Trapetsformad regelräknare

Trapetsregelkalkylatorn uppskattar båglängd numeriskt. Den tillämpar den sammansatta trapetsregeln på båglängdsintegralen för en funktion som du anger. Följ dessa steg för att få en första uppskattning på under en minut.

1. Ange funktionen. Skriv f(x) i funktionsfältet, till exempel x^2, sin(x) eller ln(x+1). Använd ^ för potenser och standardfunktionsnamn som sin, cos, exp och ln.
2. Ange startvärdet. Ange a, den nedre integrationsgränsen. För kurvsegmentet från x = 0 till x = 1 anger du 0.
3. Ange slutvärdet. Ange b, den övre integrationsgränsen. Kalkylatorn kräver b > a.
4. Välj delintervall. Ange n, antalet lika stora delintervall. En första körning med n = 10 fungerar bra för släta kurvor.
5. Välj trapetsmetoden. I gränssnittet för numerisk integration väljer du trapetsregeln så att panelformeln nedan är den som tillämpas.
6. Klicka på Beräkna. Verktyget utvärderar båglängdsintegranden i n + 1 stödpunkter, tillämpar ändvikterna och visar approximationen.
7. Tolk resultatet. Det visade talet är en uppskattning av kurvlängden mellan x = a och x = b, i samma längdenheter som dina x-värden.
8. Förbättra noggrannheten. Dubblera n och räkna om. När två på varandra följande uppskattningar knappt ändras har resultatet konvergerat för praktiska ändamål.

Här är vad varje inmatning styr:

Att ange f(x) = x², a = 0, b = 1 och n = 10 ger en båglängdsuppskattning nära 1.479, vilket ligger nära det exakta värdet 1.478943. Resten av denna guide förklarar exakt vad kalkylatorn beräknar och hur du bedömer kvaliteten på dess svar.

Trapetsregeln är en metod för numerisk integration. Den approximerar en bestämd integral genom att ersätta arean under en kurva med arean av trapetser som ritas under integranden. Varje trapets byggs av två intilliggande stödpunkter, och summan av alla trapetsareor uppskattar integralen.

Namnet kommer från geometrin. Mellan två stödpunkter x_i och x_i+1 ersätts integranden g(x) av en rät linje. Området under den räta linjen är ett trapets: två parallella vertikala sidor med höjderna g(x_i) och g(x_i+1), och en horisontell bredd h = x_i+1 - x_i.

Ett enskilt trapets har arean h/2 · [g(x_i) + g(x_i+1)]. Att addera areorna av alla n trapetser ger den sammansatta trapetsapproximationen av integralen. Ordet "sammansatt" betyder att intervallet delas i flera paneler i stället för en.

Denna regel tillhör familjen av numeriska kvadraturmetoder. Den uppskattas för sin transparens: varje steg har en tydlig geometrisk betydelse, och den enda parametern är antalet delintervall n. Huvudidén är lätt att formulera: rakare, smalare paneler följer integranden närmare, så uppskattningen förbättras när n växer.

För båglängd är integranden inte den ursprungliga funktionen f(x). Det är båglängdsintegranden g(x) = √(1 + (f'(x))²), som mäter hur snabbt längd ackumuleras längs kurvan. Att hålla denna skillnad tydlig förhindrar metodens vanligaste missförstånd.

Trapetsregelns formel har två former: en enpanelversion och den sammansatta version som används i praktiken. Båda kommer från samma trapetsgeometri.

Enpanelformel. Med ett trapets som täcker hela intervallet:

Bredden (b - a) multipliceras med medelvärdet av de två ändpunktshöjderna. Detta är exakt arean av ett trapets.

Sammansatt formel. Dela [a, b] i n lika stora delintervall med bredden h = (b - a)/n, med stödpunkterna x₀ = a, x₁ = a + h, ..., x_n = b:

Varje symbol har en fast betydelse:

• T_n är den numeriska approximationen med n paneler.
• h är delintervallbredden, (b - a)/n.
• a och b är den nedre och den övre integrationsgränsen.
• n är antalet delintervall, ett positivt heltal.
• x_i är stödpunkterna, med avståndet h mellan dem.
• g(x_i) är integrandvärdena i dessa punkter.

Ändpunkterna får halv vikt eftersom varje inre stödpunkt delas av två angränsande trapetser, medan varje ändpunkt bara tillhör ett. Algebraiskt kombineras intilliggande h/2 · [g(x_i) + g(x_i+1)]-termer så att inre värden räknas fullt och de två yttre värdena räknas halvt.

