अर्धवृत्त चाप लंबाई कैलकुलेटर

अर्धवृत्त चाप लंबाई कैलकुलेटर किसी भी एक माप से अर्धवृत्त की वक्र लंबाई मापता है जो आपके पास पहले से है: त्रिज्या, व्यास, पूर्ण वृत्त परिधि, या अर्धवृत्त क्षेत्रफल। पेज अर्धवृत्त पैनल सक्रिय के साथ खुलता है, जिसमें सूत्र L = πr दिखता है। एक मिनट से भी कम समय में सही उत्तर पाने के लिए इन चरणों का पालन करें।

1. इनपुट विधि चुनें। त्रिज्या, व्यास, पूर्ण वृत्त परिधि, या अर्धवृत्त क्षेत्रफल चुनें। इनपुट फ़ील्ड, उसका लेबल और उसकी इकाई सूची आपकी चुनी विधि के अनुसार बदल जाती है।
2. अपना माप दर्ज करें। मान इनपुट बॉक्स में टाइप करें। क्षेत्रफल इनपुट के लिए वर्ग इकाई सूची (mm², cm², m², km², in², ft², yd²) का उपयोग करें।
3. इनपुट और आउटपुट इकाइयाँ चुनें। कैलकुलेटर आपके इनपुट को एक सुसंगत आंतरिक इकाई में बदलता है, गणना करता है, फिर उत्तर को आपकी आउटपुट इकाई में बदल देता है। इकाई के साथ संख्या बदलती है; लंबाई नहीं बदलती।
4. दिशा चुनें। ऊपरी, निचला, बायाँ या दायाँ केवल लाइव आरेख को बदलता है। समान त्रिज्या के लिए चाप लंबाई बिल्कुल समान रहती है।
5. सटीकता चुनें। 2, 4, 6 या 8 दशमलव स्थान चुनें। डिफ़ॉल्ट 4 है। कैलकुलेटर आंतरिक रूप से हमेशा पूर्ण-सटीकता π का उपयोग करता है और केवल दिखाए गए परिणाम को पूर्णांकित करता है।
6. अभी गणना करें पर क्लिक करें। कैलकुलेटर मुख्य परिणाम के रूप में वक्र चाप लंबाई दिखाता है, साथ ही त्रिज्या, व्यास, कुल परिमाप, अर्धवृत्त क्षेत्रफल, पूर्ण वृत्त परिधि, पूर्ण वृत्त क्षेत्रफल, केंद्रीय कोण, जीवा लंबाई और चाप-से-व्यास अनुपात भी दिखाता है।
7. आरेख देखें। लाइव आरेख अर्धवृत्त को उसके केंद्र O, त्रिज्या r, व्यास d, अंतिम बिंदुओं और 180° केंद्रीय कोण के साथ बनाता है। त्रिज्या, व्यास, केंद्र बिंदु और कोण जानकारी दिखाने या छिपाने के लिए टॉगल का उपयोग करें।
8. कॉपी, प्रिंट या रीसेट करें। उत्तर को अपने क्लिपबोर्ड पर रखने के लिए परिणाम कॉपी करें का, सरल रिपोर्ट के लिए सारांश प्रिंट करें का, या पैनल साफ़ करने के लिए रीसेट का उपयोग करें। दिशा बदलें बटन एक क्लिक में चारों दिशाओं में चक्र करता है।

एक उदाहरण आज़माएँ। प्रीसेट बटन सत्यापित मान तुरंत लोड करते हैं: त्रिज्या 5 से 15.7079632679 इकाइयाँ, व्यास 12 से 18.8495559215 इकाइयाँ, त्रिज्या 10 से 31.4159265359 इकाइयाँ, त्रिज्या 7.5 से 23.5619449019 इकाइयाँ, क्षेत्रफल 50 से त्रिज्या 5.6418958355 और चाप लंबाई 17.7245385091 इकाइयाँ, और परिधि 62.8318530718 से त्रिज्या 10 और चाप लंबाई 31.4159265359 इकाइयाँ मिलती हैं।

महत्वपूर्ण सुझाव। तुलना करने से पहले सभी मान एक ही इकाई में रखें। चाप लंबाई केवल वक्र सीमा होती है; व्यास इसका हिस्सा नहीं होता। यदि आप व्यास दर्ज करते हैं, तो कैलकुलेटर पहले उसे आधा करके त्रिज्या निकालता है। शून्य या ऋणात्मक माप मान्य अर्धवृत्त नहीं होता, इसलिए कैलकुलेटर भ्रामक उत्तर दिखाने के बजाय उसे अस्वीकार कर देता है।

अर्धवृत्त एक वृत्त का ठीक आधा भाग होता है, जो व्यास के साथ काटा गया हो। इसकी एक वक्र सीमा होती है, जिसे चाप कहते हैं, और एक सीधी सीमा होती है, व्यास। अर्धवृत्त की चाप लंबाई केवल वक्र सीमा के साथ की दूरी होती है, व्यास के एक अंतिम बिंदु से दूसरे तक, वक्र का अनुसरण करते हुए।

