Калкулатор за дължина на дъга на парабола

Калкулаторът за дължина на дъга на парабола измерва дължината на извит участък от парабола по нейното уравнение и две координати. Страницата се отваря с активен панел „Дъга на парабола", който показва формулата L = ∫_x1^x₂ √(1 + (dy/dx)²) dx. Следвайте тези стъпки, за да получите верен отговор за по-малко от минута.

1. Изберете формата на уравнението. Изберете вертикална върхова форма, вертикална обща форма, хоризонтална върхова форма, хоризонтална обща форма или стандартна фокусна форма. Полетата за въвеждане се променят според избраната форма.
2. Въведете параметрите на параболата. За y = a(x − h)² + k въведете a, h и k. За y = ax² + bx + c въведете a, b и c. За фокусна форма въведете p и върха (h, k).
3. Въведете интервала. Посочете началната и крайната координата: стойности на x за вертикална парабола и стойности на y за хоризонтална. Калкулаторът намира двете крайни точки върху кривата вместо вас.
4. Изберете мерна единица и точност. Единицата обозначава отговора, а точността определя колко знака след десетичната запетая показва резултатът. Единиците са от милиметри до ярдове.
5. Щракнете върху „Изчислете сега". Калкулаторът изчислява точната формула за дължина на дъга и показва дължината на дъгата, дължината на хордата, с колко дъгата надвишава хордата, крайните точки, наклоните на допирателните, както и върха, фокуса и директрисата.
6. Разгледайте графиката. Интерактивната графика изчертава параболата, подчертава избраната дъга в златисто и отбелязва върха, фокуса, крайните точки и хордата. Използвайте превключвателите, за да показвате или скривате елементи, и увеличавайте или плъзгайте, за да разгледате кривата.
7. Копирайте или нулирайте. Използвайте „Копиране на резултата", за да поставите отговора в клипборда, или „Нулиране", за да изчистите панела. Бутонът „Размяна на начало и край" разменя двете стойности на интервала с едно щракване.

Опитайте с пример. Бутоните с предварително зададени примери зареждат проверени стойности мигновено: y = 0.5x² от x = −2 до x = 2 дава 5.915771430 единици, y = x² от x = 0 до x = 3 дава 9.747088759 единици, а хоризонталната парабола x = 0.25(y − 1)² + 2 от y = −1 до y = 3 дава 4.591174299 единици.

Важни съвети. Дръжте всички стойности в една и съща мерна единица. Вертикалната парабола се нуждае от интервал по x, а хоризонталната – от интервал по y. Ако началната и крайната координата са равни, дължината на дъгата е нула. Параболата няма краен пълен периметър, затова калкулаторът отчита само избраната крайна дъга.

Параболата е множеството от точки, които са еднакво отдалечени от фиксирана точка, фокуса, и от фиксирана права, директрисата. Това е кривата, която се получава, когато хвърлите топка, когато сателитна антена събира сигнал или когато арка носи товар. Дъгата е част от тази крива между две точки върху нея. Дължината на дъгата е разстоянието, което бихте изминали, ако вървите по кривата от първата точка до втората.

Всяка парабола може да се запише като функция на една променлива. Вертикалната парабола е y = a(x − h)² + k, където (h, k) е върхът, а a определя ширината и посоката на отваряне. Хоризонталната парабола е x = a(y − k)² + h. Двете крайни точки на дъгата се намират, като стойностите на интервала се заместят в уравнението: за y = 0.5x² от x = −2 до x = 2 крайните точки са (−2, 2) и (2, 2).

Извитото разстояние се различава от разстоянието по права линия. Правата линия между (−2, 2) и (2, 2) е дълга 4 единици, но параболата се спуска до върха си в (0, 0) и отново се издига, затова дъгата е по-дълга: 5.915771430 единици, с около 47.9% по-дълга от хордата. Тази допълнителна дължина е цялата причина дължината на дъгата да се нуждае от собствено изчисление.

