What is the Cartesian arc length formula?

For $y=f(x)$ on $[a,b]$, use $L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + \left(f^{\prime}(x)\right)^{2}}\,dx$.

Why is there a $\sqrt{1 + (f^{\prime}(x))^2}$ term?

It comes from the Pythagorean theorem on tiny curve segments where $dx$ and $dy$ form a right triangle.

Do I need the function to be differentiable?

Yes, at least piecewise smooth on the interval. Sharp corners or discontinuities should be handled by splitting intervals.

What if there is no closed-form antiderivative?

Use numerical integration. Most real-world arc length integrals are solved numerically.

How do I choose bounds a and b correctly?

Use x-axis interval endpoints that match the exact portion of the curve you want to measure.

Can arc length be computed for a straight line using this formula?

Yes. For $y=mx+c$, arc length becomes $\sqrt{1+m^{2}}\,(b-a)$.

Do I need absolute values in the formula?

No. Squaring the derivative makes the integrand non-negative before the $\sqrt{\cdot}$ step.

What happens near vertical tangent behavior?

The derivative magnitude can grow rapidly. Numerical methods may still work but often need tighter settings.

How should I handle piecewise functions?

Compute arc length on each valid sub-interval and sum the segment lengths.

What is the most common Cartesian setup error?

Using wrong derivative algebra or entering incorrect interval limits.

Båglängdskalkylator med steg

Visualisera varje steg i kalkylintegrationsprocessen. Lär dig logiken bakom båglängdsformeln.

Visa steg

Integralformel (f(x))

L = \int_a^b \sqrt{1 + (dy/dx)^2}\, dx

Funktion y = f(x)

Starta (a)

Slut (b)

Formel för kartesisk båglängd (med steg)

Denna båglängdskalkylator med steg är designad för kurvor i formen y = f(x). Den beräknar det exakta kurvavståndet på ett intervall [a, b] genom att integrera grafens lokala sträckfaktor.

L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + \left(f^{\prime}(x)\right)^{2}}\,dx

Använd detta när din inmatning är en enda kartesisk funktion och tydliga x-gränser.

Figur 1. Kartesisk båglängdsgeometri

Lärobok notering: integrera små segmentlängder ds för att få hela kurvavståndet.

När ska man använda det här verktyget

Använd den här sidan när du har en funktion y=f(x) och vill ha tydliga, förklarliga kalkylsteg. Den är idealisk för provförberedelser, tekniska kontroller och rapportklara härledningar.

Bäst för envariabla kartesiska kurvor.
Bra när man behöver både slutvärdet och resonemangsvägen.
Användbart för att snabbt validera manuell kalkylläxa.

Inmatningschecklista för korrekta resultat

Skriv en giltig funktion: ange ett differentierbart uttryck, till exempel sin(x) eller x^2.
Bekräfta intervallriktning: säkerställa a < b.
Kontrollera domänproblem: undvik värden där derivatan eller funktionen är odefinierad.
Tolka enheter konsekvent: om x och y är i meter, är båglängden i meter.

Hur man läser det slutliga båglängdsvärdet

Den återvände L är det tillryggalagda avståndet längs kurvan, inte det raka kordan. Om ditt intervall fördubblas, växer vanligtvis värdet; om din lutning ökar, ökar även den lokala segmentlängden genom $\sqrt{1 + \left(f^{\prime}(x)\right)^{2}}$ faktor.

Figur 2. Kartesisk stegrörledning

Arbetat exempel (exakt konfiguration)

För y=x^2 på [0,1], är derivatan y'=2x, så blir integranden $\sqrt{1+4x^2}$ .

$L=\int_{0}^{1}\sqrt{1+4x^2}\,dx$
Utvärdera symboliskt eller numeriskt beroende på din tillåtna metod.
Slutvärde är det tillryggalagda kurvavståndet från x=0 till x=1, inte ändpunkt rakt avstånd.

Vanliga misstag och korrigeringar

Använda y-gränser istället för x-gränser: denna formel integreras med avseende på x.
Tappa kvadratroten: behåll hela formuläret $\sqrt{1+\left(f^{\prime}(x)\right)^2}$ .
Derivat stavfel: expandera långsamt och verifiera f'(x) innan du integrerar.
Ingen enhetstolkning: båglängden ärver samma avståndsenhet som används i axlar.

Praktiska användningsfall

Uppskattning av kabellängd över släta stöd modellerade av en funktion.
Kontrollera böjlängder i CAD-skisser före tillverkning.
Förbereda kalkyluppgifter med steg-för-steg-logik och sluttolkning.

Behöver du alternativa metoder för svåra integraler eller samplade data?

Σ Numerisk båglängd * Båglängd från punkter

Stegverktyg

Vanliga frågor om båglängd med steg

Vad är formeln för den kartesiska båglängden? +

För $y=f(x)$ på $[a,b]$, använd $L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + \left(f^{\prime}(x)\right)^{2}}\,dx$.

Varför finns det en $\sqrt{1 + (f^{\prime}(x))^2}$ term? +

Det kommer från Pythagoras sats om små kurvsegment där $dx$ och $dy$ bildar en rätvinklig triangel.

Behöver jag att funktionen ska vara differentierbar? +

Ja, åtminstone bitvis jämn på intervallet. Skarpa hörn eller diskontinuiteter bör hanteras genom att dela intervaller.

Vad händer om det inte finns något antiderivat i sluten form? +

Använd numerisk integration. De flesta verkliga båglängdsintegraler löses numeriskt.

Hur väljer jag gränserna a och b korrekt? +

Använd ändpunkter för x-axelintervall som matchar den exakta delen av kurvan du vill mäta.

Kan båglängden beräknas för en rät linje med denna formel? +

Ja. För $y=mx+c$ blir båglängden $\sqrt{1+m^{2}}\,(b-a)$.

Behöver jag absoluta värden i formeln? +

Nej. Kvadring av derivatan gör integranden icke-negativ före steget $\sqrt{\cdot}$.

Vad händer nära vertikalt tangentbeteende? +

Den derivata storleken kan växa snabbt. Numeriska metoder kan fortfarande fungera men kräver ofta strängare inställningar.

Hur ska jag hantera styckvisa funktioner? +

Beräkna båglängden på varje giltigt delintervall och summera segmentlängderna.

Vilket är det vanligaste kartesiska installationsfelet? +

Använder fel derivatalgebra eller anger felaktiga intervallgränser.

Se alla vanliga frågor om verktyg