अर्धवृत्ताकार मेहराबदार खिड़की की कल्पना करें। चाप लंबाई ऊपर के चारों ओर वक्र फ्रेम की लंबाई होती है। नीचे की सीधी चौखट व्यास होती है, और यह चाप लंबाई का हिस्सा नहीं होती। यदि आप एक सीधी मापने वाली टेप को वक्र के चारों ओर मोड़ें, तो टेप पर पढ़ी गई माप चाप लंबाई होगी।

हर अर्धवृत्त का आकार समान होता है, केवल त्रिज्या से माप बदलता है। केंद्र O व्यास के मध्यबिंदु पर स्थित होता है। त्रिज्या r, O से चाप के किसी भी बिंदु तक जाती है। व्यास d, O से होकर एक अंतिम बिंदु से दूसरे तक जाता है, और यह हमेशा त्रिज्या का दोगुना होता है। केंद्रीय कोण, O पर दोनों अंतिम बिंदुओं तक जाने वाली त्रिज्याओं के बीच का कोण, हमेशा 180° होता है, जो π रेडियन है।

चाप लंबाई व्यास से इस तरह अलग होती है जो कई लोगों को आश्चर्यचकित करती है: वक्र, उसके आर-पार की सीधी रेखा से लंबा होता है। 5 इकाई त्रिज्या के लिए व्यास 10 इकाई होता है, लेकिन चाप 15.7079632679 इकाई होता है, जो व्यास से लगभग 57.08% लंबा है। यह अतिरिक्त लंबाई ही वह कारण है कि चाप लंबाई की अपनी अलग गणना चाहिए।

अर्धवृत्त, किसी भी तरह खींचा गया आधा वृत्त नहीं होता। कट केंद्र से होकर जाना चाहिए, ताकि दोनों आधे भाग बराबर हों और प्रत्येक केंद्रीय कोण ठीक 180° हो। केंद्र से हटकर काटा गया आकार वृत्तीय खंड होता है, अर्धवृत्त नहीं, और उसकी चाप लंबाई का सूत्र अलग होता है।

अर्धवृत्त की चाप लंबाई सीधे पूर्ण वृत्त की परिधि से आती है। पूर्ण वृत्त की परिधि है:

अर्धवृत्त उस वृत्त का आधा होता है, इसलिए उसकी वक्र सीमा पूर्ण परिधि की आधी होती है:

सूत्र के प्रत्येक चिह्न का सटीक अर्थ है:

त्रिज्या के बजाय व्यास का उपयोग करने से उसी सूत्र का दूसरा रूप मिलता है। चूँकि d = 2r है, तो r = d / 2, और प्रतिस्थापन से मिलता है:

दोनों रूप समान उत्तर देते हैं। जब आपको त्रिज्या पता हो तो L = πr का उपयोग करें, और जब व्यास पता हो तो L = πd / 2 का। सामान्य चाप-लंबाई सूत्र L = rθ भी सहमत है: θ = π रेडियन के साथ, L = r × π = πr।

हाथ से अर्धवृत्त चाप लंबाई निकालने में छह चरण लगते हैं। नीचे दिया गया हल किया गया उदाहरण 5 cm त्रिज्या का उपयोग करता है।

1. त्रिज्या पहचानें। r = 5 cm।
2. अर्धवृत्त चाप-लंबाई सूत्र लिखें। L = πr।
3. त्रिज्या प्रतिस्थापित करें। L = π × 5।
4. π से गुणा करें। π × 5 = 15.7079632679, पूर्ण-सटीकता π = 3.141592653589793 का उपयोग करके।
5. इकाई लगाएँ। उत्तर एक लंबाई है, इसलिए यह त्रिज्या वाली ही इकाई लेता है: सेंटीमीटर।
6. आवश्यक सटीकता तक पूर्णांकित करें। दो दशमलव स्थानों तक, L = 15.71 cm। चार दशमलव स्थानों तक, L = 15.7080 cm।

यही छह चरण किसी भी त्रिज्या के लिए काम करते हैं। 3 इकाई त्रिज्या से L = π × 3 = 9.4247779608 इकाइयाँ मिलती हैं। 8 इकाई त्रिज्या से L = π × 8 = 25.1327412287 इकाइयाँ मिलती हैं। 1 इकाई त्रिज्या से L = π = 3.1415926536 इकाइयाँ मिलती हैं, जो पूर्ण-संख्या त्रिज्या के साथ मिलने वाली सबसे छोटी अर्धवृत्त चाप है और एक उपयोगी जाँच भी: यदि आपका कैलकुलेटर r = 1 के लिए इससे कुछ और देता है, तो कुछ गलत है।