Цялата парабола има безкрайна дължина, защото кривата продължава вечно в двете посоки и никога не се затваря. Само крайна дъга между две крайни координати има изчислима дължина и точно това измерва този калкулатор.

Дължината на дъга на функция y = f(x) между x₁ и x₂ се дава от определен интеграл:

Всеки символ във формулата има точно значение:

За вертикална парабола y = a(x − h)² + k производната е dy/dx = 2a(x − h), така че интегралът става:

Този интеграл има точен отговор в затворена форма, което е рядкост при задачи за дължина на дъга. При u = 2a(x − h) и F(u) = ½[u√(1 + u²) + asinh(u)] дължината е L = |F(u₂) − F(u₁)| / (2|a|), където asinh е обратният хиперболичен синус. Калкулаторът използва тази точна формула, след което я проверява с числено интегриране.

За хоризонтална парабола x = a(y − k)² + h се прилага същата формула, като ролите на x и y се разменят: интегрира се по y и се използва dx/dy = 2a(y − k) вместо dy/dx.

Изчисляването на дължина на дъга на парабола на ръка следва осем стъпки. Разработеният по-долу пример използва y = x² от x = 0 до x = 3.

1. Определете уравнението на параболата. y = x², следователно a = 1, h = 0, k = 0.
2. Определете ориентацията. Уравнението дава y като функция на x, следователно това е вертикална парабола и интервалът е по x.
3. Намерете производната. dy/dx = 2x.
4. Определете интервала. x₁ = 0 и x₂ = 3.
5. Заместете във формулата за дължина на дъга. L = ∫₀³ √(1 + (2x)²) dx = ∫₀³ √(1 + 4x²) dx.
6. Приложете първообразната. При u = 2x, F(u) = ½[u√(1 + u²) + asinh(u)], а L = |F(6) − F(0)| / 2.
7. Изчислете границите. F(0) = 0. F(6) = ½[6√(37) + asinh(6)] = ½[36.4965751818 + 2.4917798526] = 19.4941775172. Следователно L = 19.4941775172 / 2 = 9.7470887586.
8. Тълкувайте крайния отговор. L ≈ 9.747088759 единици. Крайните точки са (0, 0) и (3, 9), а хордата между тях е 9.4868329805 единици, така че дъгата надвишава хордата само с 0.2602557781 единици, около 2.7%.

Същите осем стъпки работят за всяка форма. Общото квадратно уравнение y = ax² + bx + c има производна 2ax + b, затова положете u = 2ax + b и използвайте същата F(u). Уравнение във фокусна форма (x − h)² = 4p(y − k) първо се преобразува във върхова форма с a = 1/(4p). Хоризонталната парабола разменя x и y навсякъде.

Една и съща парабола може да се запише в няколко форми и всяка форма е удобна за различна задача. Калкулаторът приема и петте, така че можете да въведете уравнението точно както го дава вашият учебник или вашите измервания.

Формите се преобразуват една в друга чрез допълване до пълен квадрат. За y = 2x² − 4x + 1 изнесете a = 2 пред скоби: y = 2(x² − 2x) + 1 = 2(x − 1)² − 1, следователно върхът е (1, −1). В общия случай върхът на y = ax² + bx + c е при h = −b/(2a) и k = c − b²/(4a). Параметърът на фокуса е p = 1/(4a), така че фокусната форма следва директно: (x − 1)² = 4 × (1/8)(y + 1), тъй като p = 1/8 при a = 2.

Един капан при преобразуването, който трябва да се избягва: върхът (h, k) във върховата форма не е същата двойка числа като константите в общата форма. В y = 2x² − 4x + 1 константата c = 1 е пресечната точка с оста y, докато върхът се намира при y = −1. Размяната им дава различна парабола и грешна дължина на дъга.

Три елемента определят напълно една парабола: върхът, фокусът и директрисата.

Върхът е повратната точка на кривата, където тя сменя посоката си. За y = a(x − h)² + k това е точката (h, k). За y = 0.5x² върхът е (0, 0), а за y = 2x² − 4x + 1 е (1, −1).

