Дължина на дъгата от калкулатора на точки

Калкулаторът за дължина на дъга от точки измерва път, като събира разстоянията по права линия между последователни координатни точки. Той работи в режима Сумиране на разстояния на калкулатора по-горе. Следвайте тези стъпки, за да получите верен общ резултат за по-малко от минута.

1. Изберете точковия режим. Страницата се отваря с активен панел за сумиране на разстояния, който показва формулата L = ∑_i=1ⁿ⁻¹ √((Δx_i)² + (Δy_i)²). За това изчисление не е необходим друг режим.
2. Въведете координатни двойки. Напишете по една точка на ред в текстовото поле, две числа, разделени с интервал. Примерният вход изглежда така:
   0 0
3 4
6 4
10 1
3. Проверете реда на точките. Калкулаторът следва точната последователност, която въвеждате. Уверете се, че редовете вървят в реда на обхождане по замисления път, а не са сортирани по стойността на x или y.
4. Щракнете върху Изчисли. Калкулаторът измерва всяка последователна двойка с Евклидовата формула за разстояние и събира дължините на всички отсечки.
5. Прочетете резултата. Показаната стойност е общата дължина на полилинията. Единицата ѝ съвпада с единицата на вашите координати: координати в метри дават резултат в метри.
6. Копирайте или нулирайте. Използвайте Копиране на резултата, за да поставите отговора в клипборда, или Нулиране, за да изчистите точките и да започнете нов път.

Важни съвети. Използвайте еднакви мерни единици за всяка точка. Въведете поне две точки, тъй като една точка няма отсечки. Запазете замисления ред по пътя. За да измерите затворен контур, добавете първата точка отново в края на списъка. За пътища с резки завои включете допълнителни точки близо до всеки завой, за да може отсечките да следват завоите отблизо.

Дължината на дъга от точки е общото разстояние по път, който е зададен със списък от координати вместо с математическо уравнение. Всяка координата е отделна проба от маршрут: GPS измерване, геодезично измерване, връх от CAD чертеж или точка, която сте поставили върху графика. Свързването на точките по ред създава полилиния, верига от прави отсечки, а дължината на дъга на тази полилиния е сумата от дължините на отсечките.

Разгледайте три точки: A = (0, 0), B = (3, 4) и C = (6, 0). Отсечката от A до B е с дължина 5 единици, а отсечката от B до C също е 5 единици. Общата дължина на пътя следователно е 10 единици. Това число е точно за полилинията A → B → C. Ако трите точки бяха проби от гладка крива, 10 само би приблизило истинската дължина на кривата, защото правите отсечки режат завои, които кривата не прави.

Дължината на дъга от точки е естественият инструмент, когато данните ви пристигат като координати. Маршрут, записан от фитнес часовник, граница, очертана върху карта, или контур, извлечен от изображение, имат една и съща структура: подреден списък от двойки (x, y), през които минава път в този ред.

Всяка отсечка от пътя се измерва с Евклидовата формула за разстояние:

Формулата произтича директно от теоремата на Питагор. Хоризонталната разлика x₂ − x₁ и вертикалната разлика y₂ − y₁ образуват катетите на правоъгълен триъгълник, а разстоянието d е хипотенузата. Квадратирането на всеки катет премахва влиянието на отрицателните знаци, а коренът квадратен превръща квадратираната дължина обратно в обикновени единици.

Нека минем през пример с A = (1, 2) и B = (5, 5):

1. Хоризонтална разлика. 5 − 1 = 4.
2. Вертикална разлика. 5 − 2 = 3.
3. Квадратирайте всяка разлика. 4² = 16 и 3² = 9.
4. Съберете квадратите. 16 + 9 = 25.
5. Извлечете корен квадратен. √25 = 5, значи d = 5 единици.

Тъй като катетите се квадратират, преди да бъдат събрани, редът на изваждането никога няма значение: (x₁ − x₂)² е равно на (x₂ − x₁)². Затова формулата дава едно и също разстояние, независимо коя крайна точка наречете първа.

Когато пътят съдържа N подредени точки, общата дължина е сумата от N − 1 отделни дължини на отсечки:

Символът за сумиране ∑ означава „съберете". Започвайки от i = 1, формулата изчислява разстоянието между точка 1 и точка 2, после между точка 2 и точка 3, и продължава до разстоянието между точка N − 1 и точка N. Последният индекс е N − 1, защото отворен път с N точки има точно N − 1 отсечки: всяка нова точка след първата добавя една свързваща отсечка.