पूर्णांकन नियम। केवल अंत में पूर्णांकित करें। यदि आप गुणा करने से पहले π को 3.14 से बदल देते हैं, तो 5 त्रिज्या से 15.7079632679 के बजाय 15.70 मिलता है, जो 0.0079632679 की त्रुटि है। यह त्रुटि त्रिज्या के साथ बढ़ती है, इसलिए गणना के दौरान पूर्ण सटीकता बनाए रखें और केवल अंतिम दिखाए गए परिणाम को पूर्णांकित करें।

जब आपको त्रिज्या के बजाय व्यास पता हो, तो पहले दो से भाग दें, फिर वही सूत्र लगाएँ। नीचे दिया गया हल किया गया उदाहरण 12 इकाई व्यास का उपयोग करता है।

1. व्यास पहचानें। d = 12 इकाइयाँ।
2. त्रिज्या निकालें। r = d / 2 = 12 / 2 = 6 इकाइयाँ।
3. सूत्र लिखें। L = πr, या सीधे L = πd / 2।
4. प्रतिस्थापित करें। L = π × 6, या L = π × 12 / 2।
5. गणना करें। L = 18.8495559215 इकाइयाँ।
6. आवश्यकतानुसार पूर्णांकित करें। दो दशमलव स्थानों तक, L = 18.85 इकाइयाँ।

दोनों रास्ते बिल्कुल सहमत होते हैं, जो एक अच्छी आत्म-जाँच है। त्रिज्या वाला रास्ता π × 6 = 18.8495559215 देता है। व्यास वाला रास्ता π × 12 / 2 = 18.8495559215 देता है। यदि दोनों असहमत हों, तो त्रिज्या सही ढंग से आधी नहीं की गई थी।

एक और उदाहरण: 20 इकाई व्यास से r = 10 इकाइयाँ मिलती हैं, इसलिए L = π × 10 = 31.4159265359 इकाइयाँ। 15 इकाई व्यास से r = 7.5 इकाइयाँ मिलती हैं, इसलिए L = π × 7.5 = 23.5619449019 इकाइयाँ। इस गणना में सबसे आम त्रुटि दो से भाग देना भूलना और व्यास को ऐसे उपयोग करना है जैसे वह त्रिज्या हो, जिससे उत्तर दोगुना हो जाता है। d = 12 के लिए, वह गलती 18.8495559215 के बजाय 37.6991118431 देती है।

मापने का सुझाव। वास्तविक जीवन में व्यास को त्रिज्या से मापना अक्सर आसान होता है, क्योंकि आप सीधे सपाट किनारे के आर-पार माप सकते हैं। इसीलिए कैलकुलेटर सीधे व्यास इनपुट स्वीकार करता है: सपाट किनारा मापें, उसे दर्ज करें, और कैलकुलेटर उसे आपके लिए आधा कर देता है।

कभी-कभी न तो त्रिज्या दी होती है और न ही व्यास। कैलकुलेटर पूर्ण वृत्त परिधि या अर्धवृत्त क्षेत्रफल से पीछे की ओर भी काम करता है, पहले त्रिज्या निकालकर।

पूर्ण वृत्त परिधि से। पूर्ण परिधि C = 2πr होती है, इसलिए r = C / (2π)। C = 62.8318530718 इकाइयों के लिए, r = 62.8318530718 / (2π) = 62.8318530718 / 6.2831853072 = 10 इकाइयाँ। फिर L = πr = π × 10 = 31.4159265359 इकाइयाँ। ध्यान दें कि अर्धवृत्त चाप पूर्ण परिधि का ठीक आधा होता है, जो एक त्वरित जाँच है: 62.8318530718 / 2 = 31.4159265359।

अर्धवृत्त क्षेत्रफल से। अर्धवृत्त का क्षेत्रफल A = πr² / 2 होता है, इसलिए पुनर्व्यवस्थित करने पर r = √(2A / π) मिलता है। A = 50 वर्ग इकाइयों के लिए, r = √(100 / π) = √(31.8309886184) = 5.6418958355 इकाइयाँ। फिर L = πr = π × 5.6418958355 = 17.7245385091 इकाइयाँ। आप त्रिज्या को क्षेत्रफल सूत्र में वापस रखकर सत्यापित कर सकते हैं: π × 5.6418958355² / 2 = 50.0000000000 वर्ग इकाइयाँ।

दूसरा क्षेत्रफल उदाहरण। A = 100 वर्ग इकाइयों के लिए, r = √(200 / π) = 7.9788456080 इकाइयाँ, और L = π × 7.9788456080 = 25.0662827463 इकाइयाँ। क्षेत्रफल त्रिज्या के वर्ग के साथ बढ़ता है, इसलिए क्षेत्रफल दोगुना करने से त्रिज्या दोगुनी नहीं होती: यह त्रिज्या को √2, लगभग 1.4142 से गुणा करता है।