Фокусът е фиксираната точка, която заедно с директрисата определя кривата. Всяка точка от параболата е точно толкова отдалечена от фокуса, колкото и от директрисата. За вертикална парабола фокусът се намира върху оста на симетрия на разстояние p от върха, където p = 1/(4a). За y = 0.5x², p = 0.5, следователно фокусът е (0, 0.5).

Директрисата е фиксираната права от противоположната страна на върха спрямо фокуса. За вертикална парабола това е хоризонталната права y = k − p. За y = 0.5x² това е y = −0.5. За хоризонтална парабола директрисата е вертикална: x = h − p.

Оста на симетрия е правата през върха и фокуса. Вертикалната парабола е симетрична спрямо вертикалната права x = h, а хоризонталната – спрямо хоризонталната права y = k. Знакът на a определя посоката на отваряне: a > 0 се отваря нагоре (или надясно при хоризонтална парабола), a < 0 се отваря надолу (или наляво).

Ето елементите на петте предварително зададени примера, всички изчислени от калкулатора:

Забележете, че по-тясната парабола има фокус по-близо до върха: y = x² има p = 0.25, докато по-широката y = 0.5x² има p = 0.5. Широката, плавна крива се нуждае от отдалечен фокус, а тясната крива – от близък.

Правата линия има един наклон, затова нейната дължина е едно умножение. Параболата променя наклона си във всяка точка, затова нито едно единствено умножение не може да даде нейната дължина. Единственият честен начин да се измери е кривата да се разреже на малки късчета, всяко късче да се измери, сякаш е право, и да се съберат. Това събиране е интегрирането.

Погледнете едно малко късче. Малко хоризонтално преместване dx по кривата води и до малко вертикално преместване dy, а самото късче е хипотенузата на този малък правоъгълен триъгълник:

Наклонът dy/dx е това, което прави всяко късче по-дълго от самото dx. Там, където параболата е плоска, близо до върха си, dy/dx е близо до нула и ds е едва по-дълго от dx. Там, където параболата е стръмна, dy/dx е голямо и всяко късче е много по-дълго от dx. За y = x² от 0 до 3 наклонът расте от 0 при върха до 6 при x = 3, затова дъгата (9.747088759) е само малко по-дълга от хордата (9.4868329805), въпреки че кривата се издига с 9 единици: по-голямата част от изкачването става там, където кривата вече е стръмна, а стръмните късчета допринасят предимно вертикална дължина, която хордата вече покрива.

За разлика от елипсата, чийто интеграл за дължина на дъга няма елементарна първообразна, интегралът на параболата има такава: формулата с asinh от раздела за формулата. Калкулаторът използва тази точна първообразна като основен метод и я проверява с адаптивно числено интегриране, така че отговорът е точен до грешката от закръгляне с плаваща запетая, а не приближение.

Дължината на дъгата е разстоянието по кривата, а дължината на хордата е разстоянието по права линия между двете крайни точки. Дъгата винаги е поне толкова дълга, колкото хордата, и е равна на хордата само когато отсечката е права, което при парабола никога не се случва, освен при дъга с нулева дължина.

Колко по-дълга е дъгата зависи от това колко се огъва кривата между крайните точки. Петте предварително зададени примера показват целия диапазон:

Четвъртият пример е поразителният: дъгата е повече от два пъти по-дълга от хордата. Крайните точки (0, 1) и (2, 1) са само на 2 единици една от друга, но кривата се спуска до върха (1, −1) и се издига обратно, изминавайки 4.646783762 единици, за да стигне дотам. Винаги когато интервалът минава през върха, дъгата се огъва рязко и надвишаването над хордата расте. Вторият пример е обратният: интервалът започва от върха и се издига равномерно, затова кривата едва се отклонява от хордата и надвишаването е под 3%.

Това сравнение е причината калкулаторът да показва двете числа едно до друго. Ако режете материал, дължината на дъгата е дължината, която трябва да се отреже, а хордата е само разстоянието, което готовата част покрива.

