ধাপ সহ আর্ক লেন্থ ক্যালকুলেটর

চাপের দৈর্ঘ্য হলো দুটি বিন্দুর মধ্যে বক্ররেখা বরাবর দূরত্ব। বৃত্তের ক্ষেত্রে, এটি দুটি ব্যাসার্ধ দ্বারা কাটা পরিধির বাঁকানো অংশের দৈর্ঘ্য। একটি পিৎজার টুকরোর কথা ভাবুন। সেই টুকরোর ক্রাস্টের কিনারা একটি চাপ, এবং তার দৈর্ঘ্যই চাপের দৈর্ঘ্য। দুটি সোজা কিনারা ব্যাসার্ধ, এবং কেন্দ্রে তাদের মধ্যবর্তী কোণকে কেন্দ্রীয় কোণ বলে।

কেন্দ্রীয় কোণ নির্ধারণ করে আপনার চাপ পূর্ণ বৃত্তের কত ভগ্নাংশ নির্দেশ করে। একটি পূর্ণ বৃত্ত 360 ডিগ্রি বা 2π রেডিয়ান পরিমাপ করে। আপনার কেন্দ্রীয় কোণ 90 ডিগ্রি হলে, আপনার চাপ পরিধির এক-চতুর্থাংশ। কোণ 180 ডিগ্রি হলে, চাপ অর্ধেক পরিধি। এই আনুপাতিক সম্পর্ক প্রতিটি চাপের দৈর্ঘ্য সূত্রের ভিত্তি।

বৃত্তের যেকোনো দুটি বিন্দুর জন্য চাপ দুই আকারের হয়। ক্ষুদ্র চাপ হলো বিন্দু দুটির মধ্যে সংক্ষিপ্ত পথ, যা 180 ডিগ্রির কম কেন্দ্রীয় কোণের সাথে সঙ্গতিপূর্ণ। বৃহৎ চাপ হলো অন্য দিক দিয়ে যাওয়া দীর্ঘ পথ, যা 180 ডিগ্রির বেশি কোণের সাথে সঙ্গতিপূর্ণ। অন্যথা না বলা হলে, চাপের দৈর্ঘ্যের সমস্যাগুলো ক্ষুদ্র চাপকেই বোঝায়।

একটি সাধারণ দৈনন্দিন উদাহরণ সাহায্য করে। ধরুন একটি বৃত্তাকার বাগানের ব্যাসার্ধ 10 মিটার, এবং আপনি কেন্দ্র থেকে 90 ডিগ্রি কোণ জুড়ে বিস্তৃত অংশ বরাবর কিনারা বসাতে চান। পূর্ণ পরিধি 2π(10), প্রায় 62.83 মিটার। 90 ডিগ্রি কোণ পূর্ণ বৃত্তের এক-চতুর্থাংশ, তাই প্রয়োজনীয় কিনারা প্রায় 15.71 মিটার। সেই বাঁকানো দূরত্বই চাপের দৈর্ঘ্য।

চাপের দৈর্ঘ্যের সূত্র নির্ভর করে আপনার কোণ রেডিয়ানে মাপা হয়েছে নাকি ডিগ্রিতে। দুটি সংস্করণই একই ধারণা প্রকাশ করে: চাপের দৈর্ঘ্য পূর্ণ পরিধির একটি ভগ্নাংশ, এবং সেই ভগ্নাংশ কেন্দ্রীয় কোণ দ্বারা নির্ধারিত হয়।

যখন কোণ θ রেডিয়ানে থাকে, সূত্রটি সহজ:

s = rθ

এখানে s হলো চাপের দৈর্ঘ্য, r হলো ব্যাসার্ধ, এবং θ হলো রেডিয়ানে কেন্দ্রীয় কোণ। এই সূত্রটি এত সুন্দরভাবে কাজ করে কারণ রেডিয়ানকে সংজ্ঞায়িত করা হয় সেই কোণ হিসেবে যা ব্যাসার্ধের সমান দৈর্ঘ্যের চাপ কেটে নেয়। ব্যাসার্ধ 5 এর বৃত্তে 1 রেডিয়ান কোণ ঠিক 5 একক চাপ দেয়। s এর একক সবসময় r এর এককের সাথে মিলে। ব্যাসার্ধ সেন্টিমিটারে হলে, চাপের দৈর্ঘ্যও সেন্টিমিটারে।