कौन सा इनपुट उपयोग करें। जो माप वास्तव में आपके पास है, उसका उपयोग करें। सभी चार विधियाँ समान त्रिज्या निकालती हैं और समान चाप लंबाई देती हैं। यदि दो अलग-अलग माप अलग-अलग त्रिज्याएँ दें, तो उनमें से एक माप गलत है, और किसी भी उत्तर पर भरोसा करने से पहले उस असहमति की जाँच करना उचित है।

यह वह अंतर है जो सबसे अधिक भ्रम पैदा करता है, इसलिए इस पर ध्यान से विचार करना उचित है। चाप लंबाई और परिमाप एक ही आकार की दो अलग-अलग मापें हैं।

चाप लंबाई केवल वक्र सीमा होती है: L = πr। कुल परिमाप पूरी सीमा होती है: वक्र चाप और सीधा व्यास, P = πr + 2r, जिसे P = r(π + 2) के रूप में लिखा जा सकता है।

5 इकाई त्रिज्या के लिए, चाप लंबाई 15.7079632679 इकाइयाँ और कुल परिमाप 25.7079632679 इकाइयाँ होता है। अंतर ठीक व्यास, 10 इकाइयाँ है। चाप कुल परिमाप का केवल लगभग 61.10% होता है; सीधा किनारा शेष हिस्सा बनाता है।

यह क्यों मायने रखता है। यदि आप अर्धवृत्ताकार बगीचे की क्यारी के लिए किनारा खरीद रहे हैं, तो वक्र किनारे के लिए चाप लंबाई चाहिए, लेकिन रास्ते के साथ वाले सीधे किनारे के लिए व्यास भी चाहिए, इसलिए आपको परिमाप चाहिए। यदि आप मेहराबदार खिड़की के लिए ट्रिम खरीद रहे हैं, तो केवल वक्र को ट्रिम चाहिए, इसलिए आपको चाप लंबाई चाहिए। गलत माप का उपयोग करने से या तो सामग्री बर्बाद होती है या कम पड़ जाती है। कैलकुलेटर दोनों परिणाम अलग-अलग, स्पष्ट लेबल के साथ दिखाता है, ताकि आप अपने काम के लिए सही माप चुन सकें।

शब्दावली पर एक टिप्पणी। कई लोग वक्र चाप के लिए खोजते समय 'अर्धवृत्त परिमाप' खोजते हैं। पाठ्यपुस्तकें भी अलग-अलग कहती हैं: कुछ कुल सीमा को परिमाप और वक्र को चाप लंबाई कहते हैं, जबकि अन्य वक्र को ही ढीले तौर पर परिमाप कह देते हैं। इस पेज पर, चाप लंबाई का हमेशा अर्थ केवल वक्र होता है, और परिमाप का हमेशा अर्थ व्यास सहित पूरी सीमा होता है।

क्षेत्रफल और चाप लंबाई अलग-अलग चीज़ें मापते हैं, और उन्हें भ्रमित करना अर्धवृत्त समस्याओं में सबसे आम त्रुटियों में से एक है। क्षेत्रफल अर्धवृत्त के अंदर का द्वि-आयामी स्थान होता है। चाप लंबाई उसकी वक्र सीमा के साथ एक-आयामी दूरी होती है। परिमाप पूरी सीमा की लंबाई होती है।

5 इकाई त्रिज्या के लिए, चाप लंबाई 15.7079632679 इकाइयाँ और क्षेत्रफल 39.2699081699 वर्ग इकाइयाँ होता है। संख्याएँ अलग हैं, और इकाइयाँ भी अलग हैं: लंबाइयों में साधारण इकाइयाँ उपयोग होती हैं, क्षेत्रफलों में वर्ग इकाइयाँ। यदि आपका उत्तर वर्ग इकाइयों में आता है, तो आपने लंबाई नहीं, क्षेत्रफल निकाला है।

क्षेत्रफल चाप लंबाई से तेज़ी से बढ़ता है। त्रिज्या दोगुनी करें, तो चाप लंबाई दोगुनी हो जाती है, लेकिन क्षेत्रफल चार गुना हो जाता है, क्योंकि क्षेत्रफल r² पर निर्भर करता है। r = 4 और r = 8 की तुलना करें: चाप लंबाइयाँ 12.5663706144 और 25.1327412287 हैं, जो 2 का गुणक है, जबकि क्षेत्रफल 25.1327412287 और 100.5309649149 हैं, जो 4 का गुणक है। इसीलिए त्रिज्या में छोटा बदलाव क्षेत्रफल को चाप लंबाई से कहीं अधिक बदल देता है।

इकाई जाँच। इकाइयाँ आपकी सबसे अच्छी सुरक्षा हैं। यदि कोई समस्या लंबाई माँगती है और आपका उत्तर वर्ग सेंटीमीटर में है, तो रुकें और दोबारा जाँचें। यदि वह क्षेत्रफल माँगती है और आपका उत्तर साधारण सेंटीमीटर में है, तो भी यही करें। कैलकुलेटर दोनों को अलग रखता है: क्षेत्रफल इनपुट में वर्ग इकाइयाँ उपयोग होती हैं, और क्षेत्रफल परिणाम वर्ग इकाइयों में लेबल किया जाता है।