Например при четири точки формулата дава три разстояния, d₁, d₂ и d₃, а общата дължина е L = d₁ + d₂ + d₃. Следващият раздел разглежда това изцяло на практика за точките (0, 0), (3, 4), (6, 4) и (10, 1).

Използвайте точките P₁ = (0, 0), P₂ = (3, 4), P₃ = (6, 4) и P₄ = (10, 1). Изчислете всяко разстояние на отсечка, после съберете трите разстояния.

Сега съберете дължините на отсечките:

Отговорът 13 е точен за тази полилиния. Забележете как d₃ използва отрицателна вертикална разлика −3; квадратирането я превръща в +9 преди събирането, затова низходящата отсечка пак добавя положителна дължина. Калкулаторът на тази страница повтаря точно тези стъпки за всяка последователна двойка от вашия списък.

Редът на точките определя пътя. Калкулаторът свързва първата точка с втората, втората с третата и така нататък, така че преподреждането на точките преподрежда отсечките и обикновено променя общата дължина.

Вземете същите четири точки от предишния пример в две различни последователности:

Ред A: (0, 0) → (3, 4) → (6, 4) → (10, 1). Отсечките са 5, 3 и 5, което дава L = 13 единици.

Ред B: (0, 0) → (6, 4) → (3, 4) → (10, 1). Отсечките са √52 ≈ 7.211103, 3 и √58 ≈ 7.615773, което дава L ≈ 17.826876 единици.

Идентичният набор от координати даде два различни пътя с две различни дължини, защото средните две точки бяха разменени и свързващите отсечки се промениха. Един важен частен случай се държи различно: обръщането на цялата последователност, (10, 1) → (6, 4) → (3, 4) → (0, 0), изминава същите отсечки наобратно, така че общият сбор остава точно 13. Обръщането запазва дължината; произволното пренареждане не.

Затова сортирането на точките по координатата x не винаги е правилно. Сортираният ред може да е удобен, но истинският път, като криволичеща пътека или ръкописна буква, проследена от сензор, трябва да запази последователността на обхождане.

Отвореният път започва в една точка и завършва в друга, различна точка. Затвореният път се връща в началната си точка, образувайки контур, чиято дължина включва затварящата отсечка.

Използвайте квадрат с върхове (0, 0), (4, 0), (4, 4) и (0, 4):

Отворен път. Въведете четирите върха по ред. Трите отсечки са 4, 4 и 4, значи L = 12 единици. На фигурата липсва четвъртата ѝ страна.

Затворен път. Въведете (0, 0) → (4, 0) → (4, 4) → (0, 4) → (0, 0). Повторението на началната точка добавя затварящата отсечка от (0, 4) обратно до (0, 0), която е 4. Сега L = 4 + 4 + 4 + 4 = 16 единици, периметърът на квадрата.

Калкулаторът никога не добавя сам затваряща отсечка. Ако пътят ви е контур, трябва да въведете първата точка отново в края на списъка. Отбележете, че дължината на затворен път е периметър, а не лице: този калкулатор измерва разстояния около фигура, никога областта вътре в нея.

Отрицателните координати работят точно като положителните. Формулата за разстояние квадратира всяка координатна разлика, така че отрицателните знаци във входа или в разликите никога не намаляват резултата.

За A = (−3, −2) и B = (1, 1):

1. Хоризонтална разлика. 1 − (−3) = 4.
2. Вертикална разлика. 1 − (−2) = 3.
3. Квадратирайте всяка разлика. 4² = 16 и 3² = 9.
4. Съберете и извлечете корен. √(16 + 9) = √25 = 5 единици.

Отрицателните координати се появяват естествено, когато началото на координатната система е вътре в измерваната област: графики на температурни аномалии, профили на надморска височина с показания под морското равнище или CAD чертежи, центрирани в (0, 0). Разстоянието зависи само от разстоянието между точките, никога от това в кой квадрант се намират.

Координатите не е задължително да са цели числа. Същата формула работи с десетични числа, а стъпките са непроменени.

За A = (0.5, 1.5) и B = (3.5, 5.5):

1. Хоризонтална разлика. 3.5 − 0.5 = 3.
2. Вертикална разлика. 5.5 − 1.5 = 4.
3. Квадратирайте, съберете и извлечете корен. √(3² + 4²) = √25 = 5 единици.