কোণ ডিগ্রিতে হলে, সূত্রটির একটি রূপান্তর গুণক প্রয়োজন:

s = πrθ / 180

এখানে θ হলো ডিগ্রিতে কেন্দ্রীয় কোণ। π/180 গুণক পর্দার আড়ালে ডিগ্রিকে রেডিয়ানে রূপান্তর করে, কারণ 180 ডিগ্রি সমান π রেডিয়ান। তাই 180 দিয়ে ভাগ করে এবং π দিয়ে গুণ করে আপনার ডিগ্রি পরিমাপ সেই রেডিয়ান পরিমাপে পরিণত হয় যা সূত্রটির আসলে প্রয়োজন।

উভয় সূত্রই পূর্ণ বৃত্তের পরিধি C = 2πr থেকে আসে। একটি পূর্ণ বৃত্ত 2π রেডিয়ান বা 360 ডিগ্রির কেন্দ্রীয় কোণের সাথে সঙ্গতিপূর্ণ। চাপের দৈর্ঘ্য পরিধির সেই একই ভগ্নাংশ যা কেন্দ্রীয় কোণ পূর্ণ কোণের। রেডিয়ানে: s / (2πr) = θ / (2π), যা সরল হয়ে s = rθ হয়। ডিগ্রিতে: s / (2πr) = θ / 360, যা সরল হয়ে s = πrθ / 180 হয়।

ডিগ্রি ও রেডিয়ানের মধ্যে রূপান্তর সহজ। ডিগ্রিকে রেডিয়ানে রূপান্তর করতে π/180 দিয়ে গুণ করুন। রেডিয়ানকে ডিগ্রিতে রূপান্তর করতে 180/π দিয়ে গুণ করুন। উদাহরণস্বরূপ, 60 ডিগ্রি হয় 60 × π/180 = π/3 রেডিয়ান, প্রায় 1.047 রেডিয়ান। 2 রেডিয়ানের কোণ হয় 2 × 180/π, প্রায় 114.59 ডিগ্রি।

নিচের সারণিতে দ্রুত রেফারেন্সের জন্য প্রধান সূত্রগুলোর সারসংক্ষেপ দেওয়া হলো।

উদাহরণ 1: ডিগ্রিতে কোণ

7 সেমি ব্যাসার্ধ এবং 60 ডিগ্রি কেন্দ্রীয় কোণ বিশিষ্ট বৃত্তের চাপের দৈর্ঘ্য বের করুন।

ধাপ 1: প্রদত্ত মানগুলো চিহ্নিত করুন। ব্যাসার্ধ r হলো 7 সেমি এবং কোণ θ হলো 60 ডিগ্রি।

ধাপ 2: সঠিক সূত্র বেছে নিন। যেহেতু কোণ ডিগ্রিতে, s = πrθ / 180 ব্যবহার করুন।

ধাপ 3: মান বসান। এতে পাওয়া যায় s = π(7)(60) / 180।

ধাপ 4: সরল করুন। ভগ্নাংশ 60/180 হ্রাস পেয়ে 1/3 হয়, তাই s = 7π/3 সেমি। এটিই সঠিক উত্তর।

ধাপ 5: দশমিক আসন্ন মান বের করুন। যেহেতু π প্রায় 3.14159, s প্রায় 7(3.14159)/3, যা প্রায় 7.33 সেমির সমান।

চাপের দৈর্ঘ্য ঠিক 7π/3 সেমি, বা প্রায় 7.33 সেমি।

উদাহরণ 2: রেডিয়ানে কোণ

5 মিটার ব্যাসার্ধ এবং 1.2 রেডিয়ান কেন্দ্রীয় কোণ বিশিষ্ট বৃত্তের চাপের দৈর্ঘ্য বের করুন।