अर्धवृत्त की त्रिज्या और व्यास एक ही नियम से जुड़े होते हैं: व्यास त्रिज्या का दोगुना होता है।

त्रिज्या केंद्र O से चाप तक जाती है। व्यास एक अंतिम बिंदु से दूसरे तक जाता है, O से होकर। चूँकि व्यास दो त्रिज्याओं को सिरे से सिरा मिलाकर बनाया जाता है, इसलिए हर वृत्त और हर अर्धवृत्त के लिए d = 2r हमेशा होता है। त्रिज्या अधिक मौलिक माप है: हर वृत्त सूत्र r के रूप में लिखा जाता है, और व्यास मापने की सुविधा के लिए होता है।

जीवा संबंध। व्यास अर्धवृत्त की सबसे लंबी जीवा भी होता है: चाप के दो अंतिम बिंदुओं को जोड़ने वाली सीधी रेखा। हर अर्धवृत्त का केंद्रीय कोण 180° होता है, इसलिए उसकी जीवा हमेशा व्यास, 2r होती है। इसीलिए कैलकुलेटर जीवा लंबाई को व्यास के बराबर बताता है।

व्यावहारिक टिप्पणी। जब आप किसी वास्तविक अर्धवृत्त को मापते हैं, तो यदि हो सके तो व्यास मापें, क्योंकि सपाट किनारे तक टेप से पहुँचना आसान होता है। फिर उसे आधा कर दें। त्रिज्या को सीधे मापने का अर्थ है पहले केंद्र खोजना, जो किसी भौतिक वस्तु पर कठिन होता है। किसी भी तरह, कैलकुलेटर दोनों स्वीकार करता है।

पाई (π) किसी वृत्त की परिधि और उसके व्यास का अनुपात होती है, और यह हर वृत्त के लिए समान होती है, चाहे वह बड़ा हो या छोटा। यह सार्वभौमिकता ही कारण है कि π हर वृत्त सूत्र में आता है, अर्धवृत्त चाप लंबाई में भी।

किसी भी वृत्त के लिए, C / d = π, हमेशा। चूँकि अर्धवृत्त आधा वृत्त होता है, उसका चाप आधी परिधि होता है, और C = 2πr का आधा πr होता है। सूत्र में π कोई अनुमानित गुणक नहीं है: यह वह सटीक स्थिरांक है जो त्रिज्या को वक्र लंबाई में बदलता है, क्योंकि वक्र सीधी त्रिज्या से ठीक उसी गुणक से लंबा होता है।

पाई अपरिमेय है। इसका दशमलव विस्तार कभी समाप्त नहीं होता और कभी दोहराता नहीं है: 3.141592653589793 और आगे हमेशा। इसका अर्थ है कि कोई भी सीमित दशमलव π के ठीक बराबर नहीं होता। पाठ्यपुस्तकें अक्सर हाथ की गणना के लिए इसे 3.14 तक पूर्णांकित करती हैं, और मोटे काम के लिए यह ठीक है, लेकिन इससे त्रुटि आती है। 5 त्रिज्या के लिए, π = 3.14 से 15.70 मिलता है, जबकि पूर्ण-सटीकता π से 15.7079632679 मिलता है, जो 0.0079632679 की त्रुटि है। 100 त्रिज्या के लिए, वही शॉर्टकट 314.1592653590 के बजाय 314 देता है, जो 0.1592653590 की त्रुटि है। त्रुटि त्रिज्या के साथ बढ़ती है, इसलिए बड़े कामों पर यह नगण्य नहीं रहती।

कैलकुलेटर क्या करता है। यह हर गणना के लिए ब्राउज़र में बनी π की पूर्ण-सटीकता मान (3.141592653589793) का उपयोग करता है, और केवल दिखाए गए परिणाम को आपकी चुनी सटीकता तक पूर्णांकित करता है। वैकल्पिक π = 3.14 तुलना दोनों उत्तरों को अगल-बगल दिखाती है, ताकि आप देख सकें कि शॉर्टकट आपकी संख्याओं पर कितना खर्च करता है।

कोण इकाइयों पर एक टिप्पणी। सूत्र L = rθ के लिए θ रेडियन में चाहिए। अर्धवृत्त π रेडियन तक फैला होता है, जो 180° है। यदि आप बिना बदले 180 को L = rθ में डालते हैं, तो आपको 180r मिलता है, जो लगभग 57.3 के गुणक से गलत होता है। कैलकुलेटर रूपांतरण संभाल लेता है, लेकिन हाथ से काम करते समय, पहले हमेशा डिग्री को रेडियन में बदलें: रेडियन में θ = डिग्री × π / 180।