Измерените данни почти винаги пристигат като десетични числа: GPS следи, дневници от сензори и геодезични инструменти отчитат позиции с няколко знака след десетичната запетая. Въведете стойностите такива, каквито са, и оставете калкулатора да свърши аритметиката. Избягвайте да закръгляте всяка отсечка до цяло число преди събирането, защото ранното закръгляне може да измести общия сбор с повече, отколкото показваната в края точност би предполагала. Закръгляйте само крайния резултат и само ако приложението го изисква.

Когато две последователни точки са еднакви, разстоянието между тях е нула, така че повторената точка не добавя нищо към общата дължина.

За (0, 0) → (3, 4) → (3, 4) → (6, 8) отсечките са:

• d₁ = 5
• d₂ = 0, защото двете средни точки съвпадат
• d₃ = 5

Общият сбор е L = 5 + 0 + 5 = 10 единици, същото като ако дубликатът беше изтрит.

Дублираните измервания са чести в записаните данни: GPS приемник, който записва една и съща позиция два пъти, или сензор, който пробовзема, докато стои на място. Колкото и безвредни да са за дължината, те могат да изкривят други анализи, затова почистването им е добра практика. Едно предупреждение: повтарянето на точка по-късно в списъка е различно. Връщането към по-ранна позиция след посещение на други точки създава истински обратен път, а този път добавя реално разстояние.

Когато точките са проби от подлежаща гладка крива, броят на пробите определя колко отблизо полилинията следва кривата. Рядкото пробовземане пресича извивките, създавайки прави хорди, които са по-къси от извитите участъци, които заменят. Измерената дължина следователно обикновено подценява истинската дължина на кривата.

Четвърт окръжност с радиус 1 има точна дължина на дъга π/2 ≈ 1.570796. Свързването на m равноотдалечени точки по дъгата дава сумата от хорди L_m = 2m · sin(π/(4m)):

Всяко удвояване на броя на пробите намалява грешката приблизително четири пъти, характеристика на гладки изпъкнали криви. С 16 хорди полилинията вече е на 0.000631 от точната дължина.

По-гъстото пробовземане не е универсално лекарство. Ако самите координати съдържат шум от измерванията, допълнителните точки добавят малки случайни отклонения, които надуват измерената дължина. Точността следователно зависи както от гъстотата на пробите, така и от качеството на данните: пробовземайте щедро там, където кривата се извива рязко, и предпочитайте чисти, добре калибрирани измервания пред простото събиране на повече шумни такива.

Два различни въпроса се крият в един списък от точки. Дължината на полилинията следва всяка междинна точка; разстоянието по права линия пренебрегва всичко освен първата и последната точка.

За A = (0, 0), B = (3, 4) и C = (6, 0):

• AB = 5 и BC = 5, значи дължината на пътя е L = 5 + 5 = 10 единици.
• Прякото разстояние от A до C е √((6 − 0)² + (0 − 0)²) = 6 единици.

Дължината на пътя отговаря на „колко далеч пътувах през B", докато прякото разстояние отговаря на „колко далеч са A и C една от друга". И двете са верни отговори на различни въпроси. Неравенството на триъгълника гарантира, че дължината на полилинията никога не може да е по-малка от прякото разстояние между крайните точки: заобикалянето през B може само да удължи пътуването, никога да го скъси.

Диаграмата по-долу прави разликата видима: гладка крива, пробовзетите от нея точки и правите хорди, които ги свързват. Всяка хорда пресича извивката, затова полилинията винаги измерва малко по-малко от кривата, която приближава.

Смесването на двете е честа грешка. Маршрут за доставки, който криволичи през няколко спирки, е по-дълъг от правата линия между първата и последната спирка, а калкулаторът винаги отчита криволичещия маршрут, защото това е пътят, който точките описват.

Всеки пример по-долу показва координатния вход, аритметиката отсечка по отсечка и крайния резултат, точно както ги извършва калкулаторът.

Пример 1: Разстояние между две точки. Вход: (0, 0), (3, 4). Една отсечка: d = √(3² + 4²) = √25 = 5 единици. Две точки са минималният смислен вход, а отговорът е просто разстоянието между тях.

Пример 2: Път от три точки. Вход: (0, 0), (3, 4), (6, 0). Отсечки: AB = 5, BC = 5. Общо: L = 5 + 5 = 10 единици. Сравнете с прякото разстояние AC = 6, което пренебрегва средната точка.