ধাপ 1: প্রদত্ত মানগুলো চিহ্নিত করুন। ব্যাসার্ধ r হলো 5 মিটার এবং কোণ θ হলো 1.2 রেডিয়ান।

ধাপ 2: সঠিক সূত্র বেছে নিন। যেহেতু কোণ রেডিয়ানে, s = rθ ব্যবহার করুন।

ধাপ 3: মান বসান। এতে পাওয়া যায় s = 5(1.2)।

ধাপ 4: গুণ করুন। ফলাফল s = 6 মিটার।

চাপের দৈর্ঘ্য ঠিক 6 মিটার। লক্ষ্য করুন রেডিয়ান সূত্র কতটা সহজ। এতে π নিয়ে ঝামেলা নেই এবং কোনো ভগ্নাংশ সরল করার নেই। এই কারণেই গণিতবিদ ও বিজ্ঞানীরা তাত্ত্বিক কাজে রেডিয়ান পছন্দ করেন।

প্রতিটি বক্ররেখা বৃত্তের অংশ নয়। y = f(x) ফাংশন দ্বারা বর্ণিত একটি সাধারণ মসৃণ বক্ররেখার জন্য, x = a এবং x = b এর মধ্যে চাপের দৈর্ঘ্য একটি সমাকলন দিয়ে পাওয়া যায়:

L = ∫[a to b] √(1 + [f'(x)]²) dx

এখানে f'(x) হলো ফাংশনের অন্তরজ। সূত্রটি একটি সহজ ধারণা থেকে আসে। বক্ররেখাকে অনেকগুলো ক্ষুদ্র সরল খণ্ডে ভাগ করুন। পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে প্রতিটি খণ্ডের দৈর্ঘ্য √((Δx)² + (Δy)²)। Δx বের করে নিলে পাওয়া যায় √(1 + (Δy/Δx)²) Δx। খণ্ডগুলো অসীম ক্ষুদ্র হলে, Δy/Δx অন্তরজ f'(x) হয়ে যায়, এবং যোগফল উপরের সমাকলনে পরিণত হয়।

অন্তরজ গুরুত্বপূর্ণ কারণ এটি পরিমাপ করে প্রতিটি বিন্দুতে বক্ররেখা কতটা খাড়া। একই অনুভূমিক দূরত্বে খাড়া অংশ সমতল অংশের চেয়ে বেশি দৈর্ঘ্য যোগ করে। √(1 + [f'(x)]²) গুণককে কখনো কখনো স্থানীয় প্রসারণ গুণক বলা হয়। বক্ররেখা সমতল হলে, f'(x) শূন্য হয় এবং গুণক 1 হয়, অর্থাৎ চাপের দৈর্ঘ্য অনুভূমিক দূরত্বের সমান হয়। বক্ররেখা খাড়া হলে, গুণক 1 এর চেয়ে বড় হয়।

সীমা a ও b চিহ্নিত করে আপনি x-অক্ষ বরাবর কোথা থেকে মাপা শুরু করবেন এবং কোথায় থামবেন। এগুলো সঠিক ক্রমে রাখা জরুরি, যেখানে a ছোট মান। এগুলো অদলবদল করলে ফলাফলের চিহ্ন বদলে যায়।

অনেক চাপের দৈর্ঘ্যের সমাকলন প্রাথমিক প্রতিঅন্তরজ দিয়ে মূল্যায়ন করা যায় না। সেসব ক্ষেত্রে, সিম্পসনের নিয়ম বা ট্র্যাপিজয়েড নিয়মের মতো সংখ্যাসূচক পদ্ধতি সঠিক আসন্ন মান দেয়। এই পৃষ্ঠার ক্যালকুলেটর সংখ্যাসূচক সমাকলন ব্যবহার করে যখন প্রতীকী উত্তর পাওয়া যায় না, এবং ফলাফলকে স্পষ্টভাবে আসন্ন হিসেবে চিহ্নিত করে।

কাজ করা উদাহরণ: x = 0 থেকে x = 4 পর্যন্ত y = x^3/2

[0, 4] ব্যবধানে y = x^3/2 বক্ররেখার চাপের দৈর্ঘ্য বের করুন।

ধাপ 1: অন্তরজ বের করুন। ঘাত নিয়ম ব্যবহার করে, f'(x) = (3/2)x^1/2।

ধাপ 2: অন্তরজের বর্গ করুন। [f'(x)]² = (9/4)x।

ধাপ 3: সূত্রে বসান। L = ∫[0 to 4] √(1 + (9/4)x) dx।

ধাপ 4: সমাকলনের মান নির্ণয় করুন। ধরুন u = 1 + (9/4)x, তাহলে du = (9/4)dx। যখন x = 0, u = 1। যখন x = 4, u = 10। সমাকলন হয় (4/9)∫[1 to 10] √u du = (4/9)(2/3)[u^3/2] 1 থেকে 10 পর্যন্ত = (8/27)(10^3/2 - 1)।

ধাপ 5: সরল করুন। যেহেতু 10^3/2 = 10√10 ≈ 31.62, L ≈ (8/27)(30.62) ≈ 9.07।

সঠিক চাপের দৈর্ঘ্য (8/27)(10√10 - 1), প্রায় 9.07 একক।

চাপের দৈর্ঘ্য ব্যাসার্ধ ও কোণের পরিবর্তনে অনুমানযোগ্যভাবে সাড়া দেয়। যেহেতু সূত্র s = rθ একটি সরল গুণফল, প্রতিটি চলকের সরাসরি আনুপাতিক প্রভাব রয়েছে।

কোণ স্থির রেখে ব্যাসার্ধ দ্বিগুণ করলে, চাপের দৈর্ঘ্য দ্বিগুণ হয়। 7 সেমি ব্যাসার্ধের বৃত্তে 60 ডিগ্রি চাপ প্রায় 7.33 সেমি। 14 সেমি ব্যাসার্ধের বৃত্তে একই 60 ডিগ্রি কোণ প্রায় 14.66 সেমির চাপ কেটে নেয়। বড় বৃত্তের প্রতিটি বিন্দু কেন্দ্র থেকে দ্বিগুণ দূরে, তাই একই দুটি কোণের মধ্যে বাঁকানো পথ দ্বিগুণ দীর্ঘ।

ব্যাসার্ধ স্থির রেখে কেন্দ্রীয় কোণ দ্বিগুণ করলে, চাপের দৈর্ঘ্যও দ্বিগুণ হয়। 10 সেমি বৃত্তে 30 ডিগ্রি চাপ প্রায় 5.24 সেমি। একই বৃত্তে 60 ডিগ্রি চাপ প্রায় 10.47 সেমি। কোণ দ্বিগুণ মানে পরিধির দ্বিগুণ ভগ্নাংশ।

একটি পূর্ণ আবর্তন, 360 ডিগ্রি বা 2π রেডিয়ান, পূর্ণ পরিধি দেয়। s = rθ তে θ = 2π বসালে s = 2πr পাওয়া যায়, ঠিক পরিধির সূত্র। এটি নিশ্চিত করে সূত্রটি সামঞ্জস্যপূর্ণ: সর্বাধিক কোণে, "চাপ" হলো পুরো বৃত্ত।

এই সম্পর্কগুলো অন্বেষণ করতে ইন্টার‌্যাক্টিভ চিত্রে স্লাইডার ব্যবহার করুন। কোণ স্লাইডার টানুন এবং হাইলাইট করা চাপ বাড়তে দেখুন। ব্যাসার্ধ স্লাইডার টানুন এবং পুরো বৃত্ত প্রসারিত হতে দেখুন। প্রদর্শিত চাপের দৈর্ঘ্য রিয়েল টাইমে আপডেট হয়, যা উপরে বর্ণিত আনুপাতিক সম্পর্কগুলোকে জোরদার করে।

চাপের দৈর্ঘ্য অনেক ব্যবহারিক পরিস্থিতিতে দেখা দেয় যেখানে বাঁকানো দূরত্ব গুরুত্বপূর্ণ।

দৌড়ের ট্র্যাক। একটি আদর্শ 400 মিটার দৌড় ট্র্যাকে দুটি সোজা অংশ এবং দুটি অর্ধবৃত্তাকার প্রান্ত থাকে। প্রতিটি অর্ধবৃত্তাকার প্রান্তের ব্যাসার্ধ 36.5 মিটার হলে, এক প্রান্তের বাঁকানো অংশ অর্ধেক পরিধি: π(36.5), প্রায় 114.67 মিটার। দুই প্রান্ত মিলে প্রায় 229.35 মিটার বাঁকানো দৌড় দেয়। ট্র্যাক ডিজাইনাররা এই গণনা ব্যবহার করে নিশ্চিত করেন প্রতিটি লেনের মোট দূরত্ব সঠিক।

সাইকেলের চাকা। 70 সেমি ব্যাসের সাইকেলের চাকার ব্যাসার্ধ 35 সেমি। এক পূর্ণ আবর্তনে, টায়ারের একটি বিন্দু পূর্ণ পরিধি অতিক্রম করে: 2π(35), প্রায় 219.91 সেমি, বা প্রায় 2.20 মিটার। চাকা 100 বার ঘুরলে, সাইকেল প্রায় 220 মিটার যায়। ঘূর্ণন ও দূরত্বের এই সম্পর্ক দিয়েই সাইকেল কম্পিউটার চাকার সেন্সর থেকে গতি ও দূরত্ব অনুমান করে।

স্থাপত্য খিলান। দরজার উপরে অর্ধবৃত্তাকার খিলানের ব্যাসার্ধ 1.5 মিটার। খিলানের বাঁকানো দৈর্ঘ্য অর্ধেক পরিধি: π(1.5), প্রায় 4.71 মিটার। এই খিলানের জন্য বাঁকানো ট্রিম অর্ডার করা নির্মাতার সঠিক পরিমাণ উপকরণ কেনার জন্য এই পরিমাপ প্রয়োজন।

ঘূর্ণায়মান যন্ত্রপাতি। একটি কনভেয়ার বেল্ট 0.4 মিটার ব্যাসার্ধের ড্রাইভ পুলির অর্ধেক জুড়ে মোড়ানো। বেল্ট ও পুলির মধ্যে সংস্পর্শ দৈর্ঘ্য একটি অর্ধবৃত্তাকার চাপ: π(0.4), প্রায় 1.26 মিটার। প্রকৌশলীরা এই সংস্পর্শ দৈর্ঘ্য ব্যবহার করে ঘর্ষণ ও শক্তি সঞ্চালন গণনা করেন। দীর্ঘ সংস্পর্শ চাপ সাধারণত বেল্ট ও পুলির মধ্যে ভালো আঁকড়ে ধরা দেয়।

বেশ কিছু সাধারণ ভুল শিক্ষার্থী ও পেশাজীবী উভয়কেই বিপদে ফেলে। আগে থেকে এগুলো জানলে এড়াতে সাহায্য হয়।

ডিগ্রি ও রেডিয়ান মেশানো। এটি সবচেয়ে ঘন ঘন ভুল। আপনার কোণ 60 ডিগ্রি হলেও s = rθ তে বসালে সঠিক πr/3 এর পরিবর্তে 60r পাবেন। সূত্র বেছে নেওয়ার আগে সবসময় কোণের একক যাচাই করুন। সন্দেহ হলে, প্রথমে রেডিয়ানে রূপান্তর করুন।

ব্যাসার্ধের পরিবর্তে ব্যাস ব্যবহার। সূত্রগুলোতে ব্যাসার্ধ প্রয়োজন। আপনাকে 14 সেমি ব্যাস দেওয়া হলে, ব্যাসার্ধ 7 সেমি। ব্যাসকে অর্ধেক করতে ভুললে আপনার উত্তর দ্বিগুণ হয়ে যায়।

পরিমাপের একক ভুলে যাওয়া। একক ছাড়া 7.33 চাপের দৈর্ঘ্যের কোনো অর্থ নেই। ব্যাসার্ধ সেন্টিমিটারে হলে, চাপের দৈর্ঘ্যও সেন্টিমিটারে। প্রতিটি ধাপে একক বহন করুন।

ভুল সূত্র প্রয়োগ। বৃত্তের সূত্র s = rθ ও s = πrθ/180 শুধু বৃত্তাকার চাপের জন্য কাজ করে। অন্য বক্ররেখার জন্য সমাকলনসহ ক্যালকুলাস সূত্র প্রয়োজন। পরাবৃত্তে বৃত্তের সূত্র ব্যবহার করলে ভুল উত্তর আসে।

চাপের দৈর্ঘ্যকে জ্যা দৈর্ঘ্যের সাথে গুলিয়ে ফেলা। জ্যা হলো চাপের প্রান্তবিন্দু দুটি সংযোগকারী সরলরেখা। এটি সবসময় চাপের চেয়ে ছোট (তুচ্ছ ক্ষেত্র ছাড়া)। সমস্যায় বাঁকানো দূরত্ব চাওয়া হলে, সরলরেখার দূরত্ব গণনা করবেন না।

আগে আসন্নীকরণ। মধ্যবর্তী মানগুলোর আসন্নীকরণ ত্রুটি আনে যা গণনায় জমে ওঠে। চূড়ান্ত ধাপ পর্যন্ত পূর্ণ নির্ভুলতা রাখুন, তারপর অনুরোধ করা দশমিক স্থান পর্যন্ত আসন্ন করুন।

ভুল সমাকলন সীমা ব্যবহার। ক্যালকুলাস সূত্রে, সীমাগুলো আপনি যে ব্যবধান মাপছেন তার সাথে মিলতে হবে। এগুলো উল্টে দিলে চিহ্ন বদলে যায়। সমস্যার অন্য অংশের সীমা ব্যবহার করলে ভুল খণ্ড পাওয়া যায়।

তিনটি সম্পর্কিত পরিমাপ বৃত্তাকার অঞ্চলের বিভিন্ন দিক বর্ণনা করে। প্রতিটি বোঝা বিভ্রান্তি দূর করে।

চাপের দৈর্ঘ্য দুটি বিন্দুর মধ্যে বৃত্ত বরাবর বাঁকানো দূরত্ব মাপে। সূত্রটি s = rθ, যেখানে θ রেডিয়ানে। এটি প্রশ্নের উত্তর দেয়: বক্ররেখা অনুসরণ করলে আপনি কতদূর হাঁটবেন?

জ্যা দৈর্ঘ্য একই দুটি বিন্দুর মধ্যে সরলরেখার দূরত্ব মাপে। সূত্রটি c = 2r sin(θ/2), যেখানে θ রেডিয়ানে। এটি প্রশ্নের উত্তর দেয়: প্রান্তবিন্দুগুলো সরাসরি কতটা দূরে? জ্যা সবসময় সংশ্লিষ্ট ক্ষুদ্র চাপের চেয়ে ছোট।

বৃত্তাংশের ক্ষেত্রফল দুটি ব্যাসার্ধ ও তাদের মধ্যবর্তী চাপ দ্বারা সীমাবদ্ধ দ্বিমাত্রিক অঞ্চল মাপে, যেমন পিৎজার টুকরো। সূত্রটি A = (1/2)r²θ, যেখানে θ রেডিয়ানে। এটি প্রশ্নের উত্তর দেয়: টুকরোটি কত ক্ষেত্রফল জুড়ে?

নিচের তুলনা সারণিতে পার্থক্যগুলোর সারসংক্ষেপ দেওয়া হলো।

লক্ষ্য করুন তিনটি সূত্রেই θ রেডিয়ানে হতে হবে। বৃত্তাংশের ক্ষেত্রফলের সূত্র ডিগ্রি দিয়ে বিশেষভাবে ভুল হওয়া সহজ, কারণ এর কোনো সহজ ডিগ্রি সংস্করণ নেই। প্রথমে রেডিয়ানে রূপান্তর করুন।

এই সমস্যাগুলো চেষ্টা করুন, তারপর নিচে আপনার উত্তর যাচাই করুন।

সমস্যা 1 (ডিগ্রি)। একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ 12 সেমি এবং কেন্দ্রীয় কোণ 45 ডিগ্রি। চাপের দৈর্ঘ্য বের করুন।

সমাধান: s = πrθ/180 = π(12)(45)/180 = 3π ≈ 9.42 সেমি ব্যবহার করুন।

সমস্যা 2 (রেডিয়ান)। একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ 8 মিটার এবং কেন্দ্রীয় কোণ 2.5 রেডিয়ান। চাপের দৈর্ঘ্য বের করুন।

সমাধান: s = rθ = 8(2.5) = 20 মিটার ব্যবহার করুন।

সমস্যা 3 (ব্যাস)। একটি বৃত্তের ব্যাস 20 ইঞ্চি এবং কেন্দ্রীয় কোণ 120 ডিগ্রি। চাপের দৈর্ঘ্য বের করুন।

সমাধান: প্রথমে ব্যাসকে ব্যাসার্ধে রূপান্তর করুন: r = 20/2 = 10 ইঞ্চি। তারপর s = π(10)(120)/180 = 20π/3 ≈ 20.94 ইঞ্চি।

সমস্যা 4 (অজানা ব্যাসার্ধ)। 15 সেমি দৈর্ঘ্যের একটি চাপ 0.75 রেডিয়ান কেন্দ্রীয় কোণ উৎপন্ন করে। ব্যাসার্ধ বের করুন।

সমাধান: s = rθ পুনর্বিন্যাস করে r = s/θ = 15/0.75 = 20 সেমি পান।

সমস্যা 5 (ক্যালকুলাস)। x = 0 থেকে x = 3 পর্যন্ত y = (2/3)x^3/2 এর চাপের দৈর্ঘ্য বের করুন।

সমাধান: অন্তরজ f'(x) = x^1/2, তাই [f'(x)]² = x। সমাকলন L = ∫[0 to 3] √(1 + x) dx। ধরুন u = 1 + x, du = dx। যখন x = 0, u = 1। যখন x = 3, u = 4। L = ∫[1 to 4] √u du = (2/3)[u^3/2] 1 থেকে 4 পর্যন্ত = (2/3)(8 - 1) = 14/3 ≈ 4.67।

চাপের দৈর্ঘ্য বাঁকানো দূরত্ব মাপে, তা বৃত্ত বরাবর হোক বা সাধারণ বক্ররেখা বরাবর। বৃত্তের জন্য, কোণ রেডিয়ানে হলে s = rθ ব্যবহার করুন, বা কোণ ডিগ্রিতে হলে s = πrθ/180 ব্যবহার করুন। y = f(x) দ্বারা বর্ণিত অন্য বক্ররেখার জন্য, আপনার ব্যবধানে সমাকলন সূত্র L = ∫√(1 + [f'(x)]²)dx ব্যবহার করুন। ডিগ্রি-রেডিয়ান গোলমাল, ব্যাস-ব্যাসার্ধ বিভ্রান্তি এবং অকাল আসন্নীকরণ থেকে সাবধান থাকুন। এই পৃষ্ঠার শীর্ষে ক্যালকুলেটর তিনটি মোডই পূর্ণ ধাপে ধাপে কাজসহ পরিচালনা করে। আপনার মান লিখুন, ধাপগুলো অধ্যয়ন করুন, এবং ফলাফল আত্মবিশ্বাসের সাথে ব্যবহার করুন।