अर्धवृत्त चार दिशाओं में हो सकता है: सपाट व्यास नीचे हो सकता है (ऊपरी अर्धवृत्त), ऊपर हो सकता है (निचला अर्धवृत्त), दाईं ओर हो सकता है (बायाँ अर्धवृत्त), या बाईं ओर हो सकता है (दायाँ अर्धवृत्त)। दिशा चित्र बदलती है, गणित नहीं।

5 इकाई त्रिज्या के लिए, चारों दिशाओं की चाप लंबाई समान, 15.7079632679 इकाइयाँ, व्यास समान, 10 इकाइयाँ, परिमाप समान, 25.7079632679 इकाइयाँ, और क्षेत्रफल समान, 39.2699081699 वर्ग इकाइयाँ होते हैं। केवल वक्र के उभार की दिशा बदलती है। ऐसा इसलिए है क्योंकि सूत्र केवल r पर निर्भर करते हैं, और r इस पर निर्भर नहीं करता कि आकार किस दिशा में है।

प्रत्येक दिशा कहाँ दिखती है। ऊपरी अर्धवृत्त क्लासिक मेहराब है: खिड़कियाँ, दरवाज़े और पुल ऊपर की ओर वक्र होते हैं। निचले अर्धवृत्त कटोरे, बेसिन और टैंकों के तल के रूप में दिखते हैं। बायाँ और दायाँ अर्धवृत्त बगल वाले मेहराबों, सजावटी पैनलों और आरेखों में दिखते हैं जहाँ सपाट किनारा ऊर्ध्वाधर होता है। निर्देशांक ज्यामिति में, ऊपरी अर्धवृत्त y = √(r² − x²) का ग्राफ़ होता है, और निचला y = −√(r² − x²) होता है, x के −r और r के बीच होने पर।

कैलकुलेटर में आज़माएँ। त्रिज्या दर्ज करें, गणना करें, फिर चारों स्थितियों में चक्र करने के लिए दिशा बदलें बटन का उपयोग करें। आरेख को घूमते हुए देखें जबकि परिणामों की हर संख्या बिल्कुल समान रहती है। यही बात है: दिशा एक आरेखीय चुनाव है, और चाप लंबाई आकार का गुण है।

अर्धवृत्त की चाप लंबाई और उसके व्यास के बीच एक निश्चित संबंध होता है, और यह हर अर्धवृत्त के लिए समान होता है, चाहे उसका आकार कुछ भी हो।

चूँकि L = πr और d = 2r है, भाग देने पर L / d = πr / 2r = π / 2 मिलता है। त्रिज्या कट जाती है, इसलिए अनुपात कभी नहीं बदलता। वक्र चाप हमेशा व्यास से लगभग 1.5708 गुना लंबा होता है, या लगभग 57.08% लंबा।

यह क्यों उपयोगी है। यह आपको एक-पंक्ति अनुमान और एक जाँच देता है। यदि आप जानते हैं कि अर्धवृत्ताकार मेहराब 4 मीटर आर-पार फैला है, तो उसकी वक्र लंबाई कैलकुलेटर तक पहुँचने से पहले लगभग 4 × 1.5708 = 6.2832 मीटर होती है। और यदि किसी गणना से व्यास से छोटा चाप मिलता है, तो वह निश्चित रूप से गलत है: वक्र हमेशा उसके आर-पार की सीधी रेखा से लंबा होता है।

संबंधित जाँच। चाप त्रिज्या का π गुना भी होता है, इसलिए L हमेशा r के तीन गुने से थोड़ा अधिक होता है। यदि आपका उत्तर 3r से कम है, या 3.2r से अधिक है, तो अपना इनपुट दोबारा जाँचें। r = 5 के लिए, 3r = 15 और 3.2r = 16, और सही चाप, 15.7079632679, उनके बीच में है, जैसा होना चाहिए।

अर्धवृत्त वहाँ दिखते हैं जहाँ किसी वक्र को अंतराल पार करना हो या किसी कोने को नरम करना हो, और चाप लंबाई वह संख्या होती है जो बताती है कि वक्र को कितनी सामग्री चाहिए।

वास्तुकला और निर्माण। मेहराबदार खिड़कियाँ और दरवाज़े क्लासिक उदाहरण हैं: वक्र ट्रिम, ग्लेज़िंग बीड या पत्थर की मेहराब अर्धवृत्त का अनुसरण करती है, इसलिए उसकी लंबाई πr होती है। 1.2 मीटर त्रिज्या वाली खिड़की को लगभग 3.7699 मीटर वक्र ट्रिम चाहिए, 2.4 मीटर नहीं। यही अर्धवृत्ताकार बालकनी के वक्र किनारे, गोल काउंटरटॉप या अर्ध-गोल आँगन पर भी लागू होता है।

पुल और संरचनाएँ। अर्धवृत्ताकार मेहराबें चिनाई वाले पुलों और जलसेतुओं में भार उठाती हैं। इंजीनियरों को मेहराब वलय की लंबाई, वौसोआर पत्थर की मात्रा और वक्र सोफ़िट की सतह क्षेत्रफल निकालने के लिए चाप लंबाई चाहिए होती है। 10 मीटर त्रिज्या वाले पुल मेहराब का चाप 31.4159265359 मीटर होता है।

