avec n = 4 de 1.488264 la dépasse de 0.009321, une erreur d'environ 0.63%. Répéter avec n = 8 donne 1.481272, déjà à 0.002330 de la valeur exacte.

Notez que l'estimation est supérieure à la valeur exacte. Pour cet intégrande convexe, les cordes en ligne droite se situent au-dessus de la courbe, donc la règle des trapèzes surestime. Ce comportement systématique est normal, et la surestimation diminue à mesure que n augmente.

Le nombre de subdivisions n et le pas h sont liés par h = (b - a)/n. Ensemble, ils contrôlent la finesse de l'échantillonnage de l'intégrande et la précision de l'estimation.

Ce que représente n. C'est le nombre de panneaux trapézoïdaux, un entier positif. Le nombre de points d'échantillonnage est toujours n + 1 car les panneaux consécutifs partagent leurs points frontières.

Pourquoi n = 1 est la règle à un seul panneau. Avec n = 1, h = b - a et T₁ = h/2 · [g(a) + g(b)]. C'est la forme la plus grossière de la méthode et elle est rarement assez précise.

Largeurs de panneaux sur [0, 1]. Le tableau ci-dessous montre comment h diminue à mesure que n augmente :

Des panneaux plus petits suivent l'intégrande de plus près, donc l'approximation en ligne droite à l'intérieur de chaque panneau s'écarte moins de la courbe réelle. C'est pourquoi augmenter n améliore généralement la précision. Le compromis est calculatoire : chaque nouveau panneau nécessite une évaluation de fonction supplémentaire.

Plus de subdivisions ne garantissent pas un résultat strictement meilleur pour chaque intégrande. Les intégrandes non lisses ou oscillantes peuvent montrer un comportement d'erreur irrégulier, et l'arrondi en virgule flottante limite finalement les gains pour des n très grands. Pour les courbes lisses comme celles de ce guide, l'amélioration est toutefois régulière et prévisible.

Une stratégie pratique : commencez avec n = 10 ou n = 20, puis doublez n jusqu'à ce que l'estimation cesse de changer à la précision dont vous avez besoin. Ce contrôle de convergence est plus fiable que de se fier à une seule valeur de n.

Six exemples couvrent l'éventail allant des cas exacts aux fonctions dont les longueurs d'arc n'ont pas de forme fermée élémentaire. Chacun montre la dérivée, l'intégrande, la substitution et le résultat numérique.

Exemple 1 : Ligne droite, f(x) = 2x sur [0, 3]. La dérivée est f'(x) = 2, une constante, donc l'intégrande est g(x) = √(1 + 4) = √5, également constante. Un seul panneau est exact car l'intégrande ne se courbe jamais : T₁ = 3 · √5 ≈ 6.708204. La longueur exacte 3√5 correspond. Cela confirme la règle : la règle des trapèzes est exacte chaque fois que l'intégrande est linéaire ou constante.

Exemple 2 : Quadratique, f(x) = x² sur [0, 1], n = 4. Avec f'(x) = 2x et g(x) = √(1 + 4x²), le calcul complet de la section précédente donne L ≈ 1.488264, contre 1.478943 exact. Le petit écart vient de l'intégrande convexe ; les cordes tracées au-dessus de la courbe ajoutent une aire supplémentaire.

Exemple 3 : Quadratique plus longue, f(x) = x² sur [0, 2], n = 8. Ici h = 0.25 à nouveau, mais l'intervalle est deux fois plus long et l'intégrande plus raide. L'estimation est T₈ = 4.656890. Un calcul haute résolution donne 4.646784, donc l'erreur est d'environ 0.010106. Étendre l'intervalle ne se contente pas de mettre la réponse à l'échelle : l'intégrande croît avec x, donc la longueur d'arc croît plus vite que la longueur de l'intervalle.

Exemple 4 : Courbe sinusoïdale, f(x) = sin x sur [0, π]. La dérivée est f'(x) = cos x, donnant g(x) = √(1 + cos²x). Avec n = 8, l'estimation est 3.820198 ; avec n = 16, elle est de 3.820198, inchangée à six décimales. L'intégrande symétrique converge rapidement car sa courbure est douce et uniformément répartie. (Saisissez les angles en radians ; les degrés produiraient une courbe différente.)