Пример 3: Път от четири точки. Вход: (0, 0), (3, 4), (6, 4), (10, 1). Отсечки: d₁ = 5, d₂ = 3, d₃ = 5. Общо: L = 13 единици, което съвпада с разработения пример по-горе.

Пример 4: Затворен квадрат. Вход: (0, 0), (4, 0), (4, 4), (0, 4), (0, 0). Четири отсечки по 4 всяка. Общо: L = 4 + 4 + 4 + 4 = 16 единици. Повторената начална точка затваря контура и добавя четвъртата страна.

Пример 5: Отрицателни координати. Вход: (−3, −2), (1, 1). Разлики: 4 и 3. Резултат: d = √(16 + 9) = 5 единици. Отрицателните знаци изчезват, когато разликите се квадратират.

Пример 6: Десетични координати. Вход: (0.5, 1.5), (3.5, 5.5). Разлики: 3 и 4. Резултат: d = √(9 + 16) = 5 единици. Десетичните числа не се нуждаят от специална обработка.

Пример 7: Повтарящи се последователни точки. Вход: (0, 0), (3, 4), (3, 4), (6, 8). Отсечки: 5, 0, 5. Общо: L = 5 + 0 + 5 = 10 единици. Дубликатът добавя нула.

Пример 8: Правоъгълен маршрут. Вход: (0, 0), (8, 0), (8, 3), (0, 3), (0, 0). Отсечки: 8, 3, 8, 3. Общо: L = 8 + 3 + 8 + 3 = 22 единици, периметърът на правоъгълника 8 на 3.

Пример 9: Зигзагообразен път. Вход: (0, 0), (1, 6), (2, 0). Всяка отсечка е √(1 + 36) = √37 ≈ 6.082763. Общо: L ≈ 12.165525 единици. Прякото разстояние от (0, 0) до (2, 0) е само 2, което показва колко добавя криволичещият маршрут в сравнение с правата линия.

Математическият анализ определя дължината на дъга за гладка крива y = f(x) между x = a и x = b с интеграла:

Тази формула използва непрекъсната функция и нейната производна. Точковият метод използва последователност от координати и формулата за разстояние. Двата подхода отговарят на един и същ основен въпрос, дължината на крива, но изхождат от различни видове вход.

Методите се сближават с подобряване на пробовземането. Пробовземайте точки по гладка крива в реда на обхождане, свържете ги с прави отсечки и дължината на полилинията се доближава до интеграла, когато точките стават по-гъсти. Тази гранична връзка е същата идея, която стои зад численото интегриране.

На практика изберете метода, който отговаря на данните ви. Когато имате формула като y = x², използвайте калкулатора за дължина на дъга стъпка по стъпка. Когато имате списък с измерени координати без формула зад тях, точковият метод е правилният и той изобщо не изисква производни.

И двата метода оценяват дължината на крива, но започват от различни входни данни и приближават по различни начини.

Тъй като входовете се различават, двата метода могат да се разминат за една и съща физическа крива. Точковият метод измерва полилинията точно, докато трапецовидното правило приближава гладката крива чрез нейния интеграл. Нито един не е универсално по-добър: измерените координати изискват точковия метод, а известното уравнение изисква Калкулатора за трапецовидното правило или Калкулатора за правилото на Симпсън.

Калкулаторът изчислява дължината на полилинията точно, така че „точност" всъщност означава колко вярно полилинията представя истинския път. Тези дванадесет практики поддържат измерването вярно.

1. Добавяйте точки по извитите участъци. Правите хорди режат завоите; повече проби позволяват на полилинията да прилепва към кривата.
2. Запазвайте правилния ред на пътя. Точките трябва да следват последователността на обхождане, тъй като преподреждането променя отсечките.
3. Пробовземайте гъсто близо до резки завои. Рязък завой, описан с две точки, се превръща в една дълга хорда; междинните точки очертават завоя.
4. Използвайте еднакви координатни единици. Смесването на метри и километри в един списък безшумно разваля общия сбор.
5. Проверявайте за липсващи точки. Пропусната междинна точка кара калкулатора да премости празнината с права линия.
6. Откривайте грешни координати. Една печатна грешка може да добави дълъг шип към пътя.
7. Преглеждайте неочакваните скокове. Сканирайте дължините на отсечките; отсечка, много по-дълга от съседите си, заслужава втори поглед.
8. Избягвайте излишното закръгляне. Запазете пълната точност през цялата сума и закръгляйте само крайния резултат.
9. Отчитайте шума в измерванията. Шумните позиции добавят малки случайни отклонения. Изгладете или филтрирайте данните преди измерването, ако прецизността позволява.
10. Използвайте подходяща координатна отправна система. Планарните формули се нуждаят от проектирани координати, а не от сурови географска ширина и дължина в градуси.
11. Проверете дали пътят е отворен или затворен. Липсваща затваряща точка отпада цяла страна от контура.
12. Сравнявайте резултати при различна гъстота на пробовземане. Ако удвояването на пробите почти не променя общия сбор, измерването е сходимо.