विनिर्माण और इंजीनियरिंग। वक्र पाइप, अर्ध-गोल मोल्डिंग, गैस्केट और सील चाप लंबाई के अनुसार काटे जाते हैं। 0.5 मीटर त्रिज्या वाले अर्धवृत्ताकार डक्ट मोड़ को वक्र के साथ 1.5707963268 मीटर शीट मेटल चाहिए होती है। इसे गलत करने का अर्थ है ऐसा हिस्सा जो बंद होने के लिए बहुत छोटा हो या फिट होने के लिए बहुत लंबा हो।

भूदृश्य और आंतरिक डिज़ाइन। अर्धवृत्ताकार फूलों की क्यारी, लॉन किनारा या मंच को वक्र के साथ किनारा चाहिए होता है। 3 मीटर त्रिज्या वाली क्यारी को वक्र के लिए 9.4247779608 मीटर किनारा चाहिए, और यदि सीधा किनारा भी लगाया जाए तो 6 मीटर और। यही तर्क गलीचे, मेज़ या मंच की वक्र सीमा पर भी लागू होता है।

ज्यामिति शिक्षा। अर्धवृत्त पहला वक्र आकार होता है जिससे अधिकांश छात्र पूर्ण वृत्त के बाद मिलते हैं, और यह एक छोटे आकार में वक्र लंबाई, सीधी लंबाई और क्षेत्रफल के बीच अंतर सिखाता है। 180° केंद्रीय कोण इसे सामान्य चाप-लंबाई सूत्र L = rθ का सबसे सरल मामला भी बनाता है।

सावधानी का एक शब्द। वास्तविक दुनिया की हर मेहराब पूर्ण अर्धवृत्त नहीं होती। कई मेहराबें दीर्घवृत्ताकार, नुकीली या खंडीय होती हैं, और उनकी चाप लंबाइयाँ अलग-अलग सूत्रों से आती हैं। सामग्री मँगवाने से पहले, जाँचें कि मेहराब वास्तव में अर्धवृत्ताकार है: मेहराब की ऊँचाई मापें और उसकी आधी फैलाव से तुलना करें। यदि ऊँचाई फैलाव की आधी के बराबर है, तो यह अर्धवृत्त है, और πr लागू होता है। यदि नहीं, तो वास्तविक आकार के सूत्र का उपयोग करें।

अधिकांश अर्धवृत्त त्रुटियाँ गलतियों की एक छोटी सूची से आती हैं। उन्हें पहले से जानना उनसे बचने का सबसे सस्ता तरीका है।

1. त्रिज्या के बजाय व्यास का उपयोग करना। सूत्र L = πr है, L = πd नहीं। d = 12 को सीधे उपयोग करने से सही 18.8495559215 के बजाय 37.6991118431 मिलता है। हमेशा पहले व्यास को आधा करें।
2. पूर्ण वृत्त परिधि को दो से भाग देना भूलना। पूर्ण परिधि C = 2πr अर्धवृत्त चाप की दोगुनी होती है। r = 10 के लिए, C = 62.8318530718, लेकिन अर्धवृत्त चाप 31.4159265359 है। उसे आधा करें।
3. चाप लंबाई को कुल परिमाप से भ्रमित करना। परिमाप P = πr + 2r में व्यास शामिल होता है। चाप L = πr में नहीं होता। r = 5 के लिए, परिमाप 25.7079632679 है और चाप 15.7079632679 है। वह चुनें जो आपकी समस्या माँगती है।
4. वक्र चाप परिणाम में व्यास शामिल करना। यह दूसरी ओर से वही त्रुटि है: जब प्रश्न केवल वक्र माँगता है तो चाप में 2r जोड़ देना। व्यास सीधा होता है, वक्र नहीं।
5. अर्धवृत्त क्षेत्रफल को चाप लंबाई से भ्रमित करना। क्षेत्रफल A = πr² / 2 होता है और वर्ग इकाइयों में मापा जाता है। चाप लंबाई L = πr होती है और साधारण इकाइयों में मापी जाती है। r = 5 के लिए, क्षेत्रफल 39.2699081699 वर्ग इकाइयाँ और चाप 15.7079632679 इकाइयाँ होता है। अलग सूत्र, अलग इकाइयाँ, अलग उत्तर।
6. π को बहुत जल्दी पूर्णांकित करना। पूर्ण-सटीकता π के बजाय 3.14 का उपयोग करने से r = 5 के लिए 15.7079632679 के बजाय 15.70 मिलता है, और त्रुटि त्रिज्या के साथ बढ़ती है। अंतिम चरण तक पूर्ण सटीकता बनाए रखें।
7. अलग-अलग माप इकाइयों को मिलाना। सेंटीमीटर में त्रिज्या और मीटर में व्यास एक ही सूत्र में नहीं जा सकते। पहले सब कुछ एक इकाई में बदलें। जब आप इनपुट और आउटपुट इकाइयाँ चुनते हैं तो कैलकुलेटर यह आपके लिए कर देता है, लेकिन हाथ से आपको गणना से पहले बदलना होगा।
8. रैखिक माप के लिए वर्ग इकाइयों का उपयोग करना। चाप लंबाई एक लंबाई होती है। यदि आपका उत्तर cm² या m² में समाप्त होता है, तो आपने गलती से क्षेत्रफल सूत्र उपयोग किया है। संख्या पर भरोसा करने से पहले इकाइयाँ जाँचें।