Exemple 5 : Logarithme, f(x) = ln(x + 1) sur [0, 2], n = 10. La dérivée est f'(x) = 1/(x + 1), donc g(x) = √(1 + 1/(x + 1)²). Le domaine exige x > -1, ce que l'intervalle satisfait. L'estimation est T₁₀ = 2.304215, tandis qu'un calcul affiné donne 2.301988, une erreur d'environ 0.002227. Près de x = 0, la pente est la plus raide, donc la majeure partie de la longueur s'accumule tôt dans l'intervalle.

Exemple 6 : Cubique, f(x) = x³ sur [0, 1], n = 10. Ici f'(x) = 3x² et g(x) = √(1 + 9x⁴). Cette longueur d'arc n'a pas de primitive élémentaire, ce qui est exactement le cas où l'intégration numérique mérite sa place. L'estimation est T₁₀ = 1.552609 contre une valeur affinée de 1.547866, une erreur d'environ 0.004743. Sans méthode numérique, cette longueur serait très difficile à obtenir.

Chaque résultat ci-dessus a été calculé directement à partir de la formule composite, arrondi à six décimales. Répéter l'un d'entre eux dans le calculateur avec le même n reproduit les mêmes chiffres.

La convergence signifie que les approximations se stabilisent vers la valeur vraie à mesure que n augmente. Le tableau ci-dessous suit f(x) = x² sur [0, 1], dont la longueur exacte est 1.478943 :

Chaque fois que n double, l'erreur diminue d'environ un facteur quatre : 0.037181 à 0.009321 à 0.002330 à 0.000582 à 0.000146 à 0.000036. C'est une convergence du second ordre, la signature de la règle des trapèzes composite sur des intégrandes lisses. Diviser h par deux réduit le terme d'erreur dominant à environ un quart.

La colonne « évolution par rapport à la valeur précédente » est le contrôle pratique de convergence recommandé par le flux de travail du calculateur. Lorsque doubler n modifie la réponse de moins que la précision requise, l'estimation est stable. Pour cette courbe, n = 16 fixe déjà la longueur à 0.000582 près de la vérité.

L'erreur de la règle des trapèzes composite a une forme mathématique précise. Pour une intégrande g suffisamment lisse sur [a, b] :

pour un certain ξ dans [a, b]. Le signe est important : lorsque g'' est positive (intégrande convexe), l'erreur est négative, ce qui signifie que T_n surestime l'intégrale. Cela correspond à l'exemple x², où chaque estimation dépassait la valeur exacte 1.478943.

Une borne garantie suit en remplaçant g''(ξ) par son amplitude maximale M = max|g''(x)| sur [a, b] :

Termes clés. L'erreur absolue est |I - T_n|, la distance entre la vérité et l'estimation. L'erreur relative divise cela par |I|. L'erreur de troncature est l'erreur due à l'approximation de l'intégrale par une somme finie, par opposition à l'erreur d'arrondi due à l'arithmétique en précision finie. La dérivée seconde g'' mesure la courbure de l'intégrande, ce que les panneaux en ligne droite ne parviennent pas à capturer.

Borne concrète pour l'exemple x². Sur [0, 1], g''(x) = 4/(1 + 4x²)^3/2, maximale en x = 0 avec M = 4. La borne donne |I - T₄| ≤ 4/(12 · 16) = 0.020833. L'erreur réelle de 0.009321 est confortablement à l'intérieur. Les bornes sont conservatrices par conception ; elles promettent un plafond, pas une erreur exacte.

Deux avertissements. Premièrement, g est l'intégrande de longueur d'arc, pas la f d'origine. Dériver deux fois à travers la racine carrée est ce que M décrit. Deuxièmement, les bornes d'erreur peuvent être pénibles à calculer pour des fonctions compliquées car M elle-même peut nécessiter une maximisation. En pratique, le contrôle de convergence par doublement de n est l'outil le plus utile, et le calculateur n'affiche pas de borne d'erreur automatique.