En kort genomräknad beräkning. Approximera ∫₀¹ x² dx med n = 2. Då är h = 0.5, x₀ = 0, x₁ = 0.5, x₂ = 1, och T₂ = 0.5 · [0/2 + 0.25 + 1/2] = 0.5 · 0.75 = 0.375. Den exakta integralen är 1/3 ≈ 0.333, så den grova tvåpanelsuppskattningen ligger i rätt närhet, med utrymme för förfinning.

Båglängd är en integral, så trapetsregeln gäller direkt för den. Kurvan y = f(x) har båglängden från x = a till x = b som ges av:

Kalkylatorn bildar båglängdsintegranden g(x) = √(1 + (f'(x))²) och matar den till den sammansatta trapetsformeln. Hela proceduren är:

1. Börja med y = f(x). Bekräfta att funktionen är deriverbar på [a, b].
2. Bestäm derivatan f'(x). Verktyget deriverar det angivna uttrycket internt.
3. Kvadrera derivatan. Bilda (f'(x))². Kvadrering tar bort teckeninformationen eftersom längd ackumuleras oavsett lutningsriktning.
4. Addera 1. Integranden är 1 + (f'(x))², som aldrig är mindre än 1.
5. Ta kvadratroten. Detta ger g(x), den lokala hastigheten med vilken längd ackumuleras per enhet x.
6. Dela intervallet. Välj n och beräkna h = (b - a)/n.
7. Utvärdera integranden. Beräkna g(x₀), ..., g(x_n) i stödpunkterna.
8. Tillämpa den sammansatta regeln. Kombinera värdena med halva vikter i ändpunkterna.
9. Tolk resultatet. Summan är den approximativa längden av kurvsegmentet.

Derivatan kvadreras och placeras sedan under en kvadratrot av en geometrisk anledning: ett litet kurvsegment som är dx brett och dy högt har längden √(dx² + dy²) = √(1 + (dy/dx)²) dx enligt Pythagoras sats. Att integrera den lokala längden över [a, b] ger den totala längden, och trapetsregeln approximerar integralen.

Integranden är alltid icke-negativ eftersom 1 + (f'(x))² är minst 1. Dess minsta värde är 1, vilket nås där kurvan är plan. Brantare lutningar gör g(x) större, vilket är precis därför branta kurvor är längre än flacka över samma x-intervall.

Detta fullständigt genomräknade exempel visar varje tal som trapetsregeln producerar. Använd f(x) = x² på [0, 1] med n = 4.

1. Derivata. f'(x) = 2x.

2. Integrand. g(x) = √(1 + (2x)²) = √(1 + 4x²).

3. Steglängd. h = (1 - 0)/4 = 0.25.

4. Stödpunkter. 0, 0.25, 0.5, 0.75, 1.

5. Integrandvärden och vikter.

6. Viktad summa. 1.000000/2 + 1.118034 + 1.414214 + 1.802776 + 2.236068/2 = 5.953057.

7. Multiplicera med h.

8. Jämför med det exakta värdet. Den exakta båglängden är L = √5/2 + asinh(2)/4 ≈ 1.478943. Uppskattningen 1.488264 med n = 4 överskrider den med 0.009321, ett fel på cirka 0.63%. En upprepning med n = 8 ger 1.481272, redan inom 0.002330 från det exakta värdet.

Lägg märke till att uppskattningen är större än det exakta värdet. För denna konvexa integrand ligger kordorna ovanför kurvan, så trapetsregeln överskattar. Det systematiska beteendet är normalt, och överskattningen krymper när n växer.

Antalet delintervall n och steglängden h är kopplade genom h = (b - a)/n. Tillsammans styr de hur fint integranden samplas och hur noggrann uppskattningen är.

Vad n representerar. Det är antalet trapetspaneler, ett positivt heltal. Antalet stödpunkter är alltid n + 1 eftersom på varandra följande paneler delar sina gränspunkter.

Varför n = 1 är enpanelregeln. Med n = 1 är h = b - a och T₁ = h/2 · [g(a) + g(b)]. Detta är metodens grövsta form och sällan tillräckligt noggrann.