त्वरित आत्म-जाँच। किसी भी अर्धवृत्त गणना के बाद, तीन चीज़ें परखें: क्या चाप व्यास से लंबा है (होना ही चाहिए, 1.5708 के गुणक से), क्या यह पूर्ण परिधि से छोटा है (होना ही चाहिए, ठीक आधा), और क्या यह त्रिज्या के 3.14 गुने के करीब है? यदि तीनों सही हैं, तो उत्तर बहुत संभवतः सही है।

ये पाँच सूत्र हैं जिनका कैलकुलेटर उपयोग करता है, एक ही जगह एक साथ। कैलकुलेटर पैनल में उसके बगल वाले बटन से किसी भी सूत्र को कॉपी करें।

याद रखने वाले स्थिरांक। केंद्रीय कोण हमेशा 180°, या π रेडियन होता है। जीवा लंबाई हमेशा व्यास, 2r होती है। चाप हमेशा व्यास का π / 2 गुना होता है। ये तीन तथ्य हर अर्धवृत्त के लिए, चाहे उसका आकार कुछ भी हो, सत्य होते हैं, और वे किसी भी गणना पर उत्कृष्ट जाँच बनाते हैं।

ये छह उदाहरण कैलकुलेटर के हर इनपुट तरीके को कवर करते हैं। प्रत्येक की गणना उसी इंजन से की गई है जो टूल को चलाता है, और प्रत्येक परिणाम स्वतंत्र रूप से सत्यापित किया गया है।

उदाहरण 1: त्रिज्या 5 वाला अर्धवृत्त। दिया गया r = 5 इकाइयाँ। चाप लंबाई L = π × 5 = 15.7079632679 इकाइयाँ। व्यास d = 10 इकाइयाँ। पूर्ण परिमाप P = 15.7079632679 + 10 = 25.7079632679 इकाइयाँ। अर्धवृत्त क्षेत्रफल A = π × 25 / 2 = 39.2699081699 वर्ग इकाइयाँ।

उदाहरण 2: व्यास 12 वाला अर्धवृत्त। दिया गया d = 12 इकाइयाँ। त्रिज्या r = 12 / 2 = 6 इकाइयाँ। चाप लंबाई L = π × 6 = 18.8495559215 इकाइयाँ। पूर्ण परिमाप P = 18.8495559215 + 12 = 30.8495559215 इकाइयाँ।

उदाहरण 3: त्रिज्या 10 वाला अर्धवृत्त। दिया गया r = 10 इकाइयाँ। चाप लंबाई L = π × 10 = 31.4159265359 इकाइयाँ। व्यास d = 20 इकाइयाँ। पूर्ण परिमाप P = 31.4159265359 + 20 = 51.4159265359 इकाइयाँ।

उदाहरण 4: त्रिज्या 7.5 वाला अर्धवृत्त। दिया गया r = 7.5 इकाइयाँ। चाप लंबाई L = π × 7.5 = 23.5619449019 इकाइयाँ। व्यास d = 15 इकाइयाँ। पूर्ण परिमाप P = 23.5619449019 + 15 = 38.5619449019 इकाइयाँ।

उदाहरण 5: अर्धवृत्त क्षेत्रफल से गणना। दिया गया A = 50 वर्ग इकाइयाँ। त्रिज्या r = √(2 × 50 / π) = √(100 / π) = 5.6418958355 इकाइयाँ। चाप लंबाई L = π × 5.6418958355 = 17.7245385091 इकाइयाँ। जाँच: π × 5.6418958355² / 2 = 50.0000000000 वर्ग इकाइयाँ।

उदाहरण 6: पूर्ण वृत्त परिधि से गणना। दिया गया C = 62.8318530718 इकाइयाँ। त्रिज्या r = C / (2π) = 62.8318530718 / 6.2831853072 = 10 इकाइयाँ। अपेक्षित अर्धवृत्त चाप लंबाई L = π × 10 = 31.4159265359 इकाइयाँ, जो दी गई परिधि की ठीक आधी है।

इनमें से किसी भी उदाहरण को लोड करने और उस इनपुट के लिए पूरा चरण-दर-चरण समाधान, लाइव आरेख और सभी द्वितीयक परिणाम देखने के लिए कैलकुलेटर में कोई भी प्रीसेट बटन क्लिक करें।