La formule de Simpson est la plus proche parente de la règle des trapèzes. Les deux divisent [a, b] en sous-intervalles égaux, mais Simpson ajuste une parabole passant par trois points consécutifs là où la règle des trapèzes trace une corde droite passant par deux.

Sur des intégrandes lisses, la convergence du quatrième ordre de Simpson l'emporte généralement : doubler n réduit son erreur d'environ seize, contre quatre pour la règle des trapèzes. Mais Simpson n'est pas universellement meilleure. Pour des intégrandes rugueuses ou discontinues, les deux méthodes se dégradent, et l'ordre de précision supplémentaire peut ne pas se matérialiser. La règle des trapèzes accepte aussi les n impairs, ce qui est pratique pour des vérifications rapides.

Un bon flux de travail utilise les deux : l'estimation trapézoïdale comme référence transparente, et la formule de Simpson pour une plus grande précision. Lorsque les deux concordent sur vos chiffres requis, la confiance est élevée. Lorsqu'elles divergent, augmentez n avant de faire confiance à l'une ou l'autre.

Deux idées différentes « de type trapézoïdal » sont faciles à confondre. Elles produisent des nombres différents pour la même courbe, donc la distinction compte.

Méthode 1 : Intégration trapézoïdale de l'intégrande de longueur d'arc. C'est ce que fait le calculateur. Il intègre g(x) = √(1 + (f'(x))²) avec des panneaux trapézoïdaux dessinés sous la courbe de l'intégrande :

Méthode 2 : Approximation polygonale (somme de cordes) de la courbe d'origine. Elle relie les points adjacents de la courbe elle-même par des segments droits et additionne leurs longueurs :

Une somme de cordes relie les points (x_i, f(x_i)) de la courbe d'origine. Un panneau trapézoïdal approxime au contraire l'aire sous l'intégrande g(x). Les panneaux ne représentent pas des segments droits de la courbe d'origine, même si les deux images impliquent des lignes droites.

Les deux méthodes convergent vers la longueur vraie à mesure que n augmente, et les deux sont des outils numériques légitimes. Le calculateur de cette page implémente la méthode 1. Si vous avez besoin de sommes de cordes à partir de données de coordonnées, l'outil longueur d'arc à partir de points suit plutôt la méthode 2.

La règle des trapèzes est le bon choix lorsque la simplicité et la transparence comptent plus que d'arracher les derniers chiffres de précision.

• Apprendre l'intégration numérique. Chaque étape a un sens géométrique visible, ce qui en fait la première méthode standard dans les cours de calcul.
• Estimer rapidement des longueurs de courbes. Une poignée de panneaux donne souvent deux ou trois chiffres corrects pour des courbes lisses.
• Vérifier des solutions analytiques. Comparez une longueur d'arc dérivée à la main à une estimation numérique indépendante.
• Modèles d'ingénierie et de physique. Estimations de longueur pour câbles, arches et trajectoires où des valeurs approximatives alimentent des calculs plus vastes.
• Comparer des méthodes numériques. C'est la référence à laquelle la formule de Simpson et les méthodes d'ordre supérieur sont jugées.
• Fonctions échantillonnées lisses. Lorsque f est lisse et que n peut être modéré, la méthode est fiable.
• Vérification pédagogique. Son comportement prévisible en O(h²) rend les contrôles de convergence faciles à interpréter.

Optez pour une autre méthode lorsque l'intégrande change rapidement, présente des cassures ou des discontinuités, ou lorsqu'une haute précision est requise à faible coût. Pour les courbes lisses, la formule de Simpson offre généralement plus de chiffres par panneau. Pour les courbes paramétriques, polaires ou spatiales, utilisez les calculateurs dédiés paramétrique, polaire ou longueur d'arc 3D, qui appliquent les mêmes idées numériques dans le bon système de coordonnées.

Ce sont les erreurs qui apparaissent le plus souvent dans les travaux d'étudiants et les questions d'assistance. Chacune est facile à éviter une fois que vous savez qu'elle existe.