Panelbredder på [0, 1]. Tabellen nedan visar hur h krymper när n växer:

Mindre paneler följer integranden närmare, så den räta linjens approximation inuti varje panel avviker mindre från den sanna kurvan. Därför förbättrar ett större n vanligtvis noggrannheten. Avvägningen är beräkningsmässig: varje ny panel kräver ytterligare en funktionsutvärdering.

Fler delintervall garanterar inte ett strikt bättre resultat för varje integrand. Icke-släta eller oscillerande integrander kan visa oregelbundet felbeteende, och flyttalsavrundning begränsar till slut vinsterna vid mycket stora n. För släta kurvor som de i denna guide är förbättringen dock stadig och förutsägbar.

En praktisk strategi: börja med n = 10 eller n = 20 och dubblera sedan n tills uppskattningen slutar ändras vid den precision du behöver. Denna konvergenskontroll är mer tillförlitlig än att lita på ett enskilt värde på n.

Sex exempel täcker spannet från exakta fall till funktioner vars båglängder saknar elementär sluten form. Varje exempel visar derivatan, integranden, substitutionen och det numeriska resultatet.

Exempel 1: Rät linje, f(x) = 2x på [0, 3]. Derivatan är f'(x) = 2, en konstant, så integranden är g(x) = √(1 + 4) = √5, också konstant. En enskild panel är exakt eftersom integranden aldrig böjer sig: T₁ = 3 · √5 ≈ 6.708204. Den exakta längden 3√5 stämmer. Detta bekräftar regeln: trapetsregeln är exakt närhelst integranden är linjär eller konstant.

Exempel 2: Andragradsfunktion, f(x) = x² på [0, 1], n = 4. Med f'(x) = 2x och g(x) = √(1 + 4x²) ger den fullständiga beräkningen i föregående avsnitt L ≈ 1.488264, jämfört med det exakta 1.478943. Den lilla skillnaden kommer från den konvexa integranden; kordor dragna ovanför kurvan lägger till extra area.

Exempel 3: Längre andragradsfunktion, f(x) = x² på [0, 2], n = 8. Här är h = 0.25 igen, men intervallet är dubbelt så långt och integranden brantare. Uppskattningen är T₈ = 4.656890. En högupplöst beräkning ger 4.646784, så felet är cirka 0.010106. Att förlänga intervallet skalar inte bara svaret: integranden växer med x, så båglängden växer snabbare än intervallängden.

Exempel 4: Sinuskurva, f(x) = sin x på [0, π]. Derivatan är f'(x) = cos x, vilket ger g(x) = √(1 + cos²x). Med n = 8 är uppskattningen 3.820198; med n = 16 är den 3.820198, oförändrad på sex decimaler. Den symmetriska integranden konvergerar snabbt eftersom dess krökning är mild och jämnt fördelad. (Ange vinklar i radianer; grader skulle ge en annan kurva.)

Exempel 5: Logaritm, f(x) = ln(x + 1) på [0, 2], n = 10. Derivatan är f'(x) = 1/(x + 1), så g(x) = √(1 + 1/(x + 1)²). Definitionsmängden kräver x > -1, vilket intervallet uppfyller. Uppskattningen är T₁₀ = 2.304215, medan en förfinad beräkning ger 2.301988, ett fel på cirka 0.002227. Nära x = 0 är lutningen brantast, så det mesta av längden ackumuleras tidigt i intervallet.

Exempel 6: Tredjegradsfunktion, f(x) = x³ på [0, 1], n = 10. Här är f'(x) = 3x² och g(x) = √(1 + 9x⁴). Denna båglängd har ingen elementär primitiv funktion, vilket är precis när numerisk integration förtjänar sin plats. Uppskattningen är T₁₀ = 1.552609 mot ett förfinat värde på 1.547866, ett fel på cirka 0.004743. Utan en numerisk metod skulle denna längd vara mycket svår att få fram.

Varje resultat ovan beräknades direkt från den sammansatta formeln, avrundat till sex decimaler. Att upprepa något av dessa i kalkylatorn med samma n reproducerar samma siffror.

Konvergens betyder att approximationerna stabiliseras mot det sanna värdet när n växer. Tabellen nedan följer f(x) = x² på [0, 1], vars exakta längd är 1.478943:

Varje gång n dubbleras sjunker felet med ungefär en faktor fyra: 0.037181 till 0.009321 till 0.002330 till 0.000582 till 0.000146 till 0.000036. Detta är konvergens av andra ordningen, den sammansatta trapetsregelns kännetecken på släta integrander. Att halvera h skär den ledande feltermen till ungefär en fjärdedel.