Едно предупреждение е по-важно от останалите: добавянето на точки не подобрява автоматично точността в реалния свят. По-гъстите шумни проби натрупват случайни отклонения и надуват общия сбор. Гъстотата помага, когато подлежащите точки са точни; шумът трябва да се почиства, а не просто да се залива с брой.

Измерването на дължина от точки се появява навсякъде, където път се записва като координати, а не се извежда от формула.

GPS и картография. Фитнес часовник или телефон записва позиции на всеки няколко секунди, а общата дължина на маршрута е сумата от разстоянията между последователните измервания. За истинска географска работа позициите трябва да бъдат проектирани в планарни координати (метри на изток и север), защото формулата тук третира градусите като обикновени декартови числа. Криви, зададени чрез ъглови уравнения, вместо това се нуждаят от калкулатора за полярна дължина на дъга.

Геодезия. Тоталките и GNSS приемниците дават планарни координати на граници, пътища и инженерни мрежи. Сумирането на разстоянията между последователните заснети точки дава измерената дължина на граница или на оста на път.

CAD и инженерство. Проектните чертежи съхраняват полилинии като подредени списъци от върхове. Периметърът на контур на обработвана част, дължината на кабелен маршрут или дължината на рязане на профил са все дължини на дъга от точки.

Роботика. Планираният маршрут е последователност от междинни точки, а общото изминато разстояние е сумата от отсечките между тях. Планировчиците на маршрути сравняват кандидат-списъци с междинни точки именно чрез тази сума.

Компютърна графика. Контурите, очертанията и ръчно нарисуваните щрихи се съхраняват като пробовзети точки. Дължината на щрих, периметърът на контур и изчисленията на пунктирни шаблони се свеждат до сумиране на разстояния на отсечки.

Научни измервания. Следи на частици в детектор, пътища на движение на животни от телеметрия и дигитализирани оси на реки са пробовзети траектории, чиито дължини се измерват точка по точка.

Училищна геометрия. Учениците, които проверяват задачи за разстояния с множество отсечки, могат да проверяват всяка отсечка и общия сбор независимо, което прави метода отлично учебно средство за самата формула за разстояние.

Нито едно от тези приложения не изисква калкулаторът да внася файлове или да се свързва с устройства. Стойностите се въвеждат или поставят в списъка с точки, а същото сумиране на разстояния върши останалото. За пространствени криви с три координати вижте калкулатора за дължина на дъга в 3D; за пътища, параметризирани по време, вижте калкулатора за параметрична дължина на дъга.

Тези осемнадесет грешки обясняват почти всяка грешна точкова дължина. Всяка включва поправката.