1. Saisir des bornes d'intégration incorrectes. Le segment [0, 2] n'est pas la même portion de courbe que [2, 0]. Vérifiez toujours que a < b et que les bornes correspondent au problème.
2. Utiliser la mauvaise fonction. Une coquille comme x^3 au lieu de x^2 change la dérivée et toutes les valeurs en aval.
3. Oublier la dérivée dans la formule de longueur d'arc. La longueur d'arc intègre √(1 + (f')²), jamais f elle-même.
4. Appliquer la règle directement à f(x) pour la longueur d'arc. Les panneaux doivent se situer sous g(x). Intégrer f(x) calcule l'aire signée, pas la longueur.
5. Choisir trop peu de subdivisions. n = 2 sur une intégrande courbe peut être faux de plusieurs pour cent ; l'exemple x² avait une erreur de 2.5% avec n = 2.
6. Utiliser zéro subdivision. n = 0 signifie h = (b - a)/0, ce qui est indéfini. n doit être un entier positif.
7. Saisir un nombre de subdivisions non entier. n = 2.5 n'a aucun sens pour compter les panneaux ; arrondissez à un nombre entier.
8. Confondre n avec le nombre de points d'échantillonnage. n panneaux nécessitent n + 1 points d'échantillonnage. Avec n = 4, il y a 5 points, pas 4.
9. Oublier les demi-poids des extrémités. Donner à g(x₀) et g(x_n) un poids plein gonfle l'estimation de h/2 · (g(x₀) + g(x_n)).
10. Utiliser un mauvais pas. h = (b - a)/n, pas b - a ni 1/n. Sur [0, 2] avec n = 8, h = 0.25.
11. Mélanger degrés et radians. sin(x) avec x en degrés est une courbe différente de sin(x) en radians ; les longueurs d'arc diffèrent en conséquence.
12. Ignorer les restrictions de domaine de la fonction. ln(x + 1) exige x > -1. Évaluer hors du domaine produit des valeurs dénuées de sens.
13. Confondre approximation et intégration exacte. T_n tend vers L ; il égale L uniquement pour des intégrandes spéciales comme les constantes.
14. Supposer que plus de panneaux garantissent toujours une meilleure précision. Vrai dans le régime asymptotique pour des intégrandes lisses, mais l'erreur d'arrondi et la non-régularité peuvent briser le schéma aux extrêmes.
15. Ignorer les contrôles de convergence. Une estimation est une supposition ; deux estimations à n et 2n qui concordent sont une preuve.
16. Confondre la formule de Simpson avec la règle des trapèzes. Simpson utilise des poids 1-4-2-4-...-1 et nécessite un n pair ; la règle des trapèzes utilise 1/2-1-...-1-1/2 et n'importe quel n positif.
17. Confondre l'intégration trapézoïdale avec la sommation de cordes. Les panneaux sous l'intégrande ne sont pas des cordes sur la courbe ; les deux méthodes donnent des nombres différents.
18. Rapporter une précision décimale excessive. Si l'erreur est d'environ 0.002, écrire six décimales surestime ce qui est connu. Arrondissez pour correspondre à la précision vérifiée.

La même arithmétique de panneaux derrière la longueur d'arc apparaît partout où une quantité lisse doit être accumulée numériquement.

• Estimation de longueurs de courbes en ingénierie. Les longueurs de câbles, de courbes de suspension et de coudes de tuyaux sont calculées à partir de fonctions de conception avant fabrication.
• Conception mécanique. Les profils de cames et les courbes de dents d'engrenages nécessitent des estimations précises de périmètre pour la planification des matériaux.
• Géométrie des routes et chemins. Les courbes de tracé des routes et voies ferrées sont mesurées le long de leurs axes, qui sont rarement des fonctions élémentaires.
• Conception assistée par ordinateur. Les noyaux de CAO estiment les longueurs de courbes pour le rendu, la génération de trajectoires d'outils et le cotation.
• Simulations de physique. Les trajectoires de particules et les longueurs de lignes de champ sont accumulées à partir de modèles numériques.
• Modélisation numérique. Toute intégrale sans forme fermée, des densités de probabilité à l'énergie des signaux, peut commencer par des panneaux trapézoïdaux.
• Enseignement des mathématiques. La règle est la porte d'entrée standard vers l'analyse numérique car son comportement d'erreur est facile à démontrer.
• Mesure et vérification de courbes. Les mesures physiques de courbes irrégulières sont vérifiées par recoupement avec des prédictions numériques.