Kolumnen "förändring från föregående" är den praktiska konvergenskontrollen som kalkylatorns arbetsflöde rekommenderar. När en dubblering av n ändrar svaret med mindre än din krävda precision är uppskattningen stabil. För denna kurva fastställer n = 16 redan längden inom 0.000582 från sanningen.

Felet i den sammansatta trapetsregeln har en precis matematisk form. För en tillräckligt slät integrand g på [a, b]:

för något ξ i [a, b]. Tecknet är viktigt: när g'' är positiv (konvex integrand) är felet negativt, vilket betyder att T_n överskattar integralen. Det stämmer med x²-exemplet, där varje uppskattning överskred det exakta 1.478943.

En garanterad gräns följer genom att ersätta g''(ξ) med dess maximala storlek M = max|g''(x)| på [a, b]:

Nyckeltermer. Absolut fel är |I - T_n|, avståndet mellan sanning och uppskattning. Relativt fel dividerar det med |I|. Trunkeringsfel är felet från att approximera integralen med en ändlig summa, till skillnad från avrundningsfel från ändlig precisionsaritmetik. Andra derivatan g'' mäter integrandens krökning, vilket är vad de räta linjernas paneler inte fångar.

Konkret gräns för x²-exemplet. På [0, 1] är g''(x) = 4/(1 + 4x²)^3/2, störst vid x = 0 med M = 4. Gränsen ger |I - T₄| ≤ 4/(12 · 16) = 0.020833. Det verkliga felet 0.009321 ligger bekvämt inom den. Gränser är konservativa avsiktligt; de lovar ett tak, inte ett exakt fel.

Två varningar. För det första är g båglängdsintegranden, inte det ursprungliga f. Att derivera två gånger genom kvadratroten är vad M beskriver. För det andra kan felgränser vara besvärliga att beräkna för komplicerade funktioner eftersom M självt kan behöva maximeras. I praktiken är konvergenskontrollen med dubblering av n det mer användbara verktyget, och kalkylatorn visar ingen automatisk felgräns.

Simpsons regel är trapetsregelns närmaste släkting. Båda delar [a, b] i lika stora delintervall, men Simpson anpassar en parabel genom tre på varandra följande punkter där trapetsregeln drar en rät korda genom två.

På släta integrander vinner Simpsons konvergens av fjärde ordningen vanligtvis: en dubblering av n skär dess fel med ungefär sexton, mot fyra för trapetsregeln. Men Simpson är inte universellt bättre. För grova eller diskontinuerliga integrander försämras båda metoderna, och den extra noggrannhetsordningen kanske inte materialiseras. Trapetsregeln accepterar också udda n, vilket är bekvämt för snabba kontroller.

Ett sunt arbetsflöde använder båda: trapetsuppskattningen som en transparent baslinje, och Simpsons regel för högre precision. När de två överensstämmer till dina krävda siffror är tilltron hög. När de inte överensstämmer, öka n innan du litar på någon av dem.

Två olika "trapetsliknande" idéer är lätta att förväxla. De ger olika tal för samma kurva, så skillnaden är viktig.

Metod 1: Trapetsintegration av båglängdsintegranden. Detta är vad kalkylatorn gör. Den integrerar g(x) = √(1 + (f'(x))²) med trapetspaneler ritade under integrandkurvan:

Metod 2: Polygon- (kordasumme-)approximation av den ursprungliga kurvan. Denna förbinder intilliggande punkter på själva kurvan med räta segment och adderar deras längder:

En kordasumma förenar punkterna (x_i, f(x_i)) på den ursprungliga kurvan. En trapetspanel approximerar i stället area under integranden g(x). Panelerna representerar inte räta segment av den ursprungliga kurvan, även om båda bilderna involverar räta linjer.

Båda metoderna konvergerar mot den sanna längden när n växer, och båda är legitima numeriska verktyg. Kalkylatorn på denna sida implementerar metod 1. Om du behöver kordasummor från koordinatdata följer verktyget båglängd från punkter i stället metod 2.

Trapetsregeln är rätt val när enkelhet och transparens betyder mer än att pressa ut noggrannhetens sista siffror.