Вертикалната парабола се отваря нагоре или надолу и е функция на x, а хоризонталната парабола се отваря наляво или надясно и е функция на y. Математиката е една и съща, като x и y се разменят, но настройката лесно може да се обърка, затова дръжте двата случая един до друг.

Хоризонталният предварително зададен пример показва размяната в действие: x = 0.25(y − 1)² + 2 от y = −1 до y = 3 има дължина на дъга 4.591174299 единици, с крайни точки (3, −1) и (3, 3). Производната е dx/dy = 0.5(y − 1), която е −1 при y = −1 и +1 при y = 3. Ако по погрешка въведете −1 и 3 като стойности на x, калкулаторът би решавал различна задача върху различна крива, затова винаги проверявайте към коя променлива принадлежи вашият интервал.

Една полезна проверка за симетрия: завъртането на вертикална парабола на 90 градуса дава хоризонтална със същите дължини на дъги. Вертикалната y = 0.25x² от x = −1 до x = 3 и хоризонталната x = 0.25y² от y = −1 до y = 3 имат точно една и съща дължина на дъга, защото кривите са еднакви.

Коефициентът a е единственото число, което определя формата на параболата. Промяната му променя ширината, стръмността, фокуса и дължината на дъгата върху всеки фиксиран интервал.

По-голямо |a| означава по-тясна парабола. При a = 1, y = x² се издига до y = 4 при x = 2. При a = 0.25, y = 0.25x² достига едва y = 1 при x = 2. Тясната крива се огъва по-силно, затова нейната дъга върху същия интервал е по-дълга: y = x² от 0 до 2 има дължина на дъга 4.646783762 единици (същата форма като четвъртия предварително зададен пример, изместена), докато y = 0.25x² от 0 до 2 има дължина на дъга 2.2955871494 единици.

Знакът на a обръща посоката на отваряне. y = 0.5x² се отваря нагоре от върха си в (0, 0), а y = −0.5x² + 3 се отваря надолу от (0, 3). Обръщането на знака отразява кривата огледално, затова дължината на дъгата върху симетричен интервал остава непроменена: и двете дават 5.915771430 единици от −2 до 2. Променят се само крайните точки и наклоните на допирателните.

Промяната на a премества фокуса. Тъй като p = 1/(4a), удвояването на a намалява наполовина фокусното разстояние. При a = 0.25, p = 1 и фокусът се намира на 1 единица от върха; при a = 1, p = 0.25 и фокусът е на четвърт единица разстояние. Затова тесните антени фокусират рязко, а широките – плавно.

Много малко a е почти права линия. Когато a клони към 0, параболата се изправя към правата y = k и дължината на дъгата клони към дължината на хордата. Калкулаторът обработва a = 0 в обща форма като линейния граничен случай L = |x₂ − x₁|√(1 + b²), а показва съобщение за проверка при a = 0 във върхова или фокусна форма, където нулевият коефициент изобщо не е парабола.

Не. Цялата парабола е отворена, неограничена крива: тя продължава вечно в двете посоки и никога не се затваря обратно върху себе си. Общата ѝ дължина е безкрайна, затова няма крайно число, което би могло да се нарече неин периметър.

Това се различава от окръжността или елипсата, които са затворени криви с измерим периметър. Различава се и от отсечка от парабола, като сателитна антена или арка, която е крайна част от парабола, отрязана при две крайни точки. Тази част има напълно точно определена дължина на дъга и това е числото, което този калкулатор връща.

Разграничението има значение на практика. Ако питате за дължината на параболична арка, трябва да кажете къде започва и къде свършва арката: арката y = −(1/3)x², обхващаща x = −3 до x = 3, е крайна част с крайна дължина, но лежащата в основата парабола продължава отвъд двата края завинаги. Без крайни точки въпросът няма отговор.