Pour la géométrie spécialisée, la méthode s'adapte : la même règle composite intègre la vitesse paramétrique √((x')² + (y')²) et les intégrandes polaires. Le calculateur ici traite le cas cartésien ; des outils connexes couvrent les autres systèmes de coordonnées. Il ne traite pas directement les fichiers CAO ou les jeux de données de levés ; ceux-ci doivent d'abord être réduits à une fonction et des bornes.

Faites-les à la main, puis vérifiez avec le calculateur. Chaque solution montre la substitution afin que vous puissiez trouver vos propres erreurs de calcul.

Problème 1. Utilisez la règle des trapèzes avec n = 1 pour approximer ∫₀² 3 dx, et indiquez si le résultat est exact.
Solution. h = 2, T₁ = 2/2 · [3 + 3] = 6. L'intégrande est constante, donc le trapèze unique correspond exactement au rectangle. L'intégrale exacte vaut aussi 6, donc le résultat est exact.

Problème 2. Trouvez la longueur d'arc de f(x) = x sur [0, 1] en utilisant la règle des trapèzes avec n = 1.
Solution. f'(x) = 1, donc g(x) = √2, une constante. T₁ = 1 · √2 ≈ 1.414214, ce qui est exact car l'intégrande est constante. Géométriquement, c'est la diagonale d'un carré unité.

Problème 3. Approximez la longueur d'arc de f(x) = x² sur [0, 1] avec n = 2.
Solution. h = 0.5 ; g(0) = 1, g(0.5) = 1.414214, g(1) = 2.236068. T₂ = 0.5 · [1/2 + 1.414214 + 2.236068/2] = 0.5 · 3.032249 = 1.516124. La valeur exacte est 1.478943, donc l'erreur est de 0.037181.

Problème 4. Approximez la longueur d'arc de f(x) = sin x sur [0, π] avec n = 4.
Solution. g(x) = √(1 + cos²x), h = π/4. Évaluer en 0, π/4, π/2, 3π/4, π et appliquer les poids donne T₄ ≈ 3.819944. Avec n = 8, la valeur est 3.820198, donc le résultat avec n = 4 est déjà à 0.000254 de la valeur convergée.

Problème 5. Calculez le pas pour a = 2, b = 5, n = 6.
Solution. h = (5 - 2)/6 = 3/6 = 0.5. Les points d'échantillonnage sont 2, 2.5, 3, 3.5, 4, 4.5, 5 : sept points pour six panneaux.

Problème 6. Pour n = 10, combien y a-t-il de points d'échantillonnage, et quels sont leurs poids ?
Solution. Il y a n + 1 = 11 points d'échantillonnage. Les extrémités x₀ et x₁₀ portent le poids 1/2 ; les neuf points intérieurs x₁ à x₉ portent le poids 1.

Problème 7. Pour f(x) = x² sur [0, 1], comparez T₂ et T₄ et indiquez le changement.
Solution. T₂ = 1.516124 et T₄ = 1.488264, un changement de 0.027860. La valeur exacte est 1.478943, donc doubler n a réduit l'erreur de 0.037181 à 0.009321, un facteur d'environ quatre, comme le prévoit la convergence du second ordre.

Problème 8. T₈ = 1.481272 pour f(x) = x² sur [0, 1]. Indiquez l'erreur absolue et relative par rapport à la valeur exacte 1.478943.
Solution. Erreur absolue = |1.481272 - 1.478943| = 0.002330. Erreur relative = 0.002330 / 1.478943 ≈ 0.001576, environ 0.16%. L'estimation et l'erreur doivent toutes deux être citées ici avec trois décimales ; les chiffres supplémentaires dans 1.481272 ne sont pas encore fiables.