1. Въвеждане на точки в грешен ред. Пътят следва вашата последователност, а не фигурата, която сте си представяли. Подредете точките в реда на обхождане.
2. Смесване на стойностите на x и y. Разменените колони завъртат и изкривяват геометрията. Поддържайте постоянен формат „първо x, после y".
3. Пропускане на междинна точка. Пропусната точка се замества с прав мост през празнината. Включете всяка междинна точка.
4. Събиране на разстояния от началото на координатната система. Дължината се измерва между последователни точки, а не от (0, 0) до всяка точка. Сумирайте само съседни двойки.
5. Пропускане на корена квадратен. Събирането на (dx)² + (dy)² без корена дава квадратирани разстояния, а не дължини.
6. Събиране на координатни разлики без квадратиране. Обикновеното |dx| + |dy| измерва друга метрика (разстояние на Манхатън), а не разстоянието по права линия.
7. Смесване на мерни единици. Метри и футове в един списък дават безсмислен общ сбор. Преобразувайте всичко първо.
8. Приемане, че резултатът автоматично е в метри. Резултатът наследява единицата на вашите координати. Градуси дават градуси, пиксели дават пиксели.
9. Въвеждане на сурови географска ширина и дължина като планарни x и y. Един градус географска дължина не е фиксиран брой метри. Проектирайте координатите първо.
10. Пропускане на затварянето на контур. Без повторената начална точка затварящата страна липсва от периметъра.
11. Добавяне на затваряща отсечка, когато пътят трябва да остане отворен. Повторението на началната точка върху отворен маршрут добавя фалшива обратна отсечка.
12. Използване на твърде малко точки върху извит път. Рядките проби режат завоите и подценяват истинската дължина.
13. Приемане, че по-гъстите шумни проби винаги подобряват точността. Шумът добавя отклонения; повече шумни точки могат да надуят общия сбор.
14. Закръгляне на всяка отсечка твърде рано. Закръгляйте само крайния общ сбор, за да не се натрупват грешки от закръгляне по отсечките.
15. Смесване на дължината на полилиния с разстоянието по права линия между крайните точки. Криволичещият маршрут през всички точки е по-дълъг от пряката линия от началото до края.
16. Смесване на дължината на път със затвореното лице. Периметър от 16 единици не казва нищо за лицето вътре в контура.
17. Третиране на повторените точки като допълнително положително разстояние. Последователният дубликат добавя точно нула, а не още една дължина на отсечка.
18. Приемане, че 2D изчислението отчита надморската височина. Промените във височината се нуждаят от трета координата; планарните x и y сами пренебрегват хълмове и наклони.

Решете всяка задача на ръка, после проверете решението. Всички решения използват Евклидовата формула за разстояние върху последователни точки.

Задача 1: Разстояние между две точки. Намерете разстоянието между (0, 0) и (5, 12).
Решение: dx = 5, dy = 12, d = √(25 + 144) = √169 = 13 единици.

Задача 2: Път от три точки. Намерете дължината на пътя през (1, 2) → (5, 6) → (9, 2).
Решение: d₁ = √(16 + 16) = √32 ≈ 5.656854; d₂ = √(16 + 16) = √32 ≈ 5.656854. Общо: L ≈ 11.313708 единици.

Задача 3: Отрицателни координати. Намерете разстоянието между (−6, −8) и (0, 0).
Решение: dx = 6, dy = 8, d = √(36 + 64) = √100 = 10 единици.

Задача 4: Десетични координати. Намерете разстоянието между (1.25, 2.5) и (4.25, 6.5).
Решение: dx = 3, dy = 4, d = √(9 + 16) = 5 единици.

Задача 5: Затворен триъгълник. Намерете периметъра на триъгълника (0, 0) → (4, 0) → (0, 3) → (0, 0).
Решение: 4, после √(16 + 9) = 5, после 3. Периметър: 4 + 5 + 3 = 12 единици.

Задача 6: Затворен правоъгълник. Намерете периметъра на правоъгълника (0, 0) → (9, 0) → (9, 4) → (0, 4) → (0, 0).
Решение: 9 + 4 + 9 + 4 = 26 единици.

Задача 7: Повторена точка. Намерете дължината на пътя през (1, 1) → (4, 5) → (4, 5) → (7, 1).
Решение: d₁ = √(9 + 16) = 5, d₂ = 0, d₃ = √(9 + 16) = 5. Общо: L = 5 + 0 + 5 = 10 единици.

Задача 8: Пряко разстояние срещу обща дължина на пътя. За (0, 0) → (1, 6) → (2, 0) намерете както дължината на пътя, така и прякото разстояние между крайните точки.
Решение: Всяка отсечка е √(1 + 36) = √37 ≈ 6.082763, значи дължината на пътя е L ≈ 12.165525 единици. Прякото разстояние от (0, 0) до (2, 0) е 2 единици. Криволичещият път е повече от шест пъти правата линия.

Различните описания на криви изискват различни калкулатори. Всеки от тях обхваща случай, който точковият метод не покрива:

• Дължина на дъга стъпка по стъпка: въведете функция y = f(x) и вижте изчислението, основано на математическия анализ, разработено стъпка по стъпка.
• Калкулатор за параметрична дължина на дъга: мерете криви, зададени като x(t) и y(t).
• Калкулатор за полярна дължина на дъга: мерете криви, зададени като r(θ).
• Калкулатор за дължина на дъга в 3D: мерете пространствени криви с x(t), y(t) и z(t).
• Калкулатор за трапецовидното правило: оценявайте числено дължината на дъга от функция и нейната производна.
• Калкулатор за правилото на Симпсън: оценявайте дължината на дъга с по-точното числено правило на Симпсън.