От забравянето на това следват две свързани грешки. Първата е да се иска от калкулатора дължина на цяла парабола: той не може да даде такава и всеки инструмент, който твърди, че може, греши. Втората е хордата да се приема за периметър на затворена фигура: хордата плюс дъгата наистина ограждат област и тази област има периметър (дъга плюс хорда), но това е периметърът на областта на отсечката, а не на параболата.

Този решен пример показва всяка стъпка от точното изчисление за първия предварително зададен пример, y = 0.5x² от x = −2 до x = 2, за да можете да проверите калкулатора на ръка.

1. Определете уравнението. y = 0.5x², следователно a = 0.5, h = 0, k = 0, а върхът е (0, 0).
2. Намерете производната. dy/dx = 2ax = x.
3. Съставете интеграла. L = ∫₋₂² √(1 + x²) dx.
4. Заместете u = 2a(x − h) = x. Тогава u₁ = −2 и u₂ = 2, а L = |F(2) − F(−2)| / (2 × 0.5) = |F(2) − F(−2)|.
5. Изчислете F(u) = ½[u√(1 + u²) + asinh(u)]. При u = 2: √(5) ≈ 2.2360679775, следователно 2√(5) ≈ 4.4721359550, а asinh(2) ≈ 1.4436354752. Сборът им е 5.9157714302, а половината от него е F(2) ≈ 2.9578857151.
6. Използвайте симетрията. F е нечетна функция, затова F(−2) = −2.9578857151. Разликата F(2) − F(−2) = 5.9157714302.
7. Разделете на 2|a| = 1. L = 5.9157714302 / 1 = 5.9157714302, следователно L ≈ 5.915771430 единици.
8. Проверете спрямо хордата. Крайните точки са (−2, 2) и (2, 2), следователно хордата е 4 единици. Дъгата я надвишава с 1.9157714302 единици, или 47.894286%.

По симетрия половината от тази дъга е дъгата от 0 до 2: y = 0.5x² от x = 0 до x = 2 има дължина 2.9578857151 единици, точно половината от 5.9157714302. Проверки за симетрия като тази са най-бързият начин да хванете грешен отговор: ако двете половини на симетрична дъга не съвпадат, нещо не е наред.

Двойникът, отварящ се надолу, y = −0.5x² + 3 от x = −2 до x = 2, има същата дължина на дъга, 5.915771430 единици, защото огледалното отразяване на кривата не променя разстоянията. Крайните му точки са (−2, 1) и (2, 1), върхът му е (0, 3), а наклоните на допирателните му са +2 при x = −2 и −2 при x = 2.

Дължината на дъга на парабола е работно число в инженерството и проектирането, а не просто упражнение от учебник. Винаги когато се строи, реже или измерва параболична крива, някой се нуждае от нейната дължина.

Архитектурни арки и мостове. Параболичната арка пренася товара си равномерно към опорите си, затова формата се среща в мостове и сводове. Познаването на дължината на дъгата казва на строителя колко камък, стомана или бетон са нужни за арката. Арката от диаграмата, y = −(1/3)x² с 6 м отвор и 3 м височина, е крайна част от парабола: нейната дължина е дължината на материала, а хордата е само отворът, който тя покрива.

Отражатели и сателитни антени. Параболичната антена отразява входящите сигнали към фокуса си, а отражателят на фар на автомобил изпраща светлината от фокуса си в успоредни лъчи. Повърхността на антената е параболоид, а профилът ѝ е дъга на парабола: дължината на дъгата определя размера на листа, който трябва да се изреже и оформи.

Проектиране на пътища и железници. Вертикалните криви по пътищата, където се променя наклонът, често са параболични, защото параболата дава плавно, постоянно изменение на наклона. Дължината на дъгата на кривата е дължината на пътната настилка, която трябва да се асфалтира и маркира.

Движение на снаряди. Хвърлена топка следва парабола (ако се пренебрегне съпротивлението на въздуха). Дължината на дъгата на траекторията ѝ на полета е действителното изминато разстояние, което е по-дълго от разстоянието по права линия от изстрелването до падането, и има значение при оценката на времето на полет или енергията.