• Lära sig numerisk integration. Varje steg har en synlig geometrisk betydelse, vilket gör den till standardmetoden först i analyskurser.
• Uppskatta kurvlängder snabbt. En handfull paneler ger ofta två eller tre korrekta siffror för släta kurvor.
• Kontrollera analytiska lösningar. Jämför en handberäknad båglängd med en oberoende numerisk uppskattning.
• Ingenjörs- och fysikmodeller. Längduppskattningar för kablar, bågar och banor där approximativa värden matar större beräkningar.
• Jämföra numeriska metoder. Den är baslinjen mot vilken Simpsons regel och metoder av högre ordning bedöms.
• Släta samplade funktioner. När f är slät och n kan vara måttligt är metoden pålitlig.
• Pedagogisk verifiering. Dess förutsägbara O(h²)-beteende gör konvergenskontroller lätta att tolka.

Välj en annan metod när integranden ändras snabbt, har knäckar eller diskontinuiteter, eller när hög precision krävs till låg kostnad. För släta kurvor ger Simpsons regel vanligtvis fler siffror per panel. För parametriska, polära eller rumskurvor använder du de dedikerade kalkylatorerna för parametrisk, polär eller 3D-båglängd, som tillämpar samma numeriska idéer i rätt koordinatsystem.

Dessa är de fel som dyker upp oftast i studentarbeten och i supportfrågor. Varje fel är lätt att undvika när du vet att det finns.

1. Ange felaktiga integrationsgränser. Segmentet [0, 2] är inte samma kurvdel som [2, 0]. Bekräfta alltid a < b och att gränserna matchar problemet.
2. Använda fel funktion. Ett skrivfel som x^3 i stället för x^2 ändrar derivatan och varje efterföljande värde.
3. Glömma derivatan i båglängdsformeln. Båglängd integrerar √(1 + (f')²), aldrig f självt.
4. Tillämpa regeln direkt på f(x) för båglängd. Panelerna måste ligga under g(x). Att integrera f(x) beräknar area med tecken, inte längd.
5. Välja för få delintervall. n = 2 på en krökt integrand kan avvika med flera procent; x²-exemplet hade 2.5% fel vid n = 2.
6. Använda noll delintervall. n = 0 betyder h = (b - a)/0, vilket är odefinierat. n måste vara ett positivt heltal.
7. Ange ett icke-heltaligt antal delintervall. n = 2.5 har ingen betydelse för panelräkning; avrunda till ett heltal.
8. Förväxla n med antalet stödpunkter. n paneler behöver n + 1 stödpunkter. Med n = 4 finns det 5 punkter, inte 4.
9. Glömma ändpunkternas halva vikter. Att ge g(x₀) och g(x_n) full vikt blåser upp uppskattningen med h/2 · (g(x₀) + g(x_n)).
10. Använda fel steglängd. h = (b - a)/n, inte b - a och inte 1/n. På [0, 2] med n = 8 är h = 0.25.
11. Blanda grader och radianer. sin(x) med x i grader är en annan kurva än sin(x) i radianer; båglängderna skiljer sig därefter.
12. Ignorera funktionens definitionsmängdsbegränsningar. ln(x + 1) kräver x > -1. Utvärdering utanför definitionsmängden ger meningslösa värden.
13. Förväxla approximation med exakt integration. T_n närmar sig L; det är lika med L endast för speciella integrander som konstanter.
14. Anta att fler paneler alltid garanterar bättre noggrannhet. Sant i det asymptotiska området för släta integrander, men avrundningsfel och ojämnheter kan bryta mönstret vid extremer.
15. Ignorera konvergenskontroller. En uppskattning är en gissning; två uppskattningar vid n och 2n som överensstämmer är bevis.
16. Förväxla Simpsons regel med trapetsregeln. Simpson använder vikterna 1-4-2-4-...-1 och behöver jämnt n; trapetsregeln använder 1/2-1-...-1-1/2 och valfritt positivt n.
17. Förväxla trapetsintegration med kordasummering. Paneler under integranden är inte kordor på kurvan; de två metoderna ger olika tal.
18. Rapportera överdriven decimalprecision. Om felet är cirka 0.002 överdriver sex decimaler vad som är känt. Avrunda för att matcha den verifierade noggrannheten.

Samma panelräkning som ligger bakom båglängd dyker upp överallt där en slät storhet måste ackumuleras numeriskt.

• Ingenjörsmässig kurvlängdsuppskattning. Längder av kablar, hängkurvor och rörböjar beräknas från designfunktioner före tillverkning.
• Mekanisk design. Kamprofiler och kuggkurvor kräver noggranna omkretsuppskattningar för materialplanering.
• Väg- och gångvägsgeometri. Linjeringskurvor för vägar och järnvägar mäts längs deras mittlinjer, som sällan är elementära funktioner.
• Datorstödd design. CAD-kärnor uppskattar kurvlängder för rendering, verktygsbanegenerering och dimensionering.
• Fysiksimuleringar. Partikelbanor och fältlinjelängder ackumuleras från numeriska modeller.
• Numerisk modellering. Varje integral utan sluten form, från sannolikhetstätheter till signalenergi, kan börja med trapetspaneler.
• Matematikutbildning. Regeln är standardporten till numerisk analys eftersom dess felbeteende är lätt att demonstrera.
• Kurvmätning och verifiering. Fysiska mätningar av oregelbundna kurvor korskontrolleras mot numeriska förutsägelser.

För specialiserad geometri anpassar sig metoden: samma sammansatta regel integrerar parametrisk hastighet √((x')² + (y')²) och polära integrander. Kalkylatorn här hanterar det kartesiska fallet; relaterade verktyg täcker de andra koordinatsystemen. Den bearbetar inte CAD-filer eller mätdata direkt; de måste först reduceras till en funktion och gränser.

Räkna dessa för hand och kontrollera sedan mot kalkylatorn. Varje lösning visar substitutionen så att du kan hitta dina egna räknefel.

Problem 1. Använd trapetsregeln med n = 1 för att approximera ∫₀² 3 dx, och ange om resultatet är exakt.
Lösning. h = 2, T₁ = 2/2 · [3 + 3] = 6. Integranden är konstant, så det enskilda trapetset matchar rektangeln exakt. Den exakta integralen är också 6, så resultatet är exakt.

Problem 2. Bestäm båglängden av f(x) = x på [0, 1] med trapetsregeln och n = 1.
Lösning. f'(x) = 1, så g(x) = √2, en konstant. T₁ = 1 · √2 ≈ 1.414214, vilket är exakt eftersom integranden är konstant. Geometriskt är detta diagonalen i en enhetskvadrat.

Problem 3. Approximera båglängden av f(x) = x² på [0, 1] med n = 2.
Lösning. h = 0.5; g(0) = 1, g(0.5) = 1.414214, g(1) = 2.236068. T₂ = 0.5 · [1/2 + 1.414214 + 2.236068/2] = 0.5 · 3.032249 = 1.516124. Det exakta värdet är 1.478943, så felet är 0.037181.

Problem 4. Approximera båglängden av f(x) = sin x på [0, π] med n = 4.
Lösning. g(x) = √(1 + cos²x), h = π/4. Utvärdering i 0, π/4, π/2, 3π/4, π och tillämpning av vikterna ger T₄ ≈ 3.819944. Med n = 8 är värdet 3.820198, så resultatet med n = 4 ligger redan inom 0.000254 från det konvergerade värdet.

Problem 5. Beräkna steglängden för a = 2, b = 5, n = 6.
Lösning. h = (5 - 2)/6 = 3/6 = 0.5. Stödpunkterna är 2, 2.5, 3, 3.5, 4, 4.5, 5: sju punkter för sex paneler.

Problem 6. För n = 10, hur många stödpunkter finns det, och vilka är deras vikter?
Lösning. Det finns n + 1 = 11 stödpunkter. Ändpunkterna x₀ och x₁₀ bär vikten 1/2; de nio inre punkterna x₁ till x₉ bär vikten 1.

Problem 7. För f(x) = x² på [0, 1], jämför T₂ och T₄ och ange förändringen.
Lösning. T₂ = 1.516124 och T₄ = 1.488264, en förändring på 0.027860. Det exakta värdet är 1.478943, så en dubblering av n skar felet från 0.037181 till 0.009321, en faktor på cirka fyra, som konvergens av andra ordningen förutspår.

Problem 8. T₈ = 1.481272 för f(x) = x² på [0, 1]. Rapportera det absoluta och det relativa felet mot det exakta 1.478943.
Lösning. Absolut fel = |1.481272 - 1.478943| = 0.002330. Relativt fel = 0.002330 / 1.478943 ≈ 0.001576, cirka 0.16%. Både uppskattningen och felet bör anges med tre decimaler här; de extra siffrorna i 1.481272 är ännu inte pålitliga.