CAD моделиране и производство. Извитите части често се задават като отсечки от парабола. Дължината на дъгата определя траекториите на инструментите, дължините на рязане и оценките на разходите: машината реже по дъгата, а не по хордата.

Обучение по физика и геометрия. Параболата е първата крива, при която интегралът за дължина на дъга има точен отговор в затворена форма, което я прави стандартния учебен пример за първообразната с asinh и за разликата между интеграл, който може да се реши точно, и такъв, като този на елипсата, който не може.

Избягвайте да твърдите, че всяка извита конструкция е математически параболична. Много арки са кръгови или верижни; само конструкция, проектирана по уравнението на параболата, има параболична дължина на дъга.

Тези десет грешки са причина за повечето грешни отговори. Проверете работата си спрямо тях, преди да се доверите на резултат.

1. Използване на дължината на хордата вместо дължината на дъгата. Правата линия между крайните точки винаги е по-къса. За y = 2x² − 4x + 1 от 0 до 2 хордата е 2, а дъгата е 4.646783762, повече от двойно.
2. Забравяне да се диференцира уравнението. Формулата се нуждае от (dy/dx)² под квадратния корен. Ако го пропуснете, получавате дължината на интервала |x₂ − x₁|, което е хоризонталното разстояние, а не дъгата.
3. Използване на грешни граници на интегриране. Границите са независимата променлива: стойности на x за вертикална парабола и стойности на y за хоризонтална. Размяната им интегрира по грешната променлива.
4. Объркване на върховата форма с общата форма. В y = 2x² − 4x + 1 върхът е (1, −1), а не (0, 1). Константата c = 1 е пресечната точка с оста y.
5. Използване на хоризонтално уравнение като вертикално. x = 0.25(y − 1)² + 2 е функция на y. Ако приемете −1 и 3 за стойности на x, решавате различна задача.
6. Пренебрегване на отрицателните коефициенти. Отрицателното a обръща посоката на отваряне и променя крайните точки, фокуса и наклоните на допирателните, въпреки че дължината на дъгата върху симетричен интервал остава същата.
7. Объркване на пълните координати с координати спрямо върха. В y = a(x − h)² + k интервалът е в абсолютни x, а не в (x − h). Заместването на граници (x − h) в интеграла отчита изместването два пъти.
8. Използване на грешен параметър на фокуса. p = 1/(4a), а не 1/a или 4a. При a = 2, p = 1/8 = 0.125, а фокусът на y = 2x² − 4x + 1 е (1, −0.875), а не (1, −0.5).
9. Предположението, че параболата има краен пълен периметър. Няма: кривата е неограничена и общата ѝ дължина е безкрайна. Само крайните дъги имат крайни дължини.
10. Закръгляне на междинните стойности твърде рано. Закръгляйте само крайния отговор. В решенения пример закръглянето на √(5) до 2.24, преди да се завърши, измества крайния резултат в четвъртия знак след десетичната запетая.

Тези проверени стойности са полезни за проверка на собствените ви изчисления или за бърза оценка, преди да пуснете калкулатора.

Два модела си струва да се запомнят. Първо, y = x² от 0 до 1 дава 1.4789428575, същото число като отношението дъга към хорда на симетричната дъга y = 0.5x²: съвпадение на числата, а не общо правило. Второ, хордата за y = 0.5x² от 0 до 2 е 2.8284271247, което е 2√(2): крайните точки (0, 0) и (2, 2) са на 2 единици една от друга както по x, така и по y.

Дръжте тази справочна карта под ръка. Всички ъгли, където се появяват, са в радиани; формулите за парабола използват координати директно, затова не е нужно преобразуване на ъгли.

Преобразуването на върха в обща форма и параметърът на фокуса са двете формули, които най-често се търсят, затова са изброени отделно. Калкулаторът прилага всички тях автоматично; тази карта служи за проверка на работата